ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ
ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΟΡΙΣΜΩΝ ΣΤΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ
ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΚΔΟΣΗ 2010,ΟΕΔΒ)
Επίθετο: Παναγιωτόπουλος Eπίθετο: Γιαννικόπουλος
Όνομα: Αθανάσιος Όνομα: Βασίλειος
Α.Μ.: 00311 Α.Μ.: 06026
Υπευθ. Καθηγητής
Παπαδοπετράκης Ευτύχιος
Ακαδ. Έτος 2010-11

2
Πρόλογος
Η μαθηματική γλώσσα γεννήθηκε μέσα στα πλαίσια της φυσικής γλώσσας
με σημασιολογικές διαφοροποιήσεις των εκφραστικών μέσων της καθομιλουμένης,
δηλαδή η μαθηματική γλώσσα ως ειδική γλώσσα διαφέρει στην πρώτη της μορφή
από την καθομιλουμένη μόνο ως προς το σύστημα σημασιολογικών κανόνων .Αυτές
οι σημασιολογικές διαφοροποιήσεις είναι συμφωνίες για το περιεχόμενο που
έπρεπε να αποδίδετε από τους μαθηματικούς σε ορισμένες λέξεις διατύπωση
αυτών των συμφωνιών είναι οι μαθηματικοί ορισμοί. Στην εργασία που ακολουθεί
φιλοδοξούμε να κάνουμε μια πλήρη ανάλυση των ορισμών σε ένα σχολικό
σύγγραμμα,να αναλύσουμε τη διατύπωση των ορισμών,να πούμε σε ποιο επίπεδο
βρίσκεται από γλωσσολογικής πλευράς, να τους ταξινομήσουμε και τέλος να
βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα από τη σκοπιά της διδακτικής των μαθηματικών.
Εισαγωγή
Με την εξέλιξη του μαθηματικού λόγου έχουν διαμορφωθεί δυο τύποι
ορισμών:
1. Απλός ονοματισμός
2. Πλήρης ορισμός
Απλός ονοματισμός, είναι ένας ορισμός που αποδίδει όνομα σε ένα γνωστό
και συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο του οποίου η υπόσταση είναι
εξασφαλισμένη από άλλα αντικείμενα.
Ο πλήρης ορισμός είναι αυτός που θέτει μια συμφωνία(αυτή η συμφωνία
συνήθως τίθεται στη διατύπωση με τον λογικό σύνδεσμο της ισοδυναμίας μεταξύ
δυο αποφάνσεων) για το περιεχόμενο μιας λέξης ή μιας περίφρασης ,την οποία ο
αναγνώστης πρέπει αναγκαστικά να αποδεχτεί. Υπάρχουν δυο ενδεχόμενα:
1. Η λέξη (όνομα οριζόμενου)να αποτελεί δάνειο της ειδικής γλώσσας
από τη φυσική ,στη περίπτωση αυτή μέσω του ορισμού έχουμε
αλλαγή στο σημασιολογικό κανόνα της φυσικής γλώσσας ,θεσπίζεται
ένας νέος κανόνας ο οποίος δίνει στη λέξη νέο περιεχόμενο.
2. Η λέξη (όνομα οριζόμενου)να είναι ένας νεολογισμός.τότε απλώς
τίθεται και ο κανόνας που δίνει περιεχόμενο στο νεολογισμό αυτό.
Όσο αναφορά την εργασία προσπαθήσαμε να διατηρήσουμε μια
συγκεκριμένη δομή στην ανάλυση μας και για λόγους που έχουν να κάνουν με τη
συγγραφή του βιβλίου πάνω στο οποίο γίνεται η ανάλυση, εμπλουτίσαμε την
παραπάνω ταξινόμηση με μια ακόμα ιδιότητα, τους περιγραφικούς ορισμούς,
δηλαδή αφού έχουν χαρακτηριστεί οι ορισμοί σαν πλήρεις-απλοί ονοματισμοί θα

3
προστίθεται όπου αυτό χρειάζεται και η ιδιότητα αυτή. Οι ορισμοί αυτοί δεν έχουν
τη δομή μιας πρότασης αλλά εμπεριέχουν σχήματα και ενσωματωμένα
παραδείγματα, κατά πόσο αυτό είναι σωστό ή όχι θα συζητηθεί στο τέλος της
εργασίας. Η βασική δομή πάνω στην οποία στηρίζεται η εργασία φαίνεται στο
παρακάτω σχήμα:
Ορισμοί
Με λεζάντα
Χωρίς λεζάντα
Επαναδιατύπωση
όπουχρειάζεται
Πλήρης Απλός
ονοματισμός
ορίζων
όνομα οριζομένου
δάνειο νεολογισμός
οριζόμενο
Οριζόμενο(ε1) ↔ (ε2)ορίζων
περιγραφικός

4
Τέλος θα δώσουμε τα κομμάτια εκείνα της διατύπωσης του ορισμού που
βρίσκονται στο μαθηματικό-επιμαθηματικό-περιμαθηματικό επίπεδο.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΣΜΩΝ
Ορισμός 1 σελ.12
Μια διάταξη νμ το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σχήματος με μ
γραμμές και ν στήλες, λέγεται πίνακας τύπου νμ ή απλούστερα νμ
πίνακας.
ΛΕΖΑΝΤΑ:ΝΑΙ
ΤΥΠΟΣ: ΠΛΗΡΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Μια διάταξη νμ το πλήθος αριθμών
ΟΡΙΖΩΝ : διάταξη νμ το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου
σχήματος με μ γραμμές και ν στήλες
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: πίνακας τύπου νμ
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
Επιμαθηματικό Μαθηματικό Περιμαθηματικό
ΣΧΟΛΙΟ: Ο ορισμός είναι αρκετά καλά διατυπωμένος έτσι ώστε ο μαθητής να
καταλαβαίνει από και μπρος τι είναι πίνακας μxν.
Ορισμός 2 σελ.13
Δυο πίνακες BA, λέμε ότι είναι ίσοι, όταν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών,
τον ίδιο αριθμό στηλών (δηλαδή αν είναι του ίδιου τύπου) και τα αντίστοιχα
στοιχεία τους είναι ίσα.Για να δηλώσουμε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι
γράφουμε BA 
ΤΥΠΟΣ:ΠΛΗΡΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Δυο πίνακες BA, λέμε ότι είναι ίσοι

5
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ίσοι πίνακες
ΟΡΙΖΩΝ: όταν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών, τον ίδιο αριθμό στηλών και
τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.
(ε1) ↔ (ε2): δυο πίνακες Α,Β είναι ίσοι ↔ έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών,
τον ίδιο αριθμό στηλών και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: πρόκειται για έναν ορισμό που στη διατύπωση περιέχει τη λέξη
‘όταν’, το όταν είναι χρονικός σύνδεσμος και καμία δουλειά δεν έχει σαν
τέτοιος να βρίσκεται σε έναν ορισμό ενός μαθηματικού αντικείμενου καθότι
ο χρόνος δεν έχει καμία υπόσταση στο σύμπαν των μαθηματικών
αντικειμένων, κάτι πληρεί τον ορισμό ή δεν τον πληρεί ,δεν υπάρχει χρονική
συνιστώσα ,το ‘όταν’ πρέπει να αντικατασταθεί από τη λέξη ‘αν’.Κατά τα
υπόλοιπα ο ορισμός είναι σε ικανοποιητικό επίπεδο γραμμένος και σαφής.
Ορισμός 3 σελ 13
Αν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, δηλαδή είναι
τύπου νν  για κάποιο ν , τότε ο πίνακας αυτός λέγεται τετραγωνικός
πίνακας.
ΛΕΖΑΝΤΑ:ΟΧΙ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ :ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός πίνακας
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: τετραγωνικός
ΟΡΙΖΩΝ: ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
(ε1) ↔ (ε2): ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός πίνακας ↔ έχει τον ίδιο αριθμό
γραμμών και στηλών.
ΣΧΟΛΙΟ: πρόκειται για έναν σαφή ορισμό που δεν δημιουργεί συγχύσεις στο
μαθητή αν εξαιρέσει κανείς τις υπονοούμενες ποσοδείξεις.

