Доказываем теорему Турана, а затем теорему Эрдёша—Стоуна—Симоновица(Шимоновича) о связи хроматического числа подграфа с максимальным числом рёбер в графе, его не содержащего. [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

1. Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Задача Турана
• Пусть у нас есть пустой граф 퐺 ≔ 퐾푛.
• Будем добавлять в 퐺 рёбра по одному.
• На каком шаге в графе 퐺 точно появится треугольник?
А клика на 푘 вершинах?
Иными словами,
• Сколько рёбер должно быть в графе на 푛 вершинах,
чтобы он наверняка содержал клику на 푘 вершинах?
• Как много рёбер может быть в графе на 푛 вершинах,
не содержащем клику на 푘 вершинах?

3. Задача Турана
Задача Турана — типичный пример задачи из экстремальной
теории графов.
Общая постановка экстремальных задач обычно такая:
• Как много/мало рёбер/вершин/… может быть в графе,
имеющем заданные свойства?
• Как «выглядят» графы, на которых достигаются экстремумы?

4. Теорема Турана
Теорема. (Turán ’1941)
Пусть 퐺 — граф на 푛 вершинах, и 휔 퐺 ≤ 푘. И пусть 퐺 имеет
наибольшее число рёбер среди всех графов с указанными
свойствами.
Тогда 퐺 является полным 푘-дольным графом, в котором мощности
любых двух долей отличаются не более чем на 1.
Такие графы называются
графами Турана.
⋯

5. Теорема Турана
Доказательство:
Вначале докажем, что 퐺 полный 푘-дольный.
Заметим, что 휔 퐺 = 푘, т.к. иначе в 퐺 можно было бы добавить
произвольное ребро, сохранив неравенство 휔 퐺 ≤ 푘.
Далее докажем, что для любых 푢, 푣, 푤 ∈ V 퐺 если 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 ,
то 푢푤 ∉ 퐸 퐺 .
Допустим, это не так, и нашлись 푢, 푣, 푤, такие, что 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 и
푢푤 ∈ 퐸 퐺 . Покажем, что тогда число рёбер в 퐺 можно увеличить.

6. 푣
Теорема Турана
Допустим, что 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 и 푢푤 ∈ 퐸 퐺 .
Случай 1: 푑 푣 < 푑 푢 .
Тогда рассмотрим граф 퐺′, для которого
퐸 퐺′ ≔ 퐸 퐺 − 푣 ∪ 푣푥 ∣ 푥 ∈ 푁 푢 в 퐺
푣
푢 푤
퐺 − 푢, 푣, 푤
푢 푤
퐺′ − 푢, 푣, 푤
В 퐺′ по-прежнему нет клик размера 푘 + 1 , и при этом
퐺′ = 퐺 − 푑 푣 + 푑 푢 > 퐺 , противоречие с
максимальностью 퐺 .

7. Теорема Турана
Случай 2: 푑 푣 < 푑 푤 — аналогичен случаю 1.
Случай 3: 푑 푣 ≥ 푑 푢 и 푑 푣 ≥ 푑 푤 .
Тогда рассмотрим граф 퐺′, для которого
퐸 퐺′ ≔ 퐸 퐺 − 푢, 푤 ∪ 푢푥, 푤푥 ∣ 푥 ∈ 푁 푣 в 퐺
푣
푢 푤
퐺 − 푢, 푣, 푤
푣
푢 푤
퐺′ − 푢, 푣, 푤
В 퐺′ по-прежнему нет клик размера 푘 + 1 , а рёбер
строго больше, чем в 퐺:
퐺′ = 퐺 − 푑 푢 + 푑 푤 − 1 + 2푑 푣 > 퐺

8. Теорема Турана
Мы доказали «транзитивность несмежности»: для любых 푢, 푣, 푤 ∈
푉 퐺 если 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 , то 푢푤 ∉ 퐸 퐺 .
Пусть 퐴 = 푣1, … , 푣푘 — клика в 퐺,
и пусть 푣 — любая вершина из 푉 퐺 ∖ 퐴.
Вершина 푣 не может быть смежна со всеми вершинами из 퐴, иначе
было бы 휔 퐺 ≥ 푘 + 1.
Также 푣 не может быть несмежна более чем с одной вершиной из
퐴, иначе получаем противоречие с транзитивностью несмежности.

