Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de geometría descriptiva en 3 oraciones o menos: Introduce los conceptos fundamentales de geometría plana como punto, recta y plano y explica cómo se usan estas herramientas para comprender figuras geométricas y calcular áreas y perímetros. También define la proporción y cómo se aplica a la arquitectura mediante el uso de secuencias numéricas como la de Fibonacci. Por último, explica que las líneas reguladoras sirven para representar relaciones geométricas que guían
3. Apunte de clase
I. Introducción
Lectura del lugar geométrico.
Para poder comprender lo que es la Lectura del lugar geométrico primero
debemos entender que la geometría es aquella rama de las matemáticas que
estudia las propiedades y sus medidas de una figura en el espacio o plano (Euclides,
1482, “Los elementos”).
Podremos explorar los conceptos de “geometría plana”, “proporción” y “líneas
reguladoras” para dar un enfoque hacia el conocimiento geométrico de los polígonos
o figuras en el espacio y con ello concebir a la geometría como una herramienta
fundamental para el ejercicio proyectual en arquitectura. Veremos en este apunte
que la “geometría plana” responde a qué es una herramienta fundamental para
comenzar a entender los elementos básicos en la geometría (punto, recta y plano)
de los cuales se desprenden los polígonos regulares o figuras compuestas y su
posición en el espacio. El estudio básico de la “proporción” nos permitirá a ver cómo
en el espacio las relaciones visuales son comprendidas a través del uso de
conceptos geométricos planos para desglosar o descomponer elementos y así ver
sus cualidades espaciales en un plano desde un origen realizados por el ser
humano y en la naturaleza. Otra herramienta esencial en la representación y
comprensión de la geometría será profundizar sobre las “líneas reguladoras”, las
cuales sirven para tanto para trabajar y descubrir las proporciones como en la
geometría de un elemento plano, su disposición o configuración en el plano.
4. Apunte de clase
Estos conceptos serán de utilidad en el ámbito de la geometría descriptiva dado
que con ellos podremos solucionar los problemas del espacio arquitectónico y su
configuración por medio de operaciones gráficas y de representación, permitiendo
desarrollar mejor el ejercicio proyectual de nuestras ideas espaciales.
5. Apunte de clase
GEOMETRÍA PLANA
Los términos no definidos (o indefinidos) en geometría responden a los conceptos
de punto, rectos y planos, donde:
● Punto: es una secuencia de puntos que permitirá construir una figura en el
espacio. Tiene una sola posición en el espacio y se caracteriza por no tener
dimensión. Recta: por medio del movimiento de un “punto” (o una secuencia
infinita de ellos) se logra trazar una línea, pudiendo serrecta, curva o una
combinación de ambas. Tiene longitud, pero no ancho.
● Plano: tiene extensión indefinida en todas direcciones por medio de una
superficie lisa. Tiene ancho y largo, pero no espesor. Lo entendemos como
un elemento bidimensional.
Gracias a los conceptos antes definidos tendemos a conocer la geometría plana
por medio de la construcción y disposición de figuras geométricas (polígonos o
figuras compuestas) en el plano; y la construcción de dichas figuras geométricas
incidirá la aplicación de ángulos.
6. Apunte de clase
Por medio de los conocimientos en geometría plana y el despiece de sus formas
geométricas (o polígonos) podremos entender superficies (áreas y perímetros). De
forma general se podrá comprender y desarrollar mejor el pensamiento espacial del
ser humano a modo de trabajar la lectura e interpretación del espacio (espacial-
geométrico) y con ello configurarlo o transformarlo.
Definiciones:
Triángulo: polígono de tres lados. Se clasifican según lados como triángulo
isósceles, equilátero o escaleno; o por sus ángulos, como rectángulo, acutángulo y
obtusángulo.
Cuadrilátero: polígono de cuatro lados. Se clasifican por paralelogramos
(rectángulo, rombo, cuadrado), trapecio (isósceles, rectángulo, escaleno) y
trapezoides.
7. Apunte de clase
Circunferencia: sumatoria de puntos situadas a una misma distancia de un punto-
centro.
Área y Perímetro
El Área es un concepto de medición que permite asignar una medida a una
superficie. Como concepto métrico pretende ser el espacio o superficie donde se
determina una medida en las dos dimensiones.
● Área de un triángulo: el cálculo de un área o superficie corresponderá a la
multiplicación de la base y de su altura y dividido por dos ((bxh)/2). En caso
de no conocer la altura y solo se cuenta con lado e hipotenusa, se aplica el
teorema de Pitágoras para encontrar dicha medida.