6
Τα στοιχεία νναααα ...,,,, 332211
ενός τετραγωνικού πίνακα Α, λέμε ότι
σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο του Α.
ΤΥΠΟΣ:ΑΠΛΟΣ ΟΝΟΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Κύρια διαγώνιο ενός τετραγωνικού πίνακα Α νν 
ονομάζουμε τα στοιχεία α11,α22,α33,...ανν
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : τα στοιχεία α11,α22,α33,...ανν ενός τετραγωνικού πίνακα Α.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός είναι σε συνέχεια των προηγούμενων που αφορούν τους
πίνακες, είναι σαφής αλλά καλό θα ήταν να δοθεί με την επαναδιατύπωση
,αντικατοπτρίζει καλύτερα τη βαθιά δομή της σκέψης του συγγραφέα,η λέξη
‘’σχηματίζουν’’ είναι παραπλανητική ,για να παραμείνει σε αυτή τη μορφή
θα μπορούσε να αντικατασταθεί με τη λέξη ‘’αποτελούν’’.
Αν τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα Α που δεν βρίσκονται στην κύρια
διαγώνιο είναι όλα 0, τότε ο Α λέγεται διαγώνιος πίνακας.
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Ένας τετραγωνικός πίνακας Α λέγεται διαγώνιος, αν και
μόνο αν, τα στοιχεία του πίνακα που δεν βρίσκονται
στην κύρια διαγώνιο είναι όλα μηδέν.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : διαγώνιος πίνακας
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: διαγώνιος
ΟΡΙΖΩΝ: τα στοιχεία του πίνακα που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο
είναι όλα μηδέν.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ

7
(ε1) ↔ (ε2): Ένας τετραγωνικός πίνακας Α λέγεται διαγώνιος ↔ τα στοιχεία
του πίνακα που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο είναι όλα
μηδέν.
ΣΧΟΛΙΟ: η διατύπωση στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι τελείως
ακατάλληλη ,πόσο μάλλον για το μυαλό ενός μαθητή ,η επαναδιατύπωση
που δίνουμε είναι πολύ κοντά σε έναν μαθηματικά καθαρό ορισμό που δεν
αφήνει περιθώρια λάθους κατανόησης στον αναγνώστη.
Ένας πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή, όπως ο  3102 λέγεται πίνακας
γραμμή
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ :πίνακας γραμμή
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γραμμή
ΟΡΙΖΩΝ: Ένας πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή
(ε1) ↔ (ε2): ένας πίνακας λέγεται πίνακας γραμμή ↔ έχει μία μόνο γραμμή.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός είναι σαφής και κατανοητός αλλά δεν θα έπρεπε να
περιέχει το παράδειγμα ,θα έπρεπε το παράδειγμα να ακολουθεί τον
ορισμό, αυτό είναι αποτέλεσμα της χαλαρότητας στην σωστή διατύπωση
που διέπει όλο το βιβλίο.
Οι ορισμοί 6-7-8 έχουν ακριβώς την ίδια ανάλυση.

8
Ορισμοί 9 και 10 σελ 14
Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω, όταν όλα τα στοιχεία
του που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά και
τριγωνικός κάτω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω από την
κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω αν
και μόνο αν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται κάτω
από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά.
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός κάτω αν
και μόνο αν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω
από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω(κάτω)
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: τριγωνικός άνω-κάτω
ΟΡΙΖΩΝ: όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω(κάτω) από την κύρια
διαγώνιο είναι μηδενικά.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
(ε1) ↔ (ε2): Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω(κάτω)
↔
όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω(κάτω) από την κύρια διαγώνιο
είναι μηδενικά
ΣΧΟΛΙΟ: οι άνω-κάτω τριγωνικοί πίνακες είναι από τους πιο σημαντικούς
που συναντάει ένας μαθητής θα έπρεπε οι ορισμοί αυτοί να βρίσκονται
εντός λεζάντας και διατυπωμένοι ένας ένας ξεχωριστά. Μελανό σημείο
επίσης το ‘όταν’ που χρησιμοποιείται για μια ακόμα φορά από τους
συγγραφείς χωρίς να έχει καμία υπόσταση σαν χρονικός σύνδεσμος εντός
ενός μαθηματικού ορισμού μιας και οι ορισμοί δεν έχουν χρονική βαθμίδα.

9
Άθροισμα δυο νμ πινάκων ][ ijαA  και ][ ijβB  λέγεται ο νμ πίνακας του
οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των Α
και Β. Ο πίνακας αυτός συμβολίζεται με BA  . Δηλαδή, ][ ijij βαBA 
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : ο νμ πίνακας του οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα
των αντίστοιχων στοιχείων των Α και Β.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: Άθροισμα δυο νμ πινάκων.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Αν εξαιρέσει κανείς την υπονοουμένη ποσόδειξη ο ορισμός είναι
σαφής για τον αναγνώστη(μαθητή).αξίζει να γίνει αναφορά στη λέξη
‘δηλαδή’ που είναι επεξηγηματικού χαρακτήρα(περιμαθηματικό επίπεδο),θα
μπορούσε να μην βρίσκεται στη διατύπωση χωρίς να αλλάξει νόημα ο
ορισμός.
Αν Ο είναι ο νμ πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν, τότε για
κάθε νμ πίνακα Α ισχύει 𝛢 + 𝛰 = 𝛰 + 𝛢 = 𝛢. Ο πίνακας Ο λέγεται μηδενικός
πίνακας.
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Ένας πίνακας νμ ονομάζεται μηδενικός αν όλα τα
στοιχεία του είναι μηδέν.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : ο μηδενικός πίνακας νμ
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: μηδενικός
ΟΡΙΖΩΝ: όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν

10
(ε1) ↔ (ε2): Ένας πίνακας νμ ονομάζεται μηδενικός ↔όλα τα στοιχεία του
είναι μηδέν
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Στην περίπτωση αυτή περιέχεται παράδειγμα(μαθηματική
απόφανση) εντός του ορισμού ,έχουμε πει ότι θα έπρεπε να ακολουθεί και
όχι να είναι ενσωματωμένο στη διατύπωση ,μπορεί να δημιουργήσει
σύγχυση στον αναγνώστη .Η επαναδιατύπωση που δίνουμε είναι σαφώς
καλύτερη και δεν αφήνει κανένα περιθώριο παρανόησης.
Γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν πίνακα ]ijαA [ , λέγεται ο
πίνακας που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ. Ο
πίνακας αυτός συμβολίζεται με Aλ ή λA. Δηλαδή, ][ ijλαAλ 
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν πίνακα
]ijαA [ , λέγεται ο πίνακας που έχει ως στοιχεία του το γινόμενο των
στοιχείων του Α επί τον αριθμό λ. Ο πίνακας αυτός συμβολίζεται με Aλ ή
λA. Δηλαδή, ][ ijλαAλ 
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : ο πίνακας που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο
του Α με λ.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: Γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν
πίνακα
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός αποτελεί μια ιδιότητα των πινάκων δεν είναι απαραίτητο
να βρίσκεται εντός λεζάντας πόσο μάλλον όταν δίνονται νωρίτερα ΠΛΗΡΕΙΣ
ορισμοί πινάκων που βρίσκονται εκτός λεζάντας ,ίσως αυτό να γίνεται για να
γίνει η σύγκριση με τον επερχόμενο του γινομένου δυο πινάκων.Σε κάθε
περίπτωση είναι λάθος διατυπωμένος,η φράση<<που προκύπτει αν

