Matrizes
Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é matriz e suas representações.
 Igualdade de matrizes.
 A definição de: matriz...
O que éO que é matrizmatriz??
É umaÉ uma tabelatabela de números que pode serde números que pode ser
representadarepresent...
Como é a representação
genérica de uma matriz?
O que éO que é índiceíndice de umde um
elemento?elemento?
É a representação daÉ a representação da posiçãoposição que oque...
Quando duasQuando duas matrizesmatrizes AA
e B sãoe B são iguaisiguais??
Quando os elementosQuando os elementos de mesmo í...
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(PUC-MG)A matriz A = (a(PUC-MG)A matriz A = (aijij))2x32x3 é tal que:é tal que:
É...
SoluçãoSolução
aa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1= 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1
aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5= 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5
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O que éO que é matriz linhamatriz linha??
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O que éO que é matriz nulamatriz nula??
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O que éO que é matrizmatriz
quadradaquadrada??
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O que éO que é diagonaldiagonal
principalprincipal??
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Tente fazer sozinho!
(Ufop-MG) Observe a matriz:
Chama-se traço de uma matriz a soma dos
elementos de sua diagonal princip...
Solução
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O que éO que é matrizmatriz
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O que éO que é matrizmatriz opostaoposta??
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O que éO que é matrizmatriz
transpostatransposta??
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Tente fazer sozinho!
(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e
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Solução
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O que éO que é matrizmatriz
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É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresenta
todos ...
Como somamos ou
subtraímos matrizes?
Basta somar ou subtrair os elementos
correspondentes. As matrizes devem ser
do mesmo ...
Como multiplicamos uma
matriz por um número real?
Basta multiplicar todos os elementos
da
matriz por esse número real.
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Como o tipo da matriz
influencia na multiplicação
de duas matrizes?
Matriz A
4 x 3
Matriz B
3 x 2
Devem ser iguais
O resul...
Como efetuamos o
produto de duas
matrizes?
Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz
B = (bij)nxp , o produto é uma matriz...
Exemplo 1:
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26
13
41
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23
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
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

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
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Tente fazer sozinho!
1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes
é a matriz nula, x + y é igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) ...
Solução
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
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110
11
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
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
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
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




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




+−+
−++
0
0
3
10
0
0
1.3.1.1
1.1.1.0
yx
y
yx
yx
...
2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que
. É verdade que a+b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 9
d) -1
e) -9

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Solução
154
5204191
482
1910
819
12
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1910
819
1
1
1
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=⇒−=−⇒−=+
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

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
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

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+





...
O que é matriz inversa?
É matriz X de ordem n, cujo produto com
a matriz A é igual a matriz identidade de
ordem n.
Ou seja...
Exemplo:






−
−
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


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=
25
13
35
12
BeA
( ) ( )
( ) ( )






=
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



+−−+
+−−+
=

...
Tente fazer sozinho!
(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a
matriz inversa de , então:
a) b11 = - ½
b) b12 = -1
c) ...
Solução
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−=⇒=+−⇒=+−
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

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
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

