Aula De Matemática - Prisma

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Aula De Matemática - Prisma

  1. 1. Relembrando Antes de começar a aula de hoje, precisamosrever alguns pontos de geometria plana eunidades de medidas:Área do retângulo: Área do quadrado: 2 A b.h A l
  2. 2. RelembrandoDiagonal do quadrado: Área do triângulo: d l 2 b.h A 2
  3. 3. RelembrandoTriângulo Equilátero: Altura l 3 h 2 Área 2 l . 3 A 4
  4. 4. RelembrandoHexágono: Apótema: l 3 a 2 Área: 2 2 l . 3 l . 3 A 6. 3. 4 2
  5. 5. RelembrandoComprimento da Área do círculo circunferência 2 c 2. .r A .r
  6. 6. Relembrando Sendo o metro (m) a unidade de medida,temos:1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm21 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3 Observação: 1 dm3 = 1 litro
  7. 7. Prismas e Cilindros definição definição elementos elementos Cilindros Caso CilindroPrismas retos particular equilátero retos Área da base Área da base áreas Área lateral áreas Área lateral Área total Área total volume Volume
  8. 8. Prismas Prisma é uma sólido geométrico delimitadopor faces planas, no qual as duas bases sesituam em planos paralelos.Exemplos:
  9. 9. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelasprismas
  10. 10. Prismas Podemos classificar um prisma quanto aonúmero de arestas da base.Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
  11. 11. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triânguloprismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação
  12. 12. Prismas Podemos classificar um prisma quanto àinclinação das arestas laterais. Oblíquos: arestas Retos: arestas laterais laterais oblíquas às perpendiculares às bases. bases.
  13. 13. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triânguloprismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquos oblíquas à base Inclinação das arestas laterais Arestas laterais definição perpendiculares à base retos
  14. 14. PrismasOs elementos de um prisma reto são:
  15. 15. Prismas Note que todas asfaces laterais dos prismas retos são retângulos
  16. 16. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triânguloprismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquos oblíquas à base Inclinação das arestas laterais Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices retos base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura
  17. 17. Paralelepípedos Paralelepípedos são prismas quadrangulares,cuja base é um paralelogramo. Quando as basessão retângulos, chamamos de paralelepípedoretângulo.
  18. 18. Paralelepípedos Podemos calcular a diagonal do paralelepípedoatravés do Teorema de Pitágoras ou pelafórmula: 2 2 2 D a b c
  19. 19. ParalelepípedosExemplo: Dado um paralelepípedo retângulode dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule amedida da sua diagonal.
  20. 20. Exemplo Pelo Teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2d 4 5 D 3 dd 2 16 25 D2 9 41d 2 41 D2 50 D 5 2
  21. 21. ExemploPela Fórmula: D a 2 b 2 c 2 2 2 2 D 3 4 5 D 9 16 25 D 50 D 5 2
  22. 22. Paralelepípedos Caso particular: Cubo O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,no qual todas as faces são quadrados, ou sejatodas as arestas apresentam a mesma medida. D a 3
  23. 23. Paralelepípedos Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo,cujo perímetro de uma face é 24 cm. Se o perímetro da é 24cm, então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm D a 3 D 6 3
  24. 24. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.
  25. 25. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.
  26. 26. Solução4 3 x 6 3 x 6 3 4 3 x 2 3
  27. 27. Áreas do Prisma Área da base: é a área do polígono queconstitui a base.A) No prisma triangular. 2 b.h l . 3 Ab ou Ab 2 4
  28. 28. Áreas do PrismaExemplo: Calcule a área da base de um prismatriangular regular, sabendo que a altura dotriângulo da base mede 4 3. l 3 h 4 3 l 8 2 2 2 l 3 8 3 Ab 16 3 4 4
  29. 29. Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular. 2 Ab b.h Ab l
  30. 30. Áreas do Prisma Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de1,80 m de profundidade, foi instalada em umburaco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.Calcule a área da base da piscina. Ab b.h 2 Ab 3.5 15cm
  31. 31. Áreas do PrismaC) No prisma hexagonal. 2 3l . 3 Ab 2
  32. 32. Áreas do Prisma Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediramuma pizza que veio em uma caixa de basehexagonal, calcule á área da base da caixa,sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm. 2 3l . 3 Ab 2 2 3.12 . 3 2 Ab 216 3cm 2
  33. 33. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas
  34. 34. Áreas do Prisma Área lateral: é a soma das áreas das faceslaterais.A) No prisma triangular Como temos 3 faces laterais, então Al 3.b.h .