11
πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ>> δίνει υποθετικό υπόβαθρο
που δεν υφίσταται ,η επαναδιατύπωση που δίνεται λύνει αυτό το πρόβλημα.
Αν ][ ikαA  είναι ένας νμ πίνακας και ][ kjβB  είναι ένας ρν πίνακας, τότε
ορίζουμε ως γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και το συμβολίζουμε
με BA ή με ΑΒ τον ρμ πίνακα, του οποίου κάθε στοιχείο ijγ είναι το
άθροισμα των γινομένων των ν στοιχείων της i -γραμμής του Α με τα
αντίστοιχα ν στοιχεία της j -στήλης του Β. Δηλαδή,
νjiνjijiij βαβαβαγ  2211 .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Ο πίνακας ρμ του οποίου κάθε στοιχείο ijγ είναι το άθροισμα των
γινομένων των ν στοιχείων της i -γραμμής του Α με τα αντίστοιχα
ν στοιχεία της j -στήλης του Β
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Αν εξαιρέσει κανείς την εμφάνιση του ‘δηλαδή’ ο ορισμός είναι
σαφής και δεν εγκυμονεί κινδύνους λάθους κατανόησης.
Αν με νI συμβολίσουμε τον νν διαγώνιο πίνακα












1000
0100
0010
0001





του οποίου
κάθε στοιχείο της κυρίας διαγωνίου είναι ίσο με 1, τότε για κάθε
τετραγωνικό νν πίνακα Α ισχύει: AAIAI νν  . O πίνακας αυτός λέγεται
μοναδιαίος πίνακας.

12
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Ο τετραγωνικός πίνακας του οποίου τα στοιχεία της
κυρίας διαγωνίου είναι όλα 1 και τα στοιχεία εκτός της
διαγωνίου είναι όλα 0 καλείται μοναδιαίος πίνακας.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: μοναδιαίος πίνακας
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: μοναδιαίος
ΟΡΙΖΩΝ: τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι όλα ένα και τα εκτός της
διαγωνίου είναι όλα μηδέν.
(ε1) ↔ (ε2): ένας τετραγωνικός πίνακας καλείται μοναδιαίος ↔ τα στοιχεία της
κυρίας διαγωνίου είναι όλα ένα και τα εκτός της διαγωνίου είναι όλα μηδέν.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Στην περίπτωση αυτή περιέχεται παράδειγμα(μαθηματική
απόφανση) εντός του ορισμού, έχουμε πει ότι θα έπρεπε να ακολουθεί και
όχι να είναι ενσωματωμένο στη διατύπωση ,μπορεί να δημιουργήσει
σύγχυση στον αναγνώστη η επαναδιατύπωση που δίνουμε είναι σαφώς
καλύτερη και δεν αφήνει κανένα περιθώριο παρανόησης.
Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου νν . Αν υπάρχει τετραγωνικός
πίνακας Β τύπου νν , τέτοιος ώστε να ισχύει IBAAB  , τότε ο Α λέγεται
αντιστρέψιμος πίνακας και ο Β αντίστροφος του Α.
ΕΠΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ: Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου νν . ο Α
λέγεται αντιστρέψιμος πίνακας αν και μόνο αν υπάρχει πίνακας Β τύπου
νν , τέτοιος ώστε να ισχύει IBAAB  .Ο πίνακας Β καλείται αντίστροφος
του Α.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : ο Α λέγεται αντιστρέψιμος πίνακας
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: αντιστρέψιμος

13
ΟΡΙΖΩΝ: υπάρχει τετραγωνικός πίνακας Β τύπου νν , τέτοιος ώστε να ισχύει
IBAAB 
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
(ε1) ↔ (ε2): Ο Α λέγεται αντιστρέψιμος πίνακας ↔ υπάρχει τετραγωνικός
πίνακας Β τύπου νν , τέτοιος ώστε να ισχύει IBAAB 
ΣΧΟΛΙΟ: εδώ ο ορισμός εμπεριέχει έναν ακόμα αυτόν του αντιστρόφου ενός
πίνακα έχουμε:
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : ένας τετραγωνικός πίνακας Β τύπου νν , τέτοιος ώστε να ισχύει
IBAAB  για κάποιον πίνακα Α.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: αντίστροφος
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Δυστυχώς και σε αυτή τη περίπτωση χρειάζεται επαναδιατύπωση
του ορισμού διότι έτσι όπως δίνεται από τη συγγραφική ομάδα δεν μπορεί
να καταστήσει την έννοια που ορίζεται με σαφήνεια στον μαθητή σε έναν
από τους σημαντικότερους ορισμούς του κεφαλαίου και του βιβλίου.
Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου ότι συνάρτηση από
ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι μια διαδικασία
με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε
ένα και μοναδικό στοιχείο του Β.
Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με
συναρτήσεις για τις οποίες τα Α και Β
συμπίπτουν με το σύνολο Ε των σημείων ενός
καρτεσιανού επιπέδου Oxy . Οι συναρτήσεις
αυτές λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο ή, απλά,
γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός
είναι οποιαδήποτε συνάρτηση EE :T .
M΄(x΄,y΄)Τ
M(x,y)
O x
y

14
ΤΥΠΟΣ:ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΠΛΗΡΗΣ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: οι συναρτήσεις που λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο
επίπεδο
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο
ΟΡΙΖΩΝ: οι συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών ένα
σύνολο Ε σημείων ενός καρτεσιανού επιπέδου ΟΧΥ.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
(ε1) ↔ (ε2): μια συνάρτηση καλείται γεωμετρικός μετασχηματισμός στο επίπεδο
↔
έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών ένα σύνολο Ε σημείων ενός
καρτεσιανού επιπέδου ΟΧΥ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός είναι από τις περιπτώσεις των περιγραφικών ορισμών ,οι
συγγραφείς προκειμένου να ορίσουν το γεωμετρικό μετασχηματισμό
ανατρέχουν με περιμαθηματικού επιπέδου φράσεις σε προηγούμενη τάξη,
δίνουν σχήμα και περιγράφουν το οριζόμενο παρά το ορίζουν. Όλη η
διαδικασία είναι λάθος εν τη γενέσει της, εδώ θα έπρεπε να δοθεί ο ορισμός
του γεωμετρικού μετασχηματισμού και στη συνέχεια ένα παράδειγμα με
σχήμα για να διασαφηνιστεί ακόμα καλύτερα η ορίζουσα ιδιότητα που
καθιστά κάποιες συναρτήσεις Γεωμετρικούς μετασχηματισμούς.