● Área de un cuadrilátero: el cálculo del área o superficie de un cuadrilátero
será “lado x lado” en el caso de una sección cuadrada; base por altura (bxh)
en el caso de un rectángulo; para un rombo es la multiplicación de sus
diagonales divida por dos ((d1xd2)/2); para los trapecios se calcula a partir
de la sumatoria de sus lados bases dividido por dos y multiplicado por la
altura (hx((a+b)/2)); y para un trapezoide es necesario realizar su
8. Apunte de clase
descomposición en triángulos y con ello la sumatoria de las áreas de dichos
triángulos dará la superficie total del área de n trapezoide.
● Área de una circunferencia: conociendo el radio (r) de la circunferencia es
posible calcular su área o superficie, elevando a dos dichos valores y
multiplicándolo por Pi (π=3,1416), es decir, r2
x3,1416. En el caso de tener
una elipse solamente se debe multiplicar el radio mayor por el radio menor y
a su vez multiplicarlo por Pi.
El Perímetro corresponde al contorno de una figura y su unidad de medida
corresponderá a la sumatoria de sus lados. En las circunferencias, el perímetro se
calcula multiplicando Pi(π) por el diámetro (3,1416xD).
__
9. Apunte de clase
PROPORCIÓN
En geometría, la proporción corresponde a la igualdad entre dos “razones”, donde
la “razón” es la relación entre dos números, por tanto, es el resultado de un número
por el otro.
En el campo de la geometría descriptiva y la arquitectura enfocaremos la
proporción como el concepto que determine visualizar y/o representar la relación
geométrica de los espacios y con ello la armonía. Por lo tanto, en la composición
arquitectónica podrá expresar la relación del todo con el todo.
10. Apunte de clase
La relación geométrica y la distribución rítmica serán los factores preponderantes
para el resultado de la forma arquitectónica.
A diferencia de los conceptos teóricos matemáticos, la proporción motiva la
búsqueda de patrones estéticos aplicando secuencias numéricas o utilizando
factores de repetición. Resulta familiar Fibonacci, el Número de Oro o Sección
Áurea, el Modulor, entre otros. El número de oro se representa por el prefijo griego
(Φ) Phi y que su valor corresponde a 1,618.
Fibonacci es la secuencia numérica que determina una proporción y/o ritmo en los
factores espaciales que concebimos o representamos. Esta sucesión de Fibonacci
(Leonardo de Pisa, s.XVIII) se presenta como una secuencia numérica infinita (0,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34…), comenzando en 0 y 1, donde la secuencia
corresponderá a un número que sumado por el resultado anterior dará el siguiente
valor de secuencia, es decir, 0+1=1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13… y que
desde el 5 al dividir un número por el que lo antecede, su resultado dará un
aproximado a Phi (5/3=1,6).
El patrón de crecimiento perfecto, por medio de proporciones áureas, corresponderá
a la Sección Áurea que es el vínculo presente entre dos segmentos referidos en
una misma recta. La proporción áurea, en una expresión algebraica, se representa
como una ecuación, siendo (a + b) / a = a / b, que es igual a Phi (Φ).
11. Apunte de clase
Las proporciones se encuentran en el cuerpo humano y en el rostro, al igual que
en plantas y animales. Las proporciones aparecen y otorgan una preferencia
cognitiva1
. Han permitido que la ciencia y el arte establezcan patrones y
configuraciones espaciales ajustadas a esas proporciones.
1
Elam, K. (2014). La geometría del diseño: estudios sobre la proporción y la composición.
12. Apunte de clase
La búsqueda de la proporción del cuerpo humano, aplicando conceptos geométricos
y matemáticos fueron trabajados por Durero (Hombre inscrito en un círculo) y Da
Vinci (El Hombre de Vitruvio).
14. Apunte de clase
Por otra parte, las proporciones en el cuerpo humano fueron establecidas por Le
Corbusier en el Modulor, que se aplica tanto para el diseño funcional como para el
diseño estético de la arquitectura.
El Modulor (Le Corbusier, 1950-53) busca la relación matemática de las medidas
de la persona con la naturaleza y el espacio. Por medio de esta búsqueda
antropométrica de un sistema de medidas del cuerpo humano (182cm de altura)
cada medida se relaciona con el número de oro, por ejemplo, en centímetros:
- La medida 113 proporciona la sección aurea 70, esbozando una primera (Serie
Roja) 4-6-10-16-27-43-70-113-183-296, etc.
