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  1. 1. Population statistique : Une population statistique est l'ensemble sur lequel on effectue des observations. Individu (ou unités statistiques) : Les individus sont les éléments de la population statistique étudiée. Caractère statistique ou variable statistique : C'est ce qui est observé ou mesuré sur les individus d'une population statistique. INTRODUCTION L ’opérateur somme Vocabulaire statistique Vocabulaire statistique VOCABULAIRE STATISTIQUE 1 Saïd Chermak pour infomaths.com
  2. 2. VARIABLES QUANTITATIVES Variable quantitative : Une variable statistique est quantitative si ses valeurs sont des nombres exprimant une quantité, sur lesquels les opérations arithmétiques (somme, etc...) ont un sens. Variable quantitative discrète: Une variable quantitative est discrète si elle ne peut prendre que des valeurs isolées, généralement entières. Variable quantitative continue: Une variable quantitative est continue si ses valeurs peuvent être n'importe lesquelles d'un intervalle réel. INTRODUCTION L ’opérateur somme Vocabulaire statistique 2 Saïd Chermak pour infomaths.com
  3. 3. VARIABLES QUALITATIVES Variable qualitative : Une variable statistique est qualitative si ses valeurs, ou modalités, s'expriment de façon littérale ou par un codage sur lequel les opérations arithmétiques telles que moyenne, somme, ... , n'ont pas de sens. Variable qualitative nominale : C'est une variable qualitative dont les modalités ne sont pas ordonnées. Variable qualitative ordinale : C'est une variable qualitative dont les modalités sont naturellement ordonnées INTRODUCTION L ’opérateur somme Vocabulaire statistique 3 Saïd Chermak pour infomaths.com
  4. 4. DEFINITION: p et q étant 2 entiers relatifs q i i p x = = ∑ p x + 1 p x + + ...... q x + REMARQUE 1: i est une variable muette q q q i j h i p j p h p x x x = = = = = ∑ ∑ ∑ 1 n i i i i i x x x = = = ∑ ∑ ∑ REMARQUE 2: Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur le domaine de variation de i, celui-ci peut être omis INTRODUCTION L ’opérateur somme Vocabulaire statistique L ’opérateur somme (1) UN OUTIL : L ’OPERATEUR SOMME Σ 4 Saïd Chermak pour infomaths.com
  5. 5. (2) UN OUTIL : L ’OPERATEUR SOMME Σ PROPRIETE 1: i i i i ka k a = ∑ ∑ ( ) 1 1 ...... ...... q q i p p q p p q i i p i p ka ka ka ka k a a a k a + + = = = + + + = + + + = ∑ ∑ ( ) PROPRIETE2: i i i i i i i a b a b + = + ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ..... ..... ..... q i i p p p p q q i p q q p p q p p q i i i p i p a b a b a b a b a a a b b b a b + + = + + = = + = + + + + + + = + + + + + + + = + ∑ ∑ ∑ ( ) PROPRIETE3: i i i i i i i k a b k a k b + = + ∑ ∑ ∑ 1 PROPRIETE4: n i k nk = = ∑ 1 ..... n i n k k k k nk = = + + + = ∑ 14 4 244 3 ( ) PROPRIETE5: 1 q i p k q p k = = − + ∑ INTRODUCTION L ’opérateur somme Vocabulaire statistique 5 Saïd Chermak pour infomaths.com
  6. 6. Saïd Chermak pour infomaths.com 6 Tableaux et graphiques
  7. 7. Modalités Effectifs Fréquences % Bleu 60 0,200 20,0 Noir 160 0,533 53,3 Noisette 40 0,133 13,3 Vert 40 0,133 13,3 Total : 300 1 100 Noms Couleur des yeux M. Alberro Vert M. Hondarrague Noir Mme Claverotte Noir Melle Lopez Noisette M. Paulien Bleu M. Guillou Noir M. Lahitette Noisette Mme Vigouroux Noir Melle Maleig Bleu M. Duclos Vert M. Carricaburu Bleu Mme Vidal Noir …. …. Modalités Effectifs Fréquences % modalité 1 n1 f1= n1/n 1 f ×100 … … … modalité i ni fi= ni/n i f ×100 … … … modalité k nk fk= nk/n k f ×100 Total : i n = n ∑ i f =1 ∑ 100 TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue Qualitative nominale (1) VARIABLES QUALITATIVES NOMINALES Qualitative nominale 7 Saïd Chermak pour infomaths.com