15
Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με τους γεωμετρικούς
μετασχηματισμούς που απεικονίζουν τα σημεία ),( yxM στα ),( yxM  των
οποίων οι συντεταγμένες δίνονται από ένα σύστημα της μορφής





νδyγxy
μβyαxx
ή, ισοδύναμα, από μια εξίσωση της μορφής 

























ν
μ
y
x
δγ
βα
y
x
Αν 0μ και 0ν , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή




















y
x
δγ
βα
y
x
. Στην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός
λέγεται γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας 





δγ
βα
λέγεται πίνακας
του γραμμικού μετασχηματισμού.
ΤΥΠΟΣ: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΠΛΗΡΗΣ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ :ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που απεικονίζει τα σημεία ),( yxM
στα ),( yxM  των οποίων οι συντεταγμένες δίνονται από ένα
σύστημα της μορφής





νδyγxy
μβyαxx
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γραμμικός
ΟΡΙΖΩΝ: Αν 0μ και 0ν , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή




















y
x
δγ
βα
y
x
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός είναι από τις περιπτώσεις των περιγραφικών ορισμών ,οι
συγγραφείς και εδώ αδυνατούν να ορίσουν ξεκάθαρα τους γραμμικούς
γεωμετρικούς μετασχηματισμούς και μετά να δώσουν παραδείγματα για
αποσαφήνιση του οριζόμενου έτσι βλέπουμε φράσεις περιμαθηματικού
επιπέδου και προσαρμοσμένο παράδειγμα-μαθηματική απόφανση εντός της
διατύπωσης του ορισμού. Επίσης περιέχεται και ο ορισμός-απλός

16
ονοματισμός του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού ο οποίος
αναλύεται κατά τα γνωστά.
Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που διατηρούν τις αποστάσεις λέγονται
ισομετρίες.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ :ένας γραμμικός μετασχηματισμός
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ισομετρία
ΟΡΙΖΩΝ: διατηρεί τις αποστάσεις
(ε1) ↔ (ε2) : ένας γραμμικός μετασχηματισμός λέγεται ισομετρία
↔
διατηρεί τις αποστάσεις
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Μιλάμε εδώ για έναν ορισμό που συναντάται στο τέλος μιας
εφαρμογής του βιβλίου ,δηλαδή ενώ ο μαθητής έχει γίνει αποδέκτης της
θεωρίας της συγκεκριμένης παραγράφου και είναι πλέον αντιμέτωπος με
μια άσκηση-εφαρμογή σκοντάφτει πάνω σε έναν ακόμα ορισμό. Από
διδακτική σκοπιά είναι ανεπίτρεπτο και θέτει της βάσεις για την λεγόμενη
μαθηματικοφοβία αλλά και την παπαγαλία ,αφού εκεί που βρίσκεται ο
ορισμός κάνει τον μαθητή να είναι καχύποπτος απέναντι στην τοποθέτηση
αυτού και μόνο του ορισμού στο συγκεκριμένο σημείο(μετά το τέλος μιας
εφαρμογής).Προφανώς θα έπρεπε ο ορισμός να συγκαταλέγεται εντός της
θεωρίας και η εφαρμογή να ήταν το παράδειγμα αποσαφήνισης της έννοιας
της ισομετρίας.

17
Καλούμε συμμετρία ως προς άξονα μια
ευθεία ε, το γεωμετρικό εκείνο
μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε
σημείο ),( yxM του καρτεσιανού
επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό
του, ),( yxM  , ως προς την ευθεία ε.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ :Ο γεωμετρικός μετασχηματισμός με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM
του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του, ),( yxM  , ως
προς την ευθεία ε.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε
ΔΑΝΕΙΟ: ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: θα μπορούσε να πει κάποιος ότι ο ορισμός είναι πλήρης αλλά στην
πραγματικότητα ορίζεται η συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε η οποία
όμως κάθε φορά είναι μια και μοναδική για μια και μοναδική ευθεία(κάθε
φορά),έτσι λόγο της μη τοποθέτησης κάποιας στοιχειώδους ποσόδειξης
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο ορισμός είναι απλός ονοματισμός .Οι
ορισμοί 21 και 22 αναλύονται πανομοιότυπα με τον ορισμό 20.
Ορισμός 23 σελ σελ 51
Κάθε εξίσωση της μορφής βxαxαxα νν  2211 , όπου
νααα ...,,, 21 β είναι πραγματικοί αριθμοί και νxxx ...,,, 21 άγνωστοι,
λέγεται γραμμική εξίσωση με ν αγνώστους. Οι αριθμοί νααα ...,, 21
λέγονται συντελεστές των αγνώστων και ο β σταθερός όρος.
O
y
x
ε
Μ΄(x΄,y΄)
Μ(x,y)

18
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Κάθε εξίσωση της μορφής βxαxαxα νν  2211
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γραμμική εξίσωση με ν αγνώστους
ΟΡΙΖΩΝ: νααα ...,,, 21 β είναι πραγματικοί αριθμοί και νxxx ...,,, 21
άγνωστοι.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Υπάρχει μια στοιχειώδης ποσόδειξη (κάθε) στον ορισμό η οποία
θέτει κάποια όρια μέσα στα οποία η βαθιά δομή όλου του ορισμού μπορεί
να έρθει στην επιφάνεια .Είναι ένας εύκολος ορισμός ο οποίος θα μπορούσε
να έχει διατυπωθεί με μεγαλύτερη ευκρίνεια μέσα στο κείμενο που τον
περιβάλει(λεζάντα) .Εμπεριέχονται και οι ορισμοί-απλοί ονοματισμοί του
σταθερού όρου και των συντελεστών των αγνώστων,η ανάλυση γίνεται κατά
τα γνωστά.
Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών )...,,,( 21 νsss που επαληθεύει μια
γραμμική εξίσωση με ν αγνώστους λέγεται λύση της εξίσωσης.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών )...,,,( 21 νsss
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: λύση της εξίσωσης
ΟΡΙΖΩΝ: επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση με ν αγνώστους
(ε1) ↔ (ε2): Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών )...,,,( 21 νsss καλείται
λύση της εξίσωσης ↔ επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση με ν αγνώστους
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Ο ορισμός είναι σαφής για τον αναγνώστη.

19
Ένα πλήθος μ γραμμικών εξισώσεων με ν αγνώστους των οποίων ζητάμε τις
κοινές λύσεις, λέγεται γραμμικό σύστημα μ εξισώσεων με ν αγνώστους ή
απλούστερα νμ γραμμικό σύστημα.
ΛΕΖΑΝΤΑ: ΟΧΙ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Ένα πλήθος μ εξισώσεων με ν αγνώστους των
οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γραμμικό σύστημα μ εξισώσεων με ν αγνώστους
ΟΡΙΖΩΝ: οι μ το πλήθος εξισώσεις είναι γραμμικές
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Πρόκειται για πλήρη ορισμό, το οριζόμενο είναι ένα πλήθος
εξισώσεων των οποίων ζητάμε κοινές λύσεις η καταστατική ιδιότητα που
διέπει το οριζόμενο είναι ότι οι εξισώσεις αυτές πρέπει να είναι γραμμικές,
αλλιώς δεν μπορούμε να μιλάμε για ΓΡΑΜΜΙΚΟ σύστημα .Στα πλαίσια του
κειμένου που τον περιβάλει ο ορισμός είναι σαφής στον αναγνώστη.
Ορισμοί 26,27 σελ 52
Ένα σύστημα που έχει μια τουλάχιστον λύση λέγεται συμβιβαστό, ενώ ένα
σύστημα που δεν έχει καμία λύση λέγεται αδύνατο
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: ένα σύστημα καλείται συμβιβαστό(αδύνατο)
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: συμβιβαστό---αδύνατο
ΟΡΙΖΩΝ: έχει μια τουλάχιστον λύση (δεν έχει καμία λύση)
(ε1) ↔ (ε2): ένα σύστημα καλείται συμβιβαστό(αδύνατο)
↔
έχει μια τουλάχιστον λύση (δεν έχει καμία λύση)

20
Αν οι σταθεροί όροι ενός γραμμικού συστήματος είναι όλοι ίσοι με το μηδέν,
τότε το σύστημα λέγεται ομογενές και σύντομα γράφεται AX
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: ένα γραμμικό σύστημα
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ομογενές
ΟΡΙΖΩΝ: οι σταθεροί όροι του είναι όλοι ίσοι με το μηδέν
(ε1) ↔ (ε2): ένα γραμμικό σύστημα καλείται ομογενές
↔
οι σταθεροί όροι του είναι όλοι ίσοι με το μηδέν
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
Ένας νμ πίνακας λέγεται ανηγμένος κλιμακωτός ,αν ισχύουν συγχρόνως τα
παρακάτω:
α) Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές.
β) Το πρώτο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής
γραμμής είναι το 1 και βρίσκεται δεξιότερα του αντίστοιχου 1 της
προηγούμενης γραμμής.
γ)Το πρώτο από αριστερά 1 κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και το μόνο
μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.

