compendiu de rezistenta materialelor

1. Indira Andreescu Ştefan Mocanu
Compendiu
de
Rezistenţa Materialelor

2. Prefaţă
Rezistenţa Materialelor este una din disciplinele de bază în
pregătirea studenţilor de la facultăţile mecanice, ea constituind
temelia cursurilor de specialitate, reflectând principiile şi metodele
de calcul necesare acestora.
În cartea de faţă sunt cuprinse cunoştinţele necesare
profilului mecanic şi în special utilajelor pentru construcţii. În
acest scop lucrarea prezintă noţiunile ştiinţifice, metodele concrete
de calcul şi dimensionare ale structurilor sub o formă adecvată
înţelegerii aspectelor fizice cât şi aplicării acestora în cazuri
specifice reale din domeniul mecanic.
Problemele rezolvate la sfârşitul fiecărui capitol constituie
exemple concrete de calcul de proiectare optimă a unor elemente
cu aplicabilitate în practica inginerească.
Autorii
2

3. Cuprins
Prefaţă ------------------------------------------------------------------------- 1
1. Problemele Rezistenţei Materialelor ----------------------------------- 9
1.1 Obiectul Rezistenţei Materialelor. Relaţii cu alte discipline -- 9
1.2 Rezistenţa Materialelor, probleme specifice ------------------- 10
1.3 Clasificarea corpurilor şi a forţelor care acţionează asupra
acestora ---------------------------------------------------------------------- 11
1.3.1 Clasificarea corpurilor ------------------------------------- 13
1.3.2 Clasificarea forţelor care acţionează asupra corpurilor-14
1.4 Ipoteze în Rezistenţa materialelor ------------------------------- 16
1.5 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă ---------------- 17
1.6 Metode de rezolvare ----------------------------------------------- 18
1.7 Condiţii de îndeplinit în soluţionarea problemelor din
Rezistenţa Materialelor --------------------------------------------------- 18
1.8 Aspecte ale Rezistenţei Materialelor ---------------------------- 19
2. Diagrame de eforturi ---------------------------------------------------- 20
2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte ------------------------------- 20
2.1.1 Determinarea eforturilor într-o secţiune ------------------ 22
2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice
ale eforturilo ---------------------------------------------------------------- 23
2.1.3 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări ------------- 25
2.1.4 Utilizarea relaţiilor diferenţiale la trasarea diagramelor de
eforturi ---------------------------------------------------------------------- 27
2.1.5 Relaţii de recurenţă la grinda dreaptă --------------------- 33
2.1.6 Grinzi cu încărcări complexe. Metoda suprapunerii
efectelor --------------------------------------------------------------------- 34
2.2 Grinzi cu console şi articulaţii ------------------------------------- 36
2.3 Diagrame de eforturi pe cadre ------------------------------------- 38
3. Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor
---------------------------------------------------------------------------------------- 48
3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate ------------ 48
3.2 Momente de inerţie (geometrice) --------------------------------- 49
3.2.1 Momente de inerţie pentru secţiuni simple -------------- 51
3.2.2 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă-52
3.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor ------------- 53
3.4 Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor ---------------- 55
3

