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CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume I 
Estruturas Isostaticas
O (lum de Análise Estnitural compreende os volumes: 
1 - Estruturas isostáticag 
11 - Deformações em estruturas Mbtodo das...
l? Edição -dezembro de 1975 
2? Edição - juiho de 1977 
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Sumário 
CAmULO I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1 - Domínio de estudo da Análise Estmtunl 1 
2 - As grandezas fundzmentais: Fo...
CAPITULO U - ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 
1 - As equações fundamentais da Estática 48 
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1 - Estudo das grelhas isostáticas 275 
1.1 - Introdução 275 
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No final do capitulo, apresentanos as idiias básicas para a geração e o 
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Seja a viga biapoiada da Fig. 11-1, submetida ao carregamento indicado. 
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64 Curso de análise estrutural 
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  1. 1. ; (.w.g .- ~.,-i,>,:$@~, . . i,$z."" - . "'r:,. 2 2.p ..,. %. :r$* s,t+-.;: s ;e.:: r&: =-zri.i .~ ?,)a/;r@ . , :, 4< !:%I,.~.~$-.:! &A,S. ; ,* ,.
  2. 2. CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL Volume I Estruturas Isostaticas
  3. 3. O (lum de Análise Estnitural compreende os volumes: 1 - Estruturas isostáticag 11 - Deformações em estruturas Mbtodo das forças. 111 -Método das deformapes Processo de Cross. CIP-Brasil Cataiogação-na-konlc Câmara Brasileira do Livro, SP Siisseklnd, 306 Carlos, 1947- S963c Curso de análise estnitural/ José Carlos Siissekind. - v.1-3 6. ed. - Porto Alegre -Rio de Janeiro : Globo, 1981. v. ilust. (EnciolopMia tbcniui unfversal Globo) Bibiiogmííí. Conteiido: -v. 1. Estnitiuas isostáticar -2. Deforma-ções em estruturas. Método das forps. -3. Método das I deformaç6es Processo de Cross. 1. EstruturaçAnáüse. (Engenharia) I. Tftulo. U. Tftu- 10 :E strutu~asis ostáticar IU. Sene. hdloes parn catálogo slstedtim: 1. Análise estrutural : Engenharia 624.171 2. Estruturas: Análise: Engenhada 624.171 Enciclopédia Técnica Universal Globo JOSE CARLOS SUSSEKIND CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL Volume I Estruturas Isostáticas 6? Edição EOi IORA GLOBO Porto Alegre 0 Rio de Janeiro 1981
  4. 4. l? Edição -dezembro de 1975 2? Edição - juiho de 1977 3? Edição - março de 1979 4? Ediçáo -maio de 1979 S? Edlçáo - março de 1980 Capa: Ruben Hemann A primeira edição desta obra foi realizada em convênio com a Universidade de São Paulo Direitos exclusivos de edição, em língua portuguesa, da Editora Globo S A. Av. Getúlio Vagas, 1271 - 90000 P o r t o Alegre, RS Rua Sarg. Sllno Hollenbach, 350 - 21510 - Rio de Janeiro, R1 I Apresentacão A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da necessi-dade encontrada de um texto que nos servisse de'suporte para o ensino da Isosiática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que cresceu com o estímulo recebido da parte de diversos colegas de magistério, que se vèm deparando com o mesmo problema, e cuja concretização se tomou possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em editá-lo. O Curso de Análise Estmturd será dividido em três volumes, no primei-ro dos quais estudaremos os esforços nas estmturas isostáticas, ficando o es-tudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações em estru-turas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes últimos, incluiremos também o estudo de alguns tbpicos especiais, cujo conhecimento julgamos indi~pensável ao engenheiro civil. Na apresentação deste Curso, é dever de gratidão mencionar o nome do extraordinário professor que é o Dr. Domício Falcão Moreira e Silva, a quem devemos nossos conhecimentos de Mecãnica Racional e de Mecânica das Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério superior, I na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Agradecemos antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer comentários, sugestões ou críticas que nos venham a enviar através da Editora Globo, pois, a partir deles, estaremos em condições de tentar sempre melhorar este trabalho, no sentido de torná-lo cada vez mais útil ao nosso estu-dante - objetivo final de nossos esforços. Rio de Janeiro, 1Q de abril de 1974 José Carlos Sussekind
  5. 5. Sumário CAmULO I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 - Domínio de estudo da Análise Estmtunl 1 2 - As grandezas fundzmentais: Força e Momento 2 2.1 - Força 2 2.2 - Momento 3 2.2.1 - Propriedades do momento 4 2.2 1.1 - Momento de uma força em relaçáo a um ponto 4 2.2.1.2 - Momentos de uma força em relação a diversos pontos 5 2.2 1.3 - Momento de uma força em relação a um eua 6 2.2.1.4 - Momento constante de um sistema de duas forças paralelas, de mesmo módulo e sentidos opostos 9 2.3 - Redução de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico 10 3 - Condições de equilíbrio 10 3.1 - Casos particulares importantes 12 3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 12 3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 12 3.1.3 - Sistema de forças coplanares 14 4 - Graus de liberdade. Apoios. Estaticidade e Estabilidade 16 4.1 - Graus de liberdade 16 4.2 - Apoios 17 4.2.1 - Estruturas planas canegadas no próprio plano 18 4.2.2 - Cálculo das reaçóes de apoiÒ 20 4.3 - Estaticidade e Estabilidade 23 5 - Esforps simples 25 5.1 - Caso particular importante: estruturas planas canegadas no próprio plano 34 6 - Cargas 40 6.1 - Cargas mncentradas 41 6.2 - Cargas distribuídas 41 6.3 - Cargas-momento 45
  6. 6. CAPITULO U - ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 1 - As equações fundamentais da Estática 48 2 - Vigas biapoiadas 50 2.1 - Carga concentrada 50 2.2 - Carga uniformemente distribuída 53 2.3 - Carga triangular 55 2.4 - Carpa-momcnto 59 2.5 - Casa geral de carregamento 62 3 - Vigas engastadas e livres 67 4 - Vigas biapoiadas com balanços 69 5 - Vigas Gerber 73 5.L - Introdução 73 5.2 - Exemplos de decomposição 77 6 - Vigas inclinadas 79 6.1 - viga submetida a carregamento distribuído vertical 79 6.2 - Viga submetida a carregamento distribuído horizontal 81 6.3 - Viga submetida a carregamento distribuído perpendicular a scu eixo 82 7 - Problemas resolvidos 84 8 - F'roblemas propostos 98 9 - Solução dos pmblemas propostos 104 CAPfiULO 111 - ESTUDO DOS QUADROS ISOSTATICOS PLANOS 1 - Quadros simplm 110 1.1 - Quadro biapoiado 110 1.2 - Quadro engastado c livre 115 1.3 - Quadro triarticulado 117 1.4 - Quadro biapoiado, com articulação L tuante (ou escora) 121 2 - Quadros com banas cum 123 3 - Quadros compostos 130 3.1 - Introdução 130 3.2 - Exemplos de decoml,osiçáo 131 3.3 - Exemplos de resolução 135 4 - Estudo dos arcos triarticulados 140 4.1. - Estudo dos arcas triarticulados para carrwamanto vertical em função da viga de substituição 141 4.2 - Definição e determinação da linha de pressões 143 4.3 - Aplicações 146 6 - Problemas propostos 156 1 i 7 - Solução dos problemas pmpstos 170 2 - Cbdieação das treliças 192 2.1 - Qiianta à estatiçidde 192 2.2 - Quanta à lei de formação 195 3 - Método de Ritter 195 3.1 - As bases do método 195 3.2 - Exemplos de aplicação 198 3.3 - Resolução das treliças de altura constante em fun~ão da viga de substituição 202 3.3.1 - Treliça com uma diagonal por paiiiel 202 3.3.2 - Treliças com duas diagonais por painel (Vi@sH:ssler) 214 4 - Método de Cremona 220 4.1 - Introdução 220 4.2 - Apresentação do método 223 4.2.1 - Notacão das cargas e dos esforço? normais 223 4.2.2 - Roteiro do método 223 4.3 - Exemplos 226 5 - Treliças compostas 231 5.1 - Conceituação 231 5.2 - Método dc resoluqão 233 5.3 - Aplicaçóes 236 6 - Treliças complexas 241 6.1 - Conceituação 241 6.2 - Método geral de resolução das treliças complexas Método de Henneberg) 241 6.3 - Aplicações 246 7 - Treliças com cargas fora dos nó? 251 7.1 - Método de resolução 251 7.2 - Aplicações 253 8 - Intmdufão ao estudo das treliças espaciais 258 9 - Problemas propostos 263 10 - &l@o dos problemas PrOPOStOS 270
  7. 7. 1 - Estudo das grelhas isostáticas 275 1.1 - Introdução 275 1.2 - Definição 276 1.3 - Aplicações 279 1.4 - Vigas-balcão 286 2 - Estudo dos quadros espaciais isostáticos 289 3 - hohlcrnas propostos 292 4 - Solu@o dos pmblemaa prnposios 295 CAP~TULO VI - ESTUDO DAS CARGAS M6VEIS EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS I - lnhoduçáo 298 1.1 - Classificação das cargas que atuam nas estruturas 298 1.2 - Definivão das cargas móveis. Trons-tipo 299 1.3 - O pmblcma a resolver. Forma de resolução 300 2 - Linhas de influência 301 2.1 - Dcfinição 301 2.2 - Fascs dc resolução do problcma 302 2.3 - Obtenção dos efeitos, conhecidos o trem-tipo i. a linha dc influência 302 2.4 - Obtenção das linhas de influência para 2s estruturas isostáticas 304 2.4.1 - Viga engastada e livre 304 2.4.2 - Viga biapoiada 305 2.4.2.1 - Pesquisa dos valores máximos 311 2.4.3 - Viga biapoiada com balanços 320 2.4.4 - Vigas Gerber 325 2.4.5 - Sistemas triarticulados 328 2.4.5.1 - Tcnsões nos bordos das seçõçs 330 2.4.5.2 - Tensóes nos bordos dos encontros 332 2.4.6 - Treliyas 342 2.4.6.1 - Caso particular: treliças de altura constante 346 3 - Roblemas propostos 351 4 - solu@Q dos problemas pmpartos 357 Introdu-c ão ao primeiro volume O primeiro volume, em que fazemos o estudo estático das estruturas isostáticas, para cargas permmentes e móveis, foi dividido em seis capítulos, comentados a seguir. O primeiro capitulo (Conceitos Fundamentais) visa a fiwaçãodos cm ceitos de Mecãnica Racional que julgamos base imprescindível à boa com-preensão da Análise Estrutural; nele defkos as condições estáticas do equilíbrio, introduzimos as noções de vínculos, graus de liberdade e estati-cidade de uma estrutura e definimos os esforços simples que atum numa seção de uma estrutura. No segundo capítulo (Estudo das vigas isostáticas), apresentamos as equações diferenciais fundamentais de Estática, estudando a seguir, para os diversos tipos de carregamentos que podem ocorrer na prática, as vigas biapoiada, engastada e livre, biapoiada com balanços e Gerber. Durante este estudo, são apresentadas ao leitor, pouco a pouco, as idéias básicas para o traçado dos diagramas solicitantes, que ao fm deste capítulo, não deverá mais encontrar qualquer dificuldade neste setor. O terceiro capitulo aborda em detalhes os quadros isostáticos simples e compostos. Queremos chamar a atenção para a enorme importância deste estudo, pois, embora os quadros isostáticos ocorram com pequena incidência I na prática, seu perfeito conhecimento é absolutamente indispensável ao estudo das estruturas hiperestáticas. (Este é um problema com o qual nos deparamos, constantemente, no ensino de Hiperestáticq motivo pelo quaI demos uma grande ênfase ao tratamento dos quadros isostáticos em nosso Curso.) O quarto capitulo trata do estudo das treliças isostáticas planas (simples, compostas e complexas), sendo discutida sua lei de formação è apresentados seus dois grandes métodos de resolução (Ritter e Cremona). São feitas aplicações para os tipos usuais de treliças da prática. Entre eles, ênfase especial mereceu o caso das treliças cujo estudo pode ser feito recair no de uma viga de substituição (muito comuns em pontes).
