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  1. 1. A UA U L A L A61 61 Revendo as operações Introdução A ssim como já vimos em muitas de nossas aulas, a Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-a- dia. Na aula de hoje, recordaremos algumas propriedades das operações com números naturais de grande utilidade para a resolução de problemas que necessitam de um cálculo mais rápido, ou seja, o cálculo mental. Estudaremos também as expressões numéricas, suas regras e seus sinais de pontuação. Nossa aula Observe a seguinte situação: Fazendo compras num “shopping”, uma pessoa resolveu somar mental- mente seus gastos. Qual a melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguinte soma: R$ 18,00 + R$ 40,00 + R$ 32,00? 18 + 40 + 32 = = 40 + 18 + 32 = Trocar a ordem das duas parcelas. = 40 + (18 + 32) = = 40 + 50 = 90 Associar as duas últimas parcelas e somar. As etapas seguidas para esse tipo de cálculo foram baseadas, intuitivamen- te, nas propriedades da adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) e associativa (associar = juntar). Na 1ª propriedade, vimos que é possível trocar a ordem das parcelas sem alterar o resultado. “A ordem das parcelas não altera a soma”. Na 2ª propriedade, vimos que a associação de parcelas pode ser feita de maneiras diferentes, sem que o resultado seja alterado. Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição, sem que o resultado seja alterado.
  2. 2. Veja como poderia ser feita, de outra maneira, a adição do exemplo A U L Aanterior: 18 + 40 + 32 = 61 = (18 + 40) + 32 = Somar as duas primeiras parcelas. = 58 + 30 + 2 = Decompor a última parcela. = (58 + 2) + 30 = Trocar a ordem das duas parcelas = 60 + 30 = Associar as duas primeiras parcelas = 90 e somar. Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas propriedades daadição? Veja os exemplos: EXEMPLO 1 Calcule a área de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m decomprimento. Multiplicando as dimensões do terreno, temos: Área do retângulo: 20 x 15 = 300 m²² ou 15 x 20 = 300 m²² Logo, concluímos que a propriedade comutativa também é válida paraa multiplicação, portanto: A ordem dos fatores não altera o produto. Em relação à propriedade associativa, podemos concluir o mesmo resulta-do, ou seja: A associação de dois fatores de uma multiplicação, de diferentes maneiras, não altera o produto. No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade associativa para facilitar ocálculo mental: 237 x 25 x 4 = = 237 x (25 x 4) = = 237 x 100 = = 23.700 Agora, veremos uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adiçãoou a multiplicação e a subtração. Observe:
  3. 3. A U L A EXEMPLO 261 Calcule o perímetro de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m de comprimento. Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse cálculo pode ser feito de duas maneiras diferentes: l Multiplicando as dimensões do terreno por 2 e somando o resultado: Perímetro = 2 x 15 + 2 x 20 = 30 + 40 = 70 m l Somando as duas dimensões e multiplicando o resultado por 2: Perímetro = 2 x (15 + 20) = 2 x 35 = 70 m Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo. Então, podemos concluir que: 2 x (15 + 20) = 2 x 15 + 2 x 20 Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Essa propriedade também é válida quando relacionada à subtração, podendo ser aplicada ao cálculo mental. Por exemplo: Multiplique 18 por 99, sem efetuar a conta de multiplicação: 18 x 99 = 18 x (100 - 1) = 1.800 - 18 = 1782 Além das propriedades das operações que vimos até aqui, é preciso conhecer as regras adequadas para a resolução de expressões numéricas. Expressão numérica é uma seqüência de números que seguem determinadas operações. Veja os exemplos: Calcular o valor da expressão: 15 + 12 - 10 Esse exemplo envolve duas operações - a adição e a subtração - que devem ser efetuadas na ordem em que aparecem: 15 + 12 - 10 = 27 - 10 = 17 Veja os exemplos: Calcular o valor da expressão: 98 - 12 . 3 + 36 : 3 Essa expressão apresenta as quatro operações: adição, subtração, multipli- cação e divisão. Inicialmente, devemos efetuar as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições e subtrações, também na ordem em que ocorrem: 98 - 12 . 3 + 36 : 3 = = 98 - 36 + 12 = = 62 + 12 = 74
  4. 4. Se tentarmos calcular essa expressão de outra maneira, o resultado poderá A U L Aser diferente. Nesse caso, é preciso estabelecer uma determinada ordem paracalcular a expressão. Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais de pontuação. Um dos 61sinais mais utilizados é chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em umaexpressão, devemos efetuar as operações que estão dentro dele e, em seguida,continuar resolvendo as outras. Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e as chaves { }, quepodem aparecer em algumas expressões. Assim, após resolvermos as opera-ções que estão entre os parênteses, devemos resolver as que estão entre oscolchetes e, em último lugar, as que estão entre chaves. Observe as expressões abaixo: 1) 5 + (12 + 3) : 3 = = 5 + 15 : 3 = = 5 + 5 = 10 Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida,a adição. 2) [(11 + 12) . 3 - 9] : 15 = = [23 . 3 - 9] : 15 = = [69 - 9] : 15 = = 60 : 15 = =4 Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entrecolchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expres-são. 3) {15 - [2 . (9 - 12 : 4)]} : 3 = = {15 - [ 2 . (9 - 3)]} : 3 = = {15 - [2 . 6]} : 3 = = { 15 - 12} : 3 = =3 : 3= =1 Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordemestabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entrechaves. Determina-se o valor da expressão. Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações depotenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antesda multiplicação e da divisão. Veja: 2 2 (5 - 6 x 2 ) x 3 = = (25 - 6 x 4) x 3 = = (25 - 24) x 3 = =1x3= =3 Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses,na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão.
  5. 5. Resumindo A U L A Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra sobre a ordem das operações: 61 1 º) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem. ) 2 º) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. ) 3 º) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. ) Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entre parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as que estão entre chaves { }.Exercícios Exercício 1 De acordo com a sentença abaixo, escreva uma expressão e determine o seu valor: “Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1000.” Exercício 2 Demonstre a maneira mais simples para calcular, mentalmente, o resultado das operações: 300 + 895 + 700 = Exercício 3 Na expressão 180 - 40 : 5 - 6, acrescente parênteses de maneira a encontrar resultados diferentes, conforme a posição em que forem colocados. Exercício 4 Coloque parênteses nas expressões, de modo a obter os resultados indicados: a) 72 + 60 : 12 - 8 = 87 b) 10 - 2 . 3 + 1 = 25 Exercício 5 Calcule o valor da expressão: 123 - [30 - (5 . 4 - 2) : 6]

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