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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
5. aplica¸c˜ao da teoria do risco a seguros
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
1 Introdu¸c˜ao.
2 Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
3 Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
4 Tratado de Resseguro Stop-Loss
5 Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
2 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Introdu¸c˜ao.
O objectivo deste cap´ıtulo ´e o de indicar v´arios modos de aplica¸c˜ao de Teoria do Risco
a Problemas de Seguros. S˜ao assim aflorados os tipos usuais de distribui¸c˜oes para
diferentes ramos de seguros; seguidamente, s˜ao referidos 2 m´etodos de aproxima¸c˜ao
dos modelos de risco individual para uma carteira de ap´olices por modelos de risco
colectivo; ´e estudado o efeito do resseguro (Stop-loss e proporcional) na probabilidade
de ru´ına; e, por fim, faz-se referˆencia a outros princ´ıpios de c´alculo de pr´emio,
real¸cando que os t´opicos abordados ao longo do curso podem ser reformulados `a luz
desses princ´ıpios.
3 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Introdu¸c˜ao.
O objectivo principal deste cap´ıtulo ´e o de indicar v´arios modos de
aplica¸c˜ao da Teoria do Risco a Problemas de Seguros.
Nos dois cap´ıtulos anteriores foi desenvolvido o modelo de Risco
Colectivo. Este modelo foi constru´ıdo sob a suposi¸c˜ao de que
uma colec¸c˜ao de ap´olices
↓ gera
um n´umero aleat´orio de indemniza¸c˜oes (sinistros) em cada per´ıodo
e
cada indemniza¸c˜ao (sinistro) ´e de montante aleat´orio
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Introdu¸c˜ao.
A aplica¸c˜ao de semelhante modelo exige informa¸c˜ao acerca de :
distribui¸c˜ao do n´umero de indemniza¸c˜oes
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Como foi salientado, n˜ao ´e tarefa espec´ıfica nesta abordagem levar
a cabo toda uma metodologia de modela¸c˜ao face a dados reais.
Ao longo da exposi¸c˜ao temos suposto que ambos os modelos s˜ao
conhecidos `a partida, fruto eventualmente de todo um trabalho de
modela¸c˜ao pr´evio.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Introdu¸c˜ao.
No entanto, ser´a seguidamente dada uma breve ilustra¸c˜ao do tipo
de distribui¸c˜oes que usualmente se tˆem revelado mais frequentes
na modela¸c˜ao de dados reais, para diferentes ramos de seguros:
Incˆendio
Autom´ovel
Incapacidade Tempor´aria
Hospitalar
Seguidamente, ser˜ao referidos dois m´etodos de aproxima¸c˜ao dos
modelos de risco individual para uma carteira de ap´olices por
modelos de risco colectivo, atrav´es de distribui¸c˜oes de Poisson
Composta convenientes.
Finalmente, falaremos de Resseguro Stop-Loss e o efeito do
resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Ser´a feita uma breve apresenta¸c˜ao de algumas distribui¸c˜oes associadas aos
montantes de indemniza¸c˜ao, em Seguros de Incˆendio, Acidentes Pessoais no Ramo
Autom´ovel, Incapacidade Tempor´aria, Internamento Hospitalar. Nos ramos
mencionados s˜ao referidos os modelos lognormal, Pareto, mistura de exponenciais,
Gama, associados a problemas actuarias correntes.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Referiremos 4 aplica¸c˜oes espec´ıficas, de modo a dar uma vis˜ao do
leque de aplica¸c˜oes associadas a modelos em Teoria do Risco.
SEGURO DE INCˆENDIO
SINISTRO −→ incˆendio numa estrutura segura que origina dano
de perdas.
Na literatura ligada a problemas actuariais tˆem sido sugeridas
algumas distribui¸c˜oes standard, com parˆametros a estimar a partir
da amostra dos montantes de sinistro no per´ıodo de estudo. Cabe
aqui referir o car´acter altamente assim´etrico das distribui¸c˜oes, com
de caudas pesadas.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Lognormal:
fX (x; m, σ) =
1
xσ
√
2π
exp −
(log x − m)2
2σ2
, m ∈ , x > 0, σ > 0
Se Y N(m, σ) ent˜ao X = eY LN(m, σ).
µX = exp m +
σ2
2
σ2
X = (eσ2
− 1) exp 2m + σ2
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Pareto:
fX (x; x0, α) =
αxα
0
xα+1 , x > x0 > 0, α > 0
µX =
αx0
α − 1
(existe para α > 1)
σ2
X =
αx2
0
(α − 2)(α − 1)2
(existe para α > 2)
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Mistura de Exponenciais:
fX (x; p, q, α, β) = pαe−αx + qβe−βx ,
para x > 0, α, β > 0, 0 < p < 1, p + q = 1.
µX =
p
α
+
q
β
σ2
X =
p(1 + q)
α2
+
q(1 + p)
β2
−
2pq
αβ
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
ACIDENTE DE AUTOM ´OVEL
SINISTRO −→ dano num autom´ovel originado por um acidente.
A distribui¸c˜ao Gama(α, β) com localiza¸c˜ao tem sido sugerida para
estes casos.
Os parˆametros envolvidos devem ser estimados a partir da amostra
dos montantes de indemniza¸c˜ao.
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
INCAPACIDADE TEMPOR´ARIA
Este seguro ´e caracterizado por estabelecer benef´ıcios para pessoas
incapacitadas temporariamente.
Existe um per´ıodo de espera (7 dias, por exemplo) desde o dia da
ocorrˆencia da causa da incapacidade e o come¸co do pagamento
dos benef´ıcios por parte da Seguradora.
Existe igualmente um limite superior para o per´ıodo de pagamento
(13 semanas, por exemplo).
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
O benef´ıcio c ´e um montante di´ario fixo; assim, o montante de
indemniza¸c˜ao ´e directamente proporcional ao per´ıodo de tempo em
que se verifica a incapacidade, a partir do per´ıodo de espera.
Seja Y a v.a. do ”tempo (em dias) a que se refere o benef´ıcio”.
A distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao, X = cY , ´e ent˜ao:
P[X = x] = P[cY = x] = P[Y =
x
c
], x = c, 2c, 3c, · · · , 91c
no caso de 13 semanas como limite superior do suporte de Y .
Quer dizer, tudo se resume `a modela¸c˜ao da v.a. Y que est´a na
base de X.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
INTERNAMENTO HOSPITALAR
Supondo tamb´em um benef´ıcio di´ario constante c em caso de
internamento hospitalar , este exemplo ´e semelhante ao anterior,
excluindo o per´ıodo de espera.
Assim, sendo Y a v.a. do ”n´umero de dias de internamento
hospitalar”, e considerando m o n´umero m´aximo de dias para os
quais s˜ao pagos os benef´ıcios por parte da Seguradora,
P[X = x] = P[Y =
x
c
], x = c, 2c, 3c, · · · , mc
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo
Nos 2 m´etodos apresentados, pretende-se dar uma vis˜ao comparativa de como
aproximar os modelos individual e colectivo, este ´ultimo com uma distribui¸c˜ao Poisson
Composta conveniente, sendo feito um estudo comparativo entre os referidos modelos
e o modelo de risco individual original.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Os modelos de risco individual e de risco colectivo s˜ao estruturas
alternativas constru´ıdas de modo a captar os aspectos
fundamentais dos sistemas de seguros. O objectivo comum para
cada um dos modelos ´e o desenvolvimento da distribui¸c˜ao do total
das indemniza¸c˜oes, S.
Devido `a complexidade computacional de calcular a distribui¸c˜ao do
total das indemniza¸c˜oes para uma carteira com n ap´olices usando o
modelo de risco individual, tem sido usual tentar aproximar a
distribui¸c˜ao usando a distribui¸c˜ao de Poisson Composta,
normalmente associada aos modelos de risco colectivo.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Relembremos que o modelo de risco individual para n ap´olices
modela o total de indemniza¸c˜oes do seguinte modo:
S =
n
j=1
Xj ,
onde Xj representa a indemniza¸c˜ao relativa `a ap´olice j,
j = 1, . . . , n.
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Considera-se que os montantes individuais de indemniza¸c˜ao,
Xj = Ij Bj ,
com Ij a v.a. indicadora de ocorrˆencia de indemniza¸c˜ao para a
ap´olice j,
Ij :
1 0
qj 1 − qj
e Bj a v.a. do montante de indemniza¸c˜ao, caso ocorra, com f.d. Fj ,
µj = E[Bj ] e σ2
j = Var[Bj ].
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Considera-se que Ij e Bj , j = 1, · · · , n, s˜ao mutuamente
independentes.
Assim, para a carteira das n ap´olices
E[S] =
n
j=1
qj µj (1)
Var[S] =
n
j=1
qj (1 − qj )µ2
j +
n
j=1
qj σ2
j (2)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Iremos apresentar 2 m´etodos de aproxima¸c˜ao ao modelo Poisson
Composto.
M´ETODO 1:
Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de S∗ PC(λ∗, FX∗ ), com:
λ∗ =
n
j=1
λ∗
j , λ∗
j = qj
FX∗ (x) =
n
j=1
λ∗
j
λ∗
Fj (x)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Justifica¸c˜ao:
A f.g.m. para a indemniza¸c˜ao referente `a ap´olice j, para
j = 1, · · · , n,
MXj
(r) = E[eXj r ]
= E[eXj r |Ij = 0]P[Ij = 0] + E[eXj r |Ij = 1]P[Ij = 1]
= 1 · (1 − qj ) + E[eBj r ]qj
= (1 − qj ) + MBj
(r) · qj
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
pelo que a f.g.m. do total de indemniza¸c˜oes no modelo de risco
individual ´e
MS (r) =
n
j=1
MXj
(r)
=
n
j=1
(1 − qj ) + MBj
(r) · qj
=
n
j=1
1 + qj MBj
(r) − 1
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Consequentemente, logaritmizando ambos os membros, obtem-se
log MS (r) =
n
j=1
log 1 + qj MBj
(r) − 1
=
n
j=1
∞
k=1
(−1)k+1
k
qj MBj
(r) − 1
k
O m´etodo baseia-se na aproxima¸c˜ao que utiliza apenas o 1o termo
no desenvolvimento em s´erie na express˜ao anterior, vindo ent˜ao
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
log MS (r) ∼=
n
j=1
qj MBj
(r) − 1
= λ∗
n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r) − 1
= λ∗


n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r) −
n
j=1
λ∗
j
λ∗


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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
= λ∗


n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r) − 1

 , com λ∗
=
n
j=1
λ∗
j , λ∗
j = qj
= λ∗ (MX∗ (r) − 1) , com MX∗ (r) =
n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r),
sendo MX∗ (r) a f.g.m. associado `a f.d. FX∗ (x); de imediato ´e
identificado o modelo Poisson Composto, com
MS∗ (r) = exp {λ∗
(MX∗ (r) − 1)} .
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Consequˆencias da aproxima¸c˜ao S∗:
1) Coincidˆencia do valor m´edio das indemniza¸c˜oes agregadas do
modelo individual com o da aproxima¸c˜ao, j´a que
E[S∗
] = λ∗
p∗
1 = λ∗
E[X∗
] = λ∗
n
j=1
λ∗
j
λ∗
µj =
n
j=1
qj µj = E[S],
como se constata por (1).
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
2) Variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas no modelo aproximado
superior `a variˆancia no modelo individual, em (2), j´a que
Var[S∗
] = λ∗
p∗
2
= λ∗
E[(X∗
)2
]
= λ∗
n
j=1
λ∗
j
λ∗
(σ2
+ µ2
j )
=
n
j=1
qj (σ2
+ µ2
j )
> Var[S]
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
3) Coincidˆencia do n´umero esperado de sinistros do modelo
aproximado com o do modelo individual, j´a que
E[
n
j=1
Ij ] =
n
j=1
E[Ij ] =
n
j=1
qj =
n
j=1
λ∗
j = λ∗
.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Observa¸c˜ao:
No caso de montante de indemniza¸c˜ao degenerado numa
constante, Bj = bj , as conclus˜oes da aproxima¸c˜ao pelo M´etodo 1
tˆem por base a seguinte particulariza¸c˜ao :
µj = bj σ2
j = 0 fX∗ (x) = P[X∗
= x] =
{j:bj =x}
qj
λ∗
.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
M´ETODO 2:
Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de ˜S PC(˜λ, F˜X ), com:
˜λ =
n
j=1
˜λj , ˜λj = − log(1 − qj )
F˜X (x) =
n
j=1
˜λj
˜λ
Fj (x)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Justifica¸c˜ao:
Semelhante `a do M´etodo 1, se considerarmos que ˜λj
∼= λ∗
j , i.e.,
− log(1 − qj ) ∼= qj , para valores de qj pr´oximos de 0,
j = 1, 2, · · · , n, o que ´e razo´avel em muitas situa¸c˜oes em que a
probabilidade de ocorrˆencia de indemniza¸c˜ao ´e pequena.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Consequˆencias da aproxima¸c˜ao ˜S:
1) Coincidˆencia da probabilidade de n˜ao ocorrˆencia de sinistros no
modelo individual e no da aproxima¸c˜ao, j´a que
P[0 sinistros na carteira no modelo S] =
n
j=1
P[Ij = 0] =
n
j=1
(1−qj )
= exp

log
n
j=1
(1 − qj )

 = exp


n
j=1
log(1 − qj )

 = e−˜λ
Ora, tem-se que
e−˜λ
= P[0 sinistros na carteira no modelo ˜S].