  8. 8. (2) VARIABLES QUALITATIVES NOMINALES Modalités Effectifs Fréquences % Bleu 60 0.200 20,0 Noir 160 0,533 53,3 Noisette 40 0,133 13,3 Vert 40 0,133 13,3 Total : 300 1 100 Bleu 20% Noir 54% Noisette 13% Vert 13% Diagramme circulaire ou camembert TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue Qualitative nominale Diagramme en barres 60 160 40 40 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Bleu Noir Noisette Vert 8 Saïd Chermak pour infomaths.com
  9. 9. 10 25 40 32 23 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 A B C D E Les modalités sont présentées dans l’ordre TABLEAUX ET GRAPHIQUES Modalités Effectifs = Nombre de personnes Pas du tout (A) 10 Un peu (B) 25 Beaucoup (C) 40 Passionnément (D) 32 A la folie (E) 23 130 personnes ont été interrogées sur leur addiction au chocolat Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue Qualitative ordinale VARIABLES QUALITATIVES ORDINALES 9 Saïd Chermak pour infomaths.com
  10. 10. Nombre de produits financiers Nombre de clients 0 103 1 115 2 95 3 35 4 10 5 2 Clients Nombre de produits financiers Bredat 2 Gauguet 3 Leremboure 0 Coustere 0 Lalisou 1 Aussagne 0 Vittorello 1 Diaz 0 Etcheverry 2 Bernadet 4 Miramon 1 Jaime 3 Dartus 2 Domege 0 Train 0 Piquemal 1 Laffargue 2 …… ……. Valeurs de la variable Effectifs Fréquences % x1 n1 f1= n1/n 1 f ×100 … … … xi ni fi= ni/n i f ×100 … … … xk nk fk= nk/n k f ×100 Total : i n =n ∑ i f =1 ∑ 100 TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative ordinale Qualitative nominale Quantitative discrète Quantitative continue Quantitative discrète (1) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES EFFECTIFS ET FREQUENCES 10 Saïd Chermak pour infomaths.com
  11. 11. (2) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES REPRESENTATION GRAPHIQUE DES EFFECTIFS ET FREQUENCES Nbre de produits financiers xi Effectif ni Fréquence fi 0 103 0,286 1 115 0,319 2 95 0,264 3 35 0,097 4 10 0,028 5 2 0,006 Diagramme en bâtons 0 20 40 60 80 100 120 140 0 1 2 3 4 5 6 TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 11 Saïd Chermak pour infomaths.com
  12. 12. (3) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES EFFECTIFS ET FREQUENCES CUMULES Valeurs de la variable xi Effectif ni Effectifs cumulés croissants Ni Effectifs cumulés décroissants N’i x1 n1 N1= n1 N’1= nk+ ….+ n1= n x2 n2 N2= n1+ n2 N’2= nk+ ….+ n2 x3 n3 N3= n1+ n2+ n3 N’3= nk+ ….+ n3 … … …. …. xk-1 nk-1 Nk-1= n1+ ….+ nk-1 N’k-1= nk+ nk-1 xk nk Nk= n1+ ….+ nk= n N’k= nk Total : n Effectifs cumulés croissants: Nombre d'individus pour lesquels la variable est inférieure ou égale à xi. Résultat de l'addition, de proche en proche, des effectifs d'une distribution observée en commençant par le 1er. Effectifs cumulés décroissants: Nombre d'individus pour lesquels la variable est supérieure ou égale à xi. Résultat de l'addition, de proche en proche, des effectifs d'une distribution observée en commençant par le dernier. TABLEAUX ET GRAPHIQUES Nbre produits financiers Nombre de Clients Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants 0 103 1 115 2 95 3 35 4 10 5 2 Total : 360 360 142 257 47 103 218 313 348 358 360 2 12 Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 12 Saïd Chermak pour infomaths.com