4. 3.4.1 Momente de inerţie principale şi direcţii principale ---- 57
3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de
inerţie principale I1, I2, ale unei figuri plane --------------------------- 58
3.5 Moment de inerţie centrifugal maxim ---------------------------- 59
4. Tensiuni şi deformaţii specifice ---------------------------------------- 64
4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor --------------------------------------- 64
4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangenţiale ------------------------- 67
4.1.2 Relaţii de echivalenţă între eforturi şi tensiuni în secţiunea
transversală a unei bare --------------------------------------------------- 68
4.2 Deformaţii specifice. Tensorul deformaţiilor -------------------- 69
4.2.1 Deformaţia specifică liniară ------------------------------- 69
4.2.2 Deformaţia specifică unghiulară -------------------------- 69
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor ------------------------- 70
4.4 Diagrame caracteristice schematizate ---------------------------- 75
5. Solicitarea axială centrică ---------------------------------------------- 78
5.1 Forţa axială. Tensiuni de întindere – compresiune ------------- 78
5.2 Deformaţii şi deplasări --------------------------------------------- 80
5.3 Dimensionarea, verificarea, forţa capabilă ----------------------- 80
5.4 Bare cu secţiune variabilă solicitate la întindere ---------------- 81
5.5 Calculul barelor întinse ţinând seama de greutatea proprie ---- 82
5.6 Sisteme static nedeterminate la forţe axiale --------------------- 84
5.6.1 Bare cu secţiuni neomogene ------------------------------- 85
5.6.2 Bară dublu articulată ---------------------------------------- 86
5.6.3 Sistem de bare paralele ------------------------------------- 87
5.6.4 Sistem de bare articulate concurente --------------------- 88
5.7 Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate ------------------------- 89
5.8 Efectul inexactităţii de execuţie şi montaj în sistemele articulate
static nedeterminate ------------------------------------------------------- 91
6. Forfecarea ----------------------------------------------------------------- 98
6.1 Generalităţi ----------------------------------------------------------- 98
6.2 Probleme de forfecare la îmbinările nituite ---------------------- 99
6.2.1 Forfecarea niturilor ---------------------------------------- 100
6.2.2 Strivirea niturilor ------------------------------------------- 101
6.3 Îmbinări cu şuruburi ----------------------------------------------- 102
6.4 Îmbinări sudate ----------------------------------------------------- 103
6..4.1Calculul sudurilor de colţ --------------------------------- 103
7. Încovoierea barelor drepte -------------------------------------------- 110
7.1 Generalităţi --------------------------------------------------------- 110
7.2 Încovoiere pură. Formula lui Navier ---------------------------- 110
4

5. 7.3 Calculul modulului de rezistenţă axial Wz la secţiunile simple ---
------------------------------------------------------------------------------- 115
7.4 Calculul grinzilor supuse la încovoiere ------------------------- 118
7.5 Alcătuirea raţională a secţiunilor solicitate la încovoiere ---- 118
7.6 Încovoiere simplă -------------------------------------------------- 120
7.6.1 Ipotezele lui Juravski -------------------------------------- 120
7.6.2 Formula lui Juravski --------------------------------------- 121
7.6.3 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunile simple -- 123
7.6.4 Centrul de lunecare ---------------------------------------- 127
7.7 Grinzi compuse supuse la încovoiere --------------------------- 129
7.7.1 Evaluarea forţei de lunecare ------------------------------ 130
7.7.2 Calculul grinzilor compuse nituite ---------------------- 132
7.7.3 Calculul grinzilor compuse sudate ---------------------- 133
8. Deformarea grinzilor drepte solicitate la încovoiere ------------ 142
8.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate ------------------ 142
8.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale --------------- 144
8.3 Metoda grinzii conjugate ----------------------------------------- 151
8.3.1Corespondenţa între reazemele grinzii reale şi conjugate --
------------------------------------------------------------------------------- 153
8.4 Metoda parametrilor în origine ---------------------------------- 153
9. Variaţia tensiunilor în jurul unui punct în cazul stării plane de
tensiuni --------------------------------------------------------------------------- 168
9.1 Expresiile tensiunilor pe o secţiune înclinată cu unghiul α -- 168
9.2 Tensiuni normale principale şi direcţii principale ------------- 170
9.3 Tensiuni tangenţiale maxime ------------------------------------- 171
9.4 Tensiuni pe o suprafaţă înclinată în cazurile solicitărilor simple -
------------------------------------------------------------------------------- 172
10. Torsiunea ----------------------------------------------------------------- 178
10.1 Generalităţi. Torsiunea barelor cu secţiune circulară -------- 178
10.2 Tensiuni în bara de secţiune circulară şi inelară ------------- 179
10.2.1 Condiţia geometrică -------------------------------------- 179
10.2.2 Condiţia de elasticitate ---------------------------------- 182
10.2.3 Condiţia statică ------------------------------------------- 182
10.3 Deformaţii --------------------------------------------------------- 184
10.4 Calculul arborilor de transmisie solicitaţi la torsiune ------- 184
10.5 Calculul modulului de rezistenţă polar Wp ------------------- 185
10.6 Sisteme static nedeterminate la torsiune ---------------------- 186
10.7 Torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară --------------- 188
10.8 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu
deplanări libere ----------------------------------------------------------- 189
5

