Geometría y sistemas de proyección

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión Mérida
GEOMETRÍA Y SISTEMAS DE
PROYECCIÓN
Autora: Anil Alexandra Rivas Álvarez
C.I 29.520.632
Arquitectura, 41
Mérida, Venezuela

2. 2
La geometría es muy importante y útil para la vida
cotidiana, ya que el conocimiento sobre las bases de esta
materia es útil para orientarse en el espacio, identificar y
asociar formas, distancias y líneas. Un tema muy
importante también es el sistema de proyección como
concepto de geometría, ya que este sistema nos permite
obtener previamente una visión de conjunto de la obra que
vayamos a construir, y es de aun mas importancia y
fundamental para nosotros como arquitectos

3. GEOMETRÍA

4. ¿QUÉ ES?
La geometría consta con tres
elementos fundamentales que son: el
punto, el cual es un objeto que no
tiene dimensiones y tiene como
finalidad indicar ulna posicion en el
espacio, la recta, que es una linea
limitada por ambos extremos y el
plano, consiste en un objeto que
posee dos dimensiones y cuenta con
infinitos puntos y rectas.
Es una rama de la matemática
que estudia la idealización del
espacio en terminos de propiedades
y medidas de las figuras
geometricas, la cual estudia objetos
ideales llamados tambien “Objetos
matematicos o geométricos” junto
con sus propiedades, relaciones y
teorias.
4

5. 5
EDMUND HUSSERL
En su obra llamada
“El origen de la
geometría” (Husserl,
2000) denomina
como “Mundo
pregeométrico” este
mundo lleno de
cosas corpóreas ya
sean objetos
naturales o
artefactos culturales
Este mundo pre-geométrico esta
dotado de formas espaciales que se
manifiestan mediante cualidades
materiales ya sea por su tamaño,
color, dureza, peso, etc. De donde
comenzó un proceso llamado
“abstracción” con la observación de
un objeto plano (que así se vea) y
que de forma redonda se pueda
pasar a una línea plana “redonda” y
llegar a la idea de una circunferencia
que bien es una línea que mantiene
una curvatura constante. De esta
manera, Husserl establece que los
auténticos objetos geométricos son
las idealidades geométricas y que la
geometría es la disciplina que
estudia estas idealidades.

6. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
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La geometría descriptiva estudia las figuras
espaciales por sus imágenes de proyección y es
uno de los mejores medios para desarrollar la
imaginación espacial y el pensamiento lógico de
una persona, también se considera como la
justificación de métodos de imagen y construcción
de objetos tridimensionales en el plano
bidimensional del dibujo.
Se origino a fines de siglo XVIII por el
matemático francés Gaspard Monge,
quien cuando era Maestro de Ingeniería
de Mezieres tuvo la tarea de calcular el
alivio de las fortificaciones.
Y SUS PRINCIPIOS

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¿Cuál es su objetivo?
El objetivo principal de
esta disciplina es el desarrollo
de métodos para representar
formas geométricas en el
plano y su propósito básico es
la reproducción inequívoca
de figuras espaciales en un
plano, el cual es denominado
proyección y es aplicado en
muchos campos de la
tecnología

8. GEOMETRÍA ANALÍTICA
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La geometría analítica es una rama de la
matemática dedicada al estudio en profundidad
de las figuras geométricas y todos sus datos,
usualmente sus análisis comprenden la
interpretación de una figura geométrica,
utilizando el plano cartesiano, el cual es
bidimensional y se emplea para estudiar cada
figura, a su vez asignando a cada punto de la
misma un lugar puntual de coordenadas.
La geometría analítica así como estudia las
figuras geométricas también obtiene sus
ecuaciones básicas.
FORMULAS
Rectas ax + by = c
Círculos x2 + y2 = 4
Hipérboles xy = 1
Parábolas y = ax2 + bx + c
Elipses (x2/a2) + (y2/b2) = 1

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Aplicaciones
Los cuerpos celestes orbitan en
una trayectoria que describe
una elipse. Dichos cálculos
fueron posibles sólo empleando
la Geometría analítica.
Las antenas parabólicas gracias a
la propiedad de reflexión de la
parábola pueden reflejar la señal
satelital hacia el dispositivo de
alimentación.
Desde los antiguos puentes
colgantes de madera, hasta
sus versiones modernas con
cables de acero, el principio
geométrico de la parábola se
aplica en cada uno de ellos.