  13. 13. (4) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES EFFECTIFS ET FREQUENCES CUMULES Nombre de produits financiers xi Nombre de clients ni Effectifs cumulés croissants Ni Effectifs cumulés décroissants N’i Fréquences fi Fréquences cumulées croissantes Fi Fréquences cumulées décroissantes F’i 0 103 103 360 0,2861 0,2861 1 1 115 218 257 0,3194 0,6055 0,7139 2 95 313 142 0,2639 0,8694 0,3945 3 35 348 47 0,0972 0,9666 0,1306 4 10 358 12 0,0278 0,9944 0,0334 5 2 360 2 0,0056 1 0,0056 Total : 360 1 Il y a 313 clients possédant un nombre de produits financiers inférieur ou égal à 2 Il y a 47 clients possédant un nombre de pro. fin. supérieur ou égal à 3 La proportion de clients possédant un nombre de pro. fin. supérieur ou égal à 1 est de 71,39% La proportion de clients possédant un nombre de pro. fin. inférieur ou égal à 4 est de 99,44% TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 13 Saïd Chermak pour infomaths.com
  14. 14. (5) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES COURBES CUMULATIVES On appelle courbe cumulative croissante le tracé de la fonction N (ou F pour les fréquences) qui à tout réel x associe N( x ) = nombre d'observations inférieur ou égal à x. TABLEAUX ET GRAPHIQUES On appelle courbe cumulative décroissante le tracé de la fonction N' (ou F’ pour les fréquences) qui a tout réel x associe N'( x ) = nombre d'observations supérieur strictement à x. Les courbes cumulatives N(x) et N’(x) sont symétriques par rapport à n/2 : N(x) + N’(x) = n Les courbes cumulatives F(x) et F’(x) sont symétriques par rapport à 0,5 : F(x) + F’(x) = 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 xi ni Ni 103 103 115 218 95 313 35 348 10 358 2 360 0 1 2 3 4 5 −∞ +∞ x 0 1 2 3 4 5 0 103 218 313 348 358 N(x) 360 N’i 360 257 142 47 12 2 N ’(x) 257 360 47 142 12 2 0 Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 14 Saïd Chermak pour infomaths.com
  15. 15. Remarque1 : la variable augmentation moyenne mensuelle peut être considérée comme continue. En arrondissant à l’euro, on l’a discrétisée. Une augmentation de 10 € est en fait une augmentation comprise entre 9,5 € et 10,5 €. Remarque2 : Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes. Augmentation (€) Effectif 0 257 1 318 2 255 3 307 4 308 5 159 6 140 7 84 8 72 9 55 10 22 11 13 12 9 13 7 14 8 15 21 16 6 17 2 ….. …. Total 2125 Remarque3 : Une variable discrète comportant trop de valeurs est aussi traitée comme une variable continue. TABLEAUX ET GRAPHIQUES 18 38 10 35 0 4 4 11 27 2 41 16 2 25 43 22 26 11 34 34 1 28 5 5 21 0 2 30 1 8 9 37 22 39 11 0 36 16 6 42 42 1 8 33 31 33 4 4 9 19 15 2 21 0 12 18 …. …. …. …. Variable observée: augmentation moyenne mensuelle du salaire, en €, des employés d’une multinationale au cours de l’année 2005. Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue Quantitative continue (1) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES 15 Saïd Chermak pour infomaths.com