21
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ :ένας πίνακας νμ
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ανηγμένος κλιμακωτός
ΟΡΙΖΩΝ: Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές
Το πρώτο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής
Το πρώτο από αριστερά 1 κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και το
μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.
(ε1) ↔ (ε2): ένας πίνακας νμ λέγεται ανηγμένος κλιμακωτός
↔
Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές
Το πρώτο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής
Το πρώτο από αριστερά 1 κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και το
μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Ο ορισμός είναι αρκετά ξεκάθαρος και σε συνδυασμό με τα
παραδείγματα που τον ακολουθούν είναι εύκολο ο μαθητής να αντιληφθεί
πιο εύκολα την έννοια που ορίζεται.

22
Έστω ο 22 πίνακας 






2221
1211
αα
αα
A . Ο αριθμός 122122 αααα 11
λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με || A ή με
2221
1211
αα
αα
.
Δηλαδή, 12212211
2221
1211
|| αααα
αα
αα
A  .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Έστω ο 22 πίνακας 






2221
1211
αα
αα
A . Ο αριθμός
122122 αααα 11
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ορίζουσα του πίνακα Α
ΔΑΝΕΙΟ: ΟΧΙ
ΝΕΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Ο ορισμός είναι καλά διατυπωμένος στα πλαίσια πάντα του
επιπέδου της Γ λυκείου και αν σκεφτεί κανείς ότι σκοπός των συγγραφέων
είναι να εισάγουν τον ορισμό της ν-τάξης ορίζουσας επαγωγικά.

23
Γενικά, μπορούμε να ορίσουμε την ορίζουσα ν τάξης 3 με τη βοήθεια του
ορισμού της ορίζουσας 1 τάξης. Ένας τέτοιος ορισμός λέγεται
ε π α γ ω γ ι κ ό ς.
Συγκεκριμένα, έστω ο νν πίνακας













νννν
ν
ν
ααα
ααα
ααα
A




21
22221
11211
.
Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α και τη συμβολίζουμε με || A ή
νννν
ν
ν
ααα
ααα
ααα




21
22221
11211
τον αριθμό
νν AαAαAαA 1112121111||  
όπου ij
ji
ij MA 
 )1( και ijM , η )1( ν τάξης ορίζουσα του πίνακα που
προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του
στοιχείου ijα .
Όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, η ορίζουσα ijM λέγεται ελάσσων
ορίζουσα του στοιχείου ijα και το γινόμενο ij
ji
M
1)( λέγεται αλγεβρικό
συμπλήρωμα του στοιχείου ijα .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ορίζουσα

24
ΣΧΟΛΙΟ: Ο ορισμός είναι επαγωγικός, μακροσκελής και περιβάλλεται από
φράσεις περιμαθηματικού επιπέδου, παρόλα αυτά αποτελεί μια καλή
προσπάθεια γενίκευσης του ορισμού της ορίζουσας 2x2 πινάκων ,επιπλέον
περιέχει απλούς ονοματισμούς της ελάσσονος ορίζουσας και του
αλγεβρικού συμπληρώματος ενός στοιχείου ijα
.
Η έκφραση  βαiβα ,, είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η
σύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του iβ , τον οποίο
ονομάζουμε φανταστικό αριθμό. Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z
και σημειώνεται )Re(z , ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και
σημειώνεται )Im(z .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Η έκφραση  βαiβα ,,
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: μιγαδικός αριθμός
ΟΡΙΖΩΝ: η σύνθεση δυο αριθμών, ενός πραγματικού α και ενός
φανταστικού iβ .
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Στον ορισμό περιέχονται και οι ονοματισμοί του φανταστικού
αριθμού και του πραγματικού και φανταστικού μέρους ενός μιγαδικού
αριθμού. Ίσως ο πιο λάθος ορισμός όλου του βιβλίου, δεν αποσαφηνίζει την
λέξη σύνθεση ,αφήνει τον μαθητή να καταλάβει από μόνος του ότι η
σύνθεση γίνεται μέσω της πρόσθεσης.Θα έπρεπε να βρίσκεται εντός
λεζάντας και να έχει διατυπωθεί τελείως διαφορετικά.Η συγγραφείς έχουν
αποτύχει παταγωδώς να ορίσουν τον μιγαδικό αριθμό ως ένα στοιχείο ενός
συνόλου μεγαλύτερου των πραγματικών αριθμών έτσι ώστε να λάβει

25
υπόσταση η λέξη σύνθεση, επιπλέον ενσωματώνουν και τους ονοματισμούς
του φανταστικού αριθμού και του πραγματικού και φανταστικού μέρους
ενός μιγαδικού όλες οι έννοιες πλέον βρίσκονται στον αέρα και αν ο
καθηγητής δεν εξηγήσει σωστά τον ορισμό ο αναγνώστης - μαθητής θα
αποτύχει να κατανοήσει την έννοια του μιγαδικού αριθμού.
Δύο μιγαδικοί αριθμοί iβα  και iδγ  είναι ίσοι, αν και μόνο αν  
και δβ  .Δηλαδή ισχύει:  iδγiβα γα  και δβ 
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Δύο μιγαδικοί αριθμοί iβα  και iδγ  είναι ίσοι
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ίσοι μιγαδικοί αριθμοί
ΟΡΙΖΩΝ:   και δβ 
(ε1) ↔ (ε2): Δύο μιγαδικοί αριθμοί iβα  και iδγ  είναι ίσοι
↔
  και δβ 
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Από τους αρτιότερα διατυπωμένους ορισμούς σε όλο το βιβλίο,
πάσχει μόνο στο επίπεδο των ποσοδείξεων.

26
Έστω ),( yxM η εικόνα του μιγαδικού
yixz  στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε
ως μέτρο του z την απόσταση του M από
την αρχή O, δηλαδή
22
|||| yxOMz 
ΤΥΠΟΣ: ΑΠΛΟΣ ΟΝΟΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: η απόσταση της εικόνας ενός μιγαδικού αριθμού Ζ από την αρχή των
αξόνων.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: μέτρο του Ζ
Ονομάζουμε όρισμα του μιγαδικού z καθεμιά από τις γωνίες που έχουν
αρχική πλευρά την ημιευθεία Ox και τελική πλευρά την ημιευθεία OM
Ο
θ
x
Μ(z)
y
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : όρισμα του μιγαδικού z
x
M(x,y)
| z |
Ο
β
a
y

27
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: όρισμα
ΟΡΙΖΩΝ: καθεμιά από τις γωνίες που έχουν αρχική πλευρά την ημιευθεία Ox
και τελική πλευρά την ημιευθεία OM
ΣΧΟΛΙΟ: Θα ήταν προτιμότερο να έχει δοθεί ένας ορισμός χωρίς σχήμα και
να ακολουθούσε κάποιο παράδειγμα ,εντάσσοντας το σχήμα στην
διατύπωση του ορισμού ο αναγνώστης μπερδεύεται και πιθανόν να μην
αντιλαμβάνεται την ιδιότητα του οριζόμενου σαν καταστατική αλλά με
μηχανικό τρόπο να δέχεται την εικόνα του σχήματος για κάθε μιγαδικό
αριθμό, πρέπει εδώ ο μαθητής να μπορεί να αντιληφτεί την διανυσματική
υπόσταση του μιγαδικού αριθμού και έπειτα να κατανοήσει πολύ πιο
ανώδυνα την έννοια του ορίσματος.
Από όλα τα ορίσματα του z ένα ακριβώς βρίσκεται στο διάστημα )2,0[ π .Αυτό
λέγεται πρωτεύον όρισμα του μιγαδικού z και συμβολίζεται με )(zArg .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: το όρισμα του μιγαδικού z που βρίσκεται στο διάστημα )2,0[ π
.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: πρωτεύον
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ

28
1) Αν α,β με βα  , τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α,β καθένα
από τα παρακάτω σύνολα:
:}|{)( βxαxα,β   ανοικτό διάστημα
:}|{][ βxαxα,β   κλειστό διάστημα
:}|{),[ βxαxβα   κλειστό-ανοικτό διάστημα
:}|{]( βxαxα,β   ανοικτό-κλειστό διάστημα
2)Αν α , τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα
από τα παρακάτω σύνολα:
}|{),( αxxα  
}|{),[ αxxα  
}|{),( αxxα  
}|{],( αxxα  
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Αν α,β με βα  το σύνολο (α,β) λέγεται ανοικτό διάστημα με
άκρα τα α,β.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ανοικτό διάστημα
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Όλοι οι επιμέρους ορισμοί αναλύονται πανομοιότυπα με το ανοικτό
διάστημα. Το μόνο πρόβλημα σε αυτή τη περίπτωση βρίσκεται στο γεγονός
ότι ο ορισμός θα έπρεπε να βρίσκεται εντός λεζάντας.

29
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με || α ,
ορίζεται ως εξής:
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, ορίζεται ως εξής






0αν,
0αν,
||
αα
αα
α
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: απόλυτη τιμή
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός θα έπρεπε να βρίσκεται εντός λεζάντας και για την
σχολική τάξη στην οποία απευθύνεται το βιβλίο η απόλυτη τιμή θα έπρεπε
να ορίζεται αυστηρά μαθηματικά σαν μια συνάρτηση και όχι σαν αριθμός.
Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με
πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο
Ax αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται
τιμή της f στο x και συμβολίζεται με )(xf .
ΛΕΖΑΝΤΑ: ΝΑΙ
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Έστω Α ένα υποσύνολο του ,ονομάζουμε πραγματική
συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α
ΟΡΙΖΩΝ: Η διαδικασία (κανόνας) f που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο Ax
σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.






0αν,
0αν,
||
αα
αα
α

30
(ε1) ↔ (ε2): Έστω Α ένα υποσύνολο του ,ονομάζουμε πραγματική
συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία f ↔ Η
διαδικασία (κανόνας) f αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο Ax σε
ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Ο ορισμός είναι διατυπωμένος χωρίς τις απαραίτητες ποσοδείξεις,
επίσης παραλείπεται να οριστεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ,οι
συγγραφείς αρκούνται στο να πουν ότι ο αριθμός y είναι πραγματικός.
Περιέχεται ο απλός ονοματισμός της τιμής της συνάρτησης f στο χ.Στη
συνέχεια παραθέτουν παραδείγματα , ιδιότητες και συμβολισμούς που
αποσαφηνίζουν την έννοια της πραγματικής συνάρτησης αλλά σε αυτό το
επίπεδο θα έπρεπε ο ορισμός να είναι πιο αυστηρά διατυπ ωμένος.
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα
συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων ),( yxM για τα οποία
ισχύει )(xfy  , δηλαδή το σύνολο των σημείων ))(,( xfxM , Ax , λέγεται
γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με fC .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Το σύνολο των σημείων ),( yxM για τα οποία ισχύει )(xfy  ,
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γραφική παράσταση της f.
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ

31
Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
 έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
 για κάθε Ax ισχύει )()( xgxf  .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ίσες
ΟΡΙΖΩΝ: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε Ax ισχύει )()( xgxf  .
(ε1) ↔ (ε2): Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες
↔
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε Ax ισχύει )()( xgxf  .
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Δυστυχώς η χρησιμοποίηση του ‘όταν’ στη διατύπωση των ορισμών
συνεχίζεται ,πράγμα εντελώς αβάσιμο όπως έχουμε ήδη πει.
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε
ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη συνάρτηση με
τύπο ))(())(( xfgxgof 
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως,
τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g τη συνάρτηση με τύπο
))(())(( xfgxgof 
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: σύνθεση της f με την g

32
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
Μια συνάρτηση f καλείται:
γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για
οποιαδήποτε Δxx 21 , με 21 xx  ισχύει: )()( 21 xfxf 
γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για
οποιαδήποτε Δxx 21 , με 21 xx  ισχύει: )()( 21 xfxf 
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ:
ΟΡΙΖΩΝ: για οποιαδήποτε Δxx 21 , με 21 xx  ισχύει: )()( 21 xfxf 
Δxx 21 , με 21 xx  ισχύει: )()( 21 xfxf 
(ε1) ↔ (ε2): μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα(φθίνουσα) σένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της
↔
για οποιαδήποτε Δxx 21 , με 21 xx  ισχύει: )()( 21 xfxf 
για οποιαδήποτε Δxx 21 , με 21 xx  ισχύει: )()( 21 xfxf 
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Αν εξαιρέσει κανείς τη λέξη ‘όταν’ που θα έπρεπε να
αντικατασταθεί από τη λέξη ‘αν’ ο ορισμός είναι σωστά διατυπωμένος και
σαφής.

33
Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ
του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην
περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως
μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο Δ
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: γνησίως μονότονη στο Δ
ΟΡΙΖΩΝ: αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της
(ε1) ↔ (ε2): μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι γνησίως μονότονη σε ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ↔ η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως
φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: πανομοιότυπη ανάλυση γίνεται για τον ορισμό της γνησίως
μονότονης f,και οι δυο ορισμοί είναι καλά διατυπωμένοι αλλά η παρουσία
λεζάντας θα τους έκανε ποιο ευδιάκριτους.
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:
Παρουσιάζει στο Ax 0 (ολικό) μέγιστο, το )( 0xf , όταν
)()( 0xfxf  για κάθε Ax
Παρουσιάζει στο Ax 0 (ολικό) ελάχιστο, το )( 0xf , όταν
)()( 0xfxf  για κάθε Ax .

34
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο
Ax 0
(ολικό)μέγιστο ,το )( 0xf
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ολικό μέγιστο
ΟΡΙΖΩΝ: )()( 0xfxf  για κάθε Ax
(ε1) ↔ (ε2): μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο
Ax 0 (ολικό)μέγιστο ,το )( 0xf ↔ )()( 0xfxf  για κάθε Ax
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός του ολικού ελαχίστου αναλύεται πανομοιότυπα
.
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά)
ακρότατα της f.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f .
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ακρότατα
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
Μια συνάρτηση Af : λέγεται συνάρτηση 11  , όταν για οποιαδήποτε Axx 21 ,
ισχύει η συνεπαγωγή:
αν 21 xx  , τότε )()( 21 xfxf  .

35
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Μια συνάρτηση Af : λέγεται συνάρτηση 11  .
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: συνάρτηση 11  .
ΟΡΙΖΩΝ: για οποιαδήποτε Axx 21 , ισχύει η συνεπαγωγή:
21 xx  → )()( 21 xfxf 
(ε1) ↔ (ε2): Μια συνάρτηση Af : λέγεται συνάρτηση 11 
↔
για οποιαδήποτε Axx 21 , ισχύει η συνεπαγωγή:
21 xx  → )()( 21 xfxf 
ΣΧΟΛΙΟ: το ‘όταν’ θα έπρεπε να αντικατασταθεί από το ΄’αν’.
Έστω μια συνάρτηση Af : . Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι 11 , τότε για
κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, )(Af , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο
x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει yxf )( . Επομένως ορίζεται
μια συνάρτηση
)(: Afg
με την οποία κάθε )(Afy αντιστοιχίζεται στο μοναδικό Ax για το οποίο
ισχύει yxf )( .
Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:
— έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών )(Af της f,
— έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και
— ισχύει η ισοδυναμία: xygyxf  )()( .