6. 10.9 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, profil închis, deplanări
libere ----------------------------------------------------------------------- 192
10.10 Arcuri elicoidale cu pasul mic -------------------------------- 194
10.11 Moduri de montare a arcurilor -------------------------------- 196
10.11.1 Montaj în paralel ---------------------------------------- 196
10.11.2 Montaj în serie ------------------------------------------ 197
10.12 Sisteme static nedeterminate alcătuite din arcuri elicoidale ----
------------------------------------------------------------------------------- 197
11. Studiul deplasărilor prin metode energetice ---------------------- 208
11.1 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor elastice ---
------------------------------------------------------------------------------- 208
11.2 Energia potenţială de deformaţie ------------------------------- 209
11.3 Lucrul mecanic exterior ----------------------------------------- 210
11.4 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (teorema lui Betti) -212
11.5 Expresiile lucrului mecanic funcţie de eforturi --------------- 213
11.6 Expresiile energiei potenţiale de deformaţie în funcţie de
eforturi --------------------------------------------------------------------- 214
11.7 Teorema reciprocităţii deplasărilor. Teorema lui Maxwell - 216
11.8 Studiul deplasărilor prin metoda Mohr – Maxwell ---------- 216
11.9 Metoda de integrare Veresceaghin ----------------------------- 218
12. Teorii de rezistenţă ----------------------------------------------------- 224
12.1 Legea lui Hooke generalizată ------------------------------------224
12.2 Deformaţia specifică volumică---------------------------------- 228
12.3 Legătura dintre constantele E, G, μ ---------------------------- 229
12.4 Energia potenţială de deformaţie în problema spaţială ------ 231
12.4.1 Energia specifică necesară variaţiei de volum şi
schimbării formei --------------------------------------------------------- 231
12.5 Teorii de rezistenţă a materialelor ----------------------------- 232
12.5.1 Starea de tensiune limită într-un punct ---------------- 232
12.5.2 Tensiunea echivalentă ----------------------------------- 233
12.5.3 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I) -------- 234
12.5.4 Teoria tensiunilor tangenţiale maxime (teoria III) --- 236
12.5.5 Teoria energiei de deviaţie (teoria V sau IVa) -------- 238
12.5.6 Aplicarea teoriilor de rezistenţă în cazul barelor ----- 240
13. Solicitări compuse ------------------------------------------------------ 242
13.1 Încovoiere dublă sau oblică ------------------------------------- 243
13.1.1 Încovoierea dublă a barelor cu secţiunea transversală
dreptunghiulară sau care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline -
------------------------------------------------------------------------------ 246
13.2 Încovoiere simplă cu forţă axială ------------------------------ 249
6

