1. UNIDAD 2. PENSAMIENTO
VARIACIONAL Y TRIGONOMÉTRICO
Presentado por:
Angy Tatiana Cruz García
Código: 1.080.189.132
Daniel Eduardo Roncancio Torres
Código: 1.104.695.374
Marisol Casanova Sterling
Código: 1.004.493.085
Yuri Andrea Quintero Pérez
Código: 1.110.595.717

2. UNIDAD 2. PENSAMIENTO
VARIACIONAL Y
TRIGONOMÉTRICO
PROPÓSITO:
Solucionar ejercicios y problemas que permiten relacionar el pensamiento
variacional y el estudio de la trigonometría plana, a través de expresiones
algebraicas, en unos casos visualizando las relaciones “dinámicas” y funcionales
entre los ángulos y los lados de un triángulo, en otras calculando datos fijos y
desconocidos del mismo.

3. TRIGONOMETRÍA
• La trigonometría se originó como el estudio de
las relaciones entre los lados y los ángulos de
los triángulos.
• El estudio de la trigonometría se puede
realizar por medio de las relaciones entre los
ángulos y los lados de un triángulo rectángulo.
• El estudio de la trigonometría también se
puede hacer por medio de la circunferencia
unitaria, analizando el concepto de función
trigonométrica, que es la forma moderna de la
trigonometría.

4. CLASIFICACIÓN
DE LOS
TRIÁNGULOS

5. SUMA DE LOS
ÁNGULOS INTERIORES
DE UN TRIÁNGULO
• En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos
interiores es igual a 180°

6. TEOREMA DE
PITÁGORAS
• El Teorema de Pitágoras
establece que para todo
triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la
hipotenusa.

7. TEOREMA DE
PITÁGORAS
• Si a cada uno de los lados del
triángulo rectángulo lo
asociamos con el lado de un
cuadrado, la ecuación del
Teorema de Pitágoras nos diría
que: el área del cuadrado de
lado 𝒉 es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados de la
lado 𝒄𝟏𝑦 𝒄𝟐.

8. TEOREMA DE
PITÁGORAS –
ECUACIÓN
La fórmula del teorema de Pitágoras permite
determinar un lado desconocido teniendo
como dato a los otros dos.
Ecuación para calcular la hipotenusa:
𝒉𝟐
= 𝒄𝟐
+ 𝒄𝟐
Ecuación para calcular cualquier cateto:
ℎ2 = 𝑐2 + 𝑐2
ℎ2
− 𝑐2
= 𝑐2
Despejando un cateto.
𝑐2 = ℎ2 − 𝑐2
𝒄 = 𝒉𝟐 − 𝒄𝟐 Ecuación para calcular un cateto.

9. EJEMPLOS – TEOREMA DE PITÁGORAS
𝐻2
= 𝐶2
+ 𝐶2
ℎ2
= (4𝑐𝑚)2
+(4𝑐𝑚)2
ℎ2
= 16𝑐𝑚2
+ 16𝑐𝑚2
ℎ2
= 32𝑐𝑚2
ℎ = 32𝑐𝑚2 = 25 × 𝑐𝑚2
ℎ = 24 × 2 × (𝑐𝑚)2
ℎ = 22
× 2 × 𝑐𝑚
ℎ = 4 × 2 × 𝑐𝑚
ℎ = 4 2cm
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 4 2𝑐𝑚
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = 4𝑐𝑚
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = 4𝑐𝑚
𝛼 = 45°
𝛽 = 90°
𝛾 = 45°
45° + 90° + 45° = 180°
Hallar la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 4cm. (Proceso para hallar la
hipotenusa)

10. EJEMPLOS – TEOREMA DE PITÁGORAS
Para dar solución a un triángulo rectángulo debemos encontrar la medida de sus tres lados y de sus tres
ángulos.
Ejemplo: Hallar la medida del lado que hace falta en el siguiente triángulo. (Proceso para hallar un cateto)
𝒉𝟐
= 𝒄𝟐
+ 𝒄𝟐
(13𝑐𝑚)2
= (12𝑐𝑚)2
+𝑐2
169𝑐𝑚2 = 144𝑐𝑚2 + 𝑐2
169𝑐𝑚2
− 144𝑐𝑚2
= 𝑐2
25𝑐𝑚2
= 𝑐2
25𝑐𝑚2 = 𝑐
5 𝑐𝑚 = 𝑐