10. GEOMETRÍA PLANA
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La geometría plana se encarga del estudio de las figuras
geométricas de dos dimensiones en el plano. Poseen elementos
básicos: el punto, la recta, semirrecta y segmento. Estudia las figuras
planas las cuales están limitadas por líneas rectas o curvas en un solo
plano y a su vez estas figuras planas que limitan por segmentos se
denominan polígonos y estos poseen lados, vértices, ángulos y
diagonales. El estudio de estas figuras y sus propiedades geométricas
abarcan polígonos tanto regulares como irregulares, al igual que
también el circulo puede ser considerado un caso especial del
polígono

11. GEOMETRÍA EUCLIDIANA
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También conocida como geometría
clásica, corresponde al estudio de las
propiedades de los espacios geométricos
donde se le da créditos a los axiomas de
Euclides. La geometría Euclidiana
también llamada Geometría clásica,
reconoce sólo la existencia de sistemas
geométricos donde se aplica el quinto
postulado de Euclides. A la hora de
trabajar con espacios euclideos,
la geometría euclidiana se encarga de
espacios vectoriales completos que
disponen de un producto interno, por lo
que entonces, son espacios métricos y
vectoriales normados, en cambio los
espacios de las geometrías no
euclidianas son curvos o característicos
diferentes a las mencionadas en las
proporciones de Euclides

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AXIOMADAS
1 Por dos puntos distintos para una y solo una recta
2 Las líneas rectas pueden extenderse indefinidamente
Se puede dibujar un circulo con cualquier centro y cualquier
radio
3
4
Todos los ángulos rectos son iguales
5 Si una línea recta cruza a dos líneas rectas de modo que los
ángulos internos de un mismo lado suman menos que dos
ángulos rectos, entonces las dos rectas se cruzarán en ese
lado.

13. SISTEMAS DE
PROYECCIÓN

14. 14
¿QUÉ ES UN SISTEMA SE PROYECCIÓN?
Un sistema de proyección es el conjunto de métodos gráficos
bidimensionales que nos permiten presentar un objeto
tridimensional. En todo sistema de proyección intervienen
cuatro elementos, los cuales son:
1. Objeto: es el objeto que se desea representar
2. Punto de observación: desde el, se observa el objeto y puede
ser cualquier punto en el espacio
3. Superficie de proyección: es la superficie sobre la cual se
proyectara el objeto
4. Rayos proyectantes: consisten en rectas imaginarias que
unen el punto del objeto con el punto de observación

15. 15
PROYECCIÓN
Una proyección, es una técnica de dibujo empleada para
representar un objeto tridimensional en una superficie.
Matemáticamente una proyección es una transformación
lineal impotente sobre un espacio vectorial.
“Las proyecciones geométricas permiten reconocer las
formas del mundo que nos rodea, usualmente se
aplican en la ampliación y reducción de imágenes, a la
arquitectura y al dibujo en perspectiva”.
Peralta, B. (2015)

16. PROYECCIÓN CÓNICA
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La proyección cónica consiste en el
sistema de representación grafica donde
un has de rectas proyectantes que
confluyen en un punto, proyectan el
cuerpo como una imagen sobre el plano
auxiliar que intercepta dichas rectas.
Dicho sistema reproduce fielmente en un
plano las imágenes del espacio,
arronjando resultados muy similares a
como lo percibimos realmente, a su vez,
la proyección cónica posee tres
elementos:
1
2
3
Plano auxiliar: en donde se
proyectan las imágenes
Ojo observador: el lugar
desde donde se observa el
plano auxiliar
Punto de fuga: el punto del
plano auxiliar en el que
concurren todas las
proyecciones de las rectas
paralelas

17. PERSPECTIVA CÓNICA
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La perspectiva cónica o lineal, es el sistema de
representación mas parecido a la visión humana por lo que
se utiliza para dotar al dibujo de una sensación de realidad,
ya que por medio de esto se logra una aparente
profundidad que nos permite valorar la posición particular
de cada forma en el espacio. Este sistema esta basado en la
proyección de un cuerpo tridimensional sobre un plano
auxiliándose en rectas proyectantes que pasan por un
punto y el resultado es aproximado a la visión obtenida si el
objeto estuviera situado en dicho punto

18. PROYECCIÓN CILÍNDRICA
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Y ORTOGONALES
Las proyecciones cilíndricas pueden ser obtenidas al proyectar la superficie
esférica sobre un cilindro secante o tangente a la esfera, en esta proyección el mapa
resultante presenta una red de paralelos y meridianos perpendiculares, a su vez la
deformación de la escala es creciente al alejarse de la línea de tangencia, sin
embargo a pesar de esta deformación, el hecho de que se mantenga la
perpendicularidad entre meridianos y paralelos conduce a una representación
sencilla y útil en diversas situaciones.

