平方剰余と平方剰余の相互法則について。 参考文献：『離散数学パズルの冒険～3回カットでピザは何枚取れる？～』(T・Sマイケル著)

1. 素数と平方、平方剰余
2017/09/24 @d01tsumath 1
@d01tsumath

2. 2017/09/24 @d01tsumath 2
この内容は
T・Sマイケル著
『離散数学パズルの冒険～3回カットでピザは何枚取れる？～』
の第7章を軸に構成されている。
知識として、
・素数を理解していること
・合同式を理解していること
が必要である。

3. 2017/09/24 @d01tsumath 3
目次
◆ 平方剰余とは
◆ 平方剰余の性質
◆ 補充法則
◆ 乗法表
◆ ルジャンドル記号
◆ オイラーの判定法
◆ 平行四辺形の格子点
◆ 平方剰余の相互法則
◆ 平方剰余の相互法則の証明

4. ◆ 平方剰余とは
2017/09/24 @d01tsumath 4
𝑝：素数、𝑣 ∈ Z
𝑣 と 𝑝 が互いに素であるとき
𝑥2
≡ 𝑣 𝑚𝑜𝑑 𝑝
が 解けるとき 𝑣 を 𝑝 を法とする 平方剰余
解けないとき 𝑣 を 𝑝 を法とする 平方非剰余 という。
※ただし、𝑣 = 0はどちらでもないとする。

5. 2017/09/24 @d01tsumath 5
つまり、
𝒑 を法として余りが 𝒗 となるような 𝒙 𝟐 があれば 𝒗 は平方剰余である
ということ。
このとき、𝑣 の範囲は 1 ≤ 𝑣 ≤ 𝑝 − 1 である。
◆ 平方剰余とは

6. 2017/09/24 @d01tsumath 6
具体的な数字を使って理解を深めよう。
𝑝 = 7 , 𝑥 = 1,2, ⋯ , 6 について考える。
𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑥2 1 4 9 16 25 36
𝑣 1 4 2 2 4 1
このとき、
7 を法とする平方剰余 は 1, 2, 4 である。
7 を法とする平方非剰余は 3, 5, 6 である。
◆ 平方剰余とは

7. 2017/09/24 @d01tsumath 7
次に
𝑝 = 2 を法とする平方剰余について考える。
だが、2 を法とした平方剰余は 1 のみで、平方非剰余は
ない。
(∵ 0 は平方剰余でも平方非剰余でもない。)
なので以降、𝑝 は奇素数に制限して考えるとする。
また、1 は全ての素数に対して平方剰余である。
(∵ 𝑥2 ≡ 1 となるような 𝑥 は必ず存在する。)
◆ 平方剰余とは

8. 2017/09/24 @d01tsumath 8
では、簡単な問題を解いてみよう。
① 𝑝 = 13の平方剰余を求めよ。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2
𝑣
◆ 平方剰余とは

9. 2017/09/24 @d01tsumath 9
解答。
① 𝑝 = 13の平方剰余を求めよ。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
𝑣 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
◆ 平方剰余とは
表より、
𝑝 = 13 を法とする平方剰余は 1, 3, 4, 9, 10, 12 である。

10. 2017/09/24 @d01tsumath 10
𝑝：奇素数
𝑝 の平方剰余は
𝑝−1
2
コの平方を計算すれば求まる。
𝑝 の 𝑝 − 1 コ目までの平方剰余は
𝑝−1
2
を境に対称性をもっている。
𝑥 1 ⋯
𝑝 − 1
2
𝑝 + 1
2
⋯ 𝑝 − 1
𝑣 𝑣1 ⋯ 𝑣 𝑝−1
2
𝑣 𝑝−1
2
⋯ 𝑣1
◆ 平方剰余の性質

11. 2017/09/24 @d01tsumath 11
例として具体的に、 𝑝 = 13 を考えてみる。
13 を法とする平方剰余は
𝑝−1
2
=
13−1
2
= 6 コあり、
1~6 までの平方を計算すれば、平方剰余が求められることができる。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10
対称性があるので、7~12 までは1~6 の順序を逆にすればよい。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2
(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
◆ 平方剰余の性質