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
2) Valor m´edio das indemniza¸c˜oes agregadas no modelo
aproximado superior ao do modelo individual, j´a que tendo em
aten¸c˜ao que
− log(1 − qj ) =
∞
k=1
qk
j
k
> qj , j = 1, 2, · · · , n,
tem-se que
E[˜S] = ˜λ ˜p1 = ˜λE[ ˜X] = ˜λ


n
j=1
˜λj
˜λ
µj

 = −
n
j=1
log(1 − qj )µj >
n
j=1
qj µj ,
como se constata por (1).
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Observa¸c˜ao:
Retomemos o exemplo referente a uma Companhia Seguradora
efectua contratos de seguro de Vida (ap´olices anuais) para duas
unidades de benef´ıcio de montantes 1 e 2, respectivamente, e para
indiv´ıduos com probabilidade de morte 0.02 e0.10.
A Tabela seguinte sistematiza os 4 grupos de risco homog´eneos, de
acordo com o ”no de indiv´ıduos segurados”, nk, em cada uma das
classes assim criadas (de acordo com o montante de benef´ıcio bk e
a probabilidade de indemniza¸c˜ao qk, k = 1, 2, 3, 4):
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
k qk bk nk
1 0.02 1 500
2 0.02 2 500
3 0.10 1 300
4 0.10 2 500
n = 1800
Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de uma distribui¸c˜ao de
Poisson Composta, utilizando os dois m´etodos referidos,
comparando as variˆancias obtidas com a variˆancia do modelo de
risco individual original.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Resolu¸c˜ao: Pelo M´etodo 1,
λ∗
=
1800
j=1
qj =
4
k=1
nk qk = 500(0.02)+500(0.02)+300(0.10)+500(0.10) = 100,
A f.m.p. para X∗ ´e fX∗ (x) = P[X∗ = x] =
{j:bj =x}
qj
λ∗
, pelo que
P[X∗
= 1] =
500(0.02) + 300(0.10)
100
= 0.4
P[X∗
= 2] =
500(0.02) + 500(0.10)
100
= 0.6
p∗
2 = E[(X∗
)2
] = 12
(0.4) + 22
(0.6) = 2.8
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
pelo que
Var[S∗
] = λ∗
p∗
2 = 100 × 2.8 = 280 > 256
Pelo M´etodo 2,
˜λ = −
1800
j=1
log(1 − qj ) = −
4
k=1
nk log(1 − qk)
= −500 log(0.98) − 500 log(0.98) − 300 log(0.90) − 500 log(0.90)
= 104.5,
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
A f.m.p. para ˜X ´e f˜X (x) = P[ ˜X = x] =
{j:bj =x}
− log(1 − qj )
˜λ
, pelo
que
P[ ˜X = 1] =
−500 log(0.98) − 300 log(0.90)
104.5
= 0.399
P[ ˜X = 2] =
−500 log(0.98) − 500 log(0.90)
104.5
= 0.601
˜p2 = E[ ˜X2
] = 12
(0.399) + 22
(0.601) = 2.803
pelo que
Var[˜S] = ˜λ˜p2 = 104.5 × 2.803 ∼= 292.914 > 280 > 256.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Ser´a aqui retomado o conceito de resseguro Stop-Loss, desenvolvendo o c´alculo do
pr´emio de resseguro. Neste par´agrafo entra em jogo a rela¸c˜ao entre as trˆes entidades:
Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. No c´alculo de
resseguro Stop-Loss s˜ao obtidas as f´ormulas recursivas de acordo com dedut´ıveis
estipulados, sendo dado ˆenfase ao caso em que as indemniza¸c˜oes individuais assumem
valores nos inteiros positivos. Por outro lado ´e uma constante desta sec¸c˜ao evidenciar
ao aluno que os conceitos anteriormente apresentados s˜ao agora adaptados para esta
rela¸c˜ao entre as 3 entidades em quest˜ao.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
O conceito de seguro com um dedut´ıvel (ou reten¸c˜ao) j´a foi
apresentado anteriormente, como um tipo de tratado ´optimo que
maximiza a utilidade esperada, supondo fixado o pr´emio `a partida.
Consideremos agora este conceito aplicado a um grupo de riscos
para a seguradora.
Seja S o total de indemniza¸c˜oes num dado per´ıodo, para uma
Companhia Seguradora.
Para um Tratado de Resseguro Stop-Loss com Dedut´ıvel d, o
montante pago pela Resseguradora `a Seguradora Cedente ´e o
excesso positivo sobre um limite fixado d:
Id := (
N
i=1
Xi −d)+
= (S−d)+
= max(S−d, 0) =
0, S < d
S − d, S ≥ d
,
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
e, consequentemente, o montante de indemniza¸c˜oes retidas pela
Seguradora cedente ´e
S − Id := min(S, d) =
S, S < d
d, S ≥ d
.
Quer dizer, com este tipo de tratado a Seguradora vˆe assim
limitado superiormente por d o montante das indemniza¸c˜oes
retidas na Companhia.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Neste par´agrafo entra em jogo a rela¸c˜ao entre as trˆes entidades:
Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a
Resseguradora. Por outro lado, real¸camos o facto de que os
conceitos anteriormente apresentados s˜ao agora adaptados para
esta rela¸c˜ao entre as 3 entidades em quest˜ao, sempre sob o ponto
de vista da entidade seguradora cedente que ocupa o papel central.
Com a figura seguinte pretende-se evidenciar o facto de que o
estudo ´e desenvolvido sob o ponto de vista da ”Seguradora
Cedente”.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Debrucemo-nos, em seguida, sobre
M´etodos de C´alculo do Pr´emio de Resseguro Stop-Loss com
dedut´ıvel d
Comecemos pelo pr´emio puro respectivo, E[Id ], o que corresponde
a um limite inferior para o pr´emio Stop-Loss real.
Denotemos por FS e fS respectivamente a f.d. de S e a f.d.p. de S.
Ent˜ao:
E[Id ] =
∞
d
(x − d)fS (x)dx (3)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Por outro lado,
E[Id ] =
∞
0
(x − d)fS (x)dx −
d
0
(x − d)fS (x)dx
=
∞
0
xfS (x)dx − d
∞
0
fS (x)dx +
d
0
(d − x)fS (x)dx,
pelo que (3) ´e equivalente a
E[Id ] = E[S] − d +
d
0
(d − x)fS (x)dx (4)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Notando que fS (x) = − d
dx [1 − FS (x)], podemos exprimir o pr´emio
puro do resseguro em termos da f.d. de S, j´a que
E[Id ] =
∞
d
(x − d)fS (x)dx =
∞
d
(d − x)
d
dx
[1 − FS (x)]dx
= (d − x)[1 − FS (x)]|∞
d +
∞
d
[1 − FS (x)]dx,
integrando por partes
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
pelo que, notando que limx→∞ x[1 − FS (x)] = 0, se obtem
E[Id ] =
∞
d
[1 − FS (x)]dx (5)
e tamb´em
E[Id ] = E[S] −
d
0
[1 − FS (x)]dx (6)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Observa¸c˜ao:
Se d = 0, ent˜ao E[Id ] = E[I0] = E[S], o que de certo modo
equivale a dizer que se a seguradora estabelece um limite de
reten¸c˜ao nulo ent˜ao ter´a de pagar por pr´emio de resseguro o
pr´emio puro referente a todas as indemniza¸c˜oes agregadas do risco
associado.
Observa¸c˜ao:
As express˜oes (5) e (6) s˜ao v´alidas para distribui¸c˜oes mais
gen´ericas, incluindo discretas ou mistas.
A utiliza¸c˜ao mais conveniente de uma das express˜oes (3), (4), (5)
ou (6) depende do problema particular em quest˜ao.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Exemplo:
Considere que ´e sensato modelar atrav´es de uma distribui¸c˜ao
Gama(α, β) as indemniza¸c˜oes agregadas associadas a determinado
tipo de risco dentro de uma seguradora, S. Denotando por
FS (x; α, β) =
x
0 βα xα−1
Γ(α) e−βx dx a f.d. associada a S, mostrar que
E[Id ] =
α
β
[1 − FS (d; α + 1, β)] − d[1 − FS (d; α, β)].
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Resolu¸c˜ao:
E[Id ] =
∞
d
(x − d)fS (x; α, β)dx
=
∞
d
(x − d)βα xα−1
Γ(α)
e−βx
dx
=
∞
d
βα xα
Γ(α)
e−βx
dx − d
∞
d
fS (x; α, β)dx
= α
β
∞
d
βα+1 xα
Γ(α + 1)
e−βx
dx − d[1 − FS (d; α, β)]
= α
β [1 − FS (d; α + 1, β)] − d[1 − FS (d; α, β)].
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
F´ormulas Recursivas para E[Id ] com indemniza¸c˜oes inteiras
Consideremos agora o caso particular de S com valores no suporte
dos inteiros
x = 0, 1, 2, · · ·
fS (x) = P[S = x]
d ∈ N
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Observa¸c˜ao:
O Pr´emio Puro de Resseguro Stop-Loss no caso do dedut´ıvel d /∈ ℵ
para o caso de indemniza¸c˜oes inteiras obtem-se por interpola¸c˜ao
linear nos inteiros que contˆem d (Exerc´ıcio 8.9(∗)).
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Introdu¸c˜ao.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Para o caso discreto as express˜oes (3)e (4) tˆem a sua contrapartida
E[Id ] =
∞
x=d+1
(x − d)fS (x) = E[S] − d +
d−1
x=0
(d − x)fS (x) (7)
enquanto que para as express˜oes (5)e (6) se obtem
E[Id ] =
∞
d
[1 − FS (x)]dx
=
d+1
d
[1 − FS (x)]dx +
d+2
d+1
[1 − FS (x)]dx + · · · ,
= [1 − FS (d)] + [1 − FS (d + 1)] + · · · ,
E[Id ] =
∞
x=d
[1 − FS (x)] (8)
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e tamb´em
E[Id ] =
∞
x=0
[1 − FS (x)] −
d−1
x=0
[1 − FS (x)]
E[Id ] = E[S] −
d−1
x=0
[1 − FS (x)] (9)
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Em geral, obtem-se assim uma f´ormula recursiva:
E[Id+1] = E[Id ] − [1 − FS (d)], d = 0, 1, 2, · · ·
E[I0] = E[S]
(10)
Este m´etodo ´e muito ´util para o caso de as indemniza¸c˜oes
agregadas serem modeladas por uma Poisson Composta, com
severidade nos valores inteiros positivos, j´a que tamb´em para esse
caso a f.m.p. de S pode ser calculada recursivamente.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
F´ormulas Recursivas para S PC(λ, FX ) com fX (x) = P[X = x],
x = 1, 2, · · ·
A partir dos Valores Iniciais
fS (0) = P[S = 0] = e−λ
E[I0] = E[S] = λp1 = λE[X]
(11)
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
s˜ao usadas as F´ormulas Recursivas
fS (x) = P[S = x] =
λ
x
∞
j=1
jfX (j)fS (x − j)
FS (x) = FS (x − 1) + fS (x)
E[Ix ] = E[Ix−1] − {1 − FS (x − 1)}, x = 1, 2, 3, · · ·
(12)
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Exemplo:
Uma carteira de ap´olices produz um no de sinistros, N, num
per´ıodo fixo, de acordo com
n 0 1 2 3
P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2
e indemniza¸c˜oes individuais X com
x 1 2 3
P[X = x] 0.5 0.4 0.1
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
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Este exemplo foi tratado anteriormente, tendo sido calculadas as
f.d. e f.m.p. de S, obtendo-se
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
fS (x) 0.1000 0.1500 0.2200 0.2150 0.1640 0.0950 0.0408 0.0126 0.0024 0.0002
FS (x) 0.1000 0.2500 0.4700 0.6850 0.8490 0.9440 0.9848 0.9974 0.9998 1.0000
Calcular o Pr´emio de Resseguro Stop-Loss, face a um dedut´ıvel de
d = 7.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Resolu¸c˜ao:
E[I7] =
∞
x=8
(x − 7)fS (x) =
9
x=8
(x − 7)fS (x)
= 1 · fS (8) + 2 · fS (9) = 0.0024 + 2(0.0002) = 0.0028,
ou, alternativamente,
E[I7] =
∞
x=7
[1 − FS (x)] =
8
x=7
[1 − FS (x)] = 0.0028
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Observa¸c˜ao:
Para o caso de S ter suporte n˜ao limitado superiormente ´e mais
conveniente utilizar as express˜oes alternativas equivalentes para
somat´orios finitos (ou integrais num intervalo limitado).
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Introdu¸c˜ao.
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Exemplo:
Supondo que S tem distribui¸c˜ao Poisson Composta com λ = 1.5 e
P[X = 1] = 2
3 e P[X = 2] = 1
3, calcular fS (x), FS (x) e E[Ix ] para
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.