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En la proyección cilíndrica ortogonal
los rayos proyectantes son todos
paralelos y perpendiculares al plano de
proyección alfa, a su vez, este tipo de
proyección es el que utilizamos en el
sistema diédrico, en el sistema de planos
acotados y en las perspectivas
axonometrías ortogonales

20. 20
PROYECCIÓN DIÉDRICA
Esta basada en definir la
proyección ortogonal de
los objetos de forma
simultanea, sobre dos
planos principales de
proyección,
perpendiculares entre si

21. PROYECCIÓN AXONOMETRICA
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Su objeto se representa por proyección ortogonal,
sobre un sistema de ejes trirrectángulo, que a su
vez se proyecta sobre el plano, permitiendo asociar
en un mismo dibujo sus tres dimensiones.
Comúnmente, es aquella en la que la planta del
objeto se coloca con cierto ángulo de inclinación,
manteniendo los valores de sus ángulos y
conservando su correspondencia métrica,
levantando verticalmente a partir de ella las
alturas. En otras direcciones se suelen mantener
igualmente las dimensiones quedando siempre
modificados sus ángulos.

22. PROYECCIÓN CILÍNDRICA OBLICUA
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En la proyección cilíndrica
oblicua los rayos proyectantes
son todos paralelos y forman un
Angulo oblicuo con el alfa. Este
sistema de proyección es el
utilizado en las perspectivas
axonometrías oblicuas

23. Perspectiva caballera
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La perspectiva caballera es una representación gráfica en dos
dimensiones, sobre el papel, de un objeto tridimensional.
Mediante este sistema perspectivo se obtiene un dibujo de
corte realista. La perspectiva se realiza empleando un sistema
de coordenadas cartesianas en las cuales se proyectan los
vértices del objeto que deseamos representar.

24. SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN

25. 25
SISTEMA DE REPRESENTACION
Todos los sistemas de representación
poseen el objetivo de representar sobre
una superficie bidimensional como es
en una hoja de papel los objetos que son
tridimensionales en el espacio. De tal
manera, con este objetivo se ha ideado
diferentes sistemas de representación,
los cuales cumplen con la condición de
permitir la representación de un objeto
tridimensional, sin embargo, dada la
representación bidimensional, el sistema
debe permitir obtener la posición en el
espacio de cada uno de los elementos de
dicho objeto

26. SISTEMA DIEDRICO
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Es un método grafico el cual consiste en
obtener la imagen de un objeto
mediante la proyección de rayos
proyectantes perpendiculares a dos
planos principales de proyección. Dicho
objeto queda representado por su vista
frontal y superior, a su vez se puede
representar su vista lateral como
proyección auxiliar, y a estas dos
proyecciones puede llamárseles en
dibujo técnico alzado y planta, a
diferencia de la otra vista que es el perfil.

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CUADRANTES
Son las regiones o cuadrantes en el que se
divide a los planos principales de proyección,
por tanto, el plano esta dividido por cuatro
regiones que lo rodea

28. SISTEMA DE PLANO ACOTADO
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Se utiliza para representar el relieve
del terreno natural o modificado por
el hombre y se basa en la proyeccion
ortogonal de los puntos significativos
al representar el terreno en un plano
horizontal, el cual supone tangente a
la curvatura terrestre en el punto que
esta representado

29. 29
En sistemas, se representa el relieve
del terreno a partir de la intersección
de planos imaginarios, paralelos al
plano horizontal de representación,
equidistantes entre si, cuya
intersección con el terreno, da unas
curas llamadas de nivel

30. SISTEMA DE COORDENADAS
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El sistema de coordenadas son grupos de
números que describen una posición a lo
largo de una línea en una superficie o en el
espacio y esta asociada con el conjunto de
números reales. Por otra parte también
existen las coordenadas cartesianas que son
sistemas de coordenadas formadas por dos
ejes en el plano y tres en el espacio
mutuamente perpendiculares que se cortan
en el origen.

31. 31
Objetivo del sistema
de coordenadas
El propósito del sistema de coordenadas
es ubicar con facilidad distintos objetos y
se utiliza en geometría para ubicar
puntos en el plano, así como cualquier
punto en un territorio

32. 32
Sin la geometría no se hubiese podido realizar esas grandes
y hermosas construcciones arquitectónicas que
representan símbolos y sellos incomparables de muchas
civilizaciones antiguas ya que gracias al estudio de las
figuras geométricas en el espacio y los planos, fue que se
logro realizar todas estas maravillas.

33. 33
https://www.youtube.com/watch?v=QYnDdNGbs_Q
ANEXOS
1
2
3
https://www.youtube.com/watch?v=eGMxfHg3M9U
https://www.youtube.com/watch?v=Uxu-51ZxNxE

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• Castila, A. (2014). Trazoide. Tomado de: https://trazoide.com/proyeccion-cilindrica-
ortogonal/
• Andonegui, M. (2006) Geometría: conceptos y construcciones elementales.
Caracas, Venezuela.
https://scioteca.caf.com/bitstream/handle/123456789/531/64.pdf?sequence=1&isAllowe
d=y
• Hernández, J. (s.f). Tomado de:
http://www.gep.uchile.cl/Biblioteca/Sistemas%20de%20coordenadas/01a%20Siste
mas%20de%20Proyecci%C3%B3n.pdf
BIBLIOGRAFIA

35. GRACIAS POR SU
ATENCIÓN
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