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


...
Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 118 ...
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  1. 1. Matrizes
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá:  O que é matriz e suas representações.  Igualdade de matrizes.  A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa.  O que é diagonal principal e diagonal secundária.  Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
  3. 3. O que éO que é matrizmatriz?? É umaÉ uma tabelatabela de números que pode serde números que pode ser representadarepresentada entreentre chaveschaves ou entreou entre colchetescolchetes.. Exemplos:Exemplos:       =      = 104 321 104 321 AouA São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3.
  4. 4. Como é a representação genérica de uma matriz?
  5. 5. O que éO que é índiceíndice de umde um elemento?elemento? É a representação daÉ a representação da posiçãoposição que oque o elemento ocupa dentro da matriz.elemento ocupa dentro da matriz. Exemplo:Exemplo: O 3 é o elementoO 3 é o elemento aa1212, ou seja, está, ou seja, está nana 1ª linha1ª linha e nae na 2ª coluna2ª coluna..       =      = 01 32 2221 1211 aa aa A
  6. 6. Quando duasQuando duas matrizesmatrizes AA e B sãoe B são iguaisiguais?? Quando os elementosQuando os elementos de mesmo índicede mesmo índice sãosão correspondentescorrespondentes.. Exemplo:Exemplo: 22222121 12121111 2221 1211 2221 1211 , ,,, baaa babaLogo ba bb B aa aa A == ==       ==      =
  7. 7. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (PUC-MG)A matriz A = (a(PUC-MG)A matriz A = (aijij))2x32x3 é tal que:é tal que: É correto afirmar que:É correto afirmar que:    =− ≠+ = jiseji jiseji aij ,32 ,3       − −      −           − − −           −− = 927 651 ) 926 571 ) 96 25 71 ) 92 76 51 ) dc bAa
  8. 8. SoluçãoSolução aa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1= 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1 aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5= 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5 aa1313 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6= 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6 aa2121 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7= 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7 aa2222 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2= 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 aa2323 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9= 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9 Resposta: D       232221 131211 aaa aaa    =− ≠+ = jiseji jiseji aij ,32 ,3
  9. 9. O que éO que é matriz linhamatriz linha?? É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma linhaapenas uma linha.. Exemplo:Exemplo: É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma colunaapenas uma coluna.. Exemplo:Exemplo: ( )70342=A O que éO que é matriz colunamatriz coluna??           = 9 0 2 B
  10. 10. O que éO que é matriz nulamatriz nula?? É uma matriz que apresentaÉ uma matriz que apresenta todostodos osos elementoselementos iguais aiguais a zerozero.. Exemplos:Exemplos:       =           = 000 000 0000 0000 0000 DC
  11. 11. O que éO que é matrizmatriz quadradaquadrada?? É a matriz que apresenta oÉ a matriz que apresenta o mesmo númeromesmo número dede linhas e colunaslinhas e colunas.. Exemplos:Exemplos:           = 703 140 342 A Matriz 3 x 3       = 49 10 B Matriz 2 x 2 Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é de ordem 2.
  12. 12. O que éO que é diagonaldiagonal principalprincipal?? É aÉ a diagonaldiagonal formada pelosformada pelos elementos aelementos aijij,, sendosendo i=ji=j de uma matriz quadrada.de uma matriz quadrada. diagonal principaldiagonal secundária
  13. 13. Tente fazer sozinho! (Ufop-MG) Observe a matriz: Chama-se traço de uma matriz a soma dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima de tal forma que seu traço valha 9 e x seja o triplo de y.           y x 00 40 321
  14. 14. Solução x = 3y 1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2 x = 3.2  x = 6           y x 00 40 321
  15. 15. O que éO que é matrizmatriz diagonaldiagonal?? É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos osna qual todos os elementos que não pertencem a diagonalelementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zeroprincipal são iguais a zero. A. A diagonaldiagonal principalprincipal deve apresentardeve apresentar pelo menos umpelo menos um elemento diferente de zeroelemento diferente de zero.. Exemplos:Exemplos:           = 700 010 002 A