36
Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y
στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για
το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με
1
f .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Η αντίστροφη συνάρτηση g, της f
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: αντίστροφη συνάρτηση
ΟΡΙΖΩΝ: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών )(Af της f, έχει σύνολο τιμών
το πεδίο ορισμού Α της f και ισχύει η ισοδυναμία:
xygyxf  )()( .
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός είναι περιγραφικός ,θα έπρεπε να δοθεί αυστηρά
μαθηματικά και έπειτα με παραδείγματα να αποσαφηνιστεί η έννοια της
αντίστροφης συνάρτησης ,εδώ επιστρατεύονται περιμαθηματικού επιπέδου
φράσεις ,πολλαπλές επαναλήψεις των ίδιων ιδιοτήτων, επεξηγηματικές
αναφορές για να καταλήξουμε στο μη επιθυμητό αποτέλεσμα ,ο μαθητής να
μην κατανοεί τίποτα όχι απλά την έννοια της αντίστροφης συνάρτησης.
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
),(),( 00 βxxα  . Θα λέμε ότι η f έχει στο 0x όριο  , όταν για κάθε
0ε υπάρχει 0δ τέτοιος, ώστε για κάθε ),(),( 00 βxxαx  , με
δxx  ||0 0 , να ισχύει: εxf  |)(| 
.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
),(),( 00 βxxα  . Θα λέμε ότι η f έχει στο 0x όριο 

37
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: όριο
ΟΡΙΖΩΝ: όταν για κάθε 0ε υπάρχει 0δ τέτοιος, ώστε για κάθε
),(),( 00 βxxαx  , με δxx  ||0 0 , να ισχύει: εxf  |)(| 
(ε1) ↔ (ε2): Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
),(),( 00 βxxα  . Θα λέμε ότι η f έχει στο 0x όριο 
↔
για κάθε 0ε υπάρχει 0δ τέτοιος, ώστε για κάθε
),(),( 00 βxxαx  , με δxx  ||0 0 , να ισχυει:
εxf  |)(| 
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Αν εξαιρέσει κανείς το όταν,ο ορισμός είναι από τους πιο σωστά
διατυπωμένους σε όλο το βιβλίο.Ακολουθεί ο ορισμός 50 που αναλύεται
πανομοιότυπα με τον 49.
Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση 
: .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση α
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: Ακολουθία
ΟΡΙΖΩΝ: 
: .
(ε1) ↔ (ε2): Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση α
↔

: .

38
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
Θα λέμε ότι η ακολουθία )( να έχει όριο το   και θα γράφουμε


ν
ν
αlim , όταν για κάθε 0ε , υπάρχει
*
0  τέτοιο, ώστε για κάθε
0νν  να ισχύει: εαν  || 
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Θα λέμε ότι η ακολουθία )( να έχει όριο το  
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ:
ΟΡΙΖΩΝ: όταν για κάθε 0ε , υπάρχει
*
(ε1) ↔ (ε2) : Θα λέμε ότι η ακολουθία )( να έχει όριο το  
↔
για κάθε 0ε , υπάρχει
*
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Το <<όταν>> πρέπει να αντικατασταθεί από το <<αν>>

39
Έστω μια συνάρτηση f και 0x ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα
λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x , όταν
)()(lim 0
0
xfxf
xx


ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Έστω μια συνάρτηση f και 0x ένα σημείο 0x του πεδίου
ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: συνεχής
ΟΡΙΖΩΝ:
)()(lim 0
0
xfxf
xx


(ε1) ↔ (ε2): Έστω μια συνάρτηση f και 0x ένα σημείο 0x του πεδίου
ορισμού της, θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x ↔
)()(lim 0
0
xfxf
xx


ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Το <<όταν>> πρέπει να αντικατασταθεί από το <<αν>>. Ακολουθεί ο
ορισμός 54 ο οποίος αναλύεται πανομοιότυπα.
Έστω f μια συνάρτηση και ))(,( 00 xfxA ένα σημείο της fC . Αν υπάρχει το
0
0
0
)()(
lim
xx
xfxf
xx 

 και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως
εφαπτομένη της fC στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ.

40
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Έστω f μια συνάρτηση και ))(,( 00 xfxA ένα σημείο της fC .
ορίζουμε ως εφαπτομένη της fC στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από
το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: εφαπτομένη
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: Αν υπάρχει το όριο, εξασφαλίζει την ύπαρξη της ευθείας η οποία
απλά ονομάζεται εφαπτομένη της fC στο σημείο,πρόκειται για απλό
ονοματισμό.
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του πεδίου
ορισμού της, αν υπάρχει το
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx 


και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x και συμβολίζεται με )( 0xf  .
Δηλαδή:
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx 


 .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του
πεδίου ορισμού της
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x

41
ΟΡΙΖΩΝ: υπάρχει το
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx 

 και είναι πραγματικός αριθμός.
(ε1) ↔ (ε2): Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του
πεδίου ορισμού της ↔ υπάρχει το
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx 

 και είναι
πραγματικός αριθμός.
ΔΑΝΕΙΟ:ΟΧΙ
ΝΕΟΛΟΓΙΣΜΟΣ:ΝΑΙ
ΣΧΟΛΙΟ: περιέχεται και ο απλός ονοματισμός {παράγωγος της f στο 0x }
ΣΧΟΛΙΟ: Ακολουθεί ο ορισμός 57 που αναλύεται όπως ο 55.
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη yx, συνδέονται με τη σχέση )(xfy  , όταν f είναι μια
συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως
προς το x στο σημείο 0x την παράγωγο )( 0xf  .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: η παράγωγος )( 0xf  της συνάρτησης f που συνδέει δυο μεταβλητά
μεγέθη yx, με τη σχέση )(xfy  .
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ρυθμός μεταβολής
ΣΧΟΛΙΟ: Το <<όταν>> πρέπει να αντικατασταθεί από το <<αν>>. Ακολουθεί ο
ορισμός 59 του τοπικού μεγίστου-ελαχίστου, αναλύεται πανομοιότυπα με
τον ορισμό 45.

42
Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η
στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:
 Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f  είναι
γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.
 Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f  είναι
γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και
π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ, θα λέμε ότι η
συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ (Η
συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ)
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: κυρτή---κοίλη
ΟΡΙΖΩΝ: η f  είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ(η f  είναι γνησίως
φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ)
(ε1) ↔ (ε2): Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και
π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ, θα λέμε ότι η
συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ
(Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο
Δ)
↔
η f  είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ(η f  είναι
γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ)

43
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ),( βα , με εξαίρεση ίσως ένα
σημείο του 0x . Αν
 η f είναι κυρτή στο ),( 0xα και κοίλη στο ),( 0 βx , ή αντιστρόφως, και
 η fC έχει εφαπτομένη στο σημείο ))(,( 00 xfxA ,
τότε το σημείο ))(,( 00 xfxA ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης
της f.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: το σημείο ))(,( 00 xfxA που έχει τις ιδιότητες η f να είναι κυρτή στο
),( 0xα και κοίλη στο ),( 0 βx , ή αντιστρόφως και η fC έχει εφαπτομένη
στο σημείο αυτό.
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: σημείο καμπής
ΔΑΝΕΙΟ:ΝΑΙ
Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια
)(lim
0
xf
xx 
,
)(lim
0
xf
xx 
είναι  ή  , τότε
η ευθεία 0xx  λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
f.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: η ευθεία 0xx  ,αν ένα τουλάχιστον από τα όρια
)(lim
0
xf
xx 
,
)(lim
0
xf
xx 
είναι  ή  .