7. 13.2.1 Cazul secţiunii la care axa de încovoiere este axă de
simetrie -------------------------------------------------------------------- 250
13.3 Încovoiere dublă cu forţă axială -------------------------------- 251
13.3.1 Încovoiere dublă cu forţă axială la secţiunea
dreptunghiulară sau o secţiune care se înscrie într-un dreptunghi cu
colţuri pline --------------------------------------------------------------- 254
13.3.2 Sâmbure central ------------------------------------------ 256
13.3.3 Sâmburele central la secţiunea dreptunghiulară ------ 257
13.3.4 Sâmburele central la secţiunea circulară -------------- 257
13.3.5 Zona activă ------------------------------------------------ 258
13.4 Încovoiere cu torsiune ------------------------------------------- 259
13.4.1Bara de secţiune circulară -------------------------------- 259
13.4.1.1Arbori de transmisie -------------------------------- 261
13.4.2 Bara de secţiune dreptunghiulară ---------------------- 263
14. Sisteme static nedeterminate ----------------------------------------- 274
14.1 Metoda eforturilor în rezolvarea sistemelor o dată static
nedeterminate ------------------------------------------------------------- 277
14.2 Structuri de n ori static nedeterminate ------------------------- 280
14.3Utilizarea simetriei în rezolvarea sistemelor static nedeterminate
------------------------------------------------------------------------------- 282
14.4 Calculul deplasărilor la sisteme static nedeterminate ------- 284
14.5 Grinzi continue --------------------------------------------------- 285
14.5.1 Expresia rotirilor de capăt la grinda simplu rezemată-286
14.5.2 Ecuaţia celor trei momente ------------------------------ 288
15. Bare curbe plane -------------------------------------------------------- 295
15.1 Tensiuni în secţiunea barei curbe ------------------------------ 295
15.1.1 Importanţa mărimii razei de curbură asupra domeniului
de valabilitate a relaţiilor de calcul ------------------------------------ 299
16. Stabilitatea barelor drepte -------------------------------------------- 305
16.1 Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile clasice de
rezemare. Formula lui Euler -------------------------------------------- 307
16.1.1 Bara dublu articulată ------------------------------------- 307
16.1.2 Bara încastrată perfect la un capăt şi liberă la celălalt-309
16.1.3 Bara articulată la un capăt şi încastrată perfect la celălalt
------------------------------------------------------------------------------- 310
16.1.4 Bara dublu încastrată ------------------------------------- 312
16.2 Rezistenţa critică de flambaj. Coeficientul de zvelteţe ------ 313
16.3 Coeficientul de siguranţă la flambaj cf ------------------------ 315
16.4 Calculul practic la flambaj -------------------------------------- 315
7

8. 16.5 Calculul la flambaj folosind metoda coeficientului de flambaj ϕ
------------------------------------------------------------------------------- 316
16.6 Bara cu rezemări diferite după axele principale de inerţie -- 317
16.7 Influenţa forţei tăietoare asupra sarcinii critice de flambaj - 318
16.8 Flambajul barelor cu secţiune compusă ----------------------- 320
16.9 Calculul barelor la flambaj cu încovoiere --------------------- 322
17. Solicitări dinamice ------------------------------------------------------ 327
17.1 Solicitări dinamice prin şoc ------------------------------------- 328
17.1.1 Coeficientul dinamic în cazul când se neglijează masa
corpului supus la şoc ----------------------------------------------------- 329
17.1.2 Coeficientul dinamic în cazul în care se ţine seama de
masa corpului supus la şoc ---------------------------------------------- 331
17.1.3 Solicitări prin şoc orizontal ----------------------------- 333
18. Solicitări variabile ------------------------------------------------------ 337
18.1 Cicluri de solicitări variabile ------------------------------------ 337
18.2 Diagrame de rezistenţă la oboseală ---------------------------- 339
18.3 Diagrame schematizate ------------------------------------------ 342
18.4 Factorii de care depinde rezistenţa la oboseală --------------- 344
18.5 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile simple
------------------------------------------------------------------------------- 345
18.5.1 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitări prin
cicluri alternant simetrice ----------------------------------------------- 346
18.5.2 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitările prin
cicluri asimetrice --------------------------------------------------------- 347
18.6 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări compuse,
produse de sarcini variabile ciclice ------------------------------------ 348
Bibliografie ---------------------------------------------------------------------- 353
8