  35. 35. Áreas do PrismaExemplo: O monumento de uma praça no norteda Croácia tem forma de um prisma triangularregular de altura igual a 7m. Calcule a árealateral do monumento, sabendo que a área dabase mede 4 3 . 2 l 3 Ab 4 3 l 4m 4 2 Al 3.4.7 84m
  36. 36. Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular Al 2ac 2bc Al 4.b.h
  37. 37. Áreas do PrismaExemplo: Para reformar o móvel abaixo, umdesigner colocará 2 portas e pintará todasas faces laterais. Calcule toda superfícieque será pintada?
  38. 38. Áreas do PrismaAl 2.2,1.0,6 2.0,4.0,6Al 2,52 0,48 2Al 3m
  39. 39. Áreas do PrismaC) No prisma hexagonal regular. Al 6.b.h
  40. 40. Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonalregular está sendo testado por uma banda dereagge. Sabendo que as bases desse prismadevem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 aser pintada de amarelo e verde. Al 6.b.h Al 6.50.30 2 2 Al 9000cm 0,9m
  41. 41. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
  42. 42. Áreas do Prisma Área total: é a área de toda a superfíciedo prisma, portanto, é a soma das áreas dasbases com a área lateral. At 2. Ab Al
  43. 43. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais Área total 2Ab + Al
  44. 44. Áreas do Prisma Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm dealtura, cuja base é um triângulo retângulo comcatetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área totaldo prisma.
  45. 45. Áreas do Prisma x 2 152 82 2 x 225 64 2 x 289 x 17At 2. Ab Al 15.8At 2. 15.20 8.20 17.20 2 2At 120 300 160 340 920cm
  46. 46. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de umprisma hexagonal regular, sabendo que asua área total é 216 3 dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.
  47. 47. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de umprisma hexagonal regular, sabendo que asua área total é 216 3 dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.
  48. 48. Solução At 216 3 2. Ab Al 216 3 2 3.l 3 2. 6.b.h 216 3 2 3.l 2 3 l 3 2. 6.l. 216 3 2 2 2 2 3l 3 3l 3 216 3 6l 2 3 216 3 l 6dm
  49. 49. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo B M E .
  50. 50. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo B M E .
  51. 51. Solução l 3 2 2 2EM BM 5 6 5 5 2 sen x BM 2 150 25 5 7 10 2 3EM BM 2 175 7 2 sen x 7EM 5 6 BM 5 7
  52. 52. Áreas do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as faces coma mesma área, então: 2 At 6.l
  53. 53. Áreas do Prisma Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.Calcule a área total. l 3 12 l 4 3 2 At 6.l 2 At 64 3 2 At 288cm
  54. 54. Volume do Prisma O volume de todo prisma é o produto entrea área da base e a altura. V Ab .h
  55. 55. Volume do Prisma Exemplo: Determine o volume da piscinailustrada abaixo: 3 V Ab .h 300.150.50 2250000cm 3 V 2250dm 2250l
  56. 56. Volume do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as arestascom a mesma medida, então: V Ab .h 2 3 V a .a V a
  57. 57. Volume do PrismaExemplo: Um tanque cúbico sem tampa serárevestido internamente com uma massaimpermeabilizante. Calcule o volume do tanque,sabendo que a área da superfície a serrevestida é 125m2. área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2  125 = 5l2  l = 5 m Logo, V = l3 = 53 = 125m3
  58. 58. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais Área total 2Ab + Al volume V = Ab . h
  59. 59. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3b) 40 cm3c) 96 dm3d) 160 cm3e) 55 dm3
  60. 60. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3b) 40 cm3c) 96 dm3d) 160 cm3e) 55 dm3
  61. 61. Solução 3At 0,96 V a 2 36a 0,96 V 0,4 2 3a 0,16 V 0,064ma 0,4m V 64dm 3 Letra A
  62. 62. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
  63. 63. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
  64. 64. Solução 2 2 2 5 3 x 2 25 9 x 2 x 16 x 4 b.h 3.4V Ab .h .h .10 60 Letra A 2 2
  65. 65. Cilindros Cilindros retos são sólidos de revolução,obtidos através do giro de um retângulo.