  16. 16. (2) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES Augmentation (€) Effectifs [0 – 3[ 830 [3 – 5[ 615 [5 – 10[ 510 [10 – 20[ 92 [20 – 30[ 63 [30 – 50[ 15 Classes Effectifs [e1 – e2[ n1 [e2 – e3[ n2 …. …. [ek – ek+1[ nk Remarque 1: Le choix des classes et arbitraire, mais elles doivent être contigües et recouvrir l’ensemble des valeurs. Remarque 2: Il est préférable de prendre des classes d’amplitudes égales. Remarque 3: Il ne faut prendre ni trop ni trop peu de classes. Remarque 4: Le choix et le nombre de classes influent sur les représentations graphiques. TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 16 Saïd Chermak pour infomaths.com
  17. 17. (3) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES REPRESENTATION GRAPHIQUE DES EFFECTIFS ET FREQUENCES Classes Effectifs ni Amplitude ai Effectifs rectifiés ni /ai [0 – 3[ 830 3 276,7 [3 – 5[ 615 2 307,5 [5 – 10[ 510 5 102,0 [10 – 20 [ 92 10 9,2 [20 – 30[ 63 10 6,3 [30 – 50[ 15 20 0,75 Classes Effectifs [0 – 3[ 830 [3 – 5[ 615 [5 – 10[ 510 [10 – 20 [ 92 [20 – 30[ 63 [30 – 50[ 15 TABLEAUX ET GRAPHIQUES effectif 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 3 30 50 Effectif rectifié HISTOGRAMME 0 50 100 150 200 250 300 350 0 3 30 50 Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 17 Saïd Chermak pour infomaths.com
  18. 18. Effectif rectifié HISTOGRAMME 0 50 100 150 200 250 300 350 0 3 30 50 (4) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES REPRESENTATION GRAPHIQUE DES EFFECTIFS ET FREQUENCES Dans un histogramme, ce sont les surfaces des rectangles (ce que l’œil voit), qui sont proportionnelles aux effectifs, et non les hauteurs de ces rectangles Classes Effectifs ni Amplitude ai Effectifs rectifiés ni /ai [0 – 3[ 830 3 276,7 [3 – 5[ 615 2 307,5 [5 – 10[ 510 5 102,0 [10 – 20[ 92 10 9,2 [20 – 30[ 63 10 6,3 [30 – 50[ 15 20 0,75 Remarque: Le tracé de l’histogramme des fréquences est identique. Il suffit de porter en ordonnées la fréquence rectifiée di = fi/ai, appelée densité. TABLEAUX ET GRAPHIQUES La surface = ai (ni/ai) est de 830 unités × La surface = ai (ni/ai) est de 615 unités × Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 18 Saïd Chermak pour infomaths.com
  19. 19. (5) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES EFFECTIFS ET FREQUENCES CUMULES Variable observée: augmentation moyenne mensuelle du salaire, en €, des employés d’une multinationale au cours de l’année 2005. Classes [ei – ei+1[ Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Ni Effectifs cumulés décroissants N’i Fréquences cumulées croissantes Fi Fréquences cumulées décroissantes F’i [0 – 3[ 830 830 2125 0,391 1,000 [ 3 - 5 [ 615 1445 1295 0,680 0,609 [ 5 - 10 [ 510 1955 680 0,920 0,320 [10 - 20 [ 92 2047 170 0,963 0,080 [20 - 30 [ 63 2110 78 0,993 0,037 [30 – 50[ 15 2125 15 1,000 0,007 Total : 2125 Il y a 1445 employés dont l’augmentation est strictement inférieure à 5 Il y a 170 employés dont l’augmentation est supérieure ou égale à 10 Combien y-a-t-il d’employés dont l’augmentation est inférieure à 17 ? TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 19 Saïd Chermak pour infomaths.com
  20. 20. (6) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES COURBES CUMULATIVES TABLEAUX ET GRAPHIQUES 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -10 0 10 20 30 40 50 60 Fi F’i [ei – ei+1[ Fi F’i [ 0 - 3 [ 0,391 1,000 [ 3 - 5 [ 0,680 0,609 [ 5 - 10 [ 0,920 0,320 [10 - 20 [ 0,963 0,080 [20 - 30 [ 0,993 0,037 [30 - 50 [ 1,000 0,007 x +∞ −∞ 0 3 5 10 20 30 50 On appelle courbe cumulative croissante le tracé de la fonction F (N pour les effectifs) qui à tout réel x associe F( x ) = nombre d'observations inférieur ou