9. Capitolul 1
PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR
1.1 Obiectul Rezistenţei Materialelor. Relaţii cu alte discipline
Observaţii asupra naturii înconjurătoare relevă faptul că majoritatea
corpurilor solide sunt capabile să suporte, în anumite limite, acţiunile altor
corpuri, fără să se rupă sau să-şi modifice sensibil forma şi dimensiunile.
Această remarcă este esenţială în definirea obiectului disciplinei aici
examinate.
În practica inginerească se pune în permanenţă problema alegerii
materialului celui mai potrivit pentru anumite utilizări, aceasta însemnând
totodată stabilirea formei şi dimensiunilor sale optime. Se are în vadere ca
materialul ales să reziste la eforturi determinate, adică să nu se rupă şi să nu-
şi modifice geometria, astfel încât acesta să nu atingă stadiul de cedare sau
modificare excesivă, bineînţeles în anumite limite de siguranţă şi
economicitate.
Principiile care stau la baza rezolvării raţionale tocmai a acestor
probleme constituie obiectul Rezistenţei Materialelor.
Rezistenţa Materialelor se ocupă cu studierea comportării, sub
acţiunea forţelor exterioare, a pieselor din alcătuirea unor sisteme sau
complexe tehnice anume configurate, a deformaţiilor şi deplasărilor care se
produc în structurile examinate, precum şi cu determinarea dimensiunilor
limită ale fiecărei piese.
Rezistenţa Materialelor face parte din grupul de discipline denumit
Mecanica corpului solid deformabil, care mai include: Teoria elasticităţii,
Teoria plasticităţii şi alte specialităţi disciplinare.
Dat fiind că interacţiunea dintre corpuri este reprezentată, în mod
obişnuit, prin forţe, în rezolvarea problemelor de Rezistenţa Materialelor
trimiterile de cea mai mare frecvenţă se fac la Mecanica teoretică. Numai
că, spre deosebire de Mecanica teoretică, unde se admite modelul corpului
rigid, indeformabil, Rezistenţa Materialelor, studiind efectul forţelor pe şi
9

10. mai ales în interiorul elementelor, ţine seama obligatoriu de proprietatea de
deformabilitate a corpurilor. De aceea în Rezistenţa Materialelor se admite
modelul corpului deformabil, a cărui configuraţie geometrică se modifică
sub acţiuni exterioare, cu observaţia că modificările geometrice au drept
consecinţă apariţia unor forţe interioare între particulele structurale ale
corpului solicitat.
Cunoaşterea relaţiilor dintre modificările geometrice, încărcări şi forţe
interioare implică deopotrivă investigaţii teoretice şi experimentale,
respectiv o dinamică a progresului disciplinei ca ştiinţă cu pronunţat caracter
orientat, aplicativ. De altfel, experimentul are un rol deosebit în verificarea
rezultatelor ce se obţin în urma cercetărilor teoretice (implicit în validarea
acestora), aşa cum se întâmplă, de altfel, în toate ramurile ştiinţei.
De menţionat că, faţă de Mecanica teoretică, unde toate forţele sunt
considerate vectori alunecători, în Rezistenţa Materialelor forţele sunt
vectori legaţi, cu reprezentarea intuitivă din fig.1.1
F F
R=2F
I
II
fig.1.1
în care cu I s-a reprezentat deformaţia reală a grinzii sub acţiunea celor două
forţe F (forţe ca vectori legaţi), II fiind deformaţia grinzii sub acţiunea
rezultantei celor două forţe F (forţe ca vectori alunecători).
1.2 Rezistenţa Materialelor, probleme specifice
Să considerăm un corp de o formă dată şi confecţionat dintr-un anumit
material, aşezat (rezemat) într-un anumit mod şi supus la încărcare
exterioară. Rezistenţa Materialelor ne permite să determinăm la un
asemenea corp:
- tensiunile produse de încărcări;
- deformaţiile care rezultă.
10