12. 2017/09/24 @d01tsumath 12
次に、合同式
(𝑝 − 𝑥)2
≡ 𝑝2
− 2𝑝𝑥 + 𝑥2
≡ 𝑥2
𝑚𝑜𝑑 𝑝
を用いて、対称性であることを示す。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
𝑥 = 1 のとき
(13 − 1)2
≡ 12
(𝑚𝑜𝑑 13)
֞ 122
≡ 12
(𝑚𝑜𝑑 13)
◆ 平方剰余の性質

13. 2017/09/24 @d01tsumath 13
次に、合同式
(𝑝 − 𝑥)2
≡ 𝑝2
− 2𝑝𝑥 + 𝑥2
≡ 𝑥2
𝑚𝑜𝑑 𝑝
を用いて、対称性であることを示す。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
𝑥 = 2 のとき
(13 − 2)2
≡ 22
(𝑚𝑜𝑑 13)
֞ 112
≡ 22
(𝑚𝑜𝑑 13)
◆ 平方剰余の性質

14. 2017/09/24 @d01tsumath 14
次に、合同式
(𝑝 − 𝑥)2
≡ 𝑝2
− 2𝑝𝑥 + 𝑥2
≡ 𝑥2
𝑚𝑜𝑑 𝑝
を用いて、対称性であることを示す。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
𝑥 = 3 のとき
(13 − 3)2
≡ 32
(𝑚𝑜𝑑 13)
֞ 102
≡ 22
(𝑚𝑜𝑑 13)
◆ 平方剰余の性質

15. 2017/09/24 @d01tsumath 15
次に、合同式
(𝑝 − 𝑥)2
≡ 𝑝2
− 2𝑝𝑥 + 𝑥2
≡ 𝑥2
𝑚𝑜𝑑 𝑝
を用いて、対称性であることを示す。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
𝑥 = 4 のとき
(13 − 4)2
≡ 32
(𝑚𝑜𝑑 13)
֞ 92
≡ 22
(𝑚𝑜𝑑 13)
◆ 平方剰余の性質

16. 2017/09/24 @d01tsumath 16
次に、合同式
(𝑝 − 𝑥)2
≡ 𝑝2
− 2𝑝𝑥 + 𝑥2
≡ 𝑥2
𝑚𝑜𝑑 𝑝
を用いて、対称性であることを示す。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
𝑥 = 5 のとき
(13 − 5)2
≡ 32
(𝑚𝑜𝑑 13)
֞ 82
≡ 22
(𝑚𝑜𝑑 13)
◆ 平方剰余の性質

17. 2017/09/24 @d01tsumath 17
次に、合同式
(𝑝 − 𝑥)2
≡ 𝑝2
− 2𝑝𝑥 + 𝑥2
≡ 𝑥2
𝑚𝑜𝑑 𝑝
を用いて、対称性であることを示す。
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑥2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
𝑥 = 6 のとき
(13 − 6)2
≡ 32
(𝑚𝑜𝑑 13)
֞ 72
≡ 22
(𝑚𝑜𝑑 13)
◆ 平方剰余の性質

18. 2017/09/24 @d01tsumath 18
60以下の素数の平方剰余表
◆ 平方剰余の性質

19. 2017/09/24 @d01tsumath 19
ここで、第7章に書かれている美しい法則
平方剰余の相互法則
𝒒 𝒑 𝒑 𝒒 = −𝟏
𝒑−𝟏 𝒒−𝟏
𝟒
を理解するために、準備をしていく。

20. 2017/09/24 @d01tsumath 20
平方剰余の性質より、以下の2つの法則がいえる。
𝑝：奇素数
① −1は 𝑝 ≡ −1 (mod 4) となるときのみ 𝑝 を法とする平方剰余である。
֞ 𝑝 − 1が4の倍数となるとき、 p − 1 は pを法とする平方剰余である。
② 2は 𝑝 ≡ ±1 (mod 4) となるときのみ 𝑝 を法とする平方剰余である。
֞ 𝑝 ± 1が8の倍数となるとき、 2は pを法とする平方剰余である。
◆ 補充法則

21. 2017/09/24 @d01tsumath 21
① 𝑝 − 1が 4の倍数となるとき、
𝑝 − 1 は pを法とする平方剰余である
◆ 補充法則

22. 2017/09/24 @d01tsumath 22
② 𝑝 ± 1が 8の倍数となるとき、
2は pを法とする平方剰余である
◆ 補充法則

23. 2017/09/24 @d01tsumath 23
平方剰余は、個々で考えるよりも、相互関係をみた方がよい。
次の13を法とした乗法表は
◆ 乗法表

24. 2017/09/24 @d01tsumath 24
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
3 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10
4 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9
5 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8
6 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7
7 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6
8 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5
9 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
10 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3
11 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2
12 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
◆ 乗法表

