LABERINTOS DE DISCIPLINAS DEL PENTATLÓN OLÍMPICO MODERNO. Por JAVIER SOLIS NO...
Expresiones algebraicas
1. 1
Expresiones Algebraicas
• Una expresión algebraica es una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos
1
2.
)
2)
2)
2
32
2
x
xyx
c
xyxb
xyxa
5. 5
Expr.Algebraica Racional Entera
• Una expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.
• Ejemplo
542
3 yyxx
7. 7
Polinomios
• Son las expresiones algebraicas más
usadas.
• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n
un número natural, llamaremos polinomio
en indeterminada x a toda expresión
algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
8. 8
Ejemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
3
2
3)
3
1
)
xxb
xa
3
3
532)
2
1)
xxd
x
c
9. 9
Términos
• Monomio : polinomio con un solo término.
• Binomio : polinomio con dos términos.
• Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aixi se llama término.
• El polinomio será de grado n si el término de mayor
grado es anxn con an0.
• A a0 se lo llama término independiente.
• A an se lo llama término principal.
10. 10
Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
11. 11
Ejercicio
• Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.
2
13
)
)3)(2()
12
3
1
)
4
3
x
c
xxb
xxa
1
32
)
3
12
)
52)
2
2
x
xx
f
xx
xe
xd
12. 12
Polinomios iguales
• Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo
son.
• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
13. 13
Suma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
14. 14
Propiedades de la Suma
• Asociativa
• Conmutativa
• Existencia de elemento neutro
• Existencia de elemento opuesto
15. 15
Resta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
16. 16
Multiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
20. 20
Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.
93025)
4914)
144)
2
2
2
xxc
xxb
xxa
6543
23
23
8
1
2
3
68)
16128)
8126)
xxxxf
xxxe
xxxd
21. 21
Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.
64)
4)
36
1
)
100)
8
4
2
2
xd
xc
xb
xa
22. 22
División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de
números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros.
23. 23
División entre números enteros
• En el conjunto de números enteros, si D
es el dividendo y d0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
24. 24
División entre números enteros
• Ejemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:
• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
25. 25
División de polinomios
• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
28. 28
División de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a
D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal que
D(x) = d(x) . c(x)
29. 29
Ejercicios
• Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisible
por el otro
a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1
Q(x) = x3 + x2 + x + 1
b) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16
Q(x) = x5 - 32
30. 30
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2
- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3
4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3 3
6
4
8
3
6
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
31. 31
División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2 6 8 6
3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
32. 32
Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un
polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3x2 + 2x – 5
33. 33
Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes
enteros y a es una raíz entera del
polinomio entonces a divide al término
independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
34. 34
Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