Resolu¸c˜ao:
Recorrendo `as express˜oes (11) e (12), obtˆem-se os valores iniciais
fS (0) = FS (0) = e−λ
= e−1.5
= 0.223
E[I0] = E[S] = λp1 = 1.5 × E[X] = 1.5 ×
4
3
= 2
e em seguida as express˜oes recursivas
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Introdu¸c˜ao.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
fS (x) =
λ
x
2
j=1
jfX (j)fS (x − j)
=
1.5
x
[fX (1)fS (x − 1) + 2fX (2)fS (x − 2)]
=
1
x
[fS (x − 1) + fS (x − 2)], x = 1, 2, · · · , 6
Por exemplo, fS (1) = fS (0) = 0.223 e assim sucessivamente,
obtendo-se no final
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Introdu¸c˜ao.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
x fS (x) FS (x) E[Ix ]
0 0.223 0.223 2.000
1 0.223 0.446 1.223
2 0.223 0.669 0.669
3 0.149 0.818 0.338
4 0.093 0.911 0.156
5 0.048 0.959 0.067
6 0.024 0.983 0.026
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına
Este par´agrafo aborda o tema proposto de uma forma introdut´oria, visando um
compromisso entre o ganho esperado pelo segurador, por um lado, e a seguran¸ca
esperada por outro. Estabelecendo como medida de seguran¸ca exactamente um limite
superior para a probabilidade de ru´ına, pretende-se que a selec¸c˜ao do contrato entre os
resseguros admiss´ıveis aquele que produza um ganho esperado mais elevado. ´E
exactamente neste par´agrafo que o significado da designa¸c˜ao dada anteriormente de
coeficiente de ajustamento se torna mais evidente para o aluno: se para determinado
tratado de resseguro o valor daquele coeficiente n˜ao ´e suficientemente elevado (ao
qual corresponde um valor de probabilidade de ru´ına mais baixo), dever´a ser tomado
em considera¸c˜ao um ajustamento do contrato de resseguro com vista a aumentar o
referido parˆametro ( e a baixar a probabilidade de ru´ına, consequentemente).
Essencialmente, `a custa de exemplos ilustrativos ´e feita uma compara¸c˜ao do
desempenho entre os tratados proporcionais e de stop-loss.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Quest˜oes acerca do tipo de Resseguro a adquirir podem ser
respondidas de diferentes maneiras.
Uma da abordagens foi considerada `a luz da teoria da utilidade.
Assim, face `a adop¸c˜ao de uma fun¸c˜ao utilidade por parte da
Seguradora e tendo `a sua disposi¸c˜ao diversos tipos de contrato de
Resseguro, a seguradora opta por aquele a que corresponde a
maior utilidade esperada. Trata-se de uma abordagem muito
simples conceptualmente, mas que na pr´atica n˜ao ´e muito
explorada, fundamentalmente devido `a escolha da fun¸c˜ao utilidade
mais apropriada.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Posteriormente, foi considerada uma taxa de pr´emio que
contemplava alguma carga de seguran¸ca relativamente ao processo
de risco associado, nomeadamente,
c = (1 + θ)λp1 (13)
supondo p1 = E[X] a indemniza¸c˜ao individual esperada num
per´ıodo de tempo unit´ario.
Em termos de Resseguro Stop-Loss, debru¸c´amo-nos anteriormente
sobre o c´alculo do pr´emio puro associado ao resseguro com
dedut´ıvel d, E[Id ], que n˜ao ´e mais do que um limite inferior do
valor real do pr´emio a pagar pela transferˆencia de parte das
indemniza¸c˜oes acima de certo montante de reten¸c˜ao.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Tal como no caso geral, a real taxa de pr´emio a pagar no caso de
utiliza¸c˜ao do princ´ıpio do valor m´edio obedece ao enquadramento
geral do tipo
Taxa do Pr´emio
de Resseguro
=
(1+Coeficiente de Segu-
ran¸ca para Resseguro )
×
Taxa Esperada das
Indemniza¸c˜oes para
Resseguro
Isto ´e, no caso de um Tratado de Resseguro para o colectivo S,
h(S) ≤ S, a taxa de pr´emio para o colectivo ser´a
ch = (1 + ξh)E[h(S)] (14)
sendo a taxa no colectivo afectada de uma carga de seguran¸ca
ξhE[h(S)] .
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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Observa¸c˜ao:
Note-se que sendo o taxa de pr´emio de Resseguro determinada
pela Resseguradora, o coeficiente de seguran¸ca ξh ´e obtido `a custa
de (14). Em particular, o estudo efectuado na sec¸c˜ao anterior com
resultados para a taxa de pr´emio puro E[Id ] equivale a considerar
ξh = 0.
Alternativamente `a abordagem seguida anteriormente,
consideraremos uma nova perspectiva de Resseguro, de certa
forma contemplando um compromisso entre o ganho esperado, por
um lado, e a seguran¸ca esperada, por outro.
Devido `a carga contida no pr´emio de Resseguro, a aquisi¸c˜ao de
Resseguro reduz o ganho esperado do segurador cedente. Contudo,
um contrato de resseguro conveniente implica um acr´escimo de
seguran¸ca para a Companhia Cedente.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Face a determinada condi¸c˜ao de seguran¸ca pr´e-estabelecida, o
segurador selecciona de entre os contratos de resseguro admiss´ıveis
aquele que produz um ganho esperado mais elevado.
Que medida de seguran¸ca escolher?
Iremos considerar a probabilidade de ru´ına.
Um requisito poss´ıvel poder´a ser uma condi¸c˜ao limitativa para a
Probabilidade de Ru´ına, do tipo
PROBABILIDADE DE RU´INA ≤ 1%
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Iremos desenvolver este estudo para determinados tratados de
resseguro, para os quais seja poss´ıvel determinar o respectivo
Coeficiente de Ajustamento, R, (ou ˜R).
Tornar-se-´a agora mais clara a designa¸c˜ao de R: se para
determinado tratado de resseguro o valor de R n˜ao ´e
suficientemente elevado (e ao qual corresponde um valor de
Probabilidade de Ru´ına n˜ao suficientemente baixo) dever´a ser
tomado em considera¸c˜ao um reajustamento do contrato de forma
a aumentar o R associado (e a baixar a probabilidade de ru´ına,
consequentemente).
Iremos com o exemplo seguinte abordar a quest˜ao, para o caso de
um Tratado Stop-Loss, em que a seguradora tem `a sua escolha um
de trˆes dedut´ıveis a estabelecer.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Exemplo:
Uma Seguradora possui uma carteira de ap´olices que produz
indemniza¸c˜oes agregadas anuais que s˜ao independentes e
identicamente distribu´ıdas como uma Poisson Composta com
λ = 1.5, com fX (1) = 2
3 e fX (2) = 1
3. Os pr´emios anuais s˜ao de
montante c = 2.5.
a Calcular o Coeficiente de Ajustamento que resulta
desta carteira (ou seja, com cobertura completa por
parte desta companhia seguradora, ou ainda supondo
o caso extremo de um dedut´ıvel d = ∞).
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
b Pode ser adquirida uma cobertura do tipo Stop-Loss
para uma carga de seguran¸ca associada de 100%.
Calcular o coeficiente de ajustamento que resulta de
um contrato de resseguro stop-Loss afectado de um
dedut´ıvel de
1 d = 3;
2 d = 4;
3 d = 5.
Comparar estas trˆes alternativas que a companhia
tem ao seu dispor, tendo em vista o ganho esperado.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Resolu¸c˜ao: a) Estamos perante a defini¸c˜ao discreta do coeficiente
de ajustamento, j´a que s˜ao mencionados pr´emios anuais e o
comportamento da indemniza¸c˜oes agregadas anuais.
Assim, o processo de reservas associado ´e dado pelo modelo
Un = u + nc − Sn, Sn =
n
i=1
Wi
onde Wi representa as indemniza¸c˜oes agregadas no ano i, sendo
considerado que Wi i.i.d. a W PC(λ; FX ), com λ = 1.5 e
c = 2.5.
Para este caso particular foi mostrado que ˜R ≡ R, i.e., ˜R ´e solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao do modelo a tempo cont´ınuo
λ + cr = λMX (r)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Ora neste caso a f.g.m. associada `as indemniza¸c˜oes individuais X ´e
MX (r) = E[erX
] = fX (1)er
+ fX (2)e2r
=
2
3
er
+
1
3
e2r
,
donde o coeficiente de ajustamento associado a esta cobertura
total, ˜R, ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao transcendente
1.5 + 2.5r = er
+
1
2
e2r
,
que resolvida iterativamente resulta em
˜R = 0.28
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Consideraremos o estudo do caso d = 4, j´a que para os outros
valores do dedut´ıvel o desenvolvimento ´e semelhante.
No Exemplo foram calculados v´arios valores para a taxa do pr´emio
puro, E[Id ], em particular E[I4] = 0.156 .
De acordo com os dados do problema proposto, a resseguradora
estabeleceu uma taxa de Pr´emio de Resseguro que est´a afectada
de um coeficiente de seguran¸ca
ξI4 = 100%,
i.e., denotando por cI4 o pr´emio de resseguro anual para um
Stop-Loss com dedut´ıvel d = 4,
cI4 = (1 + ξI4 )E[I4] = 2E[I4] = 0.312
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Assim, o Pr´emio Retido anual na seguradora, cretido, ser´a igual ao
montante recebido pelos seus segurados c subtra´ıdo do pr´emio de
Resseguro, cI4 , que a empresa cedente ter´a de pagar `a
resseguradora para adquirir o Tratado de Stop-Loss; i.e.,
cretido = c − cI4
ou seja,
cretido = 2.5 − 0.312 = 2.188
Por outro lado, ao adquirir o resseguro, a seguradora cedente vˆe a
sua responsabilidade desagravada, ficando com as indemniza¸c˜oes
retidas
ˆWi =
Wi , Wi = 0, 1, 2, 3, 4
4, Wi > 4
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
sendo ˆWi i.i.d. a ˆW que corresponde `a v.a. W truncada em 4.
Assim, j´a n˜ao tem lugar o modelo Poisson Composto e teremos de
recorrer `a equa¸c˜ao geral para determina¸c˜ao do Coeficiente de
Ajustamento ˜R associado a este tipo de tratado
e−cretidor
M ˆW (r) = 1
ou seja, considerando que f ˆW (x) = fW (x) para x = 0, 1, 2, 3 e
f ˆW (4) = 1 − FW (3) e que W
d
= S do Exemplo, ent˜ao ˜R ´e solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao
e−2.188r
3
x=0
fS (x)exr
+ [1 − FS (3)]e4r
= 1;
note-se que fS e FS foram previamente calculadas recursivamente
no Exemplo 8.4.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Por m´etodos num´ericos iterativos ´e poss´ıvel determinar
˜R = 0.35,
pelo que o Ganho Esperado Anual da seguradora cedente, Gretido,
ser´a igual ao montante de pr´emios retido na companhia adicionado
do pagamento esperado de indemniza¸c˜oes pela Resseguradora e
subtra´ıdo do montante esperado de indemniza¸c˜oes que ter´a de
pagar aos seus segurados; i.e.,
Gretido = cretido + E[I4] − E[W ]
= 2.188 + 0.156 − λE[X]
= 2.188 + 0.156 − 1.5 ×
4
3
= 0.344
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Para os outros valores de dedut´ıvel, d = 3, d = 5 e d = ∞(sem
resseguro) os valores s˜ao os seguintes:
d ˜R Gretido
3 0.25 0.162
4 0.35 0.344
5 0.34 0.433
∞ 0.28 0.500
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Coment´ario Final:
Relativamente `a seguran¸ca, em termos da probabilidade de
ru´ına ou, equivalentemente do coeficiente de ajustamento, o
dedut´ıvel de d = 4 ´e prefer´ıvel a d = 5, uma vez que o
primeiro produz ˜R = 0.35 superior a ˜R = 0.34.
Contudo, em termos do Ganho esperado d = 4 ´e pior do que
d = 5 uma vez que o primeiro produz Gretido = 0.344 inferior
a Gretido = 0.433.
Por outro lado, escolher um dedut´ıvel de d = 3 n˜ao tem
sentido, j´a que isso corresponde a um desempenho pior tanto
em termos de seguran¸ca como de ganho esperado do que
ausˆencia de resseguro (d = ∞).
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Observa¸c˜ao
ote-se que o caso extremo de uma transferˆencia total das
indemniza¸c˜oes para resseguro, i.e., uma escolha de d = 0 conduz a
valores de um coeficiente de ajustamento ˜R = 0 e portanto a ru´ına
certa. Realmente o valor correspondente de ganho esperado ´e
negativo e de Gretido = −1.5 .
No Tratado Stop-Loss os pagamentos por parte da Resseguradora
`e Seguradora cedente s˜ao estipulados em fun¸c˜ao das indemniza¸c˜oes
agregadas.
Consideremos seguidamente outro tipo de contrato de resseguro
em que os pagamentos da Resseguradora `a Seguradora dependem
dos montantes individuais.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Em geral, uma cobertura deste tipo ´e definida em termos de uma
fun¸c˜ao h(X), com 0 ≤ h(X) ≤ X.
Dois tipos de Tratado j´a foram apresentados:
Resseguro Quota-Share (ou Proporcional)
h(X) = αX, 0 ≤ α ≤ 1
Resseguro Excess-of-Loss (ou Excesso de Perda)
h(X) = (X−β)+
= max(X−β, 0) =
0, X < β
X − β, X ≥ β
, β ≥ 0
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Observa¸c˜ao:
1 Para o Resseguro Proporcional os casos extremos de α = 0 e
α = 1 correspondem respectivamente a ausˆencia de resseguro
e a resseguro de cobertura total. Para o Resseguro
Excess-of-Loss β = ∞ ´e a ausˆencia de resseguro enquanto que
β = 0 ´e resseguro de cobertura total.