25. 2017/09/24 @d01tsumath 25
ex 10・5 = 50 ≡ 11(𝑚𝑜𝑑13)◆ 乗法表
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
3 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10
4 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9
5 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8
6 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7
7 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6
8 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5
9 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
10 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3
11 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2
12 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

26. 2017/09/24 @d01tsumath 26
乗法表を、平方剰余・平方非剰余に分けて表すと次のようになる。
平方剰余 × 平方剰余 = 平方剰余
平方非剰余 × 平方非剰余 = 平方剰余
となっていることが、表より見て取れる。
◆ 乗法表

27. 2017/09/24 @d01tsumath 27
×
剰余 非剰余
𝟏 𝟑 𝟒 𝟗 𝟏𝟎 𝟏𝟐 2 5 6 7 8 11
剰余
𝟏 1 3 4 9 10 12 2 5 6 7 8 11
𝟑 3 9 12 1 4 10 6 2 5 8 11 7
𝟒 4 12 3 10 1 9 8 7 11 2 6 5
𝟗 9 1 10 3 12 4 5 6 2 11 7 8
𝟏𝟎 10 4 1 12 9 3 7 11 8 5 2 6
𝟏𝟐 12 10 9 4 3 1 11 8 7 6 5 2
非剰余
2 2 6 8 5 7 11 4 10 12 1 3 9
5 5 2 7 6 11 8 10 12 4 9 1 3
6 6 5 11 2 8 7 12 4 10 3 9 1
7 7 8 2 11 5 6 1 9 3 10 4 12
8 8 11 6 7 2 5 3 1 9 4 12 10
11 11 7 5 8 6 2 9 3 1 12 10 4
◆ 乗法表

28. 2017/09/24 @d01tsumath 28
2つの平方剰余 𝑢 と 𝑣 の積はまた平方剰余である。
2つの合同式
𝑥2 ≡ 𝑢 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑦2 ≡ 𝑣 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
より
(𝑥𝑦)2≡ 𝑢𝑣 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
が導ける。
◆ 乗法表

29. 2017/09/24 @d01tsumath 29
平方剰余と非剰余の積が
正負の数の積みたいな振る舞いをすることに気付いた。
× 剰余 非剰余
剰余 剰余 非剰余
非剰余 非剰余 剰余
× + −
+ + −
− − +
平方剰余を +
平方非剰余を – とみると…
◆ ルジャンドル記号

30. 2017/09/24 @d01tsumath 30
ルジャンドルは、平方剰余と平方非剰余を +1 と −1 に写像し
各素数pに対して
𝑣 𝑝 =
+1 (𝑣が𝑝を法とする平方剰余)
−1 (𝑣が𝑝を法とする平方非剰余)
0 (𝑣が𝑝により割り切れる)
と定義した。
◆ ルジャンドル記号

31. 2017/09/24 @d01tsumath 31
ルジャンドル記号は以下の2つの性質をもつ。
・乗法性： 𝑢𝑣 𝑝 = 𝑢 𝑝 𝑣 𝑝
・周期性：𝑣 ≡ 𝑣′
𝑚𝑜𝑑 𝑝 ならば 𝑣 𝑝 = 𝑣′
𝑝
◆ ルジャンドルの記号

32. 2017/09/24 @d01tsumath 32
ルジャンドル記号を用いて、補充法則を書き換えられる。
① 𝑝 − 1 が 4 の倍数となるとき、 p − 1 は 𝑝 を法とする平方剰余である。
֞ −1 𝑝 = (−1)
𝑝−1
2
② 𝑝 ± 1 が 8 の倍数となるとき、 2 は 𝑝 を法とする平方剰余である。
֞ 2 𝑝 = (−1)
𝑝2−1
8
◆ ルジャンドルの記号

33. 2017/09/24 @d01tsumath 33
例として、 20 59 を考えてみよう。
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ
◆ ルジャンドルの記号

34. 2017/09/24 @d01tsumath 34
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
20 59
𝑥2
≡ 20 (𝑚𝑜𝑑 59)
は解けない
◆ ルジャンドルの記号
例として、 20 59 を考えてみよう。
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ

35. 2017/09/24 @d01tsumath 35
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
乗法性を用いて
20 を因数分解し
4 と 5 に分ける
◆ ルジャンドルの記号
例として、 20 59 を考えてみよう。
20 59 = 4 59 ) 5 59 )
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ

36. 2017/09/24 @d01tsumath 36
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
𝑥2
≡ 4 (𝑚𝑜𝑑 59)は解ける
◆ ルジャンドルの記号
例として、 20 59 を考えてみよう。
20 59 = 4 59 ) 5 59 )
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ

37. 2017/09/24 @d01tsumath 37
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
𝑥2
≡ 5 (𝑚𝑜𝑑 59)
は解けない
◆ ルジャンドルの記号
例として、 20 59 を考えてみよう。
20 59 = 4 59 ) 5 59 )
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ

38. 2017/09/24 @d01tsumath 38
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
◆ ルジャンドルの記号
例として、 20 59 を考えてみよう。
20 59 = 4 59 ) 5 59 )
= 4 59 ) 64 59 )
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ
周期性を用いて
59 + 5 = 64
𝑥2
≡ 64 (𝑚𝑜𝑑 59)は解ける

39. 2017/09/24 @d01tsumath 39
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
◆ ルジャンドルの記号
例として、 20 59 を考えてみよう。
20 59 = 4 59 ) 5 59 )
= 4 59 ) 64 59 )
= 1 × 1
= 1
59 を法として 20 は平方剰余か
確かめるのじゃ

40. 2017/09/24 @d01tsumath 40
では、問題を解いてみよう。
② ( 8 | 47 ) を求めよ。
③ ( 27 | 47 ) を求めよ。ヒント：3 + 47 = 50
◆ ルジャンドルの記号

41. 2017/09/24 @d01tsumath 41
解答。
② ( 8 | 47 ) を求めよ。
◆ ルジャンドルの記号
8 47 = 2 × 4 47
= 2 47 ) 4 47 )
= 49 47 ) 4 47 )
= 1 × 1
= 1

42. 2017/09/24 @d01tsumath 42
27 47 = 3 × 9 47
= 50 47 ) 9 47 )
= 2 × 25 47 ) 9 47 )
= 2 47 ) 25 47 ) 9 47 )
= 49 47 ) 25 47 ) 9 47 )
= 1
解答。
③ ( 27 | 47 ) を求めよ。
◆ ルジャンドルの記号
ヒント：3 + 47 = 50

43. 2017/09/24 @d01tsumath 43
◆ オイラーの判定法
実はルジャンドル記号が編み出される以前に、
オイラーは、平方剰余と非剰余を区別する方法を発見していた。
ルジャンドル記号を用いて表すと以下のようになる。
𝑝 は奇素数、𝑣 が 𝑝 で割り切れないならば
𝑣
𝑝−1
2 ≡ 𝑣 𝑝 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
ワシの方が先に発見したのじゃ
レオンハルト=オイラー

44. 2017/09/24 @d01tsumath 44
では、実際に問題を解いてみよう。
④ オイラーの判定法を用いて、 ( 10 | 37 ) を求めよ。
ヒント：999 = 37 × 27、103
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 37)
◆ オイラーの判定法

45. 2017/09/24 @d01tsumath 45
10
37−1
2 = 1018
10 37 ) ≡ 1018
≡ 103 6
≡ 16
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 37)
解答。
④ オイラーの判定法を用いて、 ( 10 | 37 ) を求めよ。
ヒント：999 = 37 × 27、103
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 37)
◆ オイラーの判定法

46. 2017/09/24 @d01tsumath 46
◆ ガウスの補題
𝑣 を奇素数 𝑝 により割り切れない正の整数とする。
𝑝−1
2
個の商
𝑣
𝑝
,
2𝑣
𝑝
,
3𝑣
𝑝
, ⋯ ,
𝑝 − 1
2
𝑣
𝑝
の各々を最も近い整数に丸めたとき、𝑅 を切り上げた商の個数とする。

47. 2017/09/24 @d01tsumath 47
◆ ガウスの補題
このとき、
𝑣 は 𝑅 が偶数ならば、𝑝 を法とする平方剰余
𝑅 が奇数ならば、𝑝 を法とする平方非剰余 である。
ルジャンドルの記号を用いると
𝑣 𝑝 = −1 𝑅
とかける。

