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Mat71a

  1. 1. A UA U L A L A71 71 Operando com potências Introdução O perações com potências são muito utiliza- das em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. O conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode facilitar a resolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriam bastante trabalhosos. Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições de potências com expoentes inteiros e bases reais. Nossa aula Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se represen- tar uma multiplicação de fatores iguais. Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de vezes que o fator se repete é representado pelo expoente. Por exemplo: 2 l 5 x 5 = 25 « 5 = 25 Onde 5 é a base e 2 é o expoente. Lê-se: “5 ao quadrado”. 2 vezes 3 l 2x2x2=8 « 2 =8 Onde 2 é a base e 3 é o expoente. Lê-se: “2 ao cubo”. 3 vezes 4 l 3 x 3 x 3 x 3 = 81 « 3 = 81 Onde 3 é a base e 4 é o expoente. Lê-se: “3 à 4ª potência”. 4 vezes De maneira geral, podemos escrever: a . a . a ... a = an se n > 2 (número inteiro) n vezes
  2. 2. Alguns casos especiais da potenciação: A U L A l a1 = a para qualquer a 71 0 l a =1 se a ¹ 0 1 l a-n = se a ¹ 0 an Além dessas definições, convenciona-se ainda que: - 32 significa - (3)2 = - (3 . 3) = - 9 e 2 (- 3) = (- 3) . (- 3) = + 9 Portanto: - 32 ¹ (- 3)2 Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo e está elevadaa um expoente positivo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso osparênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto. Vejamos alguns exemplos numéricos de aplicação das propriedadesvistas até aqui: l 70 = 1 l (- 2)2 = + 4 1 1 l 61 = 6 l 3-2 = = 32 9 ³ æ 1¯ö 1 1 8 l 2 -2 =-4 l è 2 ø (½)³ = ( _) = = 1 8 Para calcular o valor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar amultiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou maispotências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo: -2 -2 l As potências 3 e (-3) são iguais ou diferentes? (-3)-³ = 1 1 1 1 3-2 = 2 = e - = (-3) ³ 3 9 9 -2 -2 Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3 = (- 3) -2 2 l Qual é a maior 6 ou -6 ? 1 1 6-2 = 2 = ou - 62 = -(6 . 6) = -36 6 36 -2 2 Vimos que 6 resulta num número positivo e -6 resulta num númeronegativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo. -2 2 Logo: 6 > -6 .
  3. 3. 5 ³ æ_ 1 ö æ_ 1 öA U L A è 2ø è 2ø Qual é o número menor: ou ?71 l 5 æ_ 1 ö æ_ 1 ö . æ_ 1 ö . æ_ 1 ö . æ_ 1 ö . æ_ 1 ö _ 1 = = è 2 ø è 2ø è 2 ø è 2ø è 2ø è 2 ø 32 e æ_ 1 ö ³ æ_ 1 ö . æ_ 1 ö . æ_ 1 ö = _ 1 = è 2 ø è 2ø è 2 ø è 2 ø 8 Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denomi- nador, portanto 1 . 32 Comoæ_ 2 ö³ æ_ 2 ö são negativas o resultado é ao contrário e teremos como 1 1 5 as fraçõesø è ø è resposta: > Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica. Para efetuar operações com potências, também é necessário calcular antes o valor de cada potência. Por exemplo: 2 3 l 3 + 2 = 9 + 8 = 17 3 2 l 5 - 7 = 125 - 49 = 76 3 2 l 2 · . 3 = 8 . 9 = 72 2 3 l 4 : 2 = 16 : 8 = 2 Propriedades da potenciação Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especial das potências de bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a multiplicação sem efetuar as potências e obteremos o resultado em forma de potência. Multiplicação de potências de bases iguais 4 4 4+2 6 4 2 6 l 2 x2 =2 = 2 porque 2 x 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 vezes 2 vezes l 75 x 7-3 = 75 + (-3) = 75-3 = 72 Generalizando, para multiplicar potências de bases iguais, repetimos a base e somamos os expoentes. m n m+n a .a =a
  4. 4. A U L A Divisão de potências de bases iguais : 54 5· 5· 5· 5 5 4 ¸ 52 = 2 = = 5· 5 = 52 . . . 71 l 5 5· 5 -3 2 -3-2 -5 l 7 :7 =7 =7 4 6 4-6 -2 l 9 :9 =9 =9 Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímosos expoentes. m n m-n a :a =a Potenciação de potência 2 3 2 2 2 2x3 6 l (3 ) = (3 ) . (3 ) . (3 ) = 3 =3 3 vezes 4 (-2) 4 (2 ) = æ 1 ö = 1 8 = 2-8 l è 2²ø 2 Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multi-plicamos os expoentes. n (am) = a m.n Distributividade da potenciação em relação à multiplicação 3 l (2 x 3) = (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 8 . 27 3 vezes 3 vezes 3 vezes (5 x 7) = 1-2 1 -2 -2 = = 5 x7 l (5 x 7)² 5² x 7² Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmoexpoente. m m m (a . b) = a . b
  5. 5. A U L A Distributividade da potenciação em relação à divisão71 l æ7ö æ7ö 7 . 7 (7 : 3)² = è3 ø . è3 ø = 3.3 7² 3² = 7² : 3² 2 vezes -3 æ4ö 4-3 = -3 l è5 ø 5 Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos o dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente. m m m (a : b) = a : b mou æaö am = m èbø b Aplicações Como já foi dito no início da aula, uma das maiores aplicações das propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculo algébrico. Na Aula 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões algébri- cas. Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões e verificaremos o uso constante das propriedades estudadas. 2 3 5 10 l x · x · x =x 2 2 2 2 2 2 4 3 2 l y · (y + y + 1) = y · y + y · y + y · 1 = y + y + y 3 3 3 3 3 3 l (- 2xy) = (- 2) · x · y = - 8x y 2 3 6 7 l (x ) · x-4 = x · x- 4 = x - 4 l (2x5 + 3x4) ¸ x3 = (2x5 ¸ x3) + (3x4 ¸ x3) = 2x2 + 3x (xy)44 . . β γ = (x x)4-· . y 4 = x 4 ·. y 4 = x 4 · y 4 = x6 ·. y 5 xy - (x- ) β 2 y γ-1 β 2 γ-1 · y -1 x-2 · y -1 x-2 y -1 l x x
  6. 6. A U L A As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como umaforma de simplificação dos cálculos. Veja: 7 5 13 71 l 2 . 128 . 32 = 2 . 2 . 2 = 2 3 2 6 2 4 l (4 ) : 16 = 4 : 4 = 4 . . 2 3 5 · 5 5 · 53 55 2 l = 4 = 4 = 51 = 5 625 5 5 ExercíciosExercício 1 Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F): -2 a) ( ) 4 = - 16 -3 3 b) ( ) 7 . 7 = 1 æ1ö-2 ΦΙ = x 1 èxø 2 c) ( ) ΗΚ x -2 1 d) ( ) -3 = 9 æ_ ö² æ_ ö³3Exercício 2 Φ 1 Ι ou Φ 1 ø ? è ø 2 è Ι Η 5Κ Η 5Κ Qual é a maior - -Exercício 3 x 1 3 Se 2 = 4, qual é o valor de 2 +x? E qual o valor de 2 -x?Exercício 4 Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas: a) x3 . (x + x2 + x4) = 5 4 4 b) (7x - 8x ) : x = 3 2 c) (6x + 3x ) : (-3x) = d) (x2 + y) . xy =

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