11. Practic, în cazurile cele mai simple pot apare trei situaţii care reprezintă,
în general, problemele Rezistenţei Materialelor, şi anume:
- probleme de dimensionare;
- probleme de verificare;
- probleme de determinare a efortului capabil,
cu următoarele precizări:
Problemele de dimensionare. Forţele aplicate sunt cunoscute şi se
alege materialul după anumite criterii; dimensiunile elementului de structură
rezultă din condiţiile ca forţele interne (implicit tensiunile) şi deformaţiile să
nu depăşească anumite valori limită.
Problemele de verificare. Cunoscând forţele exterioare şi
dimensiunile elementului se impune ca tensiunile şi deformaţiile să nu
depăşească anumite valori limită prescrise.
Problemele de determinare a efortului capabil. În acest caz sunt
cunoscute dimensiunile şi proprietăţile mecanice ale elementului şi trebuie
cunoscute/determinate forţa sau şi momentul limită suportabil în secţiunea
critică.
1.3 Clasificarea corpurilor şi a forţelor care acţionează
asupra acestora
În studiul fenomenelor naturale, cărora le sunt proprii diversitatea şi
complexitatea, sintetizarea observaţiilor şi a datelor experimentale şi
definirea, pe această bază, a ceea ce este esenţial şi caracteristic fiecărui
fenomen constituie modul fundamental, raţional, de abordare. Schematizând
proprietăţile materiei, adoptând ipoteze referitoare la cauzele, desfăşurarea şi
efectele unor fenomene reale, în cadrul investigaţiei teoretice cel mai adesea
se procedează la vizualizarea modelului fizic real, respective la substituirea
lui cu un model convenabil (şi acceptabil) pentru calcul, aceasta cu
observaţia că pentru a fi eficiente şi a conduce la rezultate verificabile
experimental, ipotezele care stau la baza adoptării modelului de calcul
trebuie să surprindă ceea ce este specific laturii studiate a fenomenului şi,
bineînţeles, să aibă cuvenita cuprindere.
Ţinând seama de obiectul de studiu al Rezistenţei Materialelor,
schematizările şi ipotezele necesare definirii modelului de calcul
optimal/uzitat în cadrul acestei discipline se vor referi în principal la
proprietăţile geometrice şi mecanice ale corpurilor precum şi la forţele care
acţionează asupra şi în interiorul lor.
11

12. În continuare, se vor da două criterii de clasificare a solidelor
referitoare la comportarea lor după descărcare şi la mărimea deformaţiilor
care apar la anumite solicitări mecanice.
Într-un accept profesional,ingineresc şi orientat, vom considera
această disciplină de studiu şi aplicativă dedicată în principal analizei şi
evaluării comportării materialelor/corpurilor componente ale sistemelor
tehnice în interacţiune mecanică. Exprimarea matematică adecvată a
interacţiunilor respective reprezintă desigur, o importantă asumare a
disciplinei/ştiinţei considerate (Rezistenţa Materialelor).
Se acceptă, pragmatic, că din punctual de vedere al comportării
materialelor după descărcarea de anumite sarcini/eforturi mecanice se
disting:
• Materiale elastice;
• Materiale plastice;
• Materiale elasto-plastice.
Materale elastice. Se consideră un corp solid încărcat cu forţe
exterioare a căror intensitate creşte de la zero. Sub acţiunea acestor forţe,
corpul se deformează, creându-se un echilibru continuu între forţele externe
şi cele interne. Dacă după un anumit nivel de încărcare se descarcă corpul, în
mod gradat până la zero, acesta va reveni la forma sa iniţială. Dacă
deformaţiile dispar complet şi materialul îşi reia exact forma sa iniţială,
atunci acesta îndreptăţeşte considerarea sa ca solid elastic. În mod
corespunzător se defineşte elasticitatea ca proprietate a materialelor de a se
deforma sub încărcare şi de a reveni la forma iniţială când încărcarea
încetează.
Materiale plastice. Unele materiale se deformează foarte mult chiar
sub încărcări reduse şi nu-şi reiau dimensiunile şi forma iniţială când
încărcarea dispare. Acestea sunt solidele plastice.
Materialele elasto-plastice. Experienţa arată că nu există
materiale/corpuri (solide) perfect elastice şi că deformaţiile produse de
încărcări nu dispar complet după descărcare; în acest caz deformaţiile
corpului sunt de două feluri: o deformare elastică care se diminuează odată
cu reducerea încărcării şi o deformare remanentă (permanentă). Este cazul
majorităţii materialelor folosite pentru obţinerea elementelor din domeniul
construcţiilor de maşini.
Din punctul de vedere al mărimii defomaţiilor care conduc la rupere,
se disting:
• Materiale ductile;
• Materiale casante.
12