  8. 8. No final do capitulo, apresentanos as idiias básicas para a geração e o estudo das treliças isostáticas no espaço, mostrando como obedecem às inesmasidéias básicas válidas para treliças planas. O quinto capítulo estuda os quadros isostáticos espaciais, recebendo ênfase maior o caso das grelhas. Este estudo não aparece, normalmente, nas obras clássicas sobre Estática, o que, a nosso ver, tem contribuído para criar quase que um tabu a respeito destas estruturas, que julgamos poder evitar começando a estudii-las paralelamente ao estudo das estruturas planas. Este procedimento vem sendo adota'do, com grande êxito, nas cadeiras de Análise Estrutural na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, o que nos levou à colocação do assunto no primeiro volume deste Curso. Finalmente, o sexto capítulo estuda os efeitos estáticos das cargas móveis atuantes nas estruturas isostáticas, através do processo das linhas de influência. O processo é aplicado para todos os tipos de estruturas isostáticas, obtendo-se as envoltórias necessárias ao projeto das pontes, viadutos, vigas de rolamento etc. Ao fun de cada capítulo apresentamos uma lista de problemas pro postos, cuja resolução é indispensável à sedimentação da teoria e exemplos apresentados durante a exposição de cada assunto e que representam a parcela de trabalho individual que cada leitor precisa realiia~paraa tingir um bom domínio da Isostática- base sólida e indispensável para o prossegui-mento no estudo da Análise Estmtural. Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradecimentos ao amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste volume, e aos demais amigos que, com suas sugestões, estímulo e ajuda no traçado das figu-ras, colaboraram para elaboração deste trabalho. Rio de Janeiro, 3 de Junho de 1974 CONCEITOS FUI NDAN 1 - DOMmIO DE ESTUDO DA ANÁLISE ESTRUTURAL A Anáiise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consis-tindo este estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus apoios, etc.). As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receher solicitações externas, abso~ê-Iaisn ternamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrar50 seu sistema estático equilibrante. As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três diien-sões. Três casos podem ocorrer: a) duas dimensões são pequenas em relação à terceira; h) uma dimensão é pequena em relação às outras duas; c) as três dimens8es são consideráveis. No l? caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a dimensão maior é o comprimento da peça, estando as duas outras dimensães nadas no plano a ele perpendicular (plano da seção transversal da peça). :ste caso, o estudo estático da peça, que será denominada barra, pode ser ito considerando-a unidimensional, isto é, considerando-a representada pelo u eixo (lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções trans-rsais). Uma barra será dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto ou INO. Conforme os eixos das diversas barras que compõem a estrutura este-m ou não contidos no mesmo plano, a estrutura será chamada estrutura ana ou espacial O 2P e o 39 casos são aqueles, respectivamente, das placas; das cascas uja espessura 6 pequena em presença da superfície da peça, superfície esta
  9. 9. 2 Curso de analise estrutural plana para as placas e curva para as cascas) e dos blocos (caso das barragens) e não serão abordados neste Ciifiau de Análise Estrutural; são estudados, a par-tir da teoria da Elasticidade, erri Cadeiras próprias (em nível & especialização ou pós-graduação, dependendo da Universidade). Nosso Curso de Análise Estrutural será, então, um curso da Análise Estni-tural das barras. A teoria que aqui desenvolveremos tem precisão excelen-te para barras cuja relação do comprimento para a altura seja superior a 10 : 1, apresentando precisáo ainda boa para relações até 5 : 1. Estas relações englobam a esmagadora maioria das barras da prática (Nos casos em que esta relação se torne inferior, a peça não mais poder6 ser classificada como barra, devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso.) 2 - AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS: FORÇA E MOMENTO' ..l - Força A noção de força é das mais intuitivas possfveis: podemos exercer uma força sobre um corpo por meio de um esforço muscular; uma locomotiva exerce força sobre os vagões que ela reboca; uma mola esticada exerce forças sobre as peças que fotam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, O corpo que exerce a força está em contato wm aquele sobre o qual ela é exer-cida - tratam-se, pois, de forças de contato. Há, também, forças que atum através do espaço, sem contato, chamadas, por esta razão, forças de ação à distância - são as forças devidas à existência de campos agindo sobre o corpo. É o caso das forças elhtricas, magnéticas, das forças de gravitação e, no caso da Terra, das forças devidas à gravidade (que são os pesos dos corpos). Estas últimas serão as mais importantes da Análise Estrutural, confme veremos em seu desenvolvimento. E wmum chamar-se b forças que aluam numa estrutura de cargas, denominação esta que manteremos em nosso Curso. As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por direçáo, sentido e intensidade. Sua unidade, no sistema MT*S, que é o adotado em Engenharia Estrutural, é a tonelada-força, cujo símbolo B t*, ou, mais simpmcadarnente, t.2 I Não é nosso objetivo, neste tbpiw, escrever um tratado sobre Estática Abstrata, já estudada nas Cadeiras de Mecânica Racional que antecedem àr de Análise Estrutural. Faremos, apenas, uma ~~apresentaqãoà ,n ossa maneira, dos conceitos basiws, a respeito dos quais, muitas vezes, o aluno que se inicia no estudo da Análise Estrutural apresenta dúvidas, mnforme tem demonstrado nossa experiência, bem como a de diversos colegas de magistério. Não confunair esre Ultimo com a unidade de massa do sistema MTS. Conceitos fundamentais 3 No caso mais geral, que é o das forças situadas no espaço, elas ficam de-fuiidas por um ponto de passagem e por suas componentes X, Y e Z segundo os eixos triortogonais x, y. z, a partir das quais podemos expressá-las pela igualdade 1.1 : Não nos deteremos no estudo das propriedades das forças, para as quais valem as propriedades dos vetores, já estudadas em Cálculo Vetorial. 2.2 - Momento Seja a barra da Fig. 1-1, suportada em Cpor um cutelo sem atrito e tendo um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja contrabalançar por um peso suspenso em L 4m 2m 1 Fig. 1-1 E fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fm de contrabalançar o efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C, deve ser inferior a 10 kg, por estar mais afastado de C do que este último; por tentativas, veríamos que seu valor deve ser de 5 kg. Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende do valor da força e também de sua distância ao ponto, sendo diretarnente pro-porcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma nandeza física, através da qual queiramos representar a tendência de rotação em torno de um ponto, provocada por uma força, esta grandeza deverá ser função da força e de sua distância ao ponto. Esta grandeza é o momento, que será defmido da maneira a seguir. + Chama-se mome$o de uma força F em relação a um ponto O ao produto vetorial do vetzr OM (sendo+M um ponto qualquer situado sobre a Iinlia de ação da força F) pela força F, conforme indica a Fig. 1-2. --t -t Temos: 5 = OMA F (1.2)
  10. 10. 4 Cuno de análise esbutural * Representaremos o vetor-momento m por um vetor com seta dupla (a fm de não confundi-lo com uma for-ça). Sua direção é perpendicular ao plano 5 que contém a reta-suporte da força F e o ponto 0; seu sentido é da-do, a ~aftird o sentidoba rotação do + L - & 3: / nveot omr eOsmMo p, aar ap joar tvire tdoor sFe notiud,o o d qau reo tdaá-çio da força F em tomo do ponto 0, 1 pela regra da mão direita, conforme indica a Fig. 1-2, fazendo a mão direi-ia girar no sentido desta rotação e obtendo-se o sentido do vetor-momen-to pela posição ocupada pelo polegar durante esta rotação (o polegar aponta para o lado em que está situada a seta dupla do veto~mom~to)mpu6- dulo é dado por I ml = i OMi IFlsen a = = Fd, isto 6, iqal ao produto do mó- dulo da força F pela menor distância do ponto O à sua linha de ação. A unidade de momento, no sistema Pig. 1-2 MT*S, é o mt (ou tm). 2.2.1 - Propriedades do momento Estudaremos, a seguir, algumas propriedades do momento, que conduzirão a conclusóes importantes no estudo da Análise Estrutural. 2.2.1.1 - O momento m' de uma força ?em r$ação a um ponto 0' é igual à soma vetoribdo momento da força F em relação ao ponto O com o momento de F, suposta aplicada em O, em relação ao ponto 0'. Conceitos fundamentais 5 A partir da definição de momento, temos: Como, a partir da Fig. 1-3, temos: -I-- O'A = 0'0 t OA, podemos escrever: ) +-I m3= (0'0 ~OA)AF=O 'OAF~G AF=iii to'Ci~? (1.9, ficando demonstrada nossa propriedade. + 2.2.1.2 - Os momentos de uma força F em relação a diversos pontos situados sobre um mesmo eixo têm projeção idêntica sobre este eixo. / v'' Pig. 1-4 -, Seja uma força F e um eixo r, definido pelos ponfps O e O', conforme indica a Fig. 1.4. Calculado o momento da força F em relação ao pon-to 0 , p odemos determinar sua projecão sobre a reta r, à qu~chamaremops Calculemos, agora, a projeção do momento m' da força F em relação ao ponto O', sobre a reta r. A partir da igualdade 1.3, podèmos escrever que:
  11. 11. 6 Cursa de anblise estrutural 4 + * proj, 2 = proj, %.+ proj, (O'OAF) = P + proj, (03F~) + + Ora, sabemos, pela definição de produto vetorii&que+O'O A F é um vetar perpendicular à ret.a. r e que, .p. ortanto, p..r oj,(O'OAF) = 0. Com isto temos: proj, m = proj, m' = proj, m" = . . . . . . . . . = p. * 2.2.1.3 - O momento iii de uma força F em relação a um ponto O pode ser representado por suas projeções M,, My e Mz na direção de 3 eixos cartesianos triortogonais, conforme indica a Fig. 1-5, a partir das quais pode ser definido pela igualdade L4: Z A As projeções M,, My e M, são cha- I madas momentos da força ?em rela- f:I, ] ção aos eixosx, y e z, respectivamente. uOm m eoimxoe nét,o ednet ãuom, au fmoarç ag reamnd reezlaaç eãmo ia- ? - nentemente escalar, cujo sinal 6 posi- I tivo ou negativo conforme a dupla seta I O --- - v /' 5, do momento resultante & tenha sua I ---L / projeção sobre o eixo acompanhando /Mx ou não seu sentido positivo, ou, o que / dá no mesmo, verificando, pela regra da máo direita, se a rotação da força Fig. 1-5 em torno do eixo di um momento no sentido positivo ou negativo do eixo. Levando.se em conta a pypriedade 2.2.1.2 deste tópico, podemos definir o momento de uma força F em relação a um eixo como sendo a projeçáõ, sobre esse eixo, do momento desta força em relação a qualquer ponto desse eixo. Observações: a) Calculemos o momento de uma força em relação a um eixo que lhe seja coplanar, conforme indica a Fig. 1-6: O momento )m desta forç~em+relação a um ponto genérico O deste eixo, send+o dado por & = OMA F, é perpendicular ao plano P definido pela força F e pelo eixo r. Sua projeção sobre r seráentão, nula. Podemos, pois, afirmar que o momento de uma força em relação a um eixo que lhe seja concorrente ou paralelo 6 nulo (nos dois casos a forqa e o eixo são coplanares). Esta propriedade seri de grande importância no nosso estudo. onceitos fundamentais Fig. I4 Fig. 1-7 b) O momento resultante de um sistema de forças coplanares em relação a qualquer ponto situado no plano destas forças será sempre perpendicular a este plano, pois, a partir da obse~açãoa nterior, imaginando ser este plano o.. que contém os eixos x e y, leríamos M, = My = O e o momento resultante m ficaria dado por % = M, k, sendo z o eixo perpendicular ao plano das forças, conforme indica a Fig. 1-7. Usaremos esta propriedade no estudo das estruturas planas, carregadas no próprio plano. c) O m6dulo do momento resultante de uma força em relação a um eixo pode ser obtido diretamente, sem ser necessário calcular o momento resul-tante para, após, achar sua componente na direçzo do eixo: Fig. 1-8 + * Seja calcular o momento+da forpa F em relação ao eixo z. A força F pode :r decomposta nas forças F, e F, indicadas na Fig. 1-8, a primeira paralela o eixo z e a segunda situada num plano P a ele perpendicular. A componente