  16. 16. O que éO que é matrizmatriz triangulartriangular?? É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual osna qual os elementoselementos abaixo ou acima da diagonal principal sãoabaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zeroiguais a zero.. Exemplos:Exemplos:       =               =           = 10 72 6739 0710 0015 0002 700 310 422 DCB
  17. 17. O que éO que é matrizmatriz opostaoposta?? É aÉ a matrizmatriz cujoscujos elementos são oselementos são os opostos de uma matriz dada.opostos de uma matriz dada. Exemplos:Exemplos:       −− − =−      − − = 732 410 732 410 AA       − − =−      − − = 52 81 52 81 BB
  18. 18. O que éO que é matrizmatriz transpostatransposta?? É aÉ a matrizmatriz cujascujas colunascolunas sãosão iguais àsiguais às linhas de uma matriz dada.linhas de uma matriz dada. Exemplo:Exemplo:           − − =      − − = 74 31 20 732 410 t AA Note que o número de linhas de A é o número de colunas de At . O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e At =2x3
  19. 19. Tente fazer sozinho! (UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se, At = A. Se a matriz É simétrica, então o valor de é: a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0           −− −= 131 501 2 2 y y xx A 3 yx +
  20. 20. Solução           − − − =           −− − 15 30 112 131 501 2 2 2 yx yx y y xx 112 ±=⇒= xx 1−=x 48235 =⇒−=−⇒−=− yyyy 1 3 3 3 41 3 == +− = + yx Resposta: letra c
  21. 21. O que éO que é matrizmatriz identidadeidentidade?? É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresenta todos os elementos datodos os elementos da diagonal principaldiagonal principal iguais aiguais a 11 e ose os outrosoutros elementos iguais aelementos iguais a zerozero.. Exemplo:Exemplo:       =           = 10 01 100 010 001 23 II
  22. 22. Como somamos ou subtraímos matrizes? Basta somar ou subtrair os elementos correspondentes. As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n). Exemplos:           =          − −                 − − =      − −− +      − 4 3 10 3 5 1 7 8 9 ) 535 353 632 104 103 451 ) b a
  23. 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real? Basta multiplicar todos os elementos da matriz por esse número real. Exemplo:           − −− =           − −− 06 33 156 02 11 52 3
  24. 24. Como o tipo da matriz influencia na multiplicação de duas matrizes? Matriz A 4 x 3 Matriz B 3 x 2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
  25. 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes? Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp, onde o elemento cij é calculado multiplicando ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando os produtos obtidos.
  26. 26. Exemplo 1:       =           = 26 13 41 05 23 BeA           =           ++ ++ ++ = 927 515 721 2.41.16.43.1 2.01.56.03.5 2.21.36.23.3 AB
  27. 27. Exemplo 2:       =      = 315 024 31 12 DeC       =       +++ +++ = 9519 3513 3.30.11.32.15.34.1 3.10.21.12.25.14.2 CD CD
  28. 28. Tente fazer sozinho! 1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes é a matriz nula, x + y é igual a: a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2                 −       − 1 201 110 11 01 y x
  29. 29. Solução       =                 −       − 0 0 1 201 110 11 01 y x       − − =      −       − 311 110 201 110 11 01
  30. 30. ( ) ( )       =      +− −+       =      +−+ −++ 0 0 3 10 0 0 1.3.1.1 1.1.1.0 yx y yx yx       =                 − − 0 0 1 311 110 y x . 112 203103 101 CLetra yx xxyx yy −=+−=+ −=⇒=+−⇒=+− =⇒=−
  31. 31. 2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que . É verdade que a+b é igual a: a) 0 b) 1 c) 9 d) -1 e) -9       = 1 1 a b A       − −− = 1910 8192 A
  32. 32. Solução 154 5204191 482 1910 819 12 21 1910 819 1 1 1 1 =+−=+ =⇒−=−⇒−=+ −=⇒−=       − −− =      + +       − −− =            ba aaab bb aba bab a b a b Resposta: Letra B
  33. 33. O que é matriz inversa? É matriz X de ordem n, cujo produto com a matriz A é igual a matriz identidade de ordem n. Ou seja, A.X = X.A = In, onde X = A-1 A matriz inversa de A É indicada por A-1 .
  34. 34. Exemplo:       − − =      = 25 13 35 12 BeA ( ) ( ) ( ) ( )       =       +−−+ +−−+ =       − −       = 10 01 2.31.55.33.5 2.11.25.13.2 25 13 35 12 AB AB AB Logo, B = A-1
  35. 35. Tente fazer sozinho! (Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a matriz inversa de , então: a) b11 = - ½ b) b12 = -1 c) b21 = 1 d) b22 = -1 e) b22 = - ½       − = 11 20 A
  36. 36. Solução 1101 2 1 0 2 1 0 002 2 1 12 10 0122 10 01 11 20 −=⇒=+−⇒=+− =⇒=+−⇒=+− =⇒= =⇒=       =      +−+−       =            − bbdb aaca dd cc dbca dc dc ba Resposta: Letra B
  37. 37. Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145.  Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302.  Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.

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