égal à x. Remarque: Pour une variable continue, il est indifférent de dire « inférieur ou égal » ou « strictement inférieur ». Il en est de même pour « supérieur ou égal » ou « strictement supérieur ». Il n’y a aucune chance qu’une observation tombe sur une borne. C’est l’imprécision de l’instrument de mesure et un mauvais choix des bornes qui pourrait conduire à ce résultat. F’i 1,000 0,609 0,320 0,080 0,037 0,007 F(x) 0 0,391 0,680 0,920 0,963 0,993 1 ? A l’intérieur de chaque classe, on fait l’hypothèse que la répartition est uniforme ? A l’intérieur de chaque classe, on fait l’hypothèse que la répartition est uniforme ? On appelle courbe cumulative décroissante le tracé de la fonction F’ (N’ pour les effectifs) qui a tout réel x associe F’( x ) = nombre d'observations supérieur strictement à x. F’(x) 1 0,609 0,320 0,080 0,037 0,007 0 ? ? Les courbes cumulatives F(x) et F’(x) sont symétriques par rapport à 0,5 : F(x) + F’(x) = 1 Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 20 Saïd Chermak pour infomaths.com
  21. 21. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -10 0 10 20 30 40 50 60 (7) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES COURBES CUMULATIVES Quelle est la proportion p d’employés dont l’augmentation est inférieure à 17 € ? p - 0,92 = 17 - 10 20 - 10 0,963-0,920 17 0,95 ( ) 17 10 D'où p 0,92 0,963 0,920 95% 20 10 − = + − ≈ − TABLEAUX ET GRAPHIQUES [ei – ei+1[ Fi [ 0 - 3 [ 0,391 [ 3 - 5 [ 0,680 [ 5 - 10 [ 0,920 [10 - 20 [ 0,963 [20 - 30 [ 0,993 [30 - 50 [ 1 0 3 5 10 20 30 50 x 0 0,391 0,680 0,920 0,963 0,993 1 F(x) 17 p Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue 21 Saïd Chermak pour infomaths.com
  22. 22. RESUME VARIABLE QUALITATIVE TABLEAUX ET GRAPHIQUES Nominale Ordinale VARIABLE QUANTITATIVE Discrète Continue Effectifs ou Fréquences Effectifs ou Fréquences Courbes cumulatives des effectifs ou des fréquences Modalités dans l ’ordre Diagramme en barres Diagramme en barres Diagramme circulaire Diagramme en bâtons Histogramme 22 Saïd Chermak pour infomaths.com
  23. 23. Saïd Chermak pour infomaths.com 23 PARAMETRES STATISTIQUES
  24. 24. PARAMETRES STATISTIQUES Les représentations graphiques ont permis une première synthèse visuelle de la distribution des observations Un paramètre statistique permet de résumer par une seule quantité numérique une information contenue dans une distribution d’observations. ! Les paramètres statistiques ne concernent que les variables quantitatives 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 N° individu Variable Tendance centrale 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 N° individu Variable Position 100 % - A % A % 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 N° individu Variable Dispersion 24 Saïd Chermak pour infomaths.com
  25. 25. 0 20 40 60 80 100 120 140 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 900 1400 1900 2400 2900 3500 ou plus... PARAMETRES STATISTIQUES Une distribution est unimodale si elle présente un maximum marqué, et pas d'autres maxima relatifs. La lecture s’effectue sur le diagramme en bâtons ou l'histogramme. Le mode correspond à l'abscisse du maximum, c.à.d. la valeur la plus fréquente Mode Classe modale Mode Tendance centrale Position Dispersion (1) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LE MODE Tendance centrale 25 Saïd Chermak pour infomaths.com