  12. 12. 8 Curso de análise estrutural I FI,p or ser paralela a z. não+ d ari momeiito em relação a este eixo, sobrando apenas o da componente F2, cujo módulo é igual ao do momento desta força em relação ao p2nto O em que o eixo iiitercepta o plano P. O módulo do momento da foiça F em relaqáo ao eixo z será, então. igual a I M, I = F2d = = Fd sen a, sendo d a menor distância do suporte da força F ao eixo z, conforme indica a figura (no caso, o momento seri positivo, pela regra da mão direita). Podemos afirmar, então, que o módulo do momento de uma força em relação a um eixo é igual ao produto do módulo da força pela menor distincia entre a reta suporte da força e o eixo e pelo seno do ângulo formado pela força e o eixo: seu sinal é obtido pela regra da mão direita, definida anteriormente. A aplicação seguinte esclarecera. Ex. 11; Calcular os momentos M,, M, e Mz em relaçdo aos eixosx. yzz, da força F, de origem no poiito A(1, 4, O), direçáo e sentido do vetor A5 e cujo mbdulo, em toneladas. é igual ao módulo da distância AB. Verificar, a partir de sua definição. que o inoinento % da força3eni relação ao ponto O é dado por: -3 -, Pefa Fi&I-9,godemos ver que a força F pode ser expressa pela igualdade F = F, + F, + F,, em que cada uma destas últimas forças é paralela a um dos eixos coordenados. Calculemos os momentos de cada uma delas em relação aos eixos x, y e z. i Temos: Para a força Fl : Mx = O (F, 6 paralela a Ox) My = O (F, é concorrente com Oy) M, =-4XFi=-12mt Conceitos fundamentais 9 Para a força F, : M, = O (F2 é concorrente com Ox) My = O (F1 é paralela a Oy) M,=-lXF,=-4mt Para a força F,: M, = 4 X F, = 16 mt MY=-IXF,=-4mt M, = O (F3 B paralela a Oz) 4 Os momentos da força F em relação aos eixos x, y e z serão, então, por superposição de efeitos: C Mx=O+O+16=16mt My =O++-44-4mt M, =-12-4+O=-16mt +. -, Calculemos o momento m da força F em relação ao ponto 0: + ?+' Temos: F = (B - A) = 31 - 4j + 4k e então: valor este que já sabiamos a priori, a partir dos valores já calculados para Mx, My e M,. Obsem~o leitor a enorme simplicidade com que calculamos os momentos da força F em relação aos eixos x, y e z, trabalhando com suas componentes nas direçees dos 3 eixos coordenados (não foi necessário calcular menor distância entre+a reta AB e cada um dos eixos nem os senos dos ingulos form$os por F com cada um dos eixos, porque não trabalhamos diretamente com F). Tal procedimento deve ser sempre empregado, a fim de simplificar a resolução numérica dos problemas. 2.2.1.4 - Um sistema de duas forças paralelas, de mesmo módulo e sen-tidos opostos, conforme indicado na Fig. 1-10, tem a propriedade de possuir momento constante em relaqão a qualquer ponto do espaço, senão vejamos. -+ O momento das duas forpas F em ++. + = MM'A 2 independendo, portanto, F da posição de O. Dtzemos, neste caso, que as 2 forças formam um binirio, que é, conforme vimos, uin invariante em relar;ão a qualquer ponto do espa- 'o. Fig. 1-10 relaçãú ao ponto genérico O será da- o F ~O~O~:~=O~,~-O~AP= -.. .+
  13. 13. 10 Curso de análise estrutural 2.3 - Reduyão de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico Seja a força indicada lia Fig. 1-1 1.1, que qucremos reduzir ao ponto 0. isto 6. cujos efeitos em relação ao ponto O desejamos conliecer. Nada se alter+a, sob+o ponto de vista estatico, se acrescentarmos, no ponto 0. duas forças F e (- F), conforme indicado em 1-1 1.2. Analisando o esquemz indicado nesta figura, podemos encará-lo como constit2'do por uma força[ aplicada em O e pelo binário formado pelas forças (- F) aglica~eme F~ aplicada em A, que pode ser :.ubstituidz pelo momento m = OA A F, que se confunde com o momento da força F em relação ao ponto 0 , conforme indica 1-1 1.3. Podemos, então, afirmar que, para reduzir uin sistema de forças a um determinado ponto do espaço, basta transferir todas as forças para este ponto, acrescentandc, para cada uma delas, seu momento em relação a es-te ponto. -, Um sistema de forças 6, então, redutivel a uma resultante H e a um momento resultante %em relação a qualquer ponto O do espaço, nos casos mais gerais, iguais, respectivamente, à soma vetorial de todas as forças e à soma vetorial dos momentos de todas estas forças em relação ao ponto 0. A resultante simboliza a tendência de translação do sistema e o momento resultante, sua tendência de rotação em-relação a um eixo passando por 0. 3 - CONDIÇÓES DE EQUILíBRIO Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Como a tendência de translação é dada pela resultante -+ R das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer ponto, 6 dada pelo momento resu*lt ante % destas forças em relação a este ponto, basta que estes dois vetores R e sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio. A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, Conceitos fundamentais 11 submetido a um sistema de forqas, C que estas forças sattsfaçam às cquaq6es vetoriais: - -t em que R é a resultante das forças e seu momeiito resultante em relayão a qualquer ponto do espaço. Levando-se em conta que: r as 2 equações vetoriais de equilíbrio (1.5) podeni ser substituídas, cada uma delas, por trEs equações escalares de equilíürio, obtendo-se o grupo das seis equaçóes (I.6), que são as seis equações universais da Esthtica, regendo o equilibrio de um sistema de forças, o mais geral, no espaço. -i 3E IIcito afirmar que, se para um dado ponto O do espaço temos R = O e R = 0, as mesmas igualdades se repetirão para todos os demais, senão vejamos. Sejaum sistema de forças que, reduzido a uni ponto ü+ do espaço, nos forneceu uma resultante R e um momento resultante X, conforme indica a Pig. 1.12. Reduzindo es-tas solicitações p%,a o ponto O', teremos, por infi+uCncia de R, a aparecimento de uma O'OA R forçaR e de um momento dado por^^^^ aplicados em O'e, por influência do momen-to E, um momento adicional de Z em O' -+ (iá que uma carga-momento, por poder ser R substitulda por uni binário, é um invariante em relaqão a qualquer ponto do espae). No ponto 0' temos então, uma força R c um monicntoi(Z + %'A 2). Logo, scze O "morrem nu$s num dado ponto, t;irnb&ni o Serão par* todos os demais, iisscgrirando o 1:ig. 1-12
  14. 14. 12 Curso de análise estrutural 3.1 - Casos particulares importalites 3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço Seja o sistema de forças no espaço, concorrentes no ponto 0, indicado na Fig. 1-13, Seu equili%rio 6, conforme sabemos, ditado pelo grupo de equa- I ções (1.6). Por se tratarem de forças I concorrentes no ponto 0, as três ú1- timas equações do grupo, que simboli-zam o momento resultante nulo, de-generam em meras identidades (pois uma força não dá momento em relação / a um ponto situado sobre sua linha de / -I qão), perdendo, pois, sua expressão x~' Fn como equações. Tal caso será, então, regido apenas pelas equações que ca- Fig. 1-13 racterizam a resultante nula, ou seja, pelas equações (1.7). Observação: Este caso de sistema de forças ocorrerá no estudo do equili-brio dos 116s das treliças espaciais, conforme veremos no Cap. IV deste volume. 3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço Seja o sistema de forças paralelas no espaço indicado na Fig. 1-14, Por z serem todas as forças paralelas ao eixo I Oz, as equações C X = O, C Y = O e ZM, =O degeneram em identidades, pois não há componentes de forças :'1I 1-F 3 paralelas a um dos eixos coordenados nas direções dos dois demais, bem co- L - - - - + v mo não existe momento de uma força lh em relação a um /'O eixo que Lhe seja ' th paralelo. Permanecerão válidas, então, / X como equações, as indicadas no grupo (1.8). que regerão o equilíbrio de um kig. 1-14 sistema de forças paralelas ao eixo Oz. Conceitos fundamentais 13 Obse~açóes: a) A equação C Z = O pode ser substituida por uma terceira equação de somatóno de momentos nulo em relação a um 3P eixo r, situado sobre o plano xy, mas não-concorrente com estes 2 eixos em 0, conforme indica a Fig. 1-15, senão vejamos: Se temos CM, = EMy = 0, isto 1s garante que o sistema de forças ío apresenta um momento resultante em relação ao ponto O (pois CMx = = CMy = CM, = O). Um sistema de forças paralelas, que satisfaça a estas duas primeiras condições, poderia ser apenas redutível a uma resultante pas-sando por 0; para indicar que esta resultinte deve também ser nula, pode-mos empregar a equação CZ = O, j5 Fig. 1-15 discutida anteriormente, ou uma equa. qão de somat6rio de momentos nulo em relação a um em0 t não-concorrente com os eixos x e y em O. O gmpo de equações (1.9) ,poderia ser, então, empregado para estudo do equilíbrio deste sistema de forças. em ve7 do grupo (1.8): O equilíbrio de um sistema de forças paralelas no espaço pode ser estuda-do, então, a partir de três equações de somat6rio de momentos nulo em tela. ção a 3 eixos, não-concorrentes os três no mesmo ponto, nem paralelos os três entre si, e situados num plano perpendicular ao das forças (não existe obrigação de dois desses três eixos serem ortogonais, pois basta eles serem >ncorreutes num ponto e termos somat6rio de momentos nulo em relação a es, para podermos afirmar que o momento resultante é nulo em relação a ;se ponto, recaindo-se no raciocínio que introduziu o gmpo de equações 1.9). b) Este tipo de sistema de forças ser4 abordado em detalhe no estudo das grelhas, que se far5 no Cap. V deste volume.
  15. 15. 14 Curso de análise esrutural 3.1.3 - Sistema de forças coplanares Seja o sistema de forças situadas 110 plano xy indicado na Fig. 1-16, 't As equações ZZ =O, ZM, = O e 1 1 ,..).,:y tema de forças situado no plano xy I não possui componentes na direçáo Oz ZM, = O se transformam em meras I -, + identidades, pois sabemos que um sis- F1. , nein dá inoinentos em relação aos eixos O C - - - - - - - x ções as duas outras equações de pmje- I x e y, por lhe serem coplanares. Per- I maneceiii, então. válidas como equa- Fig. 1-16 ções Z X = O e ZY = O e aoutra equação de somatório de momentos nulo ZM, = O (que, no caso, coincidirá com Zmo = O, pois todos os momen-tos terão a direção 02). O grupo de equações (1.10) regerá, entáo, o equili-brio dos sistemas de forças coplanares: sendo Mo o momento de cada uma das forças em relação a um ponto O inteiramente arbitrário, situado no plano das forças. Observações: a) As duas equações de projeções Z X = O e Z Y = O podem ser substituídas por duas equaçdes de somatSrio de momentos nulo em relaqão a dois outros pontos 0' e O" do plano xy, desde que 0, O'e O" não sejam colineares, conforme indica a Fig. 1-17; ou por uma equação de somatório de momentos nulo em relação ao ponto 0' e outra de somatório de projeções nulo segundo um eixo t que não seja perpendicular a OO', conforme indica a Fig. 1-18: Fig. 1-17 ng. 1-18 Conceitos fundamentais 15 De fato, se temos Mo = O e Mo, = 0, isto quer dizer que a única possibi-lidade do sistema de forças não estar em equilíbrio seria a dele ser redutível a uma resultante cuja linha de ação fosse 00'; para amarrar o valor nulo dessa resultante, podemos empregar ou uma equação de somatório de momen-tos nulo emrelação a uin ponto0': situado fora da reta OO', ou uma equação de somat6rio de projeções nulo em relação a um eixo t que não seja per-pendicular à reta 00'. Sendo assim, as equações do grupo (1.1 1) (referindo-se ao esquema da Fig. 1-17) e do grupo (1.12) (referindo-se ao da Fig. 1-18) podem, tambéin, ser empregadas para reger o equilibrio dos sistemas de forças coplanares: C ZMo = O ZMo = O EMO' = o (I. 12) ZMo,v = O ZT = O b) O caso de sistema de forças coplanares é o mais frequente na Análise Estmtural, pois a grande maioria das estruturas que se nos apresentam são estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu próprio plano. c) Abordaremos, agora, dois casos particulares dos sistemas de forças wplanares, que são o caso de todas as forças serem concorrentes num mesmo ponto 0 , conforme indica a Fig. 1-19, e o de todas as forças serem paralelas entre si, conforme indica a Fig. 1-20. Fig. 1-19 Fig. 1-20 Para o caso da Fig. 1-19. em que todas as forças passam pelo ponto 0, a luação EMo = O perde, evidentemente, a expressão, transformando-se nu- -ia identidade. Permanecem apenas, então, as duas equações de projeções ZX = O e Z Y = O que regerão, pois, o equilibrio de um sistema de forças ~planarese concorrentes num mesmo ponto (este será o caso do estudo do equilíbrio dos nós de uma treliça plana, conforme veremos no Cap. IV :ste volume).