9. Теорема Турана
Пусть 퐴 = 푣1, … , 푣푘 — клика в 퐺.
Пусть 푉푖 — все вершины графа 퐺, не смежные с вершиной 푣푖 (сама
푣푖 принадлежит 푉푖).
Мы показали, что каждая вершина графа 퐺 не смежна ровно с
одной вершиной клики 퐴, следовательно 푉 퐺 = 푉1 ⊔ ⋯ ⊔ 푉푘 .
Из транзитивности несмежности следует, что при каждом 푖
множество 푉푖 независимое, следовательно, 퐺 — полный 푘-
дольный граф.

10. Теорема Турана
Осталось доказать «почти-равномощность» долей графа 퐺.
Положим 푛푖 ≔ 푉푖 . Имеем
퐺 =
1≤푖<푗≤푘
푛푖푛푗 =
1
2
Σ푛푖
2
2 − Σ푛푖
Следовательно, чтобы величина 퐺 была максимальной, нужно,
чтобы сумма Σ푖 푛푖
2 была минимальна при ограничении Σ푖 푛푖 = 퐺 .
Покажем, что 푛푖 − 푛푗 ≤ 1 для любых 푖 и 푗.

11. Теорема Турана
Покажем, что 푛푖 − 푛푗 ≤ 1 для любых 푖 и 푗.
Допустим, что это не так: например, 푛1 − 푛2 ≥ 2.
Тогда рассмотрим набор чисел 푛1 ′
, … , 푛푘′
, где 푛1 ′
≔ 푛1 − 1, 푛2 ′
≔
′ ≔ 푛푖 при 푖 > 2.
푛2 + 1, и 푛푖
Имеем
2 − Σ 푛푖
Σ푛푖
′ 2 = 푛1
2 + 푛2
2 − 푛1 − 1 2 − 푛2 + 1 2 =
= 2 푛1 − 푛2 − 1 > 0,
что противоречит максимальности 퐺 .

12. Теорема Эрдёша—Стоуна
Можно обобщить вопрос Турана с клик на произвольные
подграфы:
• Каково максимальное число рёбер в графе на 푛 вершинах, не
содержащем заданного подграфа 퐻? Обозначим это число
ex퐻 푛 .
Теорема (Erdős, Stone, Simonovits ’1946, 1966)
Для любого фиксированного 퐻 при 푛 → ∞
ex퐻 푛
푛 푛 − 1 2
→
휒 퐻 − 2
휒 퐻 − 1

13. Теорема Эрдёша—Стоуна—Симоновица
Лемма.
Для любых 푟, 푡 ∈ ℕ и любого 휀 ∈ 0, 1
푟 при всех достаточно
больших 푛 (т.е. для всех 푛 начиная с некоторого 푛0 = 푛0 푟, 푡 ) в
любом графе на 푛 вершинах с 1 − 1
푟 + 휀 ⋅
푛2
2
рёбрами найдётся
полный 푟 + 1 -дольный подграф, в котором мощность каждой
доли не меньше 푡.

14. Доказательство леммы:
ищем подграф с большой 훿
Индукция по 푟.
• Полный 푟 + 1 -дольный подграф найдётся при 푟 = 0
— можно взять произвольные 푡 вершин.
• Пусть граф 퐺 удовлетворяет условиям Леммы, и пусть для всех
меньших значениях 푟 (и при любых 푡) утверждение леммы
выполнено.
Докажем, что в 퐺 есть нужный 푟 + 1 -дольный подграф.