48. 2017/09/24 @d01tsumath 48
具体的な数 𝑣 = 8, 𝑝 = 13 で考える。
ガウスの補題の 6つの商は
8
13
,
16
13
,
24
13
,
32
13
,
40
13
,
48
13
である。
=
=
=
=
=
=
0.615… 1.230… 1.846… 2.461… 3.076… 3.692…
≒
1
≒
≒
≒
≒
≒
1 2 2 3 4
◆ ガウスの補題

49. 2017/09/24 @d01tsumath 49
具体的な数 𝑣 = 8, 𝑝 = 13 で考える。
ガウスの補題の 6つの商は
8
13
,
16
13
,
24
13
,
32
13
,
40
13
,
48
13
である。
したがって、 𝑅 = 3 となり、13 を法として 8 は平方非剰余である。
=
=
=
=
=
=
0.615… 1.230… 1.846… 2.461… 3.076… 3.692…
≒
1
≒
≒
≒
≒
≒
1 2 2 3 4
◆ ガウスの補題

50. 50
◆ 平行四辺形の格子点
51 2 4 63
1
4
3
2
𝑦 =
8
13
𝑥
𝑦 =
8
13
𝑥 +
1
2
2017/09/24 @d01tsumath
次に、ガウスの補題を視覚的に考える。

51. これは、一般的にも言える。
𝑝 を奇素数、𝑣 を 𝑝 により割り切れない正の整数とする。
ガウスの補題の切り上げカウンターは、
斜めの直線
𝑦 =
𝑣
𝑝
𝑥 と 𝑦 =
𝑣
𝑝
𝑥 +
1
2
垂直な直線
𝑥 = 1 と 𝑥 =
𝑝−1
2
により囲まれた平行四辺形内の格子点の個数に等しい。
2017/09/24 @d01tsumath 51
◆ 平行四辺形の格子点

52. 2017/09/24 @d01tsumath 52
よし、相互法則を
説明する準備が整ったぞ
ヨハン＝フリードリヒ＝カール＝ガウス

53. 2017/09/24 @d01tsumath 53
◆ 平方剰余の相互法則
𝑝 と 𝑞 を 2つの奇素数とする。
𝑝 と 𝑞 が共に 4 の倍数より 1 小さい場合でないならば
𝑞 が 𝑝 を法とする平方剰余であるときのみ、
𝑝 は 𝑞 を法とする平方剰余である。
𝑝 と 𝑞 が共に 4 の倍数より 1 小さい場合は
𝑝 と 𝑞 の 1つだけが他の平方剰余である。
ルジャンドルの記号を使えば
𝑞 𝑝 𝑝 𝑞 = −1
𝑝−1 𝑞−1
4
である。

54. ◆ 平方剰余の相互法則
2017/09/24 @d01tsumath 54
𝑝 𝑞
𝑞 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑞 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
5 13 17 29 37 41 53 3 7 11 19 23 31 43 47 59
5 0 − − + − + − − − + + − + − − +
13 − 0 + + − − + + − − − + − + − −
17 − + 0 − − − + − − − + − − + + +
29 + + − 0 − − + − + − − + − − − +
37 − − − − 0 + + + + + − − − − + −
41 + − − − + 0 − − − − − + + + − +
53 − + + + + − 0 − + + − − − + + +
3 − + − − + − − 0 + − + − + + − −
7 − − − + + − + − 0 + − + − + − −
11 + − − − + − + + − 0 − + + − + +
19 + − + − − − − − + + 0 + − + + −
23 − + − + − + − + − − − 0 + − + +
31 + − − − − + − − + − + − 0 − + +
43 − + + − − + + − − + − + + 0 + +
47 − − + − + − + + + − − − − − 0 +
59 + − + + − + + + + − + − − − − 0
𝑝 𝑞 ) 𝑞 𝑝 )を表にしたもの