  16. 16. 1 16 Curso de análise esbutural Para o caso ,da Fig. 1-20, em que todas as forqas sao paralelas ao eixo Oy, perde a e>tpressão a equação Z X = O que se transforma em mera identi-dade, permanecendo válidas como equações Z:Y = O e ZMo = 0, que rege-rão o equilíbrio de um sistema de forças paralelas e coplanares. A equação Z Y = O pode ser substituída por uma equação de somatório de momenCos nulo em relação a um 2P ponto O', desde que a reta 00' não seja paralela à direção das forças (pois, caso o fosse, restaria a possibilidade do sistema ser redutível a unia resultante passando por esta reta). O caso de um sistema de forças paralelas no plano ocorre no estudo das vigas, que será feito, em detalhe, no Cap. I1 deste volume. I Resumindo:- um sistema de forças coplanares e concorrentes é regido pe-lo grupo de equações (L13), a seguir: I! L - um sistema de forças coplanares e paralelas 6 regido por um dos dois grupos de equações (1.14 ou I.15), a partir do esquema da Fig. 1-20: 4 - GRAUS DE LIBERDADE. APOIOS. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 4.1 - Graus de liberdade Já sabemos que a ação estitica de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado ponto, &.igual a de sua resultante e $ de seu momento resultante em relação àquele ponto; provocando, a primeira, uma tendência de translação e, o segundo, uma tendência de rotação. Como, no espaço, uma iranslação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogo-nais e, uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em torno de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 caos triorto-gonais). * 6 evidente que- estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fm de ser possi-vel seu equilíbrio. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que Conceitos fundamenta* 17 5les impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de cargas e reações um sistema de forças em equllibrio, e regidas, portanto, pelos caupos de equações deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de sistemas de forças que podem ocorrer na prática. 4.2 - Apoios A função dos apoios, conforme vimos em 4.1,B a de restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isto reações nas direções dos movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de graus de liberdade permitidos (ou do número de movimentos impedidos), po-dendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, podendo permitir 5,4,3,2, 1 ou nenhum grau de liberdade). Os exemplos seguintes esclarecerão. a) Seja o apoio representado na Fig. 1-21, em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O único movimento que ela será capaz de Unpedir é a translação na direção vertical Oz, aparecendo com isto uma reação R, agindo sobre a estrutura, conforme indica a Fig. 1-21. O apoio será dito, então, um apoio com 5 graus de liberdade (ou wm I movimento impedido). b) Seja, agora, o apoio aa Fig. 1-22. constituído por très esferas ligadas ?ntre si por três hastes, de modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam
  17. 17. 18 Curso de analise estrutural impedidas, no caso. além da translação na direção i. as rotações em torno dos eixos .v e y, O apoio será dito, então. um apoio com 3 graus de liberdade (que são. no caso, a rotação em torno do eixo Oi e as translações nas direções dos eixos 0.i e Oj,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo sobre a estrutura, as reaçóes M,, My e R, indicadas na figura. C) O esquema da Fig. 1-23 representa a ligação rígida entre a estrutura e seu apoio, de dimensões tão maiores que as da estrutura, que podem ser consi-deradas infinitas em presença daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos os movii~~eiitopso ssíveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou coni todos os movin~entos impedidos). Correspondendo a cada um dos movi-mentos impedidos. aparecem, agindo sobre a estrutura, as reaçóes R,, Ry. R,, M,. M, e iZ1, indicadas na figura. Este tipo de apoio é chamado engaste. Fig. 1-23 4.2.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano. Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o mais frequente da Análise Estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater, senão vejamos. Supondo a estrutura situada no pla-no xy, conforme indica a Fig. 1-24, os -graus de liberdade a combater são as -- translaçóes nas direçóes Ox e Oy e a + Fq rotação em torno de um eixo perpen- L-- --- dicular ao plano (no caso, Oz), pois o estas são as iinicas tendências de movi- mento capazes de serem produzidas t'ig. 1-24 pelo sistema de forças indicado. Conceitos fundamentais 19 são os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: a) Apoio do 1P gênero ou charrioi . que Rei 1-25.1 1-25.2 1-25.3 pel: .~.. Fig. 1-25 O apoio do 1P genero pode ser obtido por uma das duas formas represen-tadas nas Figs. 1-25.1 e 1-25.2; na primeira, temos a estratura apoiada so-bre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamen& na direção y, permitindo livre rotação em torno dele, assim como livre deslocamento na direção x; na segunda, a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a translação, na direção x, pelos rolos diretamente em contato com o plano : serve de apoio, continuando impedido o deslocamento na direção y. ?resentaremos esquematicamente, em nosso Curso, o apoio do 1P gênero a forma indicada na Fig. 1-25.3. Na direção do iinfco movimento impedido, aparecerá uma reação de apoio R, conforme indica 1-25.3. b) Apoio do 2P gênero, articulação ou rótula x Pino 4 V A v Se, no apoio da Fig. 1-25.2, substituirmos os rolos por uma chapa presa completamente ao plano-suporte. conforme indica 1-26.1. estaremos impedin-do todas as translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotaçáo, assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2P gênero. Ele será representado esquematicamente, em nosso Curso, por uma
  18. 18. 20 Curro de análise estrutural das 2 formas indicadas em 1-26.2 e 1-26.3. Na direção das translações impe-didas, aparecerão as reações H e V indicadas na figura, cuja composição vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do ZP gênero. Observaçáo: Não somos obrigados a decompor a reação de apoio resul-tante em direções ortogonais4, conforme fizemos na Fig. 1-26; podemos decompô-la em duas direções quaisquer (não-paralelas, evidentemente), a partir das quais obteremos a reação resultante. Escolheremos sempre o ca-minho que mais simplifique o cálculo das reações de apoio. c) Apoio do 3P gênero ou engaste 4 Y Estrutura Engaste _C H& t v 1-27.1 1-27.2 Pig. 1-27 Se ancorarmos a estruma num bloco de dimensões que possam ser consideradas infmitas em presença das dimensões da estrutura, conforme indica a Fig. 1-27.1, na seção de contato entre ambos o bloco estará impe-dido, por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura e dizemos então que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado, es-quematicamente, da forma indicada em 1-27.2, aparecendo, na direção de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações de apoio H, V e M indicadas. 4.2.2 - Cálculo das reações de apoio Definidos os apoios, o cálculo de suas reações B imediato, pois elas são forças (ou momentos) de ponto de aplicação e direção conhecidas e tais que equilibrem as cargas aplicadas à estrutura. Serão calculadas, então, a partir das equapões de equilíbrio instituidas no item 3 deste capitulo. Os exemplos seguintes esclarecem. %er explicação para esta observação no item 4.1 do Cap. iil. I I Ex. I .Z - Calcular as reaçóes de apoio para a estrutura da Fig. 1-28. Aplicando nos apoios do 29 gênero A e do 1P gênero D suas reações, nas direções que já conhecemos, e arbitrando para elas um sentido, conforme indica a Fig. 1-29, teremos, a partir das equações de equilíbrio 1.10, que :em o equilíbrio de um sistema de forças coplanares: -A Fig. 1-29 Por EMA = 0: 8Vo + 8 - 6 X 4 - 4 X 6 = 0 :. VD = 5t Por XY = O: VA + VD = 6 :. VA = I3 Por ZX= O: H* = 4t Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para forças. Caso tivéssemos encontrado algum sinal negativo, isto quereria dizer ie o módulo da reação seria o encontrado, e o sentido correto o inverso do bitrado, não sendo necessário refazer qualquer cálculo.