  26. 26. (2) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LE MODE Si la distribution présente 2 ou plus maxima relatifs, on dit qu'elle est bimodale ou plurimodale. La population est composée de plusieurs sous-populations ayant des caractéristiques de tendance centrale différentes. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 900 1400 1900 2400 2900 3500 4000 4500 ou plus... 0 20 40 60 80 100 120 140 0 1 2 3 4 5 6 Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 26 Saïd Chermak pour infomaths.com
  27. 27. (3) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MEDIANE Les valeurs observées doivent être rangées par ordre croissant. La médiane M est la valeur du milieu de la série d’observations, c.à.d. telle qu'il y ait autant d'observations "au-dessous" que "au-dessus". M 3 4 4 5 6 8 8 9 10 Nombre impair d’observations Nombre pair d’observations 3 4 4 5 6 8 8 9 Intervalle médian M = milieu = 5,5 4 valeurs 4 valeurs 4 valeurs 4 valeurs PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 27 Saïd Chermak pour infomaths.com
  28. 28. (4) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MEDIANE à partir d’une distribution discrète xi ni Fi 0 103 0,286 1 115 0,606 2 95 0,869 3 35 0,967 4 10 0,994 5 2 1 0,5 xi ni Fi 0 103 0,286 1 77 0,500 2 95 0,764 3 35 0,861 4 10 0,889 5 40 1 0 0,5 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0,5 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 M 0,5 Intervalle médian M = milieu = 1,5 Intervalle médian M = milieu = 1,5 F(x) 0 0,606 0,286 0,994 0,967 1 0,869 M F(x) 0 0,500 0,286 0,889 0,861 1 0,764 PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 28 Saïd Chermak pour infomaths.com
  29. 29. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -10 0 10 20 30 40 50 60 (5) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MEDIANE à partir d’une distribution continue ( ) 0,5 0,391 D'où M 3 5 3 3,22 0,680 0,391 − = + − ≈ − 0,5-0,391 = M - 3 0,5 3,22 M 5 - 3 0,680-0,391 0 3 5 10 20 30 50 x 0 0,391 0,680 0,920 0,963 0,993 1 F(x) [ei – ei+1[ Fi [ 0 - 3 [ 0,391 [ 3 - 5 [ 0,680 [ 5 - 10 [ 0,920 [10 - 20 [ 0,963 [20 - 30 [ 0,993 [30 - 50 [ 1 0,5 M PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 29 Saïd Chermak pour infomaths.com
  30. 30. (6) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MOYENNE ARITHMETIQUE La moyenne arithmétique est notée x Valeurs de la variable Effectifs Fréquences x1 n1 f1= n1/n … … … xi ni fi= ni/n … … … xk nk fk= nk/n n i i=1 1 x = x n ∑ k i i i=1 1 x = n x n ∑ k k i i i i i=1 i=1 n x = f x n = ∑ ∑ Série groupée Série brute x1, x2, … , xn PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 30 Saïd Chermak pour infomaths.com
  31. 31. (7) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MOYENNE ARITHMETIQUE Classes Effectifs Fréquences [e1 – e2[ n1 f1 [e2 – e3[ n2 f2 …. …. …. [ek – ek+1[ nk fk Série classée k k i i i i i=1 i=1 1 x = n x f x n = ∑ ∑ Centres de classe x1= ( e1 + e2)/2 x2= ( e2 + e3)/2 …. xk= ( ek + ek+1)/2 PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 31 Saïd Chermak pour infomaths.com
  32. 32. (8) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MOYENNE ARITHMETIQUE Comment faire la moyenne de plusieurs populations ? Population P1 Effectif n1 Moyenne 1 x Population P2 Effectif n2 Moyenne 2 x Population Effectif n = n1+ n2 Moyenne 1 2 P = P P U x ? 1 1 2 2 n x + n x x = n k i i i=1 n x n = ∑ Moyenne globale = moyenne des moyennes PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 32 Saïd Chermak pour infomaths.com
