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- 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN U.P.T “ANDRES ELOY BLANCO” NÚMEROS REALES ESTUDIANTE: OSORIO ANA C.I.30325401 SECCIÓN:0100 20-01-2021
- 2. NUMEROS REALES - Los números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios , cerca del año 1.000 a.C. Y el desarrollo de la noción continuó con los aportes griegos. Los números reales son todos aquellos que pueden representarse en una recta numérica, por lo tanto, números como -5, -6/2, 0, 1 ó 3.5 son considerados reales porque se puede plasmar en una representación numérica sucesiva, en una recta imaginaria. La letra R es el símbolo que representa el conjunto de números reales . Entre los números reales tiene varios subgrupos por ejemplo , -2/3 es un número racional porque expresa una ración de lago y , a su vez , es un número real porque se puede indicar en una recta numérica. Otro ejemplo, si se toma como referencia el número 4 , estamos ante un número natural , el cual también forma parte de los números reales. El ejemplo del número 4 , no solo es un número natural , sino también es un número entero positivo y al mismo tiempo un número racional (4 es el resultado de la fracción 4/1) y todo eso sin dejar de ser un numero real. Un ejemplo más, si tomamos √9 , igualmente está calificado como un número real , pues el resultado es 3 ,es decir, un número entero positivo que al mismo tiempo es racioal , pues se puede expresar en su forma 3/1.
- 3. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS CON NÚMEROS REALES -El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales. A su vez, los números racionales se clasifican en: Números Naturales (N): los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, … Números Enteros (Z):son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… Números Fraccionarios: son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0 Números Algebraicos: son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, √3 En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, como por ejemplo √25. A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales. En efecto, √25 = 5 Números Trascendentales: no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido.
- 4. OPERACIONES CON CONJUNTOS DE NUMEROS DE REALES -El conjunto de los números reales es el conjunto conformado por los números racionales y los irracionales, es decir, R = QUI Tenemos entonces la siguiente cadena de inclusiones N C Z C QR =QUI Como a cada número le corresponde un punto sobre la recta y a cada punto sobre la recta podemos asignarle un número real, a la recta la llamaremos recta real o recta numérica . En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones llamadas suma o adición (+) y multiplicación o producto (.) que cumplen, entre otras, las siguientes propiedades : Si a, b y c son números reales, *Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a +b)+c -3 +(2-5) = (-3+2) - 5 a . (b . c) =(a . b) . c *Propiedad conmutativa : a + b = b + a 3+5=5+3 a . b = b . a -5 . 2= 2 .(-5) *Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: a (b + c) = a . b + a . c 1/2 (2 + 4/3 ) = 1/2 . 2 +1/2 . 4/3
- 5. NUMEROS REALES EN DESIGUALDADES -Los anunciados a ˃ b y a ˂ b , junto con las expresiones a ≤ b ( a ˂ b o a = b) y a ≥ b ( a ˃ b o a = b ) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias. En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación. Ejemplos: * Como 2 ˂ 5 entonces 2 + 4 ˂ 5 + 4 , es decir, 6 ˂ 9 . *Como 8 ˃ 3 entonces 8 – 4 ˃ 3 – 4 ,esto es, 4 ˃ - 1 . *Como 7 ˂ 10 entonces 7.3 ˂ 10.3 ,es decir, 21 ˃ - 30. * Como 7 ˂ 10 entonces 7 . (-3) ˃ 10 (-3), esto es -21 ˃ - 30. En los diferentes ejemplos se observa que: *Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene. *Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene. *La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad. *La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad Inecuaciones:
- 6. Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera. Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución. Ejemplo: encontrar los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 ˂ 5. Para resolver la inecuación se debe transformar a paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución. * se suma -4 a ambos miembros : 2x + 4 + (-4) ˂ 5+ (-4)= 2x ˂ 1 · se multiplican ambos miembros por 1 /2 : x < 1 /2 La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que 1/2. Por lo tanto, el conjunto solución es S ={ x/ x ˂ 1 /2 } . Gráficamente: 1/2
- 7. Ejemplo: Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad -5x + 8 ≥ 3. La solución se obtiene de la siguiente manera: *Se suma -8 a ambos miembros: -5x + 8 + (-8) ≥ 3 + (-8) -5x ≤ 5 *se multiplican ambos miembros por - 1 /5 . Como el número es negativo se invierte el sentido de la desigualdad: (- 1 /5 ) , (-5x) ≤ (- 1 /5 ) .( -5 ) x ≤ 1 GRAFICAMENTE: 1 El conjunto solución es S = {x / x £ 1} *nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es: x ³ a x £ a esto indica que el extremo a está incluido en el mismo. Si la representación gráfica del conjunto solución es: x > a x < a Esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo. Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos. Se analizan a continuación qué tipo de intervalos pueden definirse sobre la recta real.
- 8. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO -En matemáticas , el valor absoluto o módulo 1 de un número real es suvalor numérico sin tener en cuenta su signo , sea este positivo (+) o negativo (-).2 El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud , distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones , anillos ordenados , cuerpos o espacios vectoriales. EL valor absoluto se define en los conjuntos de los números enteros, racionales, o reales como: 3 * │a│= a si a ≥ 0 * │a│= a si a ˂ 0 Ejemplo: │-3│ = -(-3) Definiciones equivalentes: Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras: 1. = √a2 2. │a│ es igual al máximo de { a ,-a}. 4
- 9. DESIGUALDADES CON UN VALOR ABSOLUTO Las desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto Ejemplos : │3x+2│ ˃ 5 │5x -4│≤ 7 Estas desigualdades inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto Proposición para c ˃ 0 tenemos 1 │expresión │ ˂ c es equivalente a -c ˂ expresión ˂ c . 2 │expresión │ ˃ c es equivalente a ˂ -c o expresión ˃c. Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas ≤ y ≥ . Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desgualdad en base a la condición de la equivalencia. Ejemplos: a) Resolver la desigualdad │5x -4│ ≤ 7. Hacer la gráfica del conjunto solución. Solución: *despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición. Paso 1: el valor absoluto ya estaba despejado. Tiene la forma 1 de la proposición
- 10. *Aplicar la equivalencia Paso 2: la desigualdad es equivalente a: -7 ≤ 5x – 4 ≤ 7 *encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia Paso 3: se tiene una desigualdad doble, equivalente a dos desigualdades. Se resuelven de manera simultánea. Lo que se hece a un miembro se les hace a los otros miembros hasta asilar la (x) en el miembro del miembro medio. -7 ≤ 5x -4 ≤ 7 -7+4 ≤ 5x -4 +4 ≤7+4 sumar 4 a cada miembro -3 ≤ 5x ≤ 11 - 3 /3 ≤ 5x /5 ≤ 11 /5 dividir entre 5 -3 /5 ≤ x ≤ 11 /5 *paso 4: establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente. El conjunto solución es { x │ -3 /5 ≤ x ≤ 11 /5 │} , es decir las x en el intervalo [-3 /5 , 11 /5 ] . Su representación gráfica es -3 /5 11 /5 -1 0 1 2 3