  19. 19. 22 Curso de análise estrutural Ex. L3 - Calcula1 as reações de apoio no engaste A da estrutura espacial da Fie. 1-30. cujas bairas formam, em todos os nós, ângulos de 90". k-3m4 Fig. 1-30 Como um engaste impede todos os movimentos possíveis, nele aparecerão as reações de apoio indicadas na Fig. 1-31, que serão calculadas a partir do grupo de equações 1.6 que regem o equilibno de um s~stema de forças no espaçr Teremos: Por XX = O : XA= It Por I! Y = O: YA = -1 t Por XZ = O : ZA = -1 t Por ZM,=O: (Mx)~+2X4-4X3+5X3-3X4=0 .'. .'. (M,)A = 1 mt Por ZM,, = O: - 1 X 4 + 5 X 2 = O :. (My)~ = -6 mt por XM, = O: @I,),, + I x 3 - 3 X 2 = 0 :. (MZ)a = 3 mt nceims fundamentais 23 As reaçóes de apoio no engaste A são, entao, as indicadas na I'ig. 1-33. Itk' I,, "Y A Fig. 1-32 Ohselvações: a) Não exercitaremos mais profundamente, agora, o cálculo das reaçóes de apoio porque este assunto será retomado, ao longo de todo este volume, para cada um dos tipos estruturais que estudareinos. b) Os apoios sZo os vínculos externos da estrutura, isto é, seus vínculos em relação a seus suportes (solo ou outra estrutura). Podem existir. também. vínculos internos nas estruturas; preferimos não apresentá-los já. a fim de não confundir o leitor principiante com um excesso de conceitos tiovos, deixando para defini-los nos próximos capítulos, quando aparecerão de Iòrma espontãnea. 4.3 - Estaticidade e Estabilidade Acabamos de ver que a função dos apoios 6 limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: a) Os apoios sáo em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso. o número de reações de apoio a determinar B igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número de equaçóes), chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema. (Foi o caso dos exemplos L2 e 1.3 anteriores.) Diremos, entáo, que a estmtura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. b) Os apoios sdo em número inferior ao necessário para impedir todos os ~vimentos possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, che-gando- se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, entáo, instável. (Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liherdade que os apoios não forem capazes de impedir; será, entao, um
  20. 20. 24 CUM de an&lise estrutural caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a Sua mim). As estrut~~rahisp ostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. c) Os apoios sáo em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações univenais da Estática não serão, então, suficientes para a determinação das reaçóes de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformaçóes, conforme veremos no Vol. I1 deste Curso. A estrutura seri dita hiierestática, continuando o equilibrio a ser estável (aliás, poderíamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilibrio é mais que estável). ObservaçBes: a) A partir do exposto neste item, pode o leitor ser tentado a estabelecer o seguinte critério para classificar uma estrutura (sem vínculos internos) como externamente5 isostática, hipostática ou hiperestática: contar o número de apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de graus de liberdade da estrutura. Este critério 6 perfeito no caso das estruturas hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas, fornece apenas uma condição necessária, mas não suficiente, conforme esclarecem os exemplos das Figs. 1-33 e 1-34. No caso da estrutura plana da Fig. I33 que, como tal, possui três graus de liberdade, temos um apoio do 20 gênero e um apoio do l'? gênero, dando um total de três reaçóes de apoio a determinar. Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática, fato que não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede translaçóes nas direçóes Ax e Ay e o apoio B translação também na 'A rzão desta palavra "externamente" será vista quando estudarmos, no VOl. I1 deste Curso, a determinação do grau hiperestático de uma estrutura Conceitos fundamentais 25 direção Ax. A rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, então, hipostdtica (embora aparentemente isostática). Analogamente, a estrutura plana da Fig. 1-34 é aparentemente hiperestá-tica, pois temos três graus de liberdade para cinco reaçóes de apoio a erminar. Entretanto, 6 fácil ver que nenhum dos apoios impede a islação na direção ABCDE; com isto, a estrutura é hipostática (embora rentemente hiperestática). Portanto, para classificar uma estrutura (sem vindos internos) como externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o número de reaçóes de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura; 6 necessário nos certificarmos também que os apoios restringem, de fato, ,dos os graus de liberdade da estrutura em questão (com isto 6 que oderemos afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hipostática). kte assunto será retomado ao longo deste volume, no estudo dos diversos pos estruturais que serão abordados. b) As estruturas isostáticas serão estudadas neste volume, ficando o studo da Hiperestática para os Vols. I1 e 111 deste Curso. 5 - ESFORÇOS SIMPLES Já vimos como um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra seu equilfino através das reaçóes de apoio que provocam. Vejamos, agora, quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma das seçóes do corpo. Para tal, consideremos o corpo representado na Fig. 1-35, submetido ao Wnjunto de forças em equilibrio indicadas (não importa quais são as forças aplicadas e quais as reaçóes de apoio; importa, sim, que elas wnstituam
  21. 21. um todo em equilibrio). Seccionemos o corpo por um plano P, que o intercepta segundo uma seção S, dividindo-o nas duas partes @ e @ indicadas nas Figs. 1-36.1 e 1-36.2. 1-36.1 1-36.2 Pig. 1-36 Para ser possível esta diviso, preservando o equilibrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seçáo S da parte 0,um s istema estático equi-valente ao das forças que ficaram na parte da direita -já que estas iiltimas podem ser encaradas como sendo as forças tais que equilibram as forças situadas na parte da esquerda, pois o conjunto de forças da esquerda e da direita está em equilíbrio - e, analogamente, na seção S da parte @, um sistema estático equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estdticos equivalentes são obtidos, evidentemente, reduzindo as forças à esquerda e à direita da sego S a um ponto qualquer situado nesta seçáo S. Este ponto, pelas raz8es que ficarão claras quando do estudo da Resistência dos Materiais, será sempre o centro de gravidade G da seção. Assim, teremos, reduzindo as forcas situadas na parte @ ao cytro de gravidade G da seção S da parte 0,o apa recimento da resultante R destas forças e de seu momento resultante ?I em relação ao ponto G. Reduzindo as forças situadas na parte @ ao c~trode gravidade G da seçãõ S da parte D, obteremos uma resultante R e um momento resultante de mesmo módulo e sentidos opostos aos encontrados pela redução &sforça+ situadas na parte @ ao ponto G, o que 6 evidente, pois, no I? caso, R um sistema estático equivalente às forças existentes na 20 caso, um sistema equivalente às forças existentes na parte Q, que se equilibram, o mesmo acontecendo, então, com os vetores R e indicados em 1-36.1 e 1-36.2. -+ Resumindo, a resdtante R que atua na parte da esquerda foi obtida pelas forças da dieita, e viee-vem; o momento resultante % que atna na parte da esquerda foi obtido pelas fov da direita, e vicevena Conceitos fundamaiais n Podemos, então, dizer que uma seção S de umzorpo+ern equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de forças R e (-R) e a um par de momentos % e (-m), aplicados no seu centro de gravidade e resultantes da redução, a este centro de gravidade, das forças atuantes, respectivamente, à esquerda e à direita da seção S. Na Fig. 1-37 está feita esta represen-tação, respeitando-se os sentidos indi-cados na Fig. 1-36, para um elemento do corpo de comprimento infhitesimal que contém a seçáo S como seção transversal Fig. 1-37 Façamos um estudo detalhado dos efeitos estáticos provocados por R+ e na seção S. I I as sen for dic vet 1-38.1 1-38.2 Pig. 1-36 -+ Decompondo os vetores R e % em duas componentes,uma perpendiculac eção S (tendo, portanto, a direção do eixo da barra, que representaremos npregor x) e outra situadgno próprio plano da sego S, ob+temos as ças N (perpenAicular a S) e Q (pertencente a S) e osmomentos T (perpen-ular a S) e M (pertencente a S). Façamos a análise de cada um desses ores, aos quais chamaremos esforças simples atuantes na seção S. (Observafão: Pelo exposto, vemos que 6 indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção, entrando com as forças da parte A esquerda ou da parte à direita da seção. Na prática, usaremos as forças do lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo.) a) 3 Repysentando duas seçaes infmitamente próximas, a tendência das forças N será a de promover uma variação da distância que separa as seçdes, manecendo as mesmas paraleias uma à outra6, conforme indica a 6 O esiudo do valor desta vmiaçáo de distancia é feito na Resistência dos Mate~iais. I
  22. 22. 28 Curso de an8lise estrutural Fig. 139.2, Por acarretar, entãó, uma tendência de movimento da sego normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chamaremos a N de esforço normal atuante na seção. Podemos, então, definir esforço normal atuante numa seção como sendo a soma algébrica das componentes, na direção normal h seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção, O esforço normal ser8 positivo quando de traçáo (isto é, quando tender a afastar duas seçóes infiitamente próximas ou, em linguagem mais simples, quando estiver "saindo" da seçáo), sendo negativo em caso contrário (caso da compressáo). ObservaçZo: O sentido de esforço normal representado na Fig. 1-39 6 o positivo, isto 6, o de tnçáo. b) e Rep~sentando duas seçóes infiitamente próximas, a tendência das duas forças Q 6 a de promover um deslizamento relativo de uma em relação & outra, conforme indica+a Fig. 1-40.2, aparecendo, então, uma tendência de corte. Por esta razão, Q 6 chamada de esforço cortante. Conceitos fundamentais 29 NSo 6 usual, entretanto (por requerer uma soma vetorial), calcular direta-mente o esforço cortante atuante na sego; preferimos calcular suas compo-nentes Qy e Q, segundo 2 eixos ortogonais y e z arbitrários, situados no plano da seçáo, conforme indica a Fig. 1-41, pois que, para efetuar tal cAlculo, basta efetuar uma soma algarica de projeçóes, o que 6 bem mais cômodo que uma soma vetorial. Assim sendo, podemos defi esforço cortante atuante numa seçáo, na direçáo de um eixo pertencente a esta seção, como sendo igual à soma alg6brica das projeções das forças situadas de um dos lados da seçáo segundo a dueçáo deste eixo. Orientando os eixos y e z nos sentidos arbitrários indicados na Fig. 1-42 (o eixo x tem sempre a direçáo normal à seção), diremos que um esforço cortante Q,, ou Q, 6 positivo quando, calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seçáo, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, o que dá no mesmo, quando for caleuIado pelas forças situadas do lado direito da sego, tiver o sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, diremos que o esforço cortante 6 negativo. Defmmios, então, esforço cortante atuante nnma se@o como sendo ignal r3 sana vetorial das componentes, sobre O piano da sepio, das forças situadas de um dos iados desta seção.
  23. 23. 30 Cuim de analise estrutural A razão desta coiivenção de sinais ficará clara no desenvolvimento dos demais capítulos deste volunie, de modo que, por ora, não faremos maiores coineiitários sobre ela. ()bsrn,o@o: Note o leitor que os sinais obtidos para os esforços cor-tatites e,. e Q, são fuiição das sentidos que arbitramos para os eixosj e z. ~onhecidosQ ,, e Q... O esforço cortante resultante na seção é imediatamente obtido a do esquema da Fig. 1-41, c) T Representando duas seções mfmita-mente rbximas, a tendência do mo- mento $ 6 a de promover umarotaçáo relativa destas duas seções em torno de um eixo que hes é perpendicular, - &? passando pelo seu centro de gravidade T (exo x, portanto). Podemos dizer, em linguagem simplista, que o momento ? está torcendo a peça e ele 4, pois, denominado momento torçor atuante Fig. 143 na seçáo. Defuimios, então, momento torçor atuante numa seção S como sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo nomal a seção que contém o seu centro de gravidade. A convenção de sinais que adotaremos para o momento torçor 6 inteira-mente análoga i do esforço nomial. Diremos que um momento torçor € positivo quando o vetor de seta dupla que o representa está como que tracionando a seção em questão, sendo negativo em caso contrário (no caso da Fig. 1-43, o momento torçor indicado é positivo). d) X Reprzentando duas seções infinitamente próximas, a tendência do mo-mento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar uma rotaçáo da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano. Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos que O efeito de 2 pode ser assimilado ao do binário indicado na Fig. 1-44.2, que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então fletida, sendo, por isto, denominado $de momento fletor. ~nceitos fundamentais 31 Fig. 144 Definimos, então, como momento fletor atuante numa seção, à soma vetonal das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade. Náo é usual, entretanto, por requerer uma soma vetorial, calcular direta-mente o momento fletor atuante numa seção; preferimos calcular suas componentes My e M, segundo ,2 eixos ortogonais arbitrários (os mesmos idotados para o cálculo de Qy e Q,) y e r, situados no plano da seção, :onfonne indica a Fig. 1-45. pois que, >ara tal cálculo, basta efetuar uma z1 soma algébrica de valores, ao invés de uma soma vetorial. Cgnhecidos My e M,, a obtenção de M é imediata, a partir do esquema da Fig. 1-45, Assim sendo, definimos momento fletor atn-ante numa seçáo, na direção de um ceioxnot émpe rtoe ncseun tec ean terost ad ese çgãroa veid aqduee, @Ly como sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um Fig. 145 dos lados desta seção em relação a esse eixo. Para o momento fletor, desejamos sempre conhecer que fibras estão tracionadas e que fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto amado, por exemplo, sabemos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à traçáo). Náo terá, então, sentido físico algum estabelecemos uma convenção de sinais baseada em orientação dos eixos y e z, de modo que não agiremos desta forma, preferindo calcular o módulo do momento fletor, acrescendo-o da infor-mação de que fibras ele traciona (para obter que fibras da seção estão tracionadas pelo momento em questão, basta substitui-lo por um binário