  33. 33. (9) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE PROPRIETES GENERALES PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion x P (x) = moyenne, médiane, mode y = a x P (y) = a P (x) z = a x + b P (z) = a P (x) + b 33 Saïd Chermak pour infomaths.com
  34. 34. (10) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE MOYENNES GEOMETRIQUE ET HARMONIQUE Moyenne géométrique 1 2 k n n n n 1 2 k G = x x .....x Moyenne harmonique k i i=1 i n H = n x ∑ Utilisée dans le cas de phénomènes multiplicatifs (taux de croissance moyen) Utilisée dans le cas où l’on combine 2 variables sous forme de rapport (pièces/heure, km/litre,…) PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion 34 Saïd Chermak pour infomaths.com
  35. 35. PARAMETRES STATISTIQUES On appelle fractiles ou quantiles d'ordre k les (k-1) valeurs qui divisent les observations en k parties d'effectifs égaux. 1 médiane M qui divise les observations en 2 parties égales 3 quartiles Q1, Q2, Q3 qui divisent les observations en 4 parties égales 9 déciles D1, D2, …, D9 qui divisent les observations en 10 parties égales 99 centiles C1, C2, …, C99 qui divisent les observations en 100 parties égales Position Dispersion Tendance centrale (1) PARAMETRES DE POSITION LES FRACTILES OU QUANTILES Position 35 Saïd Chermak pour infomaths.com
  36. 36. 0,5 M 0,75 Q3 0,2 D2 (2) PARAMETRES DE POSITION LES FRACTILES OU QUANTILES 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -10 0 10 20 30 40 50 60 Variable continue 0 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Variable discrète PARAMETRES STATISTIQUES Quartiles, déciles, centiles s’obtiennent de la même façon que la médiane. 0,5 M Q3 0,75 0,9 D9 Tendance centrale Position Dispersion 36 Saïd Chermak pour infomaths.com
  37. 37. (3) PARAMETRES DE POSITION PROPRIETES GENERALES PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion x Q (x) = quantile A % 100 % - A % y = a x Q (y) = a Q (x) A % 100 % - A % z = a x + b Q (z) = a Q (x) + b A % 100 % - A % 37 Saïd Chermak pour infomaths.com
  38. 38. PARAMETRES STATISTIQUES Etendue : R = xmax - xmin Intervalle interquartile : IQ = Q3 - Q1 Variance : Série brute : ( ) n 2 i i=1 1 V = x - x n ∑ Série groupée ou classée : ( ) ( ) k k 2 2 i i i i i=1 i=1 1 V = n x - x f x - x n = ∑ ∑ k 2 2 i i i=1 1 V = n x x n − ∑ = Moyenne des carrés - Carré de la moyenne Ecart-type : σ = V Tendance centrale Position Dispersion Dispersion (1) PARAMETRES DE DISPERSION 38 Saïd Chermak pour infomaths.com
  39. 39. (2) PARAMETRES DE DISPERSION PARAMETRES STATISTIQUES Comment faire la variance de plusieurs populations ? Population P1 Effectif n1 Moyenne Variance V1 1 x Population P2 Effectif n2 Moyenne Variance V2 2 x 1 2 P = P P U Population Effectif n = n1+ n2 Moyenne Variance V ? x ( ) k k 2 i i i i i=1 i=1 1 1 V = n V + n x -x n n ∑ ∑ Variance globale = Moyenne des variances + Variance des moyennes Tendance centrale Position Dispersion 39 Saïd Chermak pour infomaths.com
  40. 40. (3) PARAMETRES DE DISPERSION PROPRIETES GENERALES PARAMETRES STATISTIQUES x P (x) = étendue, écart-type, intervalle interquartile Tendance centrale Position Dispersion y = a x z = a x + b P (y) = a P (x) P (z) = a P (x) 40 Saïd Chermak pour infomaths.com

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