2 Note-se que relativamente ao resseguro para o colectivo
referente ao total de indemniza¸c˜oes as defini¸c˜oes daqueles
tratados correspondem, respectivamente, a
α
N
i=1
Xi e
N
i=1
(Xi − β)+
.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
No que se segue consideraremos novamente o modelo Poisson
Composto PC(λ, FX ), com pr´emios de resseguro pagos
continuamente a uma taxa ch; assim, sendo c a taxa dos pr´emios
continuamente recebidos pelos segurados, a seguradora retem
pr´emios a uma taxa cretido = c − ch. Ent˜ao o Coeficiente de
Ajustamento, Rh, relativo ao resseguro h e, consequentemente,
associado `as indemniza¸c˜oes retidas Xretido = X − h(X) ´e a solu¸c˜ao
n˜ao trivial da equa¸c˜ao:
λ + cretidor = λMXretido
(r)
ou seja,
λ + (c − ch)r = λ
∞
0
er[x−h(x)]
fX (x)dx
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Supondo que ´e aplicado o princ´ıpio do valor m´edio a taxa de
pr´emio de resseguro, relativamente a um total de indemniza¸c˜oes
pagas pela resseguradora Sh, ´e do tipo
ch = (1 + ξh)E[Sh] = (1 + ξh)λE[h(X)]
e a taxa dos pr´emios recebidos pelos segurados relativamente a
um total de indemniza¸c˜oes S ´e como anteriormente
c = (1 + θ)E[S] = (1 + θ)λE[X]
vem, consequentemente, uma taxa de pr´emios retidos
relativamente a um total de indemniza¸c˜oes retidas Sretido da forma
cretido = (1 + θ∗
)E[Sretido] ⇐⇒ c − ch = (1 + θ∗
)λE[X − h(X)]
Nos exemplos que se seguem exploraremos estes conceitos para os
dois tipos de tratado de resseguro e diferentes coeficientes de
seguran¸ca associados.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Exemplo:
Suponha-se que as indemniza¸c˜oes formam um processo de Poisson
Composto, com λ = 1 e X U(0, 1). Os pr´emios s˜ao recebidos
de acordo com uma taxa c = 1. Calcular o Coeficiente de
Ajustamento se for adquirido um Resseguro Proporcional com
α = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1 e se o coeficiente de seguran¸ca para
resseguro ´e de
a) ξh = 100%; b) ξh = 140% .
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Resolu¸c˜ao:
A taxa de pr´emio de resseguro ´e
ch = (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ
1
0
h(x)fX (x)dx = (1+ξh)λ
1
0
αxdx
pelo que
ch = (1 + ξh)λ
α
2
.
a) Neste caso ξh = 100% e ch = α, vindo o coeficiente de
ajustamento como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
λ + (c − ch)r = λ
∞
0
er[x−h(x)]
fX (x)dx
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
ou seja,
1 + (1 − α)r =
1
0
er(1−α)x
dx ⇐⇒ 1 + (1 − α)r =
er(1−α) − 1
r(1 − α)
Considere-se o primeiro caso de α = 0 (ausˆencia de resseguro). A
resolu¸c˜ao por m´etodos num´ericos da equa¸c˜ao
1 + r =
er − 1
r
conduz neste caso a R = 1.793.
Ora, como
1 + r =
er − 1
r
⇐⇒ 1 + (1 − α)
r
1 − α
=
e
r
1−α
(1−α)
− 1
r
1−α(1 − α)
;
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
fazendo r∗ := r
1−α , somos conduzidos `a equa¸c˜ao
1 + (1 − α)r∗
=
er∗(1−α) − 1
r∗(1 − α)
,
pelo que as solu¸c˜oes n˜ao trivias da equa¸c˜ao determinante do
coeficiente de ajustamento para os outros valores de α = 0
correspondem `a solu¸c˜ao encontrada para α = 0 escalada
convenientemente, i.e.,
R ≡ Rα =
1.793
1 − α
, α = 0.1, 0.2, · · · , 1.0
b) No caso de ξh = 140% os c´alculos s˜ao semelhantes, vindo
ch = 1.2α
e R ≡ Rα ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
1 + (1 − 1.2α)r =
er(1−α) − 1
r(1 − α)
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
As solu¸c˜oes para os casos a) e b) est˜ao resumidas na tabela
Coeficiente de ajustamento Rα
α ξh = 100% ξh = 140%
0.0 1.793 1.793
0.1 1.993 1.936
0.2 2.242 2.095
0.3 2.562 2.268
0.4 2.989 2.436
0.5 3.587 2.538
0.6 4.483 2.335
0.7 5.978 0.635
0.8 8.966 − ←− α=5/7
0.9 17.933 −
1.0 ∞ −
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Coment´ario Final:
Vejamos a que carga de seguran¸ca, aplicada aos segurados,
corresponde um pr´emio c = 1:
c = (1 + θ)E[S] = (1 + θ)λE[X] = (1 + θ) · 1 ·
1
2
=⇒ θ = 1.
Em a), as cargas de seguran¸ca para resseguro e para os
segurados s˜ao iguais, i.e., ξh = θ = 1, e R ≡ Rα ´e crescente
com α (e a probabilidade de ru´ına?).
Em b), a carga de seguran¸ca para resseguro ´e superior `a
aplicada aos segurados, i.e., ξh = 1.4 > θ = 1 e R ≡ Rα ´e
crescente de α = 0 at´e α = 0.5 e depois decresce (e a
probabilidade de ru´ına?).
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Ainda em b) fa¸camos uma an´alise mais detalhada do que se
est´a a passar em termos da ru´ına. Vejamos para que valor de
α a taxa de pr´emios retidos ´e igual ao valor esperado das
indemniza¸c˜oes retidas; quer dizer como
cretido = c−ch = 1−1.2α e E[Sretido] = λE[X −h(X)] = 1·
1 − α
2
determine-se α por forma a que
cretido = E[Sretido] ⇐⇒ 1 − 1.2α =
1 − α
2
.
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Ent˜ao para este valor de α = 5/7, tem-se obviamente
cretido = (1 + θ∗
)E[Sretido] ⇐⇒ θ∗
= 0
concluindo que existe Ru´ına Certa para a Companhia Cedente.
O mesmo sucede para valores α > 5/7, pois isso equivale a
dizer que θ∗ < 0 e, consequentemente, cretido < E[Sretido]
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Exemplo:
Suponha que a Seguradora do exemplo anterior pode adquirir um
Resseguro para uma cobertura Excess-of-Loss com
β = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1.
Calcular o Coeficiente de Ajustamento se o coeficiente de
seguran¸ca para resseguro ´e de
a) ξh = 100%; b) ξh = 140% .
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Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Resolu¸c˜ao:
A taxa de pr´emio de resseguro ´e
ch = (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ
∞
0
h(x)fX (x)dx = (1+ξh)
1
β
(x−β)dx
pelo que ch = (1 + ξh)
(1 − β)2
2
.
a) No caso de ξh = 100% obtem-se ch = (1 − β)2 e R ≡ Rβ ´e
solu¸c˜ao n˜ao trivial da equa¸c˜ao
λ + (c − ch)r = λ
∞
0
er[x−h(x)]
fX (x)dx
ou seja,
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Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
1 + [1 − (1 − β)2
]r =
β
0
erx
dx +
1
β
erβ
dx,
pelo que tudo se resume `a resolu¸c˜ao, por m´etodos num´ericos, da
equa¸c˜ao
1 + [1 − (1 − β)2
]r =
erβ − 1
r
+ (1 − β)erβ
b) Neste caso ξh = 140% vindo ch = 1.2(1 − β)2 e a consequente
equa¸c˜ao a resolver
1 + [1 − 1.2(1 − β)2
]r =
erβ − 1
r
+ (1 − β)erβ
.
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
As solu¸c˜oes n˜ao triviais das equa¸c˜oes est˜ao resumidas na tabela
Coeficiente de ajustamento Rβ
β ξh = 100% ξh = 140%
1.0 1.793 1.793
0.9 1.833 1.828
0.8 1.940 1.920
0.7 2.116 2.062
0.6 2.378 2.259
0.5 2.768 2.518
0.4 3.373 2.840
0.3 4.400 3.138
0.2 6.478 2.525
0.1 12.746 − ←− β=1−
√
5/7
0.0 ∞ −
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Coment´ario Final:
A an´alise deste caso ´e semelhante ao do Resseguro
Proporcional, bastando notar que para o valor de
β = 1 − 5/7, se tem
1 − 1.2(1 − β)2
= (1 + θ∗
)
1 − (1 − β)2
2
⇐⇒ cretido = (1 + θ∗
)E[Sretido]
⇐⇒ θ∗
= 0
concuindo que para valores inferiores de β existe Ru´ına Certa
para a Companhia Cedente.
100 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Exemplo:
Comparar os resultados dos exerc´ıcios anteriores referentes ao
resseguro proporcional hα(X) e ao resseguro Excess-of-Loss hβ(X),
para os pares (α, β) tais que
E[hα(X)] = E[hβ(X)]
.
Resolu¸c˜ao:
Os pares (α, β) verificam a igualdade α
2 = (1−β)2
2 , pelo que
escrevendo α como fun¸c˜ao de β, α = (1 − β)2 e com
procedimentos semelhantes aos expostos nos 2 exemplos anteriores
obtem-se a tabela:
101 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Coeficientes de ajustamento para hα(X) e hβ(X)
ξhα = 100% ξhβ
= 100% ξhα = 140% ξhβ
= 140%
α β Rα Rβ Rα Rβ
0.00 1.0 1.793 1.793 1.793 1.793
0.01 0.9 1.811 1.833 1.807 1.828
0.04 0.8 1.868 1.940 1.848 1.920
0.09 0.7 1.971 2.116 1.921 2.062
0.16 0.6 2.135 2.378 2.030 2.259
0.25 0.5 2.391 2.768 2.181 2.518
0.36 0.4 2.802 3.373 2.372 2.840
0.49 0.3 3.516 4.400 2.535 3.138
0.64 0.2 4.981 6.478 1.992 2.525
0.81 0.1 9.438 12.746 − −
1.00 0.0 ∞ ∞ − −
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Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
coment´ario:
Para uma dada carga de seguran¸ca, o resseguro Excess-of-Loss
conduz a Coeficientes de Ajustamento superiores (e a valores de
Probabilidade de Ru´ına inferiores) aos obtidos por uma cobertura
Proporcional, para os mesmos valores esperados de pagamento de
resseguro.
No teorema que enunciaremos seguidamente (a demonstra¸c˜ao
encontra-se em Bowers et al.,1987), constataremos que a conclus˜ao
do exemplo anterior ´e um caso particular do resultado geral, de
certo modo confirmando a optimalidade do Tratado Excess-of-Loss
comparativamente a outro tipo de tratados como havia sido
referido no in´ıcio do curso, sob a perspectiva da Utilidade.
103 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Teorema:
Considere-se um Resseguro h(X), 0 ≤ h(X) ≤ X, de taxa de
pr´emio ch. Seja hβ(X) um Tratado Excess-of-Loss com dedut´ıvel β
e seja chβ
a sua taxa de pr´emio. Sejam Rh e Rhβ
os respectivos
Coeficientes de Ajustamento.
Se E[h(X)] = E[hβ(X)] e ch = chβ
ent˜ao Rh ≤ Rhβ
.
Observa¸c˜ao:
Note-se que dizer que as taxas de pr´emios s˜ao iguais ´e equivalente
a dizer que a seguran¸ca ´e igual, j´a que
ch = chβ
⇐⇒ (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξβ)λE[hβ(X)] ⇐⇒ ξh = ξhβ
uma vez que E[h(X)] = E[hβ(X)].
104 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
De acordo com as condi¸c˜oes do teorema as conclus˜oes
comparativas relativamente aos coeficientes de ajustamento s´o
podem ser aplicadas para a mesma carga de resseguro.
Ora, por vezes, pode ser vantajoso escolher uma carga de
resseguro por forma a aumentar o coeficiente de ajustamento e
fazendo simultanemaente decrescer os pr´emios de resseguro.
No ´ultimo caso apresentado, temos exemplificada essa situa¸c˜ao do
seguinte modo:
105 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Para α = 0.49 e ξhα = 100%, o valor da taxa de resseguro ´e de
chα = 2
α
2
= 0.49,
enquanto que para β = 0.3 e ξhβ
= 140% a taxa de resseguro
respectiva ´e de
chβ
= 2.4
(1 − β)2
2
= 0.58,
verificando-se que
chα < chβ
.
Quanto aos coeficientes de ajustamento tamb´em o Tratado
Proporcional oferece vantagem, j´a que
Rα = 3.516 > Rβ = 3.138,
associando igualmente uma menor probabilidade de ru´ına para
106 / 107
Introdu¸c˜ao.
Distribui¸c˜oes usuais para a severidade
Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
Uma escolha conveniente de resseguro dever´a ter estes dois
objectivos: por um lado, uma
taxa de pr´emio t˜ao baixa quanto poss´ıvel e conduzir `a
maior seguran¸ca, neste caso ao maior Coeficiente de Ajustamento
e, consequentemente, `a menor probabilidade de Ru´ına.