  24. 24. de mesmo sentido que ele, ficando a parte tracionada defuiida pela força do binário que tiver o sentido de traçáo). Assim, para o caso da Fig. 1-45. o momento MI traciona as fibras do lado esquerdo da seção (em perspec-tiva, na Fig. 1-46.1, correspondendo as fibras da frente) e o momento My traciotia as fibras da parte superior, conforme se pode verificar pelo esquema I da Fie. 1-46.2. (As setas, nas fmras, indicam o sentido em que as fibras da seçáo , tendem a se deformar.) Resumindo, podemos dizer que, numa seção+atuam, no caso mais ger% quatro esforços simples: um esforço normal N, um esforço cortante Q (definido por suas componentes Q.,, e Qcsegundo 2 eixos ortogonais y e z pertenFes ao plano da seção), um momento torçor 7 e um momento fletor M (definido por suas componentes My e Mr segundo estes mesmos eixos y e z). Estes esforços simples são obtidos pelas forças atuantes de um dos lados da seção, trabalhando-se, em geral, com aquele que conduzir ao menor trabalho de cálnilo numérico. EX. 1.4 - Obter os esforços simples atuantes na se@ S indicada pm a estrutura da Fig. 1-47, cujas barras formam, em todos OS nós, ângulos de 90"- ~nceitosf undamentais 33 I Entrando, no caso, com as forças situadas à direita da seção (o que é muito mais simples, pois, se quiséssemos entrar com as forças da esquerda, teríamos que fazer o dado previ0 das reaçóes de apoio no engaste A), obtemos, reduzindo-as à seção S, os esforços indicados na Fig. 1-48. A partir do esquema da Fii. 1-48 temos, levando em conta as definiçóes e convenç6es de sinais dadas para esforços simples neste item, os esforços seguintes na sego S: . Esforço normal: N = -2 t (comprime a seção) Esforços cortantes: Qy = -1 t (calculado pelas forças da direita tem o mesmo sentido que o sentido positivo de OY) Q, = , 4 t (calculado pelas forças da direita tem sentido oposto ao sentido positivo Oz) Momento torçor: T = -12 mt (o vetor de dupla seta está como que "comprimindo" a seçáo) Momentos fletores: My = 8 mt, tracionando as fibras superiores M, = 8 mt, tracionando as fibras da frente. Qbsewações: a) A identificação das fibras tracionadas pelos momentos M, e M, 6 imediata a partir dos binários equivalentes indicados na Fig. 1-49 tas fibras tracionadas esttio hachuradas). 1-49.1 Pig. M9 i-49.2
  25. 25. 34 Curso de análise estrutural b) Pela composição vetorial de Q, com Q, e de M." com M, podemas obter o esforço cortante Q e o momento resultante -fletbr M resultantes atuantes na seção, que são iguais a: Não d usual, entretanto, fazermos este cálculo,pois trabal!Iamos diretamente com as componentes Qy, Q,, MY e M,, conforme se verá no Cap. V deste volume e no Vol. 11 deste Curso. C) Recomendamos ao leitor, como exercício, refazer o cálculo destes esforços simples entrando com as forças do lado esquerdo (que são as reaçòes de apoio iio engaste). Chegar-se$, evidentemente, aos mesmos resultados. d) Como os eáldos de esforços simples são feitos para o centro de gravidade das seçòes, representaremos daqui para a frente as estruturas compostas de barras pelo seu eixo (lugar geom6trico dos centros de gravidade das seçóes). I/ 5.1 - Caso particular importante: estmturas planas carregadas no próprio I/ 1 plano Seja a estrutura representada na Fig. 1-50.1, que admite um plano P de simetria, estando todas as cargas aplicadas nesse plano. I Destacando o traço da estrutura neste plano de simetria P, que contkn o eixo da estrutura, obtemos o esquema representado na Fig. 1-50.2, em que a linha tracejada representa o eixo da estrutura. Trata-se, então,' de um sistema de forças coplanares, caso partinilar de um sistema de forças Conceitos fundamentais I 35 1 no espaço. Os esforços simples sao, então, um caso particular do caso do 1 espaço e teremos, chamandoxy ao plano da estrutura, os seguintes esforços nulos: My = O, T = O (pois ambos seriam momentos das forças situadas 1 de um dos lados da seção em questão em relação a eixos situados no mesmo plano das forças, momentos estes nulos, conforme vimos em 2.2.13 - observação a) e Q, = O (po~sn ão há carregamento na direção 2). Sobram, então N, M, e Qy, que serão, respectivamente, o esforço normal, o momento fletor e o esforço cortante atuantes na seção em estudo. No I caso da estrutura plana carregada no próprio plano, o momento M, se confunde com o momento resultante M das forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade e 6 preferível representá-lo por uma curva que indica seu sentido de rotação, conforme mostra a Fig.1-51, ao invds de um vetor de dupla seta, puis a curva pertence ao plano das cargas, ao passo que o vetor de dupla seta seria a ele perpendicular, o que nos obrigaria a representar uma terceira dimensão perpendinilar ao plano. O momento fletor será defmido, como sempre, pelas fibras que está tracionando. O esforço cortante Qy se confunde, também, com o esforço cortante iultante na seção (pois Q, = O) e representá-lo-emos, entzo, por Q. Sua nvenção de sinais 6 a mewa do caso do espaço, mas, apenas para evitar grau de iiberdade na escolha da orientação dos eixos, orientaremos o :o y para cima7 (a direção x d sempre a do eixo da barra em estudo) e demos, então, dizer que o esforço cortante é positivo quando, calculado Ias forçds da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas rp da direita, for voltado para baixo. Quanto ao esforço normal, nada há a acrescentar, valendo tudo que foi dito no caso do espaço tridimensional. Na Fig. 1-51, representamos os esforços simples M, N, Q, que podem atuar numa seção S de uma estrutura plana. Notar que os esforços indicados como atuando na parte da direita (Fig. 1-51.2) foram calculados com as, I I "ver observaçáa h deste item.
  26. 26. 36 Cursa de análise esiruemutural forças existentes na parte da esquerda e vice-versa. No caso da Fig. 1-51. os esforços cortante e normal indicados são positivos e o momento fletor traciona as fibras de baixo, conforme mostra o esquema da Fig. 1-52, em que substituímos MS por um binário equivalente, indicado em pontilhado. Pig. 1-52 Resumindo, podemos def~da maneira seguinte os esforços simples atuantes numa seção de uma estrutura plana, carregada em seu próprio plano: - Esforço nonnal: L! a soma algébrica das projeç6e.s das forças atuantes de um dos lados da seção na direção do eixo da estmtura (direção normal à seção); - Esforço cortante: B a soma alg&rica das projeçóes das forças atuantes de um dos lados da seção na diieção perpendicular ao eixo da estrutura; - Momento fletor: é a soma alg6brica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em relação a seu centro de gravidade. As convenções de sinais para esforço nomal e esforço cortante já foram explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da infor-mação de que fibras da seção ele traciona. Observações: a) Muitos autores, a de eliminar a necessidade de se escrever, com palavras, que fibras da seção o momento fletor traciona, adotam para ele a seguinte convenção de sinais: Pontilhando um dos fados da estru-tura, conforme indica a Fig. 1-53, diie-l------ 1 l mos que o momento fletor é positivo quando traciona as fibras do lado pontilhado, sendo negativo em caso dmen steri rdioiz.e rE, amtrav éfso drme uam, c osimnaol ,s qe uvaêi,s I I são as fibras tracionadas pelo momento fletor e que nós adotaremos também. Fig. 1-53 No caso de todas as barras serem horizontais (caso das vigas, que estuda-remos no Cap. 11) suporemos sempre Concaitoa fundamentais 37 que o pontilhado esteja do iado de baixo, isto 6, suporemos positivo o momento fletor que tracionar as fibras inferiores da estmtnra.' Para as estruturas espaciais, não 6 interessante a adoção desses pontilhados, pois, devido ao fato de existirem momentos fletores em 2 planos distintos, seríamos obrigados a pontilhar 2 lados da estmtura, representação esta que, feita em perspectiva, poderia trazer o perigo de um entendimento errado no caso da perspectiva não ser suficientemente clara. Por esta razão d que, nas estmturas espaciais, preferimos dizer, com palavras, quais sáo as fibras tracionadas pelos momentos fletores. b) Na furaçffo da convenção de sinais de esforços cortantes, falamos em forças da esquerda, em forças da direita e em orientação do eixo perpen-dicular ao eixo da barra para cima. No caso de uma barra vertical, poderíamos ficar em dúvida quanto a esta classificação. Tal problema é, no entanto, facilmente solucionável, bastando que nós olhemos a barra por uma posição tal que ela fique horizontal (at6,no principio, caso o leitor tenha dificuldades, aconselhamos que ele gire o papel at6 tornar a barra horizontal), recaindo-se então na situação de defuiição. Seja, por exemplo, a estrutura da Fig. 1-54, submetida ao carregamento autoequilibrado indicado, para a qual desejamos determinar o esforço cortante em S. Olhando a barra na posição indicada pelo observador 0, a força P, aplicada em A, se comporta como força esquerda e o esforço cortante será P, para baixo, e igual, portanto, a QS = -P (cortante para baixo pelas forças da esquerda é negativo). Note o leitor que d inteiramente indiferente o lado pelo qual olhamos para a barra: se estivéssemos oihando-a na posição do observador O', a. força P aplicada em A seria uma força à direita e o cortante, para cima, calculado pelas forças A direita é negativo, com o que obteríamos o mesmo valor. 8 As razões para isto ficará0 claras a partu da dhs& dos iesultados daintegração equago diferencial d=M = -q, feita no Cap. ii deste volume. I ds
  27. 27. 38 Curso de análise estrutural Coiicluindo. para fins de obtenção de esforço cortante, devemos olhar cada uma das barras de uma posição tal que elas se comportem como horizontais, aplicando então a convenção de sinais já definida Ex. 1.5 Obter os esforços simples atuantes nas seçóes SI e S2 da estrutura da Fig. 1-55, submetida ao carregamento indicado. I Conceitos fundamentais Fig. 1-55 Para obtermos os esforços simples, necessitamos inicialmente calcular as reaçòes dk apoio, iudicadas na Fig. 1-55, A partir das equações de equilíbrio, temos: Por ZMA=O: 9X2+9X6-9Vg=O : Vg=Bt Por ZY = O : V,+VD=9 . V, = I t Por ZX = O : H~=9t (Os sinais positivos encontrados indicam que os sentidos arbitrados para as reações na Fig. 1-55 estão corretos.) Temos, então: a) seção SI Calculando pelas forças à esquerda, temos o esquema indicado na Fig. 1-56.1, a partir do qual, obtemos: Ns, = -1 t (compresGo) Qsi = 0 MsI = +IR mt (o sinal positivo indica que as fibras tracionadas são as do lado pontilhado, conforme indica a Fig. 1-56.2). 1x4 - 9x2=18mt 1-56.1 Pig. 1-56 lbservaffio: Os esforços poderiam também ser calculados pelas forças iireita, obtendo-se os mesmos valores, evidentemente, conforme indica ig. 1-57. Fig. 1-57 :alculando pelas torças à esquerda temos, conforme o esquema da 1-58:
  28. 28. 40 Curso de analise estrutural Ex. 1.6 - Calcular os esforços simples atuantes na seção S da estmtura da Fig. 1-59. +10 m + Fig. 1-59 Estando a estrutura submetida a um carregamento autoequilibrado, as reações de apoio são nulas (pois não 6 necessária força adicional alguma para equilibrar o carregamento atuante) e os esforços simples na seção S, calculados pelas forças à esquerda da sego valem, a partir do esquema da Fig. 1-60: Fig. 1-60 (Os'sentidos dos esforços indicados na Fig. 1-60 estáo corretos; os sinais são negativos em obediência às nossas convenções de sinais.) 1 Conceitos fundamentais 41 6.1 - Cargas concentradas Suponhamos uma roda de um caminhão descarregando uma reação P sobre uma ponte, conforme simboliza a Fig. 1-61. Esta reação P será descarregada ao longo da área de contato da roda com 1 a ponte, que é bastante pequena (ca-racterizada por o), mas não nula. Não haverá, então, a aplicação, rigorosa-mente falando, de uma carga concen-trada P na estmtura; haverá, sim, a aplicação de uma carga distribuída, mas segundo uma área tão pequena u a que podemos considerá-la nula em Fig. 1-41 nresença das dimensões da estmtura. As cargas concentradas ao, entáo, uma forma aproximada de tratar rgas distribuídas segundo áreas tão pequenas (em presença das dimensões da estmtura), que podem ser consideradas nulas. Neste caso, o erro cometido, por esta razão, 6 absolutamente desprovido de significado e, portanto, inteiramente tolerável, tendo em vista a simplificação de trabaiho de cálculo -"e ele possibilita. 6.2 - Cargas distninídas Ate agora, só lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos. Façamos, então, um estudo das diferentes leis de distribuição de cargas que podem ocorrer na Análise Estmtural. g~shidaremos neste item a classificaçáo das cargas apenas quanto B sua lei de distribuição. Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua owirência em relação ao tempo (cargas permanentes e cargas andentais), nem quanto à forma com que carregam as estruturas (cargas diretas e cargas induetas); este estudo será feito no Cap. VI deste volume. Suponhamos que a estmtura 0,indic ada na Fi. 1-62, supor4e o corpo @ indicado, cujo peso especifico é 7'. Este peso introduzirá, evidentemente, um carregamento na estmtura 0,carre gamento este distribuído e contínuo, ja taxa de distribuição vamos calcular. Fig. 1-42
  29. 29. 42 Curso de análise estrutural O volume do corpo que carrega um trecho de com 6 rimento ds da estrutura 6 ~dss,e ndo s a área da seção determinada em C por um plano perpen-dicular ao eixo da estrutura. O peso deste volume será: dP = ySds e a taxa de distribuição de carregamento q(s) ao longo do eixo da estrutura vale, entáo, q(s) =% = yS, conforme indica a Fig. M3, variando então proporcionalmente com a variaçáo do valor da área S. Fig. 163 Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são as cargas uniformemente distribuídas (S = constante) e as cargas triangulares (casos de empuxos de terra e de água,principalmente), indicadas na Fig. 1-64. MA1 -Orna uniformemente distribuída - u 164.2 - Carga triangular Pig. 1-64 Com menor frequéncia, ocorrem ainda carregamentos parab6licos e, em casos mais excepcionais, carregamentos de forma inteiramente aleat6ria. Os diversos tipos de cargas distribuídas serão estudados, em detalhe, no Cap. I1 deste volume. Um problema, no entanto, precisa ser resolvido desde já: o da determinação da resultante de um carregamento distribuído em módulo, direçáo e sentido, a fm de sermos capazes de calcular reaçÍ3es de apoio e esforços simples em estmturas submetidas a carregamentos distri-buídos. Sua soluçZo d simples, senáo vejamos. Como uma carga distribuída pode ser encarada wmo uma soma infinita de cargas concentradas infinitesimais, qds, conforme indica a Fig. 1-65, a resultante do car~egamento distripuido ser6 igual a: R =[ qds, Conceitos fundamentais 43 ou seja, será igual à área S2 Imitada entre a curva que detine a lei de variaçáo do carregamento e o eixo da estmtura. Fig. I45 Para obtermos a posição desta resultante, basta lembrarmos que, como ela 6 a força tal que d capaz de substituir estaticamente o carregamento distribuído atuante, ela deverá dar, em relação a qualquer ponto do espaço, -o .m esmo momento que o dasforças da qual ela 6 resultante. Assim, chamando s a distância da resultante a um ponto gendrico 0, temos: Momento da resultante = R: = X 1" qds =i B Soma dos momentos das I" componentes (qds)s qsds Igualando, obtemos: 7 = Pela expressão obtida para F, podemos encarar esta distância como sendo a razão entre o momento estático da área C2 em relação ao eixo z e o valor C2 desta área. Isto, a partir da defdçáo de centro de gravidade de uma área C21°, indica que S 6 a distância do centro de gravidade da área C2 ao eixo z e podemos escrever, ent%o, fmalmente, que a resultante de um carregamento distniuido é igual i área compreendida entre a linha que defuie este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, sendo seu ponto de apLicaçáo o centro de gravidade da referida ârea. ''ver em livros de Cálailo Integral, Mecânica Racional ou Resistência dos Materiais.