15. Доказательство леммы:
ищем подграф с большой 훿
Сначала найдём в 퐺 подграф, в котором степень каждой вершины
большая:
1. Пусть в 퐺 есть вершина 푣, такая, что
deg 푣 < 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 퐺
2. Тогда полагаем 퐺 ≔ 퐺 − 푣 и возвращаемся на шаг 1 (при этом
퐺 , очевидно, уменьшается на единицу).
Вопрос: сколько шагов придётся сделать до остановки (сколько
вершин выживет)?

16. Доказательство леммы:
ищем подграф с большой 훿
Пусть процесс завершился и мы пришли к графу на 푛′ вершинах.
Тогда количество рёбер, которые мы удалили из 퐺, не превосходит
푛
푘=푛′+1
1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 푘 = 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅
푛 − 푛′ 푛 + 푛′ + 1
2
≤ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅
푛2 − 푛′2
2
+
푛 − 푛′
2

17. Доказательство леммы:
ищем подграф с большой 훿
Мы пришли к графу на 푛′ вершинах, количество рёбер в котором не
менее чем
퐺 − 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅
푛2 − 푛′2
2
+
푛 − 푛′
2
≥
≥ 1 − 1
푟 + 휀 ⋅
푛2
2
− 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅
푛2 − 푛′2
2
−
푛 − 푛′
2
=
휀
2
⋅
푛2
2
+ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅
푛′2
2
−
푛 − 푛′
2
С другой стороны, рёбер в нём не более чем 푛′2 2.

18. Доказательство леммы:
ищем подграф с большой 훿
Получаем неравенство
푛′2
2
≥
휀
2
⋅
푛2
2
+ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅
푛′2
2
−
푛 − 푛′
2
Отсюда
1
푟 − 휀
2 ⋅ 푛′2 − 푛′ ≥
휀푛2
2
− 푛
И следовательно 푛′2 ≥
휀푛2
2
− 푛.

19. Доказательство леммы:
ищем подграф с большой 훿
푛′2 ≥
휀푛2
2
− 푛
Главный вывод: 푛′ неограниченно растёт при росте 푛.
Поэтому будем доказывать лемму в предположении, что мы уже
преобразовали 퐺 так, что 훿 퐺 ≥ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 퐺 .

20. Доказательство леммы:
применяем индуктивное предположение
• Полагаем, что 훿 퐺 ≥ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 퐺 .
Обозначим 푡 ≔ 4푡 휀 .
Т.к. количество рёбер в 퐺 не меньше
1
2
⋅ 퐺 ⋅ 훿 퐺 >
퐺 2
2
⋅ 1 − 1
푟−1 + 휀
2 ,
то, по предположению индукции, при достаточно большом 퐺 в 퐺
найдётся полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 , где 퐴푖 =
푡 для каждого 푖.

21. Доказательство леммы:
ищем недостающую долю
• 훿 퐺 ≥ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 퐺 .
• В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 , где 퐴푖 =
푡 = 4푡 휀 .
Пусть 퐴 ≔ 푉 퐺 ∖ 퐴1 ∪ ⋯ ∪ 퐴푟 .
Пусть 퐴good — множество всех таких 푣 ∈ 퐴, что для каждого 푖 ∈
1, … , 푟 из 푣 в 퐴푖 идут не менее чем 푡 рёбер.

22. Доказательство леммы:
ищем недостающую долю
• 훿 퐺 ≥ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 퐺 .
• В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1,…, 퐴푟, где 퐴푖 = 푡 =
4푡 휀 .
• 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡
Количество пар несмежных вершин из 퐴 × 퐴1 ∪ ⋯ ∪ 퐴푟 не
превосходит
퐴1 ∪ ⋯∪ 퐴푟 ⋅ 퐺 − 훿 퐺 ≤ 푟푡 ⋅ 1
푟 − 휀
2 ⋅ 퐺
Это же количество пар вершин не меньше
퐴 − 퐴good ⋅ 푡 − 푡 = 퐺 − 푟푡 − 퐴good ⋅ 푡 − 푡