11. CIRCUNFERENCIA
UNITARIA
• El estudio de la Trigonometría se
puede realizar por medio de las
relaciones entre los ángulos y los
lados de un triángulo rectángulo.
• Es así, como se muestra en la figura,
que el triángulo rectángulo se forma
a partir del ángulo de 60° uniendo
los tres lados.
• En este caso particular el triángulo
rectángulo se inscribe dentro de la
circunferencia utilizando como base
para su gráfica
𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜.

12. CIRCUNFERENCIA UNITARIA
La Circunferencia Unitaria es aquella que tiene como centro el origen
(0,0) y su radio mide 1 (la unidad), como se muestra en la figura 2.
En la figura 2 se observa que se marca un radio con ángulo de 60°
formando un triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia y en el
Plano Cartesiano.
En este triángulo rectángulo se tiene que:
𝐻2
= 𝐶2
+ 𝐶2
12
= 𝑥2
+ 𝑦2
Se aplica el T. de Pitágoras.
1 = 𝑥2
+ 𝑦2
Se resuelve la potencia.
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia unitaria es 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏
𝑯𝟐
= 𝑪𝟐
+ 𝑪𝟐
𝟏 = 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏 Se ordena.

13. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
SOLUCIÓN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
FIGURA 3
𝜶 = 𝟔𝟎°
𝜷 = 𝟗𝟎°
𝜸 = 𝟑𝟎°
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒙 =
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒚 =
𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟖𝟔
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 = 𝟏
Como existen dos catetos vamos a colocarle nombre:
- 𝑬𝒍 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒙, 𝒔𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
- 𝑬𝒍 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒚, 𝒔𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
Adyacente: Que está próximo o nace del ángulo de 60°
Opuesto: Que esta opuesto (en frente o al otro extremo) del ángulo de 60°.
Se halla la medida de los lados del triángulo rectángulo de la figura, así:
𝑯𝟐
= 𝑪𝟐
+ 𝑪𝟐
𝟏𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
Se observa en la figura 3 que el 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑥 =
1
2
= 0.5
12
=
1
2
2
+ 𝑦2
- Se reemplaza y resuelven las potencias.
1 =
1
4
+ 𝑦2
1 −
1
4
= 𝑦2
- Se despeja a 𝑦2
.
1
1
−
1
4
= 𝑦2
4−1
4
= 𝑦2
- Se halla el M.C.M.
3
4
= 𝑦2
3
4
= 𝑦 - Se halla la raíz cuadrada.
3
2
= 𝑦 - El número 3 no tiene raíz exacta, la raíz cuadrada de 4 es igual a 2.

14. DEFINICIÓN DE LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
PARA EL ÁNGULO DE
60°

15. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝑆𝑒𝑛𝑜 60° =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
3
2
1
=
3
2
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 60° =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
1
2
1
=
1
2
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 60° =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
3
2
1
2
=
3 × 2
2 × 1
=
2 3
2
= 3
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 60° =
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
1
3
2
=
1
1
3
2
=
1 × 2
1 × 3
=
2
3
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 60° =
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
1
1
2
=
1
1
1
2
=
1 × 2
1 × 1
=
2
1
= 2
𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 60° =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
1
2
3
2
=
1 × 2
2 × 3
=
2
2 3
=
1
3
Seno 60° Coseno 60° Tangente 60° Cosecante
60°
Secante 60° Cotangente
60°
3
2
1
2
3 2
3
2 1
3

16. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno 60° Coseno 60° Tangente
60°
Cosecante
60°
Secante 60° Cotangente
60°
3
2
1
2
3 2
3
2 1
3
RECORDEMOS: Cuando un radical se ubica en el denominador de un fraccionario se debe realizar un proceso de
racionalización. Racionalizar es quitar el radical del denominador del fraccionario, así:
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 60° =
2
3
×
3
3
=
2 3
9
=
2 3
3
𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 60° =
1
3
×
3
3
=
3
9
=
3
3
Seno 60° Coseno 60° Tangente 60° Cosecante
60°
Secante 60° Cotangente
60°
3
2
1
2
3 2
3
=
2 3
3
2 1
3
=
3
3

17. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS:
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolución de un triángulo rectángulo
cuando se conocen un lado y un ángulo.
• Se plantea una ecuación con la razón
trigonométrica que asocia a los dos catetos:
tan 35° =
𝑏
5𝑚
tan 35° × 5𝑚 = 𝑏
3,5𝑚 = 𝑏

18. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolución de un triángulo rectángulo
cuando se conocen dos lados.
• Se plantea la razón trigonométrica que asocia a los dos
catetos y se halla el ángulo A.
tan 𝐴 =
5 𝑐𝑚
7 𝑐𝑚
tan 𝐴 = 0,71
𝐴 =
0,71
𝑡𝑎𝑛
𝐴 = tan−1
0,71
𝐴 = 35,5°

19. APLICACIÓN DE LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS:
LA LEY DEL SENO
Solución de triángulos oblicuángulos
(triángulos: acutángulos, obtusángulos,
equiláteros, isósceles y escalenos).
Cuando se tiene un triángulo oblicuángulo se pueden
presentar los siguientes casos:
La Ley del Seno se utiliza en los siguientes casos:
CASO 1: Se conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA).
CASO 2: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos (LLA)
𝒔𝒆𝒏 𝑨
𝒂
=
𝒔𝒆𝒏 𝑩
𝒃
=
𝒔𝒆𝒏 𝑪
𝒄

20. APLICACIÓN DE LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS:
LA LEY DEL SENO
La Ley del Seno para un triángulo con lados
𝑎, 𝑏, 𝑐 y ángulos opuestos a cada lado
∢𝐴, ∢𝐵, ∢𝐶 respectivamente se cumple:
𝒔𝒆𝒏 𝑨
𝒂
=
𝒔𝒆𝒏 𝑩
𝒃
=
𝒔𝒆𝒏 𝑪
𝒄
Es decir, en todo triángulo oblicuángulo la
medida de los lados es directamente
proporcional al seno de los ángulos
opuestos.

21. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
LA LEY DEL COSENO
Cuando se tiene un triángulo
oblicuángulo se pueden
presentar los siguientes casos:
La Ley del Coseno se utiliza en los
siguientes casos:
CASO 3: Se conocen los tres lados
del triángulo (LLL).
CASO 4: Se conocen dos lados del
triángulo y el ángulo
comprendido entre ellos (LAL)

22. APLICACIÓN DE LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS:
LA LEY DEL COSENO
 La Ley del coseno para un triángulo con
lados 𝑎, 𝑏, 𝑐 y ángulos opuestos a cada
lado ∢𝐴, ∢𝐵, ∢𝐶 respectivamente se
cumple:
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝑩
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝑪
 El cuadrado de la longitud de cada lado es
igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto
de las longitudes de estos lados por el
ángulo que se forma entre ellos.

23. TRIGONOMETRÍA
ANALÍTICA -
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
Relaciones recíprocas:
sin 𝛼 =
1
csc 𝛼
𝑦 csc 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
, donde sen α ≠ 0
cos 𝛼 =
1
sec 𝛼
𝑦 sec 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
, donde cos α ≠ 0
tan 𝛼 =
1
cot 𝛼
𝑦 cot 𝛼 =
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
, donde tan α ≠ 0

24. IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
Relaciones que son razón de dos
funciones:
tan ∅ =
𝑠𝑒𝑛 ∅
cos ∅
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 cos ∅ ≠ 0
cot ∅ =
𝑐𝑜𝑠 ∅
sen ∅
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 sen ∅ ≠ 0

25. IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades pitágoricas son:
𝑠𝑒𝑛2
∅ + 𝑐𝑜𝑠2
∅ = 1
𝑠𝑒𝑐2
∅ = 𝑡𝑎𝑛2
∅ + 1
𝑐𝑠𝑐2
∅ = 𝑐𝑜𝑡2
∅ + 1

26. MUCHAS GRACIAS
• Angy Tatiana Cruz García
• Daniel Eduardo Roncancio Torres
• Marisol Casanova Sterling
• Yuri Andrea Quintero Pérez