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Modelos de risco individual e coletivo em seguros

  • 1. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. 5. aplica¸c˜ao da teoria do risco a seguros 1 / 107
  • 2. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. 1 Introdu¸c˜ao. 2 Distribui¸c˜oes usuais para a severidade 3 Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. 4 Tratado de Resseguro Stop-Loss 5 Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. 2 / 107
  • 3. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Introdu¸c˜ao. O objectivo deste cap´ıtulo ´e o de indicar v´arios modos de aplica¸c˜ao de Teoria do Risco a Problemas de Seguros. S˜ao assim aflorados os tipos usuais de distribui¸c˜oes para diferentes ramos de seguros; seguidamente, s˜ao referidos 2 m´etodos de aproxima¸c˜ao dos modelos de risco individual para uma carteira de ap´olices por modelos de risco colectivo; ´e estudado o efeito do resseguro (Stop-loss e proporcional) na probabilidade de ru´ına; e, por fim, faz-se referˆencia a outros princ´ıpios de c´alculo de pr´emio, real¸cando que os t´opicos abordados ao longo do curso podem ser reformulados `a luz desses princ´ıpios. 3 / 107
  • 4. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Introdu¸c˜ao. O objectivo principal deste cap´ıtulo ´e o de indicar v´arios modos de aplica¸c˜ao da Teoria do Risco a Problemas de Seguros. Nos dois cap´ıtulos anteriores foi desenvolvido o modelo de Risco Colectivo. Este modelo foi constru´ıdo sob a suposi¸c˜ao de que uma colec¸c˜ao de ap´olices ↓ gera um n´umero aleat´orio de indemniza¸c˜oes (sinistros) em cada per´ıodo e cada indemniza¸c˜ao (sinistro) ´e de montante aleat´orio 4 / 107
  • 5. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Introdu¸c˜ao. A aplica¸c˜ao de semelhante modelo exige informa¸c˜ao acerca de : distribui¸c˜ao do n´umero de indemniza¸c˜oes distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual Como foi salientado, n˜ao ´e tarefa espec´ıfica nesta abordagem levar a cabo toda uma metodologia de modela¸c˜ao face a dados reais. Ao longo da exposi¸c˜ao temos suposto que ambos os modelos s˜ao conhecidos `a partida, fruto eventualmente de todo um trabalho de modela¸c˜ao pr´evio. 5 / 107
  • 6. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Introdu¸c˜ao. No entanto, ser´a seguidamente dada uma breve ilustra¸c˜ao do tipo de distribui¸c˜oes que usualmente se tˆem revelado mais frequentes na modela¸c˜ao de dados reais, para diferentes ramos de seguros: Incˆendio Autom´ovel Incapacidade Tempor´aria Hospitalar Seguidamente, ser˜ao referidos dois m´etodos de aproxima¸c˜ao dos modelos de risco individual para uma carteira de ap´olices por modelos de risco colectivo, atrav´es de distribui¸c˜oes de Poisson Composta convenientes. Finalmente, falaremos de Resseguro Stop-Loss e o efeito do resseguro na Probabilidade de Ru´ına. 6 / 107
  • 7. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade distribui¸c˜oes usuais para a severidade Ser´a feita uma breve apresenta¸c˜ao de algumas distribui¸c˜oes associadas aos montantes de indemniza¸c˜ao, em Seguros de Incˆendio, Acidentes Pessoais no Ramo Autom´ovel, Incapacidade Tempor´aria, Internamento Hospitalar. Nos ramos mencionados s˜ao referidos os modelos lognormal, Pareto, mistura de exponenciais, Gama, associados a problemas actuarias correntes. 7 / 107
  • 8. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Referiremos 4 aplica¸c˜oes espec´ıficas, de modo a dar uma vis˜ao do leque de aplica¸c˜oes associadas a modelos em Teoria do Risco. SEGURO DE INCˆENDIO SINISTRO −→ incˆendio numa estrutura segura que origina dano de perdas. Na literatura ligada a problemas actuariais tˆem sido sugeridas algumas distribui¸c˜oes standard, com parˆametros a estimar a partir da amostra dos montantes de sinistro no per´ıodo de estudo. Cabe aqui referir o car´acter altamente assim´etrico das distribui¸c˜oes, com de caudas pesadas. 8 / 107
  • 9. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Lognormal: fX (x; m, σ) = 1 xσ √ 2π exp − (log x − m)2 2σ2 , m ∈ , x > 0, σ > 0 Se Y N(m, σ) ent˜ao X = eY LN(m, σ). µX = exp m + σ2 2 σ2 X = (eσ2 − 1) exp 2m + σ2 9 / 107
  • 10. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Pareto: fX (x; x0, α) = αxα 0 xα+1 , x > x0 > 0, α > 0 µX = αx0 α − 1 (existe para α > 1) σ2 X = αx2 0 (α − 2)(α − 1)2 (existe para α > 2) 10 / 107
  • 11. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Mistura de Exponenciais: fX (x; p, q, α, β) = pαe−αx + qβe−βx , para x > 0, α, β > 0, 0 < p < 1, p + q = 1. µX = p α + q β σ2 X = p(1 + q) α2 + q(1 + p) β2 − 2pq αβ 11 / 107
  • 12. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade ACIDENTE DE AUTOM ´OVEL SINISTRO −→ dano num autom´ovel originado por um acidente. A distribui¸c˜ao Gama(α, β) com localiza¸c˜ao tem sido sugerida para estes casos. Os parˆametros envolvidos devem ser estimados a partir da amostra dos montantes de indemniza¸c˜ao. 12 / 107
  • 13. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade INCAPACIDADE TEMPOR´ARIA Este seguro ´e caracterizado por estabelecer benef´ıcios para pessoas incapacitadas temporariamente. Existe um per´ıodo de espera (7 dias, por exemplo) desde o dia da ocorrˆencia da causa da incapacidade e o come¸co do pagamento dos benef´ıcios por parte da Seguradora. Existe igualmente um limite superior para o per´ıodo de pagamento (13 semanas, por exemplo). 13 / 107
  • 14. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade O benef´ıcio c ´e um montante di´ario fixo; assim, o montante de indemniza¸c˜ao ´e directamente proporcional ao per´ıodo de tempo em que se verifica a incapacidade, a partir do per´ıodo de espera. Seja Y a v.a. do ”tempo (em dias) a que se refere o benef´ıcio”. A distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao, X = cY , ´e ent˜ao: P[X = x] = P[cY = x] = P[Y = x c ], x = c, 2c, 3c, · · · , 91c no caso de 13 semanas como limite superior do suporte de Y . Quer dizer, tudo se resume `a modela¸c˜ao da v.a. Y que est´a na base de X. 14 / 107
  • 15. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade INTERNAMENTO HOSPITALAR Supondo tamb´em um benef´ıcio di´ario constante c em caso de internamento hospitalar , este exemplo ´e semelhante ao anterior, excluindo o per´ıodo de espera. Assim, sendo Y a v.a. do ”n´umero de dias de internamento hospitalar”, e considerando m o n´umero m´aximo de dias para os quais s˜ao pagos os benef´ıcios por parte da Seguradora, P[X = x] = P[Y = x c ], x = c, 2c, 3c, · · · , mc 15 / 107
  • 16. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo Nos 2 m´etodos apresentados, pretende-se dar uma vis˜ao comparativa de como aproximar os modelos individual e colectivo, este ´ultimo com uma distribui¸c˜ao Poisson Composta conveniente, sendo feito um estudo comparativo entre os referidos modelos e o modelo de risco individual original. 16 / 107
  • 17. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Os modelos de risco individual e de risco colectivo s˜ao estruturas alternativas constru´ıdas de modo a captar os aspectos fundamentais dos sistemas de seguros. O objectivo comum para cada um dos modelos ´e o desenvolvimento da distribui¸c˜ao do total das indemniza¸c˜oes, S. Devido `a complexidade computacional de calcular a distribui¸c˜ao do total das indemniza¸c˜oes para uma carteira com n ap´olices usando o modelo de risco individual, tem sido usual tentar aproximar a distribui¸c˜ao usando a distribui¸c˜ao de Poisson Composta, normalmente associada aos modelos de risco colectivo. 17 / 107
  • 18. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Relembremos que o modelo de risco individual para n ap´olices modela o total de indemniza¸c˜oes do seguinte modo: S = n j=1 Xj , onde Xj representa a indemniza¸c˜ao relativa `a ap´olice j, j = 1, . . . , n. 18 / 107
  • 19. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Considera-se que os montantes individuais de indemniza¸c˜ao, Xj = Ij Bj , com Ij a v.a. indicadora de ocorrˆencia de indemniza¸c˜ao para a ap´olice j, Ij : 1 0 qj 1 − qj e Bj a v.a. do montante de indemniza¸c˜ao, caso ocorra, com f.d. Fj , µj = E[Bj ] e σ2 j = Var[Bj ]. 19 / 107
  • 20. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Considera-se que Ij e Bj , j = 1, · · · , n, s˜ao mutuamente independentes. Assim, para a carteira das n ap´olices E[S] = n j=1 qj µj (1) Var[S] = n j=1 qj (1 − qj )µ2 j + n j=1 qj σ2 j (2) 20 / 107
  • 21. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Iremos apresentar 2 m´etodos de aproxima¸c˜ao ao modelo Poisson Composto. M´ETODO 1: Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de S∗ PC(λ∗, FX∗ ), com: λ∗ = n j=1 λ∗ j , λ∗ j = qj FX∗ (x) = n j=1 λ∗ j λ∗ Fj (x) 21 / 107
  • 22. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Justifica¸c˜ao: A f.g.m. para a indemniza¸c˜ao referente `a ap´olice j, para j = 1, · · · , n, MXj (r) = E[eXj r ] = E[eXj r |Ij = 0]P[Ij = 0] + E[eXj r |Ij = 1]P[Ij = 1] = 1 · (1 − qj ) + E[eBj r ]qj = (1 − qj ) + MBj (r) · qj 22 / 107
  • 23. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. pelo que a f.g.m. do total de indemniza¸c˜oes no modelo de risco individual ´e MS (r) = n j=1 MXj (r) = n j=1 (1 − qj ) + MBj (r) · qj = n j=1 1 + qj MBj (r) − 1 23 / 107
  • 24. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Consequentemente, logaritmizando ambos os membros, obtem-se log MS (r) = n j=1 log 1 + qj MBj (r) − 1 = n j=1 ∞ k=1 (−1)k+1 k qj MBj (r) − 1 k O m´etodo baseia-se na aproxima¸c˜ao que utiliza apenas o 1o termo no desenvolvimento em s´erie na express˜ao anterior, vindo ent˜ao 24 / 107
  • 25. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. log MS (r) ∼= n j=1 qj MBj (r) − 1 = λ∗ n j=1 λ∗ j λ∗ MBj (r) − 1 = λ∗   n j=1 λ∗ j λ∗ MBj (r) − n j=1 λ∗ j λ∗   25 / 107
  • 26. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. = λ∗   n j=1 λ∗ j λ∗ MBj (r) − 1   , com λ∗ = n j=1 λ∗ j , λ∗ j = qj = λ∗ (MX∗ (r) − 1) , com MX∗ (r) = n j=1 λ∗ j λ∗ MBj (r), sendo MX∗ (r) a f.g.m. associado `a f.d. FX∗ (x); de imediato ´e identificado o modelo Poisson Composto, com MS∗ (r) = exp {λ∗ (MX∗ (r) − 1)} . 26 / 107
  • 27. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Consequˆencias da aproxima¸c˜ao S∗: 1) Coincidˆencia do valor m´edio das indemniza¸c˜oes agregadas do modelo individual com o da aproxima¸c˜ao, j´a que E[S∗ ] = λ∗ p∗ 1 = λ∗ E[X∗ ] = λ∗ n j=1 λ∗ j λ∗ µj = n j=1 qj µj = E[S], como se constata por (1). 27 / 107
  • 28. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. 2) Variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas no modelo aproximado superior `a variˆancia no modelo individual, em (2), j´a que Var[S∗ ] = λ∗ p∗ 2 = λ∗ E[(X∗ )2 ] = λ∗ n j=1 λ∗ j λ∗ (σ2 + µ2 j ) = n j=1 qj (σ2 + µ2 j ) > Var[S] 28 / 107
  • 29. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. 3) Coincidˆencia do n´umero esperado de sinistros do modelo aproximado com o do modelo individual, j´a que E[ n j=1 Ij ] = n j=1 E[Ij ] = n j=1 qj = n j=1 λ∗ j = λ∗ . 29 / 107
  • 30. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Observa¸c˜ao: No caso de montante de indemniza¸c˜ao degenerado numa constante, Bj = bj , as conclus˜oes da aproxima¸c˜ao pelo M´etodo 1 tˆem por base a seguinte particulariza¸c˜ao : µj = bj σ2 j = 0 fX∗ (x) = P[X∗ = x] = {j:bj =x} qj λ∗ . 30 / 107
  • 31. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. M´ETODO 2: Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de ˜S PC(˜λ, F˜X ), com: ˜λ = n j=1 ˜λj , ˜λj = − log(1 − qj ) F˜X (x) = n j=1 ˜λj ˜λ Fj (x) 31 / 107