23. Доказательство леммы:
ищем недостающую долю
• 훿 퐺 ≥ 1 − 1
푟 + 휀
2 ⋅ 퐺 .
• В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 ,
где 퐴푖 = 푡 = 4푡 휀 .
• 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡
Имеем
퐺 − 푟푡 − 퐴good ⋅ 푡 − 푡 ≤ 푟푡 ⋅ 1
푟 − 휀
2 ⋅ 퐺 .
Отсюда
퐴good ≥
휀
2 ⋅ 푟푡 − 푡 ⋅ 퐺 − 푟푡 푡 − 푡
푡 − 푡
≥
푡 ⋅ 퐺 − 푟푡 2
푡

24. Доказательство леммы:
ищем недостающую долю
• В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 ,
где 퐴푖 = 푡 = 4푡 휀 .
• 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡
Имеем 퐴good ≥ 푡 ⋅ 퐺 − 푟푡 2 푡 .
Поскольку 푡, 푟, 푡 —константы, а 퐺 растёт, то можно добиться, чтобы
퐴good >
푡
푡
푟
⋅ 푡 − 1 .

25. Доказательство леммы:
ищем недостающую долю
• В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1,…, 퐴푟, где 퐴푖 = 푡 .
• 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡
• 퐴good > 푡
푡
푟
⋅ 푡 − 1 .
Удалим из 퐺 произвольные рёбра, так, чтобы выполнялось условие
∀푣 ∈ 퐴good ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 = 푡

26. Доказательство леммы:
ищем недостающую долю
• В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1,…, 퐴푟, где 퐴푖 = 푡 .
• 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 = 푡
• 퐴good > 푡
푡
푟
⋅ 푡 − 1 .
При 푣 ∈ 퐴good число различных вариантов для множества
푁 푣 ∩ 퐴1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐴푟 равно
푡
푡
푟
.
По принципу Дирихле, в 퐴good найдутся 푡 вершин, у которых
окрестности в 퐴1 ∪ ⋯ ∪ 퐴푟 совпадают.
Эти вершины и составят множество 퐴푟+1.

27. Теорема Эрдёша—Стоуна
Теорема (Erdős, Stone, Simonovits ’1946, 1966)
Для любого фиксированного 퐻 при 푛 → ∞ имеем
ex퐻 푛
푛 푛 − 1 2
→
휒 퐻 − 2
휒 퐻 − 1
Переформулировка теоремы.
Для любого фиксированного графа 퐻 и любого 휀 > 0 при всех достаточно больших 푛
в любом 푛-вершинном графе 퐺, таком, что
퐺 ≥ 1 −
1
휒 퐻 − 1
+ 휀 ⋅
푛2
2
,
найдётся подграф, изоморфный 퐻.
С другой стороны, найдётся 푛-вершинный граф с числом рёбер
≥ 1 −
1
휒 퐻 − 1
− 휀 ⋅
푛2
2
в котором нет подграфов, изоморфных 퐻.

28. Доказательство теоремы Эрдёша—Стоуна:
существование графа без 퐻
Рассмотрим полный 휒 퐻 − 1 -дольный граф 퐺, в котором каждая
доля имеет размер ∼ 퐺
휒 퐻 −1.
Граф 퐺 не содержит подграфов, изоморфных 퐻,
поскольку 휒 퐺 < 휒(퐻).
При этом
퐺 ∼
휒 퐻 − 1
2
⋅
퐺
휒 퐻 − 1
2
=
퐺 2
2
⋅
휒 퐻 − 2
휒 퐻 − 1

29. Доказательство теоремы Эрдёша—Стоуна:
наличие 퐻 в графе с большим числом рёбер
Пусть теперь 퐺 — большой произвольный граф, такой, что
퐺 ≥ 1 −
1
휒 퐻 − 1
+ 휀 ⋅
퐺 2
2
.
По Лемме (применённой с 푟 ≔ 휒 퐻 − 1 и 푡 ≔ 퐻 ),
в 퐺 есть полный 휒 퐻 -дольный подграф 퐺′ с мощностью
каждой доли ≥ 퐻 . Очевидно, что 퐻 ⊆ 퐺′.