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TEMA 3 – ÁLGEBRA – MATEMÁTICAS CCSSI – 1º BACH                                         1

TEMA 3 – ÁLGEBRA


3.1 – DIVISIÓN DE POLINOMIOS

COCIENTE DE MONOMIOS

El cociente de un monomIo por otro monomio de grado inferior es un nuevo
monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que se dividen.
                          a
             (axm)(bxn) = x m−n
                          b

TÉCNICA DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

♦ En el dividendo, dejamos huecos en los términos que faltan.
♦ Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor
  grado del divisor.
♦ El producto de este monomio por el divisor, cambiado de signo, se coloca bajo el
  dividendo y se suma.
♦ A partir de aquí volvemos a proceder como en los apartados anteriores hasta que el
  grado del resto sea menor que el grado del divisor.
                                   R (x )
♦ Solución = D(x) : d(x) = C(x) +
                                   d(x )

DIVISIÓN ENTERA Y DIVISIÓN EXACTA

A la división entre polinomios en la que, además del cociente, hay un resto, se le llama
                                           R (x )
división entera:      D(x) : d(x) = C(x) +
                                           d(x )
                                                              D( x )
Cuando el resto es cero, se dice que la división es exacta:          = C( x )
                                                              d(x )

3.2 – DIVIDIR UN POLINOMIO POR x – a. REGLA DE RUFFINI

3.3.1 - REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operaciones (sumas y
multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del
cociente y el resto de la división

3.3.2 - UN CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR x – a

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x – a es necesario
que su término independiente sea múltiplo de a.

Por tanto, para buscar expresiones x – a que sean divisores de un polinomio,
probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término
independiente.
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3.3.3 - VALOR DE UN POLINOMIO PARA x = a

El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al
sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).

3.3.4 - TEOREMA DEL RESTO

El valor que toma un polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la
división P(x) : (x – a). Es decir, P(a) = r


3.3 - FACTORIZACIÓN UN POLINOMIO

3.5.1 - PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del
menor grado posible.

Método para factorizar un polinomio:
• Sacar factor común
• Recordar los productos notables
• Si es un polinomio de grado > 2 : Por Ruffini, probando con los divisores del
   término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x – a).C(x)
• Si es un polinomio de grado = 2: Se resuelve la ecuación de segundo grado:
                       ­2 soluciones distintas Ÿ a.(x - x 1 ).( x - x 2 )
                       °
   ax2 + bx + c = 0 Ÿ ®1 solución doble Ÿ a.(x - x 1 ) 2
                       °
                       ¯ No tiene solución Ÿ ax + bx + c
                                                2




3.5.2 - RAÍCES DE UN POLINOMIO
Un número a se llama raíz de un polinomio P(x), si P(x) = 0
Método para calcular las raíces de un polinomio:
• Se factoriza el polinomio
• Se iguala cada uno de los factores a cero.

3.5.3 – INVENTAR POLINOMIOS
Si una raíz es x = a Ÿ P(x) = (x – a)…..


3.4 - FRACCIONES ALGEBRAICAS

3.7.1 - DEFINICIÓN

                                                              P( x )
Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios.
                                                              Q( x )

3.7.2 - SIMPLIFICACIÓN

Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los
factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.
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3.7.3 - REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR

Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo
denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores

3.7.4 - OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

•   Suma y resta: Para sumar o restar fracciones algebraicas, estas se reducen a común
    denominador y se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.
    Después se simplifica la fracción resultante.

•   Producto : El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus
    numeradores partido por el producto de sus denominadores.

                                                        P( x )    Q( x )
•   Fracción inversa de otra : La fracción inversa de          es        .
                                                        Q( x )    P( x )

•   Cociente : El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por
    la inversa de la segunda (Producto cruzado de términos).


3.5 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. NÚMERO DE SOLUCIONES

Una ecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0

Número de soluciones: Llamamos discriminante ∆ = b2 – 4ac
     • Si ∆ >0 Ÿ           Dos soluciones distintas

       •   Si ∆ = 0   Ÿ      Una solución doble

       •   Si ∆ < 0   Ÿ      No tiene solución


RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

                                              − b ± b 2 − 4ac
•   Completa:         ax2 + bx + c = 0 Ÿ x =
                                                     2a
•   Incompletas :     Si b = 0 ax + c = 0 Se despeja x2 y luego se hace la raíz
                                   2

                      Si c = 0 ax2 + bx = 0 Se saca factor común la x y luego cada
                      uno de los productos se iguala a cero y se obtienen las soluciones.