  66. 66. sólidos definição Gerados pela rotação de um retânguloCilindros retos
  67. 67. CilindrosOs elementos do cilindro reto são:
  68. 68. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros retos
  69. 69. Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. O cilindro equilátero apresenta altura coma mesma medida do diâmetro da base.
  70. 70. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero
  71. 71. Áreas do Cilindro Área da base: é a área do círculo queconstitui a base. 2 Ab .r
  72. 72. Áreas do cilindro Exemplo: Determine a área da base deum cilindro cujo raio do círculo da basemede 4cm. 2 Ab .r 2 Ab .4 2 Ab 16 cm
  73. 73. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas
  74. 74. Áreas do Cilindro Área lateral: é a área da superfície lateralplanificada. Al 2. .r.h
  75. 75. Áreas do Cilindro Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixotem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde éconstruído, a base cilíndrica não é de madeirae a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 aárea da superfície revestida de madeira. Al 2. .r.h Al 2.3,14.40.70 2 Al 17,684 18cm
  76. 76. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh
  77. 77. Áreas do Cilindro Área total: é a área de toda a superfíciedo prisma, portanto, é a soma das áreas dasbases com a área lateral. At 2. Ab Al
  78. 78. Áreas do Cilindro Exemplo: Determine a área total de umcilindro reto, cujo perímetro da base mede10π cm, igual a medida da altura. 2. .r 10 r 5cm Ab .r 2 25 At 2. Ab Al 2 Al 2. .r.h At 2.25 250 2 Al 2. .5.10 At 50 250 2 Al 250 At 50 1 2
  79. 79. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh Área total At = 2Ab + Al
  80. 80. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm dediâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
  81. 81. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm dediâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
  82. 82. Soluçãod 6cm r 3cm e h 18cmAt 2 Ab Al 2At 2. .r 2. .r.h 2At 2. .3 2. .3.18At 18. 108.At 126. 126.3,14At 395,64 396cm 2 Letra A
  83. 83. Áreas do Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. Como o cilindro equilátero apresenta alturacom a mesma medida do diâmetro da base,então: 2 Al 2. .r 2r Al 4. .r 2 2 2 2 At 4. .r 2. . r At 6. .r
  84. 84. Áreas do Cilindros Exemplo: Calcule a área lateral e a áreatotal de um cilindro reto equilátero, cujoraio da base mede 5 cm. 2 2 Al 4. .r 4. .5 100 2 2 At 6. .r 6. .5 150
  85. 85. Volume do Cilindro O volume de todo cilindro é o produto entrea área da base e a altura. V Ab .h
  86. 86. Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo,em litros, sabendo que é um cilindro reto, odiâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm. 1m 10dm r 5dm 50cm 5dm V Ab .h V .52.5 V 125 litros
  87. 87. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Como o cilindro equilátero apresenta aaltura com a mesma medida do diâmetro dabase, então: V Ab .h 2 3 V .r 2.r V 2. .r
  88. 88. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Exemplo: Um cilindro equilátero de volume128π litros, tem diâmetro de quantoscentímetros? V Ab .h 3 3 128 2. .r 128 2r 3 r 64 r 4dm 40cm
  89. 89. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh Área total At = 2Ab + Al Volume V = Ab . h
  90. 90. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
  91. 91. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
  92. 92. Solução 3 3V 6280l 6280dm 6,280mr 1mV Ab .h 3 26,280m 3,14.1 .h 6,28h 2m Letra D 3,14
  93. 93. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
  94. 94. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
  95. 95. Solução 3 3 3Vcubo a 3 27cm 3Vcilindro 27.9cm 2Vcilindro .r .h 227.9 3,14.3 .h 27h 8,59 8,5cm Letra A 3,14
  96. 96. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm dealtura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
  97. 97. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm dealtura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
  98. 98. Soluçãoh 30cm e Ab 1200cm 2 3Vaquário Ab .h 1200.30 36000cmVaquário 36000 3 18000cm 2 2 3Vaquáriocom pedras 1200.16,5 19800cmV pedras 19800 18000 1800cm Letra C 3
  99. 99. Bibliografia• http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati ca/geometria/prisma/prisma.htm• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.• Figuras: google imagens

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