Cuadro Numérico
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Andrea Colmenárez

Plano numérico o plano cartesiano
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición
de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o
pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las
equis y uno de las yes, respectivamente, esto indica que un
punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus
coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la
vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de
origen.
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si
son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el
cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son
positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus
coordenadas.

EJEMPLO:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se
emplea cuando se requiere
determinar las coordenadas de
cualquier punto que está en el
plano cartesiano.
Ejemplo:
Determinar las coordenadas del
punto M.
Este procedimiento también se emplea cuando se
requiere determinar las coordenadas de cualquier
punto que está en el plano cartesiano.
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Fórmula de Distancia entre dos puntos
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre
estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra
cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus
coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por
d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.
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Punto Medio
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más
generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra
a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc.
Distancia entre punto medio
Fórmula de punto medio

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
(recordar que estamos hablando del plano cartesiano y es
respecto a éste que trabajamos).
Ecuaciones y Circunferencia
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada
cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
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Parábola
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de
coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la
derecha.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una
serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado
también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola
en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en
el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia
p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice
y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Elipses
Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano
cartesiano cuya suma de distancias de los puntos, llamados focos:
F1 y F2 es constante.
Ejemplo:
Hallar la ecuación canónica de la elipse de foco , de
vértice y de centro .
Primero, notemos que el eje mayor es paralelo al eje de las abscisas, esto lo podemos notar gracias al centro y
uno de los focos, notemos que el foco simplemente se recorre a la derecha del centro de la elipse. Esto nos da
por ahora la ecuación
Ahora, sabemos que a es el semieje mayor. El semieje mayor es igual a la distancia entre el centro de la elipse y
el vértice, por lo tanto
Además, tenemos que el semieje menor cumple que , en donde es la distancia del centro
de la elipse al foco, por lo tanto
Así
Esto nos da la ecuación

Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los
vértices, la cual es una constante positiva.
Focos: F1(c,0)F1(c,0) y F2(–c,0)F2(–c,0)
Centro: C(0,0)C(0,0)
Vértices: V1(a,0)V1(a,0) y V2(–a,0)V2(–a,0)
Eje focal: recta que contiene a los focos, en este caso es el eje xx
a se denomina semieje real o transverso
b se denomina semieje imaginario
2c es la distancia entre los focos
Se cumple que c2=a2+b2c2=a2+b2

Hallar la gráfica de la curva definida por la ecuación:
x2–y24=1
Ejemplo
La ecuación responde a la forma canónica de una
hipérbola con eje focal xx. Luego:
C(0,0)
Semiejereal: a=1
Semiejeimaginario:b=2
Semidistanciafocal:c=√12+22=√5
Grafiquemos lo obtenido hasta el momento:
Luego podemos dar las coordenadas de los
vértices, de los focos y de las asíntotas:
V1(1,0)V1(1,0)
V2(–1,0)V2(–1,0)
F1(–√5,0)F1(–5,0)
F2(√5,0)F2(5,0)
Asíntotas:y=±2x

La gráfica de la Hipérbola

C ó n i c a
Es la intersección de un plano y un cono recto
circular doble. Por el cambio del ángulo y la
ubicación de la intersección, podemos producir
diferentes tipos de cónicas. Hay cuatro tipos
básicos: círculos , elipses , hipérbolas y parábol
as. Ninguna de las intersecciones pasara a
través de los vértices del cono
Si el cono recto circular es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la
intersección es un círculo. Si el plano intersecta una de las piezas del cono y su
eje pero esté no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para
generar una hipérbola el plano intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el
eje. Y finalmente, para generar una parábola, el plano de intersección debe
intersectar una pieza del cono doble y su base.

Fórmula
La ecuación general para cualquier sección cónica es
donde A, B, C, D, E y F son constantes.
Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también
cambiara. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudarnos a identificar
rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada.
Si B 2 – 4 AC es menor que cero, si una cónica existe, está puede ser un círculo o una elipse.
Si B 2 – 4 AC es igual a cero, si una cónica existe, será una parábola.
Si B 2 – 4 AC es mayor que cero, si una cónica existe, será una hipérbola.

Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que llamamos
generatriz, alrededor de otra recta , eje, con el cual se corta en un punto , vértice.
• g = la generatriz
• e = el eje
• V = el vértice
•Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la
rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de
modo oblicuo.
•Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
•Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
•Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie
cónica de revolución.
•Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con
un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre
el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del
cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.