1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
U.P.T “ANDRES ELOY BLANCO”
NÚMEROS REALES
ESTUDIANTE:
OSORIO ANA
C.I.30325401
SECCIÓN:0100
20-01-2021

2. NUMEROS REALES
- Los números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes
por parte de los egipcios , cerca del año 1.000 a.C. Y el desarrollo de la
noción continuó con los aportes griegos.
Los números reales son todos aquellos que pueden representarse en una
recta numérica, por lo tanto, números como -5, -6/2, 0, 1 ó 3.5 son
considerados reales porque se puede plasmar en una representación
numérica sucesiva, en una recta imaginaria. La letra R es el símbolo que
representa el conjunto de números reales .
Entre los números reales tiene varios subgrupos por ejemplo , -2/3 es un
número racional porque expresa una ración de lago y , a su vez , es un
número real porque se puede indicar en una recta numérica. Otro ejemplo, si
se toma como referencia el número 4 , estamos ante un número natural , el
cual también forma parte de los números reales. El ejemplo del número 4 ,
no solo es un número natural , sino también es un número entero positivo y
al mismo tiempo un número racional (4 es el resultado de la fracción 4/1) y
todo eso sin dejar de ser un numero real. Un ejemplo más, si tomamos √9 ,
igualmente está calificado como un número real , pues el resultado es 3 ,es
decir, un número entero positivo que al mismo tiempo es racioal , pues se
puede expresar en su forma 3/1.

3. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS CON NÚMEROS REALES
-El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de
números, a saber; los números racionales, los números irracionales. A su vez,
los números racionales se clasifican en:
Números Naturales (N): los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4,
5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …
Números Enteros (Z):son los números naturales, sus negativos y el cero. Por
ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
Números Fraccionarios: son aquellos números que se pueden expresar
como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma
a/b con a, b enteros y b ≠ 0
Números Algebraicos: son aquellos que provienen de la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres
o anidados. Por ejemplo, √3
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales
algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, como por
ejemplo √25.
A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento
notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números
racionales. En efecto, √25 = 5
Números Trascendentales: no pueden representarse mediante un número
finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones
trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y
e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse
mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir
números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva
periodo definido.

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS DE NUMEROS DE REALES
-El conjunto de los números reales es el conjunto conformado por los
números racionales y los irracionales, es decir, R = QUI
Tenemos entonces la siguiente cadena de inclusiones
N C Z C QR =QUI
Como a cada número le corresponde un punto sobre la recta y a cada punto
sobre la recta podemos asignarle un número real, a la recta la llamaremos
recta real o recta numérica .
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones
llamadas suma o adición (+) y multiplicación o producto (.) que cumplen,
entre otras, las siguientes propiedades :
Si a, b y c son números reales,
*Propiedad asociativa:
a + (b + c) = (a +b)+c -3 +(2-5) = (-3+2) - 5
a . (b . c) =(a . b) . c
*Propiedad conmutativa :
a + b = b + a 3+5=5+3
a . b = b . a -5 . 2= 2 .(-5)
*Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
a (b + c) = a . b + a . c
1/2 (2 + 4/3 ) = 1/2 . 2 +1/2 . 4/3

5. NUMEROS REALES EN DESIGUALDADES
-Los anunciados a ˃ b y a ˂ b , junto con las expresiones a ≤ b ( a ˂ b o a = b)
y a ≥ b ( a ˃ b o a = b ) se conocen como desigualdades. Las primeras se
llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o
amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de
comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las
desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe
tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos:
* Como 2 ˂ 5 entonces 2 + 4 ˂ 5 + 4 , es decir, 6 ˂ 9 .
*Como 8 ˃ 3 entonces 8 – 4 ˃ 3 – 4 ,esto es, 4 ˃ - 1 .
*Como 7 ˂ 10 entonces 7.3 ˂ 10.3 ,es decir, 21 ˃ - 30.
* Como 7 ˂ 10 entonces 7 . (-3) ˃ 10 (-3), esto es -21 ˃ - 30.
En los diferentes ejemplos se observa que:
*Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el
sentido de la misma se mantiene.
*Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el
sentido de la misma se mantiene.
*La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la
desigualdad.
*La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la
desigualdad
Inecuaciones:

6. Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores
desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números
reales para los cuales es verdadera.
Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades
y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto
significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que
la dada.
Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto
solución.
Ejemplo: encontrar los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 ˂ 5.
Para resolver la inecuación se debe transformar a paso a paso, aplicando
propiedades hasta obtener el conjunto solución.
* se suma -4 a ambos miembros : 2x + 4 + (-4) ˂ 5+ (-4)=
2x ˂ 1
· se multiplican ambos miembros por 1
/2 : x < 1
/2
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que 1/2.
Por lo tanto, el conjunto solución es S ={ x/ x ˂ 1
/2 } . Gráficamente:
1/2

7. Ejemplo: Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad -5x + 8 ≥ 3.
La solución se obtiene de la siguiente manera:
*Se suma -8 a ambos miembros: -5x + 8 + (-8) ≥ 3 + (-8)
-5x ≤ 5
*se multiplican ambos miembros por - 1
/5 . Como el número es negativo se
invierte el sentido de la desigualdad: (- 1
/5 ) , (-5x) ≤ (- 1
/5 )
.( -5 ) x ≤ 1
GRAFICAMENTE:
1
El conjunto solución es S = {x / x £ 1}
*nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x ³ a x £ a
esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.
Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x > a x < a
Esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.
Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos. Se
analizan a continuación qué tipo de intervalos pueden definirse sobre la recta
real.

8. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
-En matemáticas , el valor absoluto o módulo 1
de un número real es suvalor
numérico sin tener en cuenta su signo , sea este positivo (+) o negativo (-).2
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud , distancia y
norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor
absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos
matemáticos, como son los cuaterniones , anillos ordenados , cuerpos o
espacios vectoriales.
EL valor absoluto se define en los conjuntos de los números enteros,
racionales, o reales como: 3
* │a│= a si a ≥ 0
* │a│= a si a ˂ 0
Ejemplo: │-3│ = -(-3)
Definiciones equivalentes:
Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo
definido de las dos siguientes maneras:
1. = √a2
2. │a│ es igual al máximo de { a ,-a}. 4

9. DESIGUALDADES CON UN VALOR ABSOLUTO
Las desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el
argumento del valor absoluto
Ejemplos :
│3x+2│ ˃ 5
│5x -4│≤ 7
Estas desigualdades inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al
aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto
Proposición para c ˃ 0 tenemos
1 │expresión │ ˂ c es equivalente a -c ˂ expresión ˂ c .
2 │expresión │ ˃ c es equivalente a ˂ -c o expresión ˃c.
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no
estrictas ≤ y ≥ .
Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y
una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con
alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades
de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la
desgualdad en base a la condición de la equivalencia.
Ejemplos:
a) Resolver la desigualdad │5x -4│ ≤ 7. Hacer la gráfica del conjunto solución.
Solución:
*despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e
identificar con alguna de las formas de la proposición.
Paso 1: el valor absoluto ya estaba despejado. Tiene la forma 1 de la
proposición

10. *Aplicar la equivalencia
Paso 2: la desigualdad es equivalente a: -7 ≤ 5x – 4 ≤ 7
*encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Paso 3: se tiene una desigualdad doble, equivalente a dos desigualdades. Se
resuelven de manera simultánea. Lo que se hece a un miembro se les hace a
los otros miembros hasta asilar la (x) en el miembro del miembro medio.
-7 ≤ 5x -4 ≤ 7
-7+4 ≤ 5x -4 +4 ≤7+4 sumar 4 a cada miembro
-3 ≤ 5x ≤ 11
- 3
/3 ≤ 5x
/5 ≤ 11
/5 dividir entre 5
-3
/5 ≤ x ≤ 11
/5
*paso 4: establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo
gráficamente.
El conjunto solución es { x │ -3
/5 ≤ x ≤ 11
/5 │} , es decir las x en el intervalo
[-3
/5 , 11
/5 ] . Su representación gráfica es
-3
/5
11
/5
-1 0 1 2 3

11. BLBLIOGRAFIA
https://www.todamateria.com/numeros-reales/
https://definicion.de/numeros-reales/
https://www.definicionabc.com/general/numeros-reales.php
https://algebraenpdf.blogspot.com/2018/07/conjuntos-numericos-ejemplos-resueltos.html
https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Desigual.htm#:~:text=Una%20inecuaci%C3%B3n%20es
%20una%20desigualdad,para%20los%20cuales%20es%20verdadera.&text=Todos%20los%20n%C3
%BAmeros%20que%20satisfacen,Ejemplo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
http://matematicatuya.com/DESIGUALDADES/S8.html