ejemplo

3. Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el
agujero (variación de volumen de líquido en el tanque respecto del
tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la
velocidad v del agua drenada, esto es
dQ/dt=−kav dQ/dt=−ka√2gh

4. dQ = A(h)dh ⇒ dQ/dt=A(h)dh/dt
La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque :
A(h)dh/dt = -aK√2gh A(h)dh = -aK√2gh dt
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición
de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t, permite obtener la ley de variación de la altura de
líquido en el tanque en función del tiempo.

5. VACIDO DE TANQUE
Consideremos un recipiente lleno de agua hasta una altura h. también supongamos que el agua fluye a
través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea
establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en
vaciarse
Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de agua
del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es:
oAplicando la ecuación de energía:
½.mv2 = mgh ⇒ V = 2gh
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que
sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá

7. -Un cilindro recto circular de 10
pies de radio y 20 pies de altura,
está lleno con agua. Tiene un
pequeño orificio en el fondo de una
pulgada de diámetro ¿Cuándo se
vaciará todo el tanque?

8. LA ECUACION DIFERENCIAL ASOCIADAS A LOS PROBLLEMAS DE VACIADO DE TANQUE ES :
A (h) dh =- ac 2 𝑔 ℎ
el diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es ½ pulgadas
Se utiliza la equivalencia de 1 pulgada = 1/12 pies y en área del orificio de salida es el área una circunferencia (𝜋𝑟2)
A= 𝜋
1
24
2
=
𝜋
576
𝑝𝑖𝑒𝑠2
................ (1)
el coeficiente de descarga “C” no esta dado por lo tanto se asume C= 1 y gravedad g=32 pies/ 𝑠𝑒𝑔2
Para el determinar el Área de la sección transversal del tanque se observa en la figura que
son circunferencias de radio r=10 pies se le efectúa el corte así :
A(h) = 𝝅 (𝟏𝟎) 𝟐 = 100 𝝅 𝒑𝒊𝒆𝒔 𝟐

9. 100 𝝅 𝒅𝒉 = −
𝜋
576
64 ℎ dt 8𝜋
576
ℎ
Multiplicando por
1
𝜋
y simplificando
100 𝒅𝒉 = −
1
72
ℎ dt ................ (2)

10. La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variable separable y para separa las
variables se debe se multiplica por el factor -
𝟕𝟐
𝒉
-
7200
ℎ
𝑑h = dt
Integrando −7200
1
ℎ
𝑑ℎ = 𝑑𝑡
1
ℎ
𝑑ℎ = ℎ−
1
2 𝑑ℎ = 2ℎ
1
2 = 2 ℎ + 𝑘1
................ (3)
𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝑘2

11. −14400 + ℎ = t + k ................ (4)
𝑘 = −14400 20
−14400 + ℎ = t −14400 20

12. MULTIPLICANDO POR -
1
14400
Y ELEVANDO AL CUADRADO
ℎ 𝑡 = −
𝑡
14400
+ 20
2
............... (5)
La ecuación (5) es la ley de la variación de la altura del liquido del tanque en cualquier
Instante t
entonces para determinar el tiempo en que demora en vaciarse el tanque h = 0 y se sustituye en la ecuación (5)
T= 14400 20 64398.75 seg
Es decir 17 horas 53 min y 19 seg.