  30. 30. 44 Curso de an8lise estrutural Ex. 1.7 - Obter as reações de apoio para a estrutura da Fig. 1-66. G6m4 Fig. 1-66 Para obter as reações de apoio devemos, inicialmente, substituir as cargas distribuídas por suas resultantes (que produzem os mesmos efeitos estáticos que elas). Assim, temos, levando em conta as conclusóes obtidas para carregamento distribuído neste item, a partir do esquema da Fig. 1-67, as seguintes reaçóes de apoio: Por ZMA=O: 6V~tlX2-4X2-6X4=0:. VB=5t Por ZY = O : V~=6-Va=lt Por X = O : HA=~-1=3t (Os sinais positivos confirmam os sentidos arbitrados na Fig. 1-67,) Conceitos fundamentais 45 Ex. 1.8 - Obter os esforços simples atuantes na seção S da Fig. 1-66, Entrando, por exemplo, com as forças atuantes à esquerda da seção e ue se encontram indicadas na Fig. 1-68, obtemos, substituindo o carrega-lento distribuído atuante nesse trecho por sua resultante (que vale 2 t, i posição indicada): Fig. 1-66 Note o leitor que, para fins de determinação dos esforços simples atuantes numa seção, devemos substituir por sua resultante, apenas, as cargas distri-buídas atuantes de um dos lados da seção. Uma estrutura pode, alkn de estar solicitada por cargas-força (concen-tradas e ou distribuídas), estar solicitada por cargas-momento. As cargas-momento, cujo tratamento estático não apresenta dificuldade adicional alguma, ocorrem mais raramente como carregamento realmente atuante na estrutura, mas têm importância fundamental como ferramenta de resoiuçxo das estruturas hiperestáticas, conforme veremos nos volumes correspondentes de nosso Curso, de modo que dedica- M remos a elas a máxima ênfase neste volume. Uma carga-momento é, evi- 5 i dentemente, caracterizada pelo seu At módulo, direçzo, sentido e ponto de aplicação, conforme exemplifica o caso da Fig. 1-69, ~ig1.- 69
  31. 31. 46 Curso de anslise estrutural Ex. 1.9 - Obter as reaç6es de apoio para a estrutura da Fig. 1-70. 41,5m& 3m A-2m41.5mJF Fig. 1-70 -8md Pig. 1-71 Temos duas formas de encarar este problema. A primeira consiste na utilização pura e simples das equações da Estática, conduzindo, a partir do esquema da Fig. 1-71 aos seguintes resultados: Por CMA=O: 8Vgt7-3-8=O : VB=0,5t Por CY = O : V~=V~=0,5t Por CX = O : HA = O A outra forma - muito mais elegante - de encarar o problema é verificar que existe uma carga-momento resultante de (3 t 8 - 7) = 4mt, que só pode ser equilibrada por um binário de sentido oposto, formado pelas reações verticais, cujo% sentidos devem ser, então, os indicados na Fig. 1-71 e cujos módulos valem VA = V' = $ = 0,s t. Observações: a) Podem ocorrer, tambkn, cargas-momento distriiuídas; esta ocorrência é, no entanto, raríssima na Análise Estmtural das estruturas compostas por barras, cujo estudo estamos iniciando. Não daremos, pois, ênfase especial a tais cargas em nosso Curso (embora seu estudo não apresente dificuldade alguma, pois elas são regidas pelos memos princípios a que obedecem as demais). Conceitos fundamentais 47 b) Neste Cap. I, nosso objetivo foi o de apenas apresentar conceitos básicos, limitando a exemplificação ao número mínimo necessário à boa compreensão destes conceitos, cuja sedimentação se fará ao longo dos próximos capítulos, onde os assuntos aqui introduzidos serão estudados, em detalhe, para os diversos tipos estruturais que ocorrem na prática.
  32. 32. Seja a viga biapoiada da Fig. 11-1, submetida ao carregamento indicado. *xd t 'A +s& Fig. ü-1 Os esforços simples em S são dados por: Derivando as expressóes acima em relação à abscissa s que define a seção, obtemos, levando em conta que $ [sisq dx ] = s- :hs qdx *hs qdx = S~B+) hs qd; Estudo das vigas irostáticas 49 os valores: Em resumo, temos: Demonstramos, então, que a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que defme esta seção é igual ao esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relqão a esta abscissa 6 igual ao valor da taxa de carga aplicada na seçáo S com o sinal trocado. As igualdades (11.1) - '112) são as equaqoes fundamentais da Estdtica, pois nos permitem obter val seç dic esforços solicitantes nas diversas seçoes da viga em função do carrega-nto q(x) atuante. A partir de q(x) obteremos, então, as funçoes Ms e QS que nos dão os ores dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes em qualquer I ão da viga. Representando graficamente estas funções MS e QS perpen- I ularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes atuantes, que iremos agora estudar para os diversos tipos de carregamentos que ocorrem na prática. Observações: 1. A partir de 11.1, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. 2. A partir de 11.2, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seç5o S 6 igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com o sinal trocado.
  33. 33. 50 Curso de análise ertrutural Estudo das vigas isostáticas 51 3. Adotandoae como positivo o carregamento distribuído de cima para baixo (o que é usual), por integração das equações (11.1) e 01.2) obtemos que um esforço cortante é positivo quando, calculado pelas forps da esquerda, der para cima (ou, quando calculado pelas forças da direita,der para baixo) e que um momento fletor é positivo quando tracionar as fibras inferiores da viga. Tais sáo as convenções de sinais que adotaremos, embora dispensemos a colocação do sinal no diagrama de momentos fletores, como pleonástico, pois que o desenharemos sempre do lado das fibras por ele tncionadas. 4. Uma observação importante, sob o ponto de vista conceitual, 6 que, após carregada a viga, ela se deformará e os esforços estão sendo calculados para sua posição indeformada primitiva. Nosso estudo se baseia, então, nesta simplificação (de precisão excelente, pois as deformações das peças usuais são muito pequenas em presença. de suas diimensóes, conforme veremos no Vol. I1 deste Curso) e a Estática que estamos desenvolvendo é, pois, a Estática das pequenas deformações. 2 - VIGAS BIAPOIADAS 2.1 - Carga concentrada Seja a viga biapoiada da Fig. 112, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seção S. I @ Fig. '-2 I -Pa b I I I I I Das equações de equilibrio da Estgtica @Ma = O e riMg = O, por 1 exemplo), obtemos as equações de apoio indicadas em 11-2. Passemos ao traçado dos diagramas solicitantes. Por força de (11.1) e (ILZ), sabemos que, num trecho descarregado (q = O), o diagrama de esforços cortantes será uma reta horizontal (pois $ = -q) d2M I diagrama de momentos fletores uma reta (pois= = -q). Assim, no cho AS, bem como no trecho BS, o diagrama de momentos fletores será ~~~ilíneo. Como sabemos que em A e em B os momentos são nulos, bastará conhecer seu valor em S para termos defmido o diagramaM. Imediatamente, obtemos: Pab Ms =- I . Q sof nel Quanto ao diagrama de esforços cortantes, será dado no trecho AS por = + Va = -Pb e, no trecho SB, por Q = - Vg = - Na seçáo S, ele i 1 ' rerá uma descontinuidade igual a ($= P,v al-or da c+arga concenItrada) a aplicada, : Obsemções: a) O diagrania M possui um ponto anguloso em S, o que era de se esperar, pois, a partir de (II.l), temos que (ddsM)s eq = Qsesq e (dds)MS dir = Qsdir e, no caso, Qsesq Z QSdir. Na seção S, nZo se define esforço cortante; ele 6 defmido à esquerda e à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. Podemos afmar então que, sob uma carga concentrada, o diagrama de momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforços cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao dor desta carga. b) Calmlemos as integrais Qds. Temos: B, 0 que é evidente em face de 11.1. Os valores acima ilustram a obtenção do diagrama de momentos fletores a partir do diagrama de esforços cortantes. 1 A condi((*[ Qds = O permite a verificação do equilibrio da viga,
  34. 34. c) Caldemos os dores de tg a e tg a. Pb Temos: tg a =- I = Qea AS tgp = --P=a Q ttechoSE Os valores acima ilustram a obtenpo do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fletores. d) O caso de mais de uma carga concentrada seri resolvido de maneira inteiramente análoga ao caso de uma s6 carga concentrada, conforme esclareced o exemplo a seguir. Ex. U.1 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. 11-3. Pi 11-3 u -1lt Das equações da Estitica, obtemos as reaçBes de apoio: tudo das vigas iiwothicar 53 As ordenadas necessárias à determinaçáo do diama M são: Os esforços cortantes vaiem: Seja a viga biapoiada da Fig. 11-4, submetida a uma carga unifarmemente distribuída q.