44
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: κατακόρυφη ασύμπτωτη
ΣΧΟΛΙΟ: Ακολουθεί ο ορισμός 63 που αναλύεται πανομοιότυπα με τον 62.
Η ευθεία βxλy  λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο  ,
αντιστοίχως στο  , αν
0)]()([lim 

βxλxf
x ,
αντιστοίχως
0)]()([lim 

βxλxf
x .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ : Η ευθεία βxλy  λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: ασύμπτωτη

45
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή
παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη
στο Δ και ισχύει
)()( xfxF  , για κάθε Δx .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: παράγουσα
ΟΡΙΖΩΝ: )()( xfxF  για κάθε Δx
(ε1) ↔ (ε2): κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ καλείται
παράγουσα της f στο Δ ↔ )()( xfxF  για κάθε Δx
Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ
ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ, συμβολίζεται  dxxf )( και
διαβάζεται “ολοκλήρωμα εφ του x ντε x”. Δηλαδή,   cxFdxxf )()( , c
,όπου F μια παράγουσα της f στο Δ.
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ’ ένα
διάστημα Δ
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ

46
ΣΧΟΛΙΟ: ο ορισμός του αόριστου ολοκληρώματος δίνεται τελείως
περιγραφικά ,οι συγγραφείς δεν δίνουν την απαραίτητη σημασία σε μια
θεμελιώδη έννοια σαν αυτή του ολοκληρώματος ,σίγουρα θα έπρεπε να
βρίσκεται εντός λεζάντας και για το πώς προφέρετε ο συμβολισμός θα
έπρεπε να αφήσουν τους καθηγητές στα σχολεία να ασχοληθούν με αυτό και
όχι να μπαίνουν σε τόσο επουσιώδης λεπτομέρειες.
Διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μια
άγνωστη συνάρτηση )(xfy  και κάποιες από τις παραγώγους της ...,, yy  .
ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ: διαφορική εξίσωση
ΟΝΟΜΑ ΟΡΙΖΟΜΕΝΟΥ: διαφορική
ΟΡΙΖΩΝ: περιέχει τη μεταβλητή x, μια άγνωστη συνάρτηση )(xfy  και κάποιες
από τις παραγώγους της ...,, yy 
(ε1) ↔ (ε2): Μια εξίσωση λέγεται διαφορική ↔ περιέχει τη μεταβλητή x, μια
άγνωστη συνάρτηση )(xfy  και κάποιες από τις παραγώγους της ...,, yy 
ΣΧΟΛΙΟ: οι ορισμοί 68 και 69 αναλύονται πανομοιότυπα με τον 67.

47
Συμπεράσματα
Συμπερασματικά, στο βιβλίο μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής
κατεύθυνσης γ τάξης ενιαίου λυκείου, υπό την συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης
Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος,
Παπασταυρίδης Σταύρος και Πολύζος Γεώργιος, βρέθηκαν και αναλύθηκαν 69
ορισμοί εκ των οποίων οι 33(47,8%) βρίσκονταν εντός λεζάντας οι 36 (52,2%)εκτός,
40(58%) από αυτούς αναγνωριστήκαν σαν πλήρεις ορισμοί, 24(34,7%) σαν απλοί
ονοματισμοί και 5(7,3%) από αυτούς αναγνωρίστηκαν σαν πλήρεις έχοντας
επιπλέον την ιδιότητα του περιγραφικού ορισμού που περιγράψαμε στην
εισαγωγή. Επίσης βρέθηκαν 6(8,7%) νεολογισμοί οριζομένων και 63(91,3%) δάνεια
από τη φυσική γλώσσα.
Όσο αναφορά την γλωσσολογική ανάλυση οι ορισμοί βρίσκονται ως επί το
πλείστον στο επιμαθηματικό επίπεδο(άλλωστε αυτό προκύπτει και από τη φύση
τους) και εμπεριέχουν μαθηματικές αποφάνσεις, σε ελάχιστους από αυτούς
παρατηρήθηκαν φράσεις στο περιμαθηματικό επίπεδο, κυρίως στους
περιγραφικούς. Σε γενικές γραμμές παρατηρήθηκε μείγμα των γλωσσολογικών
επιπέδων προκειμένου ο αναγνώστης να μπορεί πιο εύκολα να διεισδύσει στις
μαθηματικές έννοιες που ορίζονται, όμως παρατηρήθηκε επίσης σχεδόν ανυπαρξία
ποσοδείξεων καθολικών και υπαρξιακών ,όπου αυτές εμφανίζονται δίνονται μόνο
με εκφραστικά μέσα και όχι με συμβολισμό .Ένα ακόμα ατυχές φαινόμενο είναι η
επαναλαμβανόμενη εμφάνιση του χρονικού συνδέσμου ‘’όταν’’ στη θέση του
σωστού υποθετικού συνδέσμου ‘’αν’’ που θα μπορούσε να οδηγήσει σε πλήρη
επαναδιατύπωση αρκετούς από τους ορισμούς που τον εμπεριέχουν.
Επισημάνθηκε επίσης πλήρης ανυπαρξία τυπικής μαθηματικής γλώσσας.Αξίζει να
γίνει ειδική αναφορά στους ορισμούς του ορισμένου ολοκληρώματος,της
αντίστροφης συνάρτησης και του μιγαδικού αριθμού οι οποίοι είναι οι τρείς
χειρότερα διατυπωμένοι ορισμοί σε ολο το βιβλίο,παρατηρεί κανείς ότι οι τρείς
έννοιες είναι νευραλγικές όσο αναφορά το πεδίο των μαθηματικών,οι συγγραφείς
θα έπρεπε να έχουν πράξει καλύτερα,τουλάχιστον προχειροδουλειά θα μπορούσε
να χαρακτηρίσει κανείς την έκθεση αυτών των εννοιών μέσα στο συγκεκριμένο
σύγγραμα.
Επίλογος
Έχει παρατηρηθεί από πολλούς πριν από εμάς,οφείλουμε όμως και εμείς με τη
σειρά μας να πούμε πόσο επικίνδυνα έχει χαλαρώσει η επίβλεψη όλων των
σχολικών βιβλίων και πόσο μάλλον αυτών των μαθηματικών.Μπορεί να είναι μια
προαποφασισμένη διαδικασία,μπορεί όμως να αποτελεί και εγκληματική αμέλεια
των στελεχών του παιδαγωγικού ινστιτούτου,που είναι υπεύθυνο για την επίβλεψη
και τη διανομή των σχολικών βιβλίων και του διδακτικού επιπέδου στο οποίο
βρίσκονται.Καταλήγοντας από διδακτική σκοπιά αν το δει κανείς το βιβλίο που

48
αναλύσαμε είναι χαμηλού επιπέδου,τουλάχιστον αν το συγκρίνει κανείς με
παλαιότερα.Παρόλο που απευθύνεται σε μαθητές λυκείου ο τρόπος γραφής του
δεν ακολουθεί πιστά την καθαρότητα και την αυστηρότητα του μαθηματικού λόγου
ενώ θα μπορούσε και μάλιστα παρέχοντας πολύ περισσότερη αυτοπεποίθηση και
γνώση σε όλους αυτούς τους μαθητές στους οποίους απευθύνεται.Αν όλα αυτά
προέκυψαν από την ανάλυση μόνο των ορισμών του βιβλίου μπορεί κανείς να
φανταστεί τι θα γινόταν αν επεκταθεί σε όλα τα μέρη του μαθηματικού
λόγου,δεδομένου ότι κάποια από αυτά έχουν ήδη αρχίσει να εξαφανίζονται από τα
σχολικά βιβλία,π.χ η έκθεση και ο διορισμός.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Φυσικές γλώσσες και μαθηματικός λόγος,Ευτύχης
Παπαδοπετράκης,εκδόσεις ΠανεπιστημίουΠατρών.

ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ

Semelhante a ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ (19)

ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