  • 32. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Justifica¸c˜ao: Semelhante `a do M´etodo 1, se considerarmos que ˜λj ∼= λ∗ j , i.e., − log(1 − qj ) ∼= qj , para valores de qj pr´oximos de 0, j = 1, 2, · · · , n, o que ´e razo´avel em muitas situa¸c˜oes em que a probabilidade de ocorrˆencia de indemniza¸c˜ao ´e pequena. 32 / 107
  • 33. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Consequˆencias da aproxima¸c˜ao ˜S: 1) Coincidˆencia da probabilidade de n˜ao ocorrˆencia de sinistros no modelo individual e no da aproxima¸c˜ao, j´a que P[0 sinistros na carteira no modelo S] = n j=1 P[Ij = 0] = n j=1 (1−qj ) = exp  log n j=1 (1 − qj )   = exp   n j=1 log(1 − qj )   = e−˜λ Ora, tem-se que e−˜λ = P[0 sinistros na carteira no modelo ˜S]. 33 / 107
  • 34. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. 2) Valor m´edio das indemniza¸c˜oes agregadas no modelo aproximado superior ao do modelo individual, j´a que tendo em aten¸c˜ao que − log(1 − qj ) = ∞ k=1 qk j k > qj , j = 1, 2, · · · , n, tem-se que E[˜S] = ˜λ ˜p1 = ˜λE[ ˜X] = ˜λ   n j=1 ˜λj ˜λ µj   = − n j=1 log(1 − qj )µj > n j=1 qj µj , como se constata por (1). 34 / 107
  • 35. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Observa¸c˜ao: Retomemos o exemplo referente a uma Companhia Seguradora efectua contratos de seguro de Vida (ap´olices anuais) para duas unidades de benef´ıcio de montantes 1 e 2, respectivamente, e para indiv´ıduos com probabilidade de morte 0.02 e0.10. A Tabela seguinte sistematiza os 4 grupos de risco homog´eneos, de acordo com o ”no de indiv´ıduos segurados”, nk, em cada uma das classes assim criadas (de acordo com o montante de benef´ıcio bk e a probabilidade de indemniza¸c˜ao qk, k = 1, 2, 3, 4): 35 / 107
  • 36. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. k qk bk nk 1 0.02 1 500 2 0.02 2 500 3 0.10 1 300 4 0.10 2 500 n = 1800 Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de uma distribui¸c˜ao de Poisson Composta, utilizando os dois m´etodos referidos, comparando as variˆancias obtidas com a variˆancia do modelo de risco individual original. 36 / 107
  • 37. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Resolu¸c˜ao: Pelo M´etodo 1, λ∗ = 1800 j=1 qj = 4 k=1 nk qk = 500(0.02)+500(0.02)+300(0.10)+500(0.10) = 100, A f.m.p. para X∗ ´e fX∗ (x) = P[X∗ = x] = {j:bj =x} qj λ∗ , pelo que P[X∗ = 1] = 500(0.02) + 300(0.10) 100 = 0.4 P[X∗ = 2] = 500(0.02) + 500(0.10) 100 = 0.6 p∗ 2 = E[(X∗ )2 ] = 12 (0.4) + 22 (0.6) = 2.8 37 / 107
  • 38. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. pelo que Var[S∗ ] = λ∗ p∗ 2 = 100 × 2.8 = 280 > 256 Pelo M´etodo 2, ˜λ = − 1800 j=1 log(1 − qj ) = − 4 k=1 nk log(1 − qk) = −500 log(0.98) − 500 log(0.98) − 300 log(0.90) − 500 log(0.90) = 104.5, 38 / 107
  • 39. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. A f.m.p. para ˜X ´e f˜X (x) = P[ ˜X = x] = {j:bj =x} − log(1 − qj ) ˜λ , pelo que P[ ˜X = 1] = −500 log(0.98) − 300 log(0.90) 104.5 = 0.399 P[ ˜X = 2] = −500 log(0.98) − 500 log(0.90) 104.5 = 0.601 ˜p2 = E[ ˜X2 ] = 12 (0.399) + 22 (0.601) = 2.803 pelo que Var[˜S] = ˜λ˜p2 = 104.5 × 2.803 ∼= 292.914 > 280 > 256. 39 / 107
  • 40. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Tratado de Resseguro Stop-Loss Ser´a aqui retomado o conceito de resseguro Stop-Loss, desenvolvendo o c´alculo do pr´emio de resseguro. Neste par´agrafo entra em jogo a rela¸c˜ao entre as trˆes entidades: Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. No c´alculo de resseguro Stop-Loss s˜ao obtidas as f´ormulas recursivas de acordo com dedut´ıveis estipulados, sendo dado ˆenfase ao caso em que as indemniza¸c˜oes individuais assumem valores nos inteiros positivos. Por outro lado ´e uma constante desta sec¸c˜ao evidenciar ao aluno que os conceitos anteriormente apresentados s˜ao agora adaptados para esta rela¸c˜ao entre as 3 entidades em quest˜ao. 40 / 107
  • 41. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss O conceito de seguro com um dedut´ıvel (ou reten¸c˜ao) j´a foi apresentado anteriormente, como um tipo de tratado ´optimo que maximiza a utilidade esperada, supondo fixado o pr´emio `a partida. Consideremos agora este conceito aplicado a um grupo de riscos para a seguradora. Seja S o total de indemniza¸c˜oes num dado per´ıodo, para uma Companhia Seguradora. Para um Tratado de Resseguro Stop-Loss com Dedut´ıvel d, o montante pago pela Resseguradora `a Seguradora Cedente ´e o excesso positivo sobre um limite fixado d: Id := ( N i=1 Xi −d)+ = (S−d)+ = max(S−d, 0) = 0, S < d S − d, S ≥ d , 41 / 107
  • 42. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss e, consequentemente, o montante de indemniza¸c˜oes retidas pela Seguradora cedente ´e S − Id := min(S, d) = S, S < d d, S ≥ d . Quer dizer, com este tipo de tratado a Seguradora vˆe assim limitado superiormente por d o montante das indemniza¸c˜oes retidas na Companhia. 42 / 107
  • 43. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Neste par´agrafo entra em jogo a rela¸c˜ao entre as trˆes entidades: Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. Por outro lado, real¸camos o facto de que os conceitos anteriormente apresentados s˜ao agora adaptados para esta rela¸c˜ao entre as 3 entidades em quest˜ao, sempre sob o ponto de vista da entidade seguradora cedente que ocupa o papel central. Com a figura seguinte pretende-se evidenciar o facto de que o estudo ´e desenvolvido sob o ponto de vista da ”Seguradora Cedente”. 43 / 107
  • 44. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss 44 / 107
  • 45. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Debrucemo-nos, em seguida, sobre M´etodos de C´alculo do Pr´emio de Resseguro Stop-Loss com dedut´ıvel d Comecemos pelo pr´emio puro respectivo, E[Id ], o que corresponde a um limite inferior para o pr´emio Stop-Loss real. Denotemos por FS e fS respectivamente a f.d. de S e a f.d.p. de S. Ent˜ao: E[Id ] = ∞ d (x − d)fS (x)dx (3) 45 / 107
  • 46. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Por outro lado, E[Id ] = ∞ 0 (x − d)fS (x)dx − d 0 (x − d)fS (x)dx = ∞ 0 xfS (x)dx − d ∞ 0 fS (x)dx + d 0 (d − x)fS (x)dx, pelo que (3) ´e equivalente a E[Id ] = E[S] − d + d 0 (d − x)fS (x)dx (4) 46 / 107
  • 47. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Notando que fS (x) = − d dx [1 − FS (x)], podemos exprimir o pr´emio puro do resseguro em termos da f.d. de S, j´a que E[Id ] = ∞ d (x − d)fS (x)dx = ∞ d (d − x) d dx [1 − FS (x)]dx = (d − x)[1 − FS (x)]|∞ d + ∞ d [1 − FS (x)]dx, integrando por partes 47 / 107
  • 48. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss pelo que, notando que limx→∞ x[1 − FS (x)] = 0, se obtem E[Id ] = ∞ d [1 − FS (x)]dx (5) e tamb´em E[Id ] = E[S] − d 0 [1 − FS (x)]dx (6) 48 / 107
  • 49. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Observa¸c˜ao: Se d = 0, ent˜ao E[Id ] = E[I0] = E[S], o que de certo modo equivale a dizer que se a seguradora estabelece um limite de reten¸c˜ao nulo ent˜ao ter´a de pagar por pr´emio de resseguro o pr´emio puro referente a todas as indemniza¸c˜oes agregadas do risco associado. Observa¸c˜ao: As express˜oes (5) e (6) s˜ao v´alidas para distribui¸c˜oes mais gen´ericas, incluindo discretas ou mistas. A utiliza¸c˜ao mais conveniente de uma das express˜oes (3), (4), (5) ou (6) depende do problema particular em quest˜ao. 49 / 107
  • 50. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Exemplo: Considere que ´e sensato modelar atrav´es de uma distribui¸c˜ao Gama(α, β) as indemniza¸c˜oes agregadas associadas a determinado tipo de risco dentro de uma seguradora, S. Denotando por FS (x; α, β) = x 0 βα xα−1 Γ(α) e−βx dx a f.d. associada a S, mostrar que E[Id ] = α β [1 − FS (d; α + 1, β)] − d[1 − FS (d; α, β)]. 50 / 107
  • 51. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Resolu¸c˜ao: E[Id ] = ∞ d (x − d)fS (x; α, β)dx = ∞ d (x − d)βα xα−1 Γ(α) e−βx dx = ∞ d βα xα Γ(α) e−βx dx − d ∞ d fS (x; α, β)dx = α β ∞ d βα+1 xα Γ(α + 1) e−βx dx − d[1 − FS (d; α, β)] = α β [1 − FS (d; α + 1, β)] − d[1 − FS (d; α, β)]. 51 / 107
  • 52. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss F´ormulas Recursivas para E[Id ] com indemniza¸c˜oes inteiras Consideremos agora o caso particular de S com valores no suporte dos inteiros x = 0, 1, 2, · · · fS (x) = P[S = x] d ∈ N 52 / 107
  • 53. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Observa¸c˜ao: O Pr´emio Puro de Resseguro Stop-Loss no caso do dedut´ıvel d /∈ ℵ para o caso de indemniza¸c˜oes inteiras obtem-se por interpola¸c˜ao linear nos inteiros que contˆem d (Exerc´ıcio 8.9(∗)). 53 / 107
  • 54. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Para o caso discreto as express˜oes (3)e (4) tˆem a sua contrapartida E[Id ] = ∞ x=d+1 (x − d)fS (x) = E[S] − d + d−1 x=0 (d − x)fS (x) (7) enquanto que para as express˜oes (5)e (6) se obtem E[Id ] = ∞ d [1 − FS (x)]dx = d+1 d [1 − FS (x)]dx + d+2 d+1 [1 − FS (x)]dx + · · · , = [1 − FS (d)] + [1 − FS (d + 1)] + · · · , E[Id ] = ∞ x=d [1 − FS (x)] (8) 54 / 107
  • 55. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss e tamb´em E[Id ] = ∞ x=0 [1 − FS (x)] − d−1 x=0 [1 − FS (x)] E[Id ] = E[S] − d−1 x=0 [1 − FS (x)] (9) 55 / 107
  • 56. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Em geral, obtem-se assim uma f´ormula recursiva: E[Id+1] = E[Id ] − [1 − FS (d)], d = 0, 1, 2, · · · E[I0] = E[S] (10) Este m´etodo ´e muito ´util para o caso de as indemniza¸c˜oes agregadas serem modeladas por uma Poisson Composta, com severidade nos valores inteiros positivos, j´a que tamb´em para esse caso a f.m.p. de S pode ser calculada recursivamente. 56 / 107
  • 57. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss F´ormulas Recursivas para S PC(λ, FX ) com fX (x) = P[X = x], x = 1, 2, · · · A partir dos Valores Iniciais fS (0) = P[S = 0] = e−λ E[I0] = E[S] = λp1 = λE[X] (11) 57 / 107
  • 58. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss s˜ao usadas as F´ormulas Recursivas fS (x) = P[S = x] = λ x ∞ j=1 jfX (j)fS (x − j) FS (x) = FS (x − 1) + fS (x) E[Ix ] = E[Ix−1] − {1 − FS (x − 1)}, x = 1, 2, 3, · · · (12) 58 / 107
  • 59. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Exemplo: Uma carteira de ap´olices produz um no de sinistros, N, num per´ıodo fixo, de acordo com n 0 1 2 3 P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2 e indemniza¸c˜oes individuais X com x 1 2 3 P[X = x] 0.5 0.4 0.1 59 / 107
  • 60. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Este exemplo foi tratado anteriormente, tendo sido calculadas as f.d. e f.m.p. de S, obtendo-se x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 fS (x) 0.1000 0.1500 0.2200 0.2150 0.1640 0.0950 0.0408 0.0126 0.0024 0.0002 FS (x) 0.1000 0.2500 0.4700 0.6850 0.8490 0.9440 0.9848 0.9974 0.9998 1.0000 Calcular o Pr´emio de Resseguro Stop-Loss, face a um dedut´ıvel de d = 7. 60 / 107
  • 61. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Resolu¸c˜ao: E[I7] = ∞ x=8 (x − 7)fS (x) = 9 x=8 (x − 7)fS (x) = 1 · fS (8) + 2 · fS (9) = 0.0024 + 2(0.0002) = 0.0028, ou, alternativamente, E[I7] = ∞ x=7 [1 − FS (x)] = 8 x=7 [1 − FS (x)] = 0.0028 61 / 107
  • 62. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Observa¸c˜ao: Para o caso de S ter suporte n˜ao limitado superiormente ´e mais conveniente utilizar as express˜oes alternativas equivalentes para somat´orios finitos (ou integrais num intervalo limitado). 62 / 107
  • 63. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss Exemplo: Supondo que S tem distribui¸c˜ao Poisson Composta com λ = 1.5 e P[X = 1] = 2 3 e P[X = 2] = 1 3, calcular fS (x), FS (x) e E[Ix ] para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,. Resolu¸c˜ao: Recorrendo `as express˜oes (11) e (12), obtˆem-se os valores iniciais fS (0) = FS (0) = e−λ = e−1.5 = 0.223 E[I0] = E[S] = λp1 = 1.5 × E[X] = 1.5 × 4 3 = 2 e em seguida as express˜oes recursivas 63 / 107