55. 𝑝 𝑞
𝑞 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑞 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
5 13 17 29 37 41 53 3 7 11 19 23 31 43 47 59
5 0 − − + − + − − − + + − + − − +
13 − 0 + + − − + + − − − + − + − −
17 − + 0 − − − + − − − + − − + + +
29 + + − 0 − − + − + − − + − − − +
37 − − − − 0 + + + + + − − − − + −
41 + − − − + 0 − − − − − + + + − +
53 − + + + + − 0 − + + − − − + + +
3 − + − − + − − 0 + − + − + + − −
7 − − − + + − + − 0 + − + − + − −
11 + − − − + − + + − 0 − + + − + +
19 + − + − − − − − + + 0 + − + + −
23 − + − + − + − + − − − 0 + − + +
31 + − − − − + − − + − + − 0 − + +
43 − + + − − + + − − + − + + 0 + +
47 − − + − + − + + + − − − − − 0 +
59 + − + + − + + + + − + − − − − 0
◆ 平方剰余の相互法則
2017/09/24 @d01tsumath 55
𝑝 と 𝑞 が共に 4 の倍数より 1 小さい場合のとき、＋－が逆になる

56. 𝑝 𝑞
𝑞 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑞 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
5 13 17 29 37 41 53 3 7 11 19 23 31 43 47 59
5 0 − − + − + − − − + + − + − − +
13 − 0 + + − − + + − − − + − + − −
17 − + 0 − − − + − − − + − − + + +
29 + + − 0 − − + − + − − + − − − +
37 − − − − 0 + + + + + − − − − + −
41 + − − − + 0 − − − − − + + + − +
53 − + + + + − 0 − + + − − − + + +
3 − + − − + − − 0 + − + − + + − −
7 − − − + + − + − 0 + − + − + − −
11 + − − − + − + + − 0 − + + − + +
19 + − + − − − − − + + 0 + − + + −
23 − + − + − + − + − − − 0 + − + +
31 + − − − − + − − + − + − 0 − + +
43 − + + − − + + − − + − + + 0 + +
47 − − + − + − + + + − − − − − 0 +
59 + − + + − + + + + − + − − − − 0
◆ 平方剰余の相互法則
2017/09/24 @d01tsumath 56
𝑝 と 𝑞 が共に 4 の倍数より 1 小さい場合でないとき、＋－は同じになる

57. 2017/09/24 @d01tsumath 57
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。
◆ 平方剰余の相互法則

58. 2017/09/24 @d01tsumath 58
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。
◆ 平方剰余の相互法則

59. 2017/09/24 @d01tsumath 59
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) 257, 641 は共に
4 の倍数より 1 小さい数か？
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

60. 2017/09/24 @d01tsumath 60
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
257, 641 は共に
4 の倍数より 1 小さい数ではない
↓
＋－ 同じ
↓
入れ替えても＋ー は変わらない
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

61. 2017/09/24 @d01tsumath 61
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257) 周期性を用いて
641 ≡ 127 (𝑚𝑜𝑑 257)
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

62. 2017/09/24 @d01tsumath 62
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257)
= 257 127)
127, 257 のうち 257 は
4 の倍数より 1 小さい数ではない
↓
入れ替えても＋ー は変わらない
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

63. 2017/09/24 @d01tsumath 63
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257)
= 257 127)
= 3 127 )
周期性を用いて
257 ≡ 3 (𝑚𝑜𝑑 127)
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

64. 2017/09/24 @d01tsumath 64
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257)
= 257 127)
= 3 127 )
= − 127 3 )
3, 127 は共に
4 の倍数より 1 小さい数である
↓
入れ替えたら＋ー 逆になる
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

65. 2017/09/24 @d01tsumath 65
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257)
= 257 127)
= 3 127 )
= − 127 3 )
= − 1 3 )
周期性を用いて
127 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3)
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

66. 2017/09/24 @d01tsumath 66
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257)
= 257 127)
= 3 127 )
= − 127 3 )
= − 1 3 )
= −( 1 )
𝑥2
≡ 1 (mod 3)
は解ける
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

67. 2017/09/24 @d01tsumath 67
◆ 平方剰余の相互法則の証明
257 641) = 641 257 )
= 127 257)
= 257 127)
= 3 127 )
= − 127 3 )
= − 1 3 )
= −( 1 )
= −1
実際、どのようにして相互法則を用いるのか、
257 641 を求めてみる。

68. 2017/09/24 @d01tsumath 68
では、問題を解いてみよう。
⑤ 相互法則を用いて、( 282 | 1597 ) を求めよ。ヒント：282 = 2 × 3 × 47
◆ 平方剰余の相互法則の証明