- La medida 226 (113×2) proporciona la sección aurea 140-86, esbozando la
segunda serie (Serie Azul) 13-20-33-53-86-140-226-366-592, etc.
- Entre estos valores se pueden señalar los que característicamente se relacionan
con la estatura humana.
15. Apunte de clase
Las medidas antropométricas (antropometría) establecen por medio de medic
dimensiones las distancias entre diversas extremidades del cuerpo humano y con
ello la proporción necesaria para optimizar espacios, artefactos u objetos. Por lo
tanto esto nos lleva a la ergonomía y los diseños de espacios, utilizando conceptos
y principios básicos de geometría y proporción para un grupo o población específica
para determinados espacios o usos. Por ejemplo, utilizando dichos conceptos
podremos establecer el desplazamiento de una persona en un área de trabajo,
pudiendo así proporcionar los espacios de circulación con los de estar.
16. Apunte de clase
En el ámbito del diseño arquitectónico y la búsqueda de la armonía en la forma, la
proporción arquitectónica y el uso de los principios geométricos permiten generar
una relación entre el lleno y vacío de una fachada, la distribución del programa en
una planta de arquitectura, además de las alturas interiores o anchos o largos en
espacios arquitectónicos.
18. Apunte de clase
Por medio de la modulación y aplicación de formas geométricas (polígonos), se
puede establecer un orden, patrón, ritmo y proporción a un espacio arquitectónico.
Eso permitetrabajar la jerarquización de dicho espacio arquitectónico o para el
diseño de artefactos u objetos de uso cotidiano.
Se logra trabajar una composición por armonía o contraste tratando la adición o
sustracción de piezas que nacen de una forma geométrica. Es posible lograr la
superposición o agrupamiento. Desde ahí se trabaja la simetría o asimetría de los
espacios, pudiendo así lograr la forma deseada que responde a la función (Sullivan)
o viceversa, la función responde a la forma (Rossi).
.
19. Apunte de clase
LÍNEAS REGULADORAS
Por medio de líneas o trazos referenciales (representación de líneas imaginarias)
se podrá expresar una alineación determinada y que se regula por componentes
geométricos. Le Corbusier cita las líneas que regulan las sencillas divisiones que
determinan la relación proporcional entre altura y anchura y que guían la ubicación
de las columnas y su proporción con la fachada2.
2
Elam, K. (2014). La geometría del diseño: estudios sobre la proporción y la composición (Las líneas
reguladoras de Le Corbusier, pp.22)
20. Apunte de clase
Las líneas reguladoras en arquitectura, en observación y en la lectura a desarrollar
-para comprender una fachada, una planta de arquitectura, un corte o cualquier
elemento de representación bidimensional- se podrán alinear dos o más elementos
geométricos, encontrando su relación, razón o proporción por medio de trazos o
rectas paralelas o por diagonales. Además, se podrán establecer esas relaciones
geométricas. En el ejercicio proyectual, al aplicar estos mismos principios gráficos
de representación geométrica se podrá ir diseñando de manera bidimensional
aquellos espacios que imaginamos tridimensionalmente, pudiendo así buscar la
armonía y estética espacial.
Los procesos antes descritos responden a un sistema de proporcionalidad y de
trabajo de unidades de medidas como organización matemática esencial en el
proceso de diseño de una obra u objeto. Se establecen como un orden preliminar y
otorgan claridad en la inspiración plástica que deseamos desarrollar.
21. Apunte de clase
II. Bibliografía
• Zárate, L. J., Rendón, P. M. A., & Reyes, V. J. H. (2010). Composición
arquitectónica. Recuperado de: https://ebookcentral.proquest.com
• Ching, F. D. (2015). Arquitectura: forma, espacio y orden. (4a. ed.).
Recuperado de: https://ebookcentral.proquest.com
• Spinadel, V. W. D. (2009). Forma y matemática: la familia de números
metálicos en el diseño. Recuperado de: https://ebookcentral.proquest.com
• Elam, K. (2014). La geometría del diseño: estudios sobre la proporción y la
composición. Recuperado de: https://ebookcentral.proquest.com
Si usted desea referenciar este documento, considere la siguiente
información:
DE Requesens D., I (2018.) Lectura del lugar geométrico. Apunte de clase
unidad 1, Geometría Descriptiva, Universidad UNIACC.