  • 64. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss fS (x) = λ x 2 j=1 jfX (j)fS (x − j) = 1.5 x [fX (1)fS (x − 1) + 2fX (2)fS (x − 2)] = 1 x [fS (x − 1) + fS (x − 2)], x = 1, 2, · · · , 6 Por exemplo, fS (1) = fS (0) = 0.223 e assim sucessivamente, obtendo-se no final 64 / 107
  • 65. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tratado de Resseguro Stop-Loss x fS (x) FS (x) E[Ix ] 0 0.223 0.223 2.000 1 0.223 0.446 1.223 2 0.223 0.669 0.669 3 0.149 0.818 0.338 4 0.093 0.911 0.156 5 0.048 0.959 0.067 6 0.024 0.983 0.026 65 / 107
  • 66. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına Este par´agrafo aborda o tema proposto de uma forma introdut´oria, visando um compromisso entre o ganho esperado pelo segurador, por um lado, e a seguran¸ca esperada por outro. Estabelecendo como medida de seguran¸ca exactamente um limite superior para a probabilidade de ru´ına, pretende-se que a selec¸c˜ao do contrato entre os resseguros admiss´ıveis aquele que produza um ganho esperado mais elevado. ´E exactamente neste par´agrafo que o significado da designa¸c˜ao dada anteriormente de coeficiente de ajustamento se torna mais evidente para o aluno: se para determinado tratado de resseguro o valor daquele coeficiente n˜ao ´e suficientemente elevado (ao qual corresponde um valor de probabilidade de ru´ına mais baixo), dever´a ser tomado em considera¸c˜ao um ajustamento do contrato de resseguro com vista a aumentar o referido parˆametro ( e a baixar a probabilidade de ru´ına, consequentemente). Essencialmente, `a custa de exemplos ilustrativos ´e feita uma compara¸c˜ao do desempenho entre os tratados proporcionais e de stop-loss. 66 / 107
  • 67. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Quest˜oes acerca do tipo de Resseguro a adquirir podem ser respondidas de diferentes maneiras. Uma da abordagens foi considerada `a luz da teoria da utilidade. Assim, face `a adop¸c˜ao de uma fun¸c˜ao utilidade por parte da Seguradora e tendo `a sua disposi¸c˜ao diversos tipos de contrato de Resseguro, a seguradora opta por aquele a que corresponde a maior utilidade esperada. Trata-se de uma abordagem muito simples conceptualmente, mas que na pr´atica n˜ao ´e muito explorada, fundamentalmente devido `a escolha da fun¸c˜ao utilidade mais apropriada. 67 / 107
  • 68. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Posteriormente, foi considerada uma taxa de pr´emio que contemplava alguma carga de seguran¸ca relativamente ao processo de risco associado, nomeadamente, c = (1 + θ)λp1 (13) supondo p1 = E[X] a indemniza¸c˜ao individual esperada num per´ıodo de tempo unit´ario. Em termos de Resseguro Stop-Loss, debru¸c´amo-nos anteriormente sobre o c´alculo do pr´emio puro associado ao resseguro com dedut´ıvel d, E[Id ], que n˜ao ´e mais do que um limite inferior do valor real do pr´emio a pagar pela transferˆencia de parte das indemniza¸c˜oes acima de certo montante de reten¸c˜ao. 68 / 107
  • 69. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Tal como no caso geral, a real taxa de pr´emio a pagar no caso de utiliza¸c˜ao do princ´ıpio do valor m´edio obedece ao enquadramento geral do tipo Taxa do Pr´emio de Resseguro = (1+Coeficiente de Segu- ran¸ca para Resseguro ) × Taxa Esperada das Indemniza¸c˜oes para Resseguro Isto ´e, no caso de um Tratado de Resseguro para o colectivo S, h(S) ≤ S, a taxa de pr´emio para o colectivo ser´a ch = (1 + ξh)E[h(S)] (14) sendo a taxa no colectivo afectada de uma carga de seguran¸ca ξhE[h(S)] . 69 / 107
  • 70. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Observa¸c˜ao: Note-se que sendo o taxa de pr´emio de Resseguro determinada pela Resseguradora, o coeficiente de seguran¸ca ξh ´e obtido `a custa de (14). Em particular, o estudo efectuado na sec¸c˜ao anterior com resultados para a taxa de pr´emio puro E[Id ] equivale a considerar ξh = 0. Alternativamente `a abordagem seguida anteriormente, consideraremos uma nova perspectiva de Resseguro, de certa forma contemplando um compromisso entre o ganho esperado, por um lado, e a seguran¸ca esperada, por outro. Devido `a carga contida no pr´emio de Resseguro, a aquisi¸c˜ao de Resseguro reduz o ganho esperado do segurador cedente. Contudo, um contrato de resseguro conveniente implica um acr´escimo de seguran¸ca para a Companhia Cedente. 70 / 107
  • 71. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Face a determinada condi¸c˜ao de seguran¸ca pr´e-estabelecida, o segurador selecciona de entre os contratos de resseguro admiss´ıveis aquele que produz um ganho esperado mais elevado. Que medida de seguran¸ca escolher? Iremos considerar a probabilidade de ru´ına. Um requisito poss´ıvel poder´a ser uma condi¸c˜ao limitativa para a Probabilidade de Ru´ına, do tipo PROBABILIDADE DE RU´INA ≤ 1% 71 / 107
  • 72. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Iremos desenvolver este estudo para determinados tratados de resseguro, para os quais seja poss´ıvel determinar o respectivo Coeficiente de Ajustamento, R, (ou ˜R). Tornar-se-´a agora mais clara a designa¸c˜ao de R: se para determinado tratado de resseguro o valor de R n˜ao ´e suficientemente elevado (e ao qual corresponde um valor de Probabilidade de Ru´ına n˜ao suficientemente baixo) dever´a ser tomado em considera¸c˜ao um reajustamento do contrato de forma a aumentar o R associado (e a baixar a probabilidade de ru´ına, consequentemente). Iremos com o exemplo seguinte abordar a quest˜ao, para o caso de um Tratado Stop-Loss, em que a seguradora tem `a sua escolha um de trˆes dedut´ıveis a estabelecer. 72 / 107
  • 73. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Exemplo: Uma Seguradora possui uma carteira de ap´olices que produz indemniza¸c˜oes agregadas anuais que s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdas como uma Poisson Composta com λ = 1.5, com fX (1) = 2 3 e fX (2) = 1 3. Os pr´emios anuais s˜ao de montante c = 2.5. a Calcular o Coeficiente de Ajustamento que resulta desta carteira (ou seja, com cobertura completa por parte desta companhia seguradora, ou ainda supondo o caso extremo de um dedut´ıvel d = ∞). 73 / 107
  • 74. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. b Pode ser adquirida uma cobertura do tipo Stop-Loss para uma carga de seguran¸ca associada de 100%. Calcular o coeficiente de ajustamento que resulta de um contrato de resseguro stop-Loss afectado de um dedut´ıvel de 1 d = 3; 2 d = 4; 3 d = 5. Comparar estas trˆes alternativas que a companhia tem ao seu dispor, tendo em vista o ganho esperado. 74 / 107
  • 75. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Resolu¸c˜ao: a) Estamos perante a defini¸c˜ao discreta do coeficiente de ajustamento, j´a que s˜ao mencionados pr´emios anuais e o comportamento da indemniza¸c˜oes agregadas anuais. Assim, o processo de reservas associado ´e dado pelo modelo Un = u + nc − Sn, Sn = n i=1 Wi onde Wi representa as indemniza¸c˜oes agregadas no ano i, sendo considerado que Wi i.i.d. a W PC(λ; FX ), com λ = 1.5 e c = 2.5. Para este caso particular foi mostrado que ˜R ≡ R, i.e., ˜R ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do modelo a tempo cont´ınuo λ + cr = λMX (r) 75 / 107
  • 76. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Ora neste caso a f.g.m. associada `as indemniza¸c˜oes individuais X ´e MX (r) = E[erX ] = fX (1)er + fX (2)e2r = 2 3 er + 1 3 e2r , donde o coeficiente de ajustamento associado a esta cobertura total, ˜R, ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao transcendente 1.5 + 2.5r = er + 1 2 e2r , que resolvida iterativamente resulta em ˜R = 0.28 76 / 107
  • 77. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Consideraremos o estudo do caso d = 4, j´a que para os outros valores do dedut´ıvel o desenvolvimento ´e semelhante. No Exemplo foram calculados v´arios valores para a taxa do pr´emio puro, E[Id ], em particular E[I4] = 0.156 . De acordo com os dados do problema proposto, a resseguradora estabeleceu uma taxa de Pr´emio de Resseguro que est´a afectada de um coeficiente de seguran¸ca ξI4 = 100%, i.e., denotando por cI4 o pr´emio de resseguro anual para um Stop-Loss com dedut´ıvel d = 4, cI4 = (1 + ξI4 )E[I4] = 2E[I4] = 0.312 77 / 107
  • 78. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Assim, o Pr´emio Retido anual na seguradora, cretido, ser´a igual ao montante recebido pelos seus segurados c subtra´ıdo do pr´emio de Resseguro, cI4 , que a empresa cedente ter´a de pagar `a resseguradora para adquirir o Tratado de Stop-Loss; i.e., cretido = c − cI4 ou seja, cretido = 2.5 − 0.312 = 2.188 Por outro lado, ao adquirir o resseguro, a seguradora cedente vˆe a sua responsabilidade desagravada, ficando com as indemniza¸c˜oes retidas ˆWi = Wi , Wi = 0, 1, 2, 3, 4 4, Wi > 4 78 / 107
  • 79. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. sendo ˆWi i.i.d. a ˆW que corresponde `a v.a. W truncada em 4. Assim, j´a n˜ao tem lugar o modelo Poisson Composto e teremos de recorrer `a equa¸c˜ao geral para determina¸c˜ao do Coeficiente de Ajustamento ˜R associado a este tipo de tratado e−cretidor M ˆW (r) = 1 ou seja, considerando que f ˆW (x) = fW (x) para x = 0, 1, 2, 3 e f ˆW (4) = 1 − FW (3) e que W d = S do Exemplo, ent˜ao ˜R ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao e−2.188r 3 x=0 fS (x)exr + [1 − FS (3)]e4r = 1; note-se que fS e FS foram previamente calculadas recursivamente no Exemplo 8.4. 79 / 107
  • 80. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Por m´etodos num´ericos iterativos ´e poss´ıvel determinar ˜R = 0.35, pelo que o Ganho Esperado Anual da seguradora cedente, Gretido, ser´a igual ao montante de pr´emios retido na companhia adicionado do pagamento esperado de indemniza¸c˜oes pela Resseguradora e subtra´ıdo do montante esperado de indemniza¸c˜oes que ter´a de pagar aos seus segurados; i.e., Gretido = cretido + E[I4] − E[W ] = 2.188 + 0.156 − λE[X] = 2.188 + 0.156 − 1.5 × 4 3 = 0.344 80 / 107
  • 81. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Para os outros valores de dedut´ıvel, d = 3, d = 5 e d = ∞(sem resseguro) os valores s˜ao os seguintes: d ˜R Gretido 3 0.25 0.162 4 0.35 0.344 5 0.34 0.433 ∞ 0.28 0.500 81 / 107
  • 82. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Coment´ario Final: Relativamente `a seguran¸ca, em termos da probabilidade de ru´ına ou, equivalentemente do coeficiente de ajustamento, o dedut´ıvel de d = 4 ´e prefer´ıvel a d = 5, uma vez que o primeiro produz ˜R = 0.35 superior a ˜R = 0.34. Contudo, em termos do Ganho esperado d = 4 ´e pior do que d = 5 uma vez que o primeiro produz Gretido = 0.344 inferior a Gretido = 0.433. Por outro lado, escolher um dedut´ıvel de d = 3 n˜ao tem sentido, j´a que isso corresponde a um desempenho pior tanto em termos de seguran¸ca como de ganho esperado do que ausˆencia de resseguro (d = ∞). 82 / 107
  • 83. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Observa¸c˜ao ote-se que o caso extremo de uma transferˆencia total das indemniza¸c˜oes para resseguro, i.e., uma escolha de d = 0 conduz a valores de um coeficiente de ajustamento ˜R = 0 e portanto a ru´ına certa. Realmente o valor correspondente de ganho esperado ´e negativo e de Gretido = −1.5 . No Tratado Stop-Loss os pagamentos por parte da Resseguradora `e Seguradora cedente s˜ao estipulados em fun¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas. Consideremos seguidamente outro tipo de contrato de resseguro em que os pagamentos da Resseguradora `a Seguradora dependem dos montantes individuais. 83 / 107