69. 2017/09/24 @d01tsumath 69
解答。
⑤ 相互法則を用いて、( 282 | 1597 ) を求めよ。ヒント：282 = 2 × 3 × 47
◆ 平方剰余の相互法則の証明
282 1597) = 2 × 3 × 47 1597 )
= 2 1597) 3 1597) 47 1597)
補充法則②より
2 1597 ) = −1
相互法則と周期性より
3 1597 ) = 1597 3 ) = 1 3 ) = 1

70. 2017/09/24 @d01tsumath 70
解答。
⑤ 相互法則を用いて、( 282 | 1597 ) を求めよ。ヒント：282 = 2 × 3 × 47
◆ 平方剰余の相互法則の証明
相互法則と周期性と補充法則①より
47 1597 ) = 1597 47 )
= 46 47 )
= (−1)
47−1
2
= −1
よって
282 1597 ) = −1 × 1 × −1
= 1

71. 2017/09/24 @d01tsumath 71
◆ 平方剰余の相互法則の証明
平方剰余の相互法則の事実は、オイラーとルジャンドルの2人により
経験的に発見されていた。
ガウスは19歳のとき、相互法則が全ての素数に対し成り立つことを
証明してみせた。
彼は幾通りかの証明方法を示した。
今回は、ガウスの補題でも扱った格子点を用いて証明する。

72. 2017/09/24 @d01tsumath 72
◆ 平方剰余の相互法則の証明
ガウスの補題により
𝑞 𝑝 𝑝 𝑞 = (−1) 𝑅
(−1) 𝑆
= (−1) 𝑅+𝑆
とかける。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
※ここでの図は 𝑝 = 19, 𝑞 = 11 に 対する格子点と平方剰余の相互法則を示している。
𝑦 =
11
19
𝑥 +
1
2
𝑥 =
19
11
𝑦 +
1
2

73. 2017/09/24 @d01tsumath 73
ここで 𝑅 は
𝑞
𝑝
𝑥 ≤ 𝑦 ≤
𝑞
𝑝
𝑥 +
1
2
、1 ≤ 𝑥 ≤
𝑝−1
2
により定義された
平行四辺形内にある格子点の個数。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
◆ 平方剰余の相互法則の証明

74. 2017/09/24 @d01tsumath 74
ここで S は
𝑝
𝑞
𝑥 ≤ 𝑦 ≤
𝑝
𝑞
𝑥 +
1
2
、1 ≤ 𝑥 ≤
𝑞−1
2
により定義された
平行四辺形内にある格子点の個数。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
◆ 平方剰余の相互法則の証明

75. 2017/09/24 @d01tsumath 75
大きな長方形上にある、平行四辺形外にある格子点に注目する。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
◆ 平方剰余の相互法則の証明

76. 2017/09/24 @d01tsumath 76
右下領域内の各格子点 𝑎 , 𝑏 は、
左上領域内の対称の仲間 𝑎∗ , 𝑏∗ と組になっている。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
◆ 平方剰余の相互法則の証明
𝑎 , 𝑏
𝑎∗ , 𝑏∗

77. 2017/09/24 @d01tsumath 77
なぜなら、𝑎 + 𝑎∗
=
𝑝+1
2
, 𝑏 + 𝑏∗
=
𝑞+1
2
が言えるからである。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
◆ 平方剰余の相互法則の証明
𝑎 , 𝑏
𝑎∗ , 𝑏∗

78. 2017/09/24 @d01tsumath 78
したがって、大きな長方形内かつ平行四辺形外に
2N 個の格子点があることが分かる。
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑦
𝑥
◆ 平方剰余の相互法則の証明

79. 2017/09/24 @d01tsumath 79
これらにより、以下の3つがわかる。
・数 𝑅＋𝑆と𝑅 + 𝑆 + 2𝑁 は共に偶数か奇数である
・長方形内に合計 𝑅 + 𝑆 + 2𝑁 個の格子点がある
・長方形内に合計
𝑝 − 1
2
×
𝑞 − 1
2
=
(𝑝 − 1)(𝑞 − 1)
4
個の格子点がある。
以上をまとめると
𝑞 𝑝 𝑝 𝑞 = (−1) 𝑅+𝑆= (−1) 𝑅+𝑆+2𝑁= (−1)
(𝑝−1)(𝑞−1)
4
となり、求めたい式が得られる。
◆ 平方剰余の相互法則の証明

80. 2017/09/24 @d01tsumath 80
The END