ECUACIONS BICUADRÁTICAS                            ax4 + bx2 + c = 0

       Se hace un cambio de variable x2 = t
       Se resuelve la ecuación de segundo grado en t
       Se calcula las x como la raíz de t

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  • 1. TEMA 3 – ÁLGEBRA – MATEMÁTICAS CCSSI – 1º BACH 1 TEMA 3 – ÁLGEBRA 3.1 – DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomIo por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que se dividen. a (axm)(bxn) = x m−n b TÉCNICA DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS ♦ En el dividendo, dejamos huecos en los términos que faltan. ♦ Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor grado del divisor. ♦ El producto de este monomio por el divisor, cambiado de signo, se coloca bajo el dividendo y se suma. ♦ A partir de aquí volvemos a proceder como en los apartados anteriores hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor. R (x ) ♦ Solución = D(x) : d(x) = C(x) + d(x ) DIVISIÓN ENTERA Y DIVISIÓN EXACTA A la división entre polinomios en la que, además del cociente, hay un resto, se le llama R (x ) división entera: D(x) : d(x) = C(x) + d(x ) D( x ) Cuando el resto es cero, se dice que la división es exacta: = C( x ) d(x ) 3.2 – DIVIDIR UN POLINOMIO POR x – a. REGLA DE RUFFINI 3.3.1 - REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operaciones (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división 3.3.2 - UN CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR x – a Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x – a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x – a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente.
  • 2. TEMA 3 – ÁLGEBRA – MATEMÁTICAS CCSSI – 1º BACH 2 3.3.3 - VALOR DE UN POLINOMIO PARA x = a El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). 3.3.4 - TEOREMA DEL RESTO El valor que toma un polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a). Es decir, P(a) = r 3.3 - FACTORIZACIÓN UN POLINOMIO 3.5.1 - PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: • Sacar factor común • Recordar los productos notables • Si es un polinomio de grado > 2 : Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x – a).C(x) • Si es un polinomio de grado = 2: Se resuelve la ecuación de segundo grado: ­2 soluciones distintas Ÿ a.(x - x 1 ).( x - x 2 ) ° ax2 + bx + c = 0 Ÿ ®1 solución doble Ÿ a.(x - x 1 ) 2 ° ¯ No tiene solución Ÿ ax + bx + c 2 3.5.2 - RAÍCES DE UN POLINOMIO Un número a se llama raíz de un polinomio P(x), si P(x) = 0 Método para calcular las raíces de un polinomio: • Se factoriza el polinomio • Se iguala cada uno de los factores a cero. 3.5.3 – INVENTAR POLINOMIOS Si una raíz es x = a Ÿ P(x) = (x – a)….. 3.4 - FRACCIONES ALGEBRAICAS 3.7.1 - DEFINICIÓN P( x ) Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios. Q( x ) 3.7.2 - SIMPLIFICACIÓN Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.
  • 3. TEMA 3 – ÁLGEBRA – MATEMÁTICAS CCSSI – 1º BACH 3 3.7.3 - REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores 3.7.4 - OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS • Suma y resta: Para sumar o restar fracciones algebraicas, estas se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Después se simplifica la fracción resultante. • Producto : El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus denominadores. P( x ) Q( x ) • Fracción inversa de otra : La fracción inversa de es . Q( x ) P( x ) • Cociente : El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por la inversa de la segunda (Producto cruzado de términos). 3.5 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. NÚMERO DE SOLUCIONES Una ecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 Número de soluciones: Llamamos discriminante ∆ = b2 – 4ac • Si ∆ >0 Ÿ Dos soluciones distintas • Si ∆ = 0 Ÿ Una solución doble • Si ∆ < 0 Ÿ No tiene solución RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO − b ± b 2 − 4ac • Completa: ax2 + bx + c = 0 Ÿ x = 2a • Incompletas : Si b = 0 ax + c = 0 Se despeja x2 y luego se hace la raíz 2 Si c = 0 ax2 + bx = 0 Se saca factor común la x y luego cada uno de los productos se iguala a cero y se obtienen las soluciones. ECUACIONS BICUADRÁTICAS ax4 + bx2 + c = 0 Se hace un cambio de variable x2 = t Se resuelve la ecuación de segundo grado en t Se calcula las x como la raíz de t