  35. 35. ' 54 Curso de análise Wruiural Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos os seguintes esforços simples numa seção genérica S: O diagrama de esforços cortantes seri uma linha reta, que fica deter-minada pelos seus valores extremos, correspondentes a x = O e a x = 1, que ao: QA =$-e QB = -%. (Estes valores poderiam ser obtidos diieta-mente a partir das reações de apoio.) O diagrama de momentos fletores será dado por uma parábolado 20 grau, I passando por zero em A e B e passando por um máxmio2em x =T (seção I onde Q = % = O), de valor Mm& = 4: (3 - +) = % . Para obtenção dos valores de M numa seção gengrica, empregaremos a equação sendo WR = E - €2, (II.4) X onde E =- I A função WR, introduzida na Análise Estrutural pelos autores alemães, encontra-se tabelada na tabela I para seçóes nos 1/12 do vão. Observações: a) Temos LBQ & = O, o que veritica o equillbrio da viga. b) Sendo a taxa de carregamento constánte (grau zero), o diagrama de esforços cortantes 6 retilineo (grau um) e o de momentos fletores 6 para-bólico (grau 2), conforme ji sabiamos por (11.1) e (11.2). Podemos afmar, então, que, sob carga unifomemente diitribuída, o diagrama de momentos fletores é parabólico do 2P grau e o diagrama de esforços cortantes é retilineo. c) Apresentamos, na Fig.II-5, uma constniçáo geom6trica que nos dá excelente preciso no traçado do diagrama de momentos fletores. Sendo MM, = q12/8, marcamos MIM2 = MM,. Dividimos os segmentos AM2 e BM, em 4 partes iguais; obtemos os pontos I, 11, III, I', 11', e IIP, que, ligadas alternadamente, nos dão tangentes externas i parábola que 6 então facilmente obtida. Se quisermos aumentar nossa precisão, dividimos AM2 e BM2 em 8, 16, ... partes ao invés de 4, repetindo o mesmo tipo de traçado. Estudo dar vigas irostatioas Fig. 11-5 d) Um valor notivel no diagrama de momentos fletores é o valor para as yBes com E = 0,25 e e = 0,75, que 6: h usual, no caso de traçado de diagramas de moment? fletores com sgas uniformemente distribuídas, cotar apenas o valor $I f) Calculemos a inclinaeo do diagrama de esforços cortantes. --q l --ri r Temos tg a = = -q, conforme IL2. 1 2.3 - Carga tri@ Seja a viga biapoiada da Fig. II.6, submetida a uma carga triangular, de taxa máxima igual a p, no apoio da direita. Sendo as reações de apoio as indicadas na figura,temos os seguintes esforços simples numa seção genkrica S: 1 Ou, simplificando: I
  36. 36. 56 Cursa de analise estruiural O diagrama de esforços cortantes será, então, parabblico do 20 grau, com tangente horizontal em A (pois dQ/ds = -q = O), tendo seus valores extremos iguais aos valores conhecidos (t VA) e (-VB) e passando por zero para x = 1~3=3 0, 577 1, conforme pode ser obtido imediatamente a partir de sua equação. Por ser uma meia parábola do segundo grau, podemos, para seu traçado gráfico, aproveitar o tipo de construção apresentado em 2.2. Estudo das vigas isoríáticas 57 Para obtenção dos valores de Q numa seção gengrica, empregaremos a equação Q =% UM (3.5) sendo w~ = 1 - 3~2 (II.6), tabelada na tabela I. O diagramr de momentos fletores será uma parábola do 30 grau, que passa por um máximo em x = 1613 = 0,577 1 bois dM/ds = Q = O), de valor Mm& =g2X 9 (1 - 7) = p12/9 /3 = 0,064p12, e cnjos valores, numa seção genbrica, sáo dados por P) = M=-6w D 01.6) ido w~ = E - P (II.7), tabelado na tabela I. Observações: a) Temos L" Qdx = O, o que verifica o equilibrio da viga. b) Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o diagrama de esforpi cortantes 6 parabdlico do 20 grau e o diagrama de momentos fletores 6 parabólico do 30 grau, o que verifca (ii.1) e (11.2). Apresentamos, na Fig. 11-7, uma nstrupo geométrica que nos auxilia traçado do diagrama de momentos tores, através da obtenção de suas t2ll3~4/3* igentes externas. Marcando, a partir da sego M, sição da resultante do carregamento angular, o segmento MN = pZ2 /9, nos tga = MN/AM = p1/6 = QA PU tri: ter tgP = -MT/MB = -o: = QB ------l!f ., 8. Logo, AN e BN são tangentes ao Fig. 11-7 diagrama de momentos fletores em ms origens. E usual, no caso de traçado de diagramas de momentos fletores com dga triangular, proceder a este traçado por pontos. Uma ordenada genbrica 10 diagrama seria dada, conforme (iI.61, por'^ =%12 w~. :) 6 caso de carregamento indicado na Fig. il-8 recai imediatamente no tenor. Temos:
  37. 37. 58 Curso de análise esirutural Qs =--[PI[ - 3 (-) I-x 2 ] 6 I p12 z - x 1-x3 Ms =- [- 6 1 - (7I ) Fazendo -I - x -- -x ' = e', temos: 11 As funções wM e wb estão tabeladas na tabela I. f) O caso de carregamento indicado em 11-9 é resolvido imediatamente, empregando-se o princípio de superposiçiio de efeitos, somandole uma carga unifome pA com uma carga triangular de taxa máxima (pB - pA) em E. Obtemos: Estudo das vigas isostáticas 59 que B traçado por pontos. De maneira análoga, agiríamos para a obtenção do diagrama de esforços cortantes. Poderíamos ter resolvido o mesmo problema encarando o carregamento como a soma de 2 carregamentos triangulares de taxas máximas pA em A e pB em E, obtendo g) Com menor frequência, podem ocorrer carregamentos com leis de variação parabólica. Tais casos são resolvidos dentro da mesma metodologia empre-gada em 2.2 e 23 e conduzem is expressões e funções w tabeladas na tabela I. Seja a viga biapoiada da Fig. 11-10, submetida à carga-momento indicada. As reaç6es de apoio devem ser tais que formem um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento aplicado e são, portanto, as indicadas na Fipura. A partir delas, temos imediatamente os diagramas solicitantes.
  38. 38. O o o ZZ80'0 EE80'0 ~OIZ'O Z8S1'0 6S91'0 I I SECO LZZZ'O 19PZ'O 9EEP'O 91 LZ'O OIZE'O 169P'O 1 ZOE'O S98E'O SL9P'O oooo'z- 6EZS'I-SE80' 1- SL89'0- EEEE'O- 8020'0- 00SZ'O Z6LP'O 9999'0 SZ18'0 L9 16'0 Z6L6'0 0000' 1 ,a£ - 1 = Nm 0000'I + Z6L6'0 + L916'0 + SZ18'0 + 9999'0 + Z6LP'O + OOSZ'O + 80ZO'O - EEEE'O - SL89'0 - SE80'1 - 6EZS‘l- . oooo'z - ,.3E - 1 = ?m SZIE'O I ZOE‘O 91Lt0 LZZZ'O Z8S1'0 - ZZSO'O o *3+ z t Z -3=$m Z1 11 O1 6 8 L 9 S P E Z I o 0~5as o 8280'0 OZ91'0 PPEZ'O £962'0 EWE'O OSLE'O 898E'O WLE'O 18ZE'O 9PSZ'O P9PI'O o E<3 - '3 = qm dm SLEP'O SL9P'O 169P'O 9EEP'O I ISE'O 901Z'O o pr3 - P = <m SLEP'O S98E'O OIZF'O 19Pf 0 6S91'0 EE80'0 o *3 - 3 = dm o WPI'O 9PSZ'O I8ZE'O WLE'O 8%E'O OSLE'O EPPE'O E96Z'O MEZ'O OZ91'0 8280'0 o - 3 = Um o P9~0'0 68EI'O SL81'0 ZZZZ'O IEPZ'O M)SZ'O IEPZ'O ZZZZ'O SL81'0 68E1'0 P9LO'O o z3 - 3 = Xm ZI 11 O I 6 8 L 9 S P E Z I o oe5a~
  39. 39. 62 Curso de analise estrutural Este valor não reproduz o momento fletor atuante em B, que d nulo e, aliás, não tinha nenhuma obrigação de reproduzir, pois as equações (11.1) e (11.2) foram deduzidas para uma viga com carga vertical continuamente distribuída, o que não é o caso de uma carga momento. De qualquer forma, podemos afirmar que o valor da área do diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada é igual ao valor da resultante de todas 8s cargmmomento apiicadas na viga (o sinal positivo correspondendo ao sentido anti-horário). b) O diagrama de momentos fletores em S sofre uma descontinuidade igual a @a/l) + (Mbll) = M e podemos afirmar, então, que, na seção de apiicaçáo de uma carga-momento numa viga, o diagrama de momentos fletores sofre uma descontinuidade igual ao seu valor, no seu sentido. c) Como casos particulares interessantes, apresentamos na Fig. 11-11 dia-gamas de momentos fletores para algumas posições notáveis da carga-momento. 2.5 - Caso geral de carregamento Seja a viga biapoiada da Fig. II-12, submetida ao carregamento indicado: Fig. 11-12 Estudo das vigas isostáticas 63 O problema novo que se nos depara 6 o da resolução de uma viga submetida a uma carga continuamente distribuída, que não abrange todo o seu vão. Para o fazermos recair num problema já conhecido, romperemos a viga em B e C, o que 6 lícito fazer, desde que apliquemos nestes pontos seus esforços simples, mantendo entâo o equilíbrio de cada trecho assim obtido. Assim, os esforços cortantes que atum nas extremidades de cada trecho (Qa, QB, Qc, Qo) podem ser encarados como as forças que equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho, podendo ele então ser considerado como uma viga biapoiada independente, submetida ao carrega-mento externo que lhe está diretamente aplicado e a cargas-momento em seus apoios iguais aos momentos fletores atuantes nestes pontos na viga dada inicialmente, de imediata determinação. Recairemos, então, no problema de obtenção do diagrama de momentos fletores em vigotas do gênero BC, que, por superposição de efeitos, é imediatamente obtido conforme mostra a Fig. 11-13, )tfq q-a2 8 Fig. 11-13 A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos fletores devido somente a ME e Mc. Marcando-se, na vertical, a partir desta reta a parábola do 20 grau que 6 o diagrama devido apenas à carga distribuída, teremos então o diagrama fmal no trecho. O diagrama de momentos fletores na viga AD será, então, o da Fig. 11-14, úotar que existe, no caso, concordância em B e em C entre a parte :tilínea e a parte parabólica, o que já era de se esperar, pois não existem cdrgas concentradas aplicadas nestes pontos).
  40. 40. 64 Curso de análise estrutural .A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta maiores problemas, sendo imediata a partir do conhecimento das reações de apoio. Extrapolando as conclusões deste exemplo, podemos afirmar que, para trapr o diagrama de momentos fletores numa viga submetida a um carrega-mento qualquer, basta marcar os momentos fletores nos pontos onde muda a lei de variação do carregamento, Ligá-los por segmentos de retas e, a partir da linha a& obtida, pendurar, perpendicularmente ao eixo da viga, os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes, em seus respectivos trechos. Os diagramas de esforços cortantes são obtidos imediatamente a partir do conhecimento das reações de apoio. O exemplo 11.2, a seguir, esclarecerá. Ex. 11.2 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. ii-15. Substituindo-se as cargas distniuídas por suas resultantes, assinaladas em pontilhado na figura, obtemos: ZMB=O ........ 16V,=4Xl4tlX10+3X6-4 :. V~=5t ZY = O ........ Vs=(4+1+3)-5=3t Estudo das vigas isostáticas 65 -3 Fig. 11-15 Os momentos fletores atuantes nos pontos de transição de carga são: Mc=5X4-4X2= 12mt M~=5X6-4X4=14 mt M~.=SX8-4X6-1X2=14mt MF=~X11 -4X9-1X5-3X1= llmt M$q=5X 13,s-4X 11,5-1X7,5-3X3,5=3,5mt M$ = 3,s t 4 = 7,s rnt

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