  • 84. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Em geral, uma cobertura deste tipo ´e definida em termos de uma fun¸c˜ao h(X), com 0 ≤ h(X) ≤ X. Dois tipos de Tratado j´a foram apresentados: Resseguro Quota-Share (ou Proporcional) h(X) = αX, 0 ≤ α ≤ 1 Resseguro Excess-of-Loss (ou Excesso de Perda) h(X) = (X−β)+ = max(X−β, 0) = 0, X < β X − β, X ≥ β , β ≥ 0 84 / 107
  • 85. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Observa¸c˜ao: 1 Para o Resseguro Proporcional os casos extremos de α = 0 e α = 1 correspondem respectivamente a ausˆencia de resseguro e a resseguro de cobertura total. Para o Resseguro Excess-of-Loss β = ∞ ´e a ausˆencia de resseguro enquanto que β = 0 ´e resseguro de cobertura total. 2 Note-se que relativamente ao resseguro para o colectivo referente ao total de indemniza¸c˜oes as defini¸c˜oes daqueles tratados correspondem, respectivamente, a α N i=1 Xi e N i=1 (Xi − β)+ . 85 / 107
  • 86. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. No que se segue consideraremos novamente o modelo Poisson Composto PC(λ, FX ), com pr´emios de resseguro pagos continuamente a uma taxa ch; assim, sendo c a taxa dos pr´emios continuamente recebidos pelos segurados, a seguradora retem pr´emios a uma taxa cretido = c − ch. Ent˜ao o Coeficiente de Ajustamento, Rh, relativo ao resseguro h e, consequentemente, associado `as indemniza¸c˜oes retidas Xretido = X − h(X) ´e a solu¸c˜ao n˜ao trivial da equa¸c˜ao: λ + cretidor = λMXretido (r) ou seja, λ + (c − ch)r = λ ∞ 0 er[x−h(x)] fX (x)dx 86 / 107
  • 87. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Supondo que ´e aplicado o princ´ıpio do valor m´edio a taxa de pr´emio de resseguro, relativamente a um total de indemniza¸c˜oes pagas pela resseguradora Sh, ´e do tipo ch = (1 + ξh)E[Sh] = (1 + ξh)λE[h(X)] e a taxa dos pr´emios recebidos pelos segurados relativamente a um total de indemniza¸c˜oes S ´e como anteriormente c = (1 + θ)E[S] = (1 + θ)λE[X] vem, consequentemente, uma taxa de pr´emios retidos relativamente a um total de indemniza¸c˜oes retidas Sretido da forma cretido = (1 + θ∗ )E[Sretido] ⇐⇒ c − ch = (1 + θ∗ )λE[X − h(X)] Nos exemplos que se seguem exploraremos estes conceitos para os dois tipos de tratado de resseguro e diferentes coeficientes de seguran¸ca associados. 87 / 107
  • 88. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Exemplo: Suponha-se que as indemniza¸c˜oes formam um processo de Poisson Composto, com λ = 1 e X U(0, 1). Os pr´emios s˜ao recebidos de acordo com uma taxa c = 1. Calcular o Coeficiente de Ajustamento se for adquirido um Resseguro Proporcional com α = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1 e se o coeficiente de seguran¸ca para resseguro ´e de a) ξh = 100%; b) ξh = 140% . 88 / 107
  • 89. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Resolu¸c˜ao: A taxa de pr´emio de resseguro ´e ch = (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ 1 0 h(x)fX (x)dx = (1+ξh)λ 1 0 αxdx pelo que ch = (1 + ξh)λ α 2 . a) Neste caso ξh = 100% e ch = α, vindo o coeficiente de ajustamento como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao λ + (c − ch)r = λ ∞ 0 er[x−h(x)] fX (x)dx 89 / 107
  • 90. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. ou seja, 1 + (1 − α)r = 1 0 er(1−α)x dx ⇐⇒ 1 + (1 − α)r = er(1−α) − 1 r(1 − α) Considere-se o primeiro caso de α = 0 (ausˆencia de resseguro). A resolu¸c˜ao por m´etodos num´ericos da equa¸c˜ao 1 + r = er − 1 r conduz neste caso a R = 1.793. Ora, como 1 + r = er − 1 r ⇐⇒ 1 + (1 − α) r 1 − α = e r 1−α (1−α) − 1 r 1−α(1 − α) ; 90 / 107
  • 91. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. fazendo r∗ := r 1−α , somos conduzidos `a equa¸c˜ao 1 + (1 − α)r∗ = er∗(1−α) − 1 r∗(1 − α) , pelo que as solu¸c˜oes n˜ao trivias da equa¸c˜ao determinante do coeficiente de ajustamento para os outros valores de α = 0 correspondem `a solu¸c˜ao encontrada para α = 0 escalada convenientemente, i.e., R ≡ Rα = 1.793 1 − α , α = 0.1, 0.2, · · · , 1.0 b) No caso de ξh = 140% os c´alculos s˜ao semelhantes, vindo ch = 1.2α e R ≡ Rα ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 1 + (1 − 1.2α)r = er(1−α) − 1 r(1 − α) 91 / 107
  • 92. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. As solu¸c˜oes para os casos a) e b) est˜ao resumidas na tabela Coeficiente de ajustamento Rα α ξh = 100% ξh = 140% 0.0 1.793 1.793 0.1 1.993 1.936 0.2 2.242 2.095 0.3 2.562 2.268 0.4 2.989 2.436 0.5 3.587 2.538 0.6 4.483 2.335 0.7 5.978 0.635 0.8 8.966 − ←− α=5/7 0.9 17.933 − 1.0 ∞ − 92 / 107
  • 93. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Coment´ario Final: Vejamos a que carga de seguran¸ca, aplicada aos segurados, corresponde um pr´emio c = 1: c = (1 + θ)E[S] = (1 + θ)λE[X] = (1 + θ) · 1 · 1 2 =⇒ θ = 1. Em a), as cargas de seguran¸ca para resseguro e para os segurados s˜ao iguais, i.e., ξh = θ = 1, e R ≡ Rα ´e crescente com α (e a probabilidade de ru´ına?). Em b), a carga de seguran¸ca para resseguro ´e superior `a aplicada aos segurados, i.e., ξh = 1.4 > θ = 1 e R ≡ Rα ´e crescente de α = 0 at´e α = 0.5 e depois decresce (e a probabilidade de ru´ına?). 93 / 107
  • 94. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Ainda em b) fa¸camos uma an´alise mais detalhada do que se est´a a passar em termos da ru´ına. Vejamos para que valor de α a taxa de pr´emios retidos ´e igual ao valor esperado das indemniza¸c˜oes retidas; quer dizer como cretido = c−ch = 1−1.2α e E[Sretido] = λE[X −h(X)] = 1· 1 − α 2 determine-se α por forma a que cretido = E[Sretido] ⇐⇒ 1 − 1.2α = 1 − α 2 . 94 / 107
  • 95. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Ent˜ao para este valor de α = 5/7, tem-se obviamente cretido = (1 + θ∗ )E[Sretido] ⇐⇒ θ∗ = 0 concluindo que existe Ru´ına Certa para a Companhia Cedente. O mesmo sucede para valores α > 5/7, pois isso equivale a dizer que θ∗ < 0 e, consequentemente, cretido < E[Sretido] 95 / 107
  • 96. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Exemplo: Suponha que a Seguradora do exemplo anterior pode adquirir um Resseguro para uma cobertura Excess-of-Loss com β = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1. Calcular o Coeficiente de Ajustamento se o coeficiente de seguran¸ca para resseguro ´e de a) ξh = 100%; b) ξh = 140% . 96 / 107
  • 97. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Resolu¸c˜ao: A taxa de pr´emio de resseguro ´e ch = (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ ∞ 0 h(x)fX (x)dx = (1+ξh) 1 β (x−β)dx pelo que ch = (1 + ξh) (1 − β)2 2 . a) No caso de ξh = 100% obtem-se ch = (1 − β)2 e R ≡ Rβ ´e solu¸c˜ao n˜ao trivial da equa¸c˜ao λ + (c − ch)r = λ ∞ 0 er[x−h(x)] fX (x)dx ou seja, 97 / 107
  • 98. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. 1 + [1 − (1 − β)2 ]r = β 0 erx dx + 1 β erβ dx, pelo que tudo se resume `a resolu¸c˜ao, por m´etodos num´ericos, da equa¸c˜ao 1 + [1 − (1 − β)2 ]r = erβ − 1 r + (1 − β)erβ b) Neste caso ξh = 140% vindo ch = 1.2(1 − β)2 e a consequente equa¸c˜ao a resolver 1 + [1 − 1.2(1 − β)2 ]r = erβ − 1 r + (1 − β)erβ . 98 / 107
  • 99. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. As solu¸c˜oes n˜ao triviais das equa¸c˜oes est˜ao resumidas na tabela Coeficiente de ajustamento Rβ β ξh = 100% ξh = 140% 1.0 1.793 1.793 0.9 1.833 1.828 0.8 1.940 1.920 0.7 2.116 2.062 0.6 2.378 2.259 0.5 2.768 2.518 0.4 3.373 2.840 0.3 4.400 3.138 0.2 6.478 2.525 0.1 12.746 − ←− β=1− √ 5/7 0.0 ∞ − 99 / 107
  • 100. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Coment´ario Final: A an´alise deste caso ´e semelhante ao do Resseguro Proporcional, bastando notar que para o valor de β = 1 − 5/7, se tem 1 − 1.2(1 − β)2 = (1 + θ∗ ) 1 − (1 − β)2 2 ⇐⇒ cretido = (1 + θ∗ )E[Sretido] ⇐⇒ θ∗ = 0 concuindo que para valores inferiores de β existe Ru´ına Certa para a Companhia Cedente. 100 / 107
  • 101. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Exemplo: Comparar os resultados dos exerc´ıcios anteriores referentes ao resseguro proporcional hα(X) e ao resseguro Excess-of-Loss hβ(X), para os pares (α, β) tais que E[hα(X)] = E[hβ(X)] . Resolu¸c˜ao: Os pares (α, β) verificam a igualdade α 2 = (1−β)2 2 , pelo que escrevendo α como fun¸c˜ao de β, α = (1 − β)2 e com procedimentos semelhantes aos expostos nos 2 exemplos anteriores obtem-se a tabela: 101 / 107
  • 102. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Coeficientes de ajustamento para hα(X) e hβ(X) ξhα = 100% ξhβ = 100% ξhα = 140% ξhβ = 140% α β Rα Rβ Rα Rβ 0.00 1.0 1.793 1.793 1.793 1.793 0.01 0.9 1.811 1.833 1.807 1.828 0.04 0.8 1.868 1.940 1.848 1.920 0.09 0.7 1.971 2.116 1.921 2.062 0.16 0.6 2.135 2.378 2.030 2.259 0.25 0.5 2.391 2.768 2.181 2.518 0.36 0.4 2.802 3.373 2.372 2.840 0.49 0.3 3.516 4.400 2.535 3.138 0.64 0.2 4.981 6.478 1.992 2.525 0.81 0.1 9.438 12.746 − − 1.00 0.0 ∞ ∞ − − 102 / 107
  • 103. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. coment´ario: Para uma dada carga de seguran¸ca, o resseguro Excess-of-Loss conduz a Coeficientes de Ajustamento superiores (e a valores de Probabilidade de Ru´ına inferiores) aos obtidos por uma cobertura Proporcional, para os mesmos valores esperados de pagamento de resseguro. No teorema que enunciaremos seguidamente (a demonstra¸c˜ao encontra-se em Bowers et al.,1987), constataremos que a conclus˜ao do exemplo anterior ´e um caso particular do resultado geral, de certo modo confirmando a optimalidade do Tratado Excess-of-Loss comparativamente a outro tipo de tratados como havia sido referido no in´ıcio do curso, sob a perspectiva da Utilidade. 103 / 107
  • 104. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Teorema: Considere-se um Resseguro h(X), 0 ≤ h(X) ≤ X, de taxa de pr´emio ch. Seja hβ(X) um Tratado Excess-of-Loss com dedut´ıvel β e seja chβ a sua taxa de pr´emio. Sejam Rh e Rhβ os respectivos Coeficientes de Ajustamento. Se E[h(X)] = E[hβ(X)] e ch = chβ ent˜ao Rh ≤ Rhβ . Observa¸c˜ao: Note-se que dizer que as taxas de pr´emios s˜ao iguais ´e equivalente a dizer que a seguran¸ca ´e igual, j´a que ch = chβ ⇐⇒ (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξβ)λE[hβ(X)] ⇐⇒ ξh = ξhβ uma vez que E[h(X)] = E[hβ(X)]. 104 / 107
  • 105. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. De acordo com as condi¸c˜oes do teorema as conclus˜oes comparativas relativamente aos coeficientes de ajustamento s´o podem ser aplicadas para a mesma carga de resseguro. Ora, por vezes, pode ser vantajoso escolher uma carga de resseguro por forma a aumentar o coeficiente de ajustamento e fazendo simultanemaente decrescer os pr´emios de resseguro. No ´ultimo caso apresentado, temos exemplificada essa situa¸c˜ao do seguinte modo: 105 / 107
  • 106. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Para α = 0.49 e ξhα = 100%, o valor da taxa de resseguro ´e de chα = 2 α 2 = 0.49, enquanto que para β = 0.3 e ξhβ = 140% a taxa de resseguro respectiva ´e de chβ = 2.4 (1 − β)2 2 = 0.58, verificando-se que chα < chβ . Quanto aos coeficientes de ajustamento tamb´em o Tratado Proporcional oferece vantagem, j´a que Rα = 3.516 > Rβ = 3.138, associando igualmente uma menor probabilidade de ru´ına para 106 / 107
  • 107. Introdu¸c˜ao. Distribui¸c˜oes usuais para a severidade Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. Tratado de Resseguro Stop-Loss Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına. Uma escolha conveniente de resseguro dever´a ter estes dois objectivos: por um lado, uma taxa de pr´emio t˜ao baixa quanto poss´ıvel e conduzir `a maior seguran¸ca, neste caso ao maior Coeficiente de Ajustamento e, consequentemente, `a menor probabilidade de Ru´ına. 107 / 107