13. Materialele ductile: se caracterizează prin capacitatea de a suporta
deformaţii importante înaintea apariţiei fenomenului de rupere şi au
pronunţate proprietăţi plastice. Se spune că asemenea materiale posedă un
grad înalt de avertizare la rupere (de ex. oţel, aluminiu, etc.).
Materialele casante: sunt cele care se rup brusc la anumite încărcări,
fără a prezenta înainte deformaţii mari (cum ar fi fonta, oţelurile de înaltă
rezistenţă, betonul, piatra, sticla, etc.).
1.3.1 Clasificarea corpurilor
O structură poate fi descompusă într-o serie de elemente simple.
Acestea sunt corpuri având trei dimensiuni. În funcţie de raportul între cele
trei dimensiuni, aceste corpuri pot fi grupate în trei mari categorii:
- bare;
- plăci;
- blocuri.
Barele sunt corpuri la care una din dimensiuni este mare în raport cu
celelalte două. Elementele caracteristice ale unei bare sunt axa sa
longitudinală precum şi forma şi dimensiunile secţiunii (normale)
transversale.
Axa longitudinală a barei reprezintă curba dată de succesiunea
centrelor de greutate ale secţiunilor (normale) transversale.
Secţiunea normală într-un punct din bară este secţiunea plană
perpendiculară pe axa barei.
După forma axei longitudinale barele pot fi drepte, curbe plane şi
curbe în spaţiu.
Forma secţiunii transversale poate fi (fig.1.2):
fig.1.2
O categorie specială de bare o constituie firele, la care secţiunea
transversală a barei are dimensiuni neglijabile.
13

14. Plăcile sunt corpuri la care două dimensiuni sunt mari în raport cu a
treia. Locul geometric al mijloacelor grosimilor plăcii se numeşte suprafaţă
mediană, grosimea plăcii măsurându-se perpendicular pe suprafaţa mediană.
Plăcile pot fi plane sau curbe.
Blocurile sunt corpuri cu toate cele trei dimensiuni comparabile.
De reţinut menţiunea că metodele de calcul din Rezistenţa
Materialelor sunt valabile numai pentru elementele de tip bară (fir). Pentru
solidele placă sau bloc trebuie apelat la teoria elasticităţii şi teoria
plasticităţii.
1.3.2 Clasificarea forţelor care acţionează asupra corpurilor
Forţele exterioare care acţionează asupra unui corp sunt forţe active,
care tind să imprime corpului o mişcare, aceste forţe fiind denumite sarcini
sau încărcări respectiv forţe care se opun tendinţei de deplasare a corpului,
numite reacţiuni.
Criterii de clasificare:
• După dimensiunea suprafeţei pe care se aplică:
Forţe concentrate: teoretic, se aplică într-un punct;
Forţe distribuite: se caracterizează numeric prin intesitatea pe
unitatea de lungime sau suprafaţă.
• După poziţia zonei unde se aplică forţele în raport cu corpul:
Forţe de suprafaţă;
Forţe masice şi de volum.
• După modul de variaţie în timp a intensităţii forţelor:
Forţe statice – forţe care încarcă treptat construcţia, începând
de la intensitate nulă, la intensitate finală, cu care acţionează
continuu asupra construcţiei (ex. greutatea proprie);
Forţe dinamice – forţe a căror intensitate se modifică în timp
atât de repede, încât provoacă acceleraţii sensibile punctelor
materiale ale corpului. Sunt forţe care se aplică brusc şi produc
şocuri precum şi forţe variabile în timp.
Forţele interioare; cu reprezentarea din figura 1.3 se consideră un
corp supus la un grup de forţe exterioare în echilibru care se secţionează în
două părţi.
Evident, pentru menţinerea echilibrului solidului astfel secţionat
trebuie să acţioneze forţe interioare (interne) corespunzătoare. La echilibru,
forţele interioare de pe cele două feţe ale secţiunii separatoare sunt egale şi
14

15. de sens contrar, reprezentând, în fapt, forţele de legătură care se opun
separării corpului.
F1
F1
F3
F3
F4
F4
F2
F2
I
I
II
II
M
M
R
R
fig.1.3
Mărimile R şi M semnifică forţe interioare sau eforturi. De menţionat
că eforturile trebuie introduse în centrul de greutate al secţiunii; atare
eforturi pot avea direcţii oarecare în spaţiu.
Fie cazul unei bare cu axa x axă longitudinală a barei respectiv y şi z
axele secţiunii transversale. Se vor reprezenta eforturile R şi M în centrul de
greutate al secţiunii, fiecare efort descompunându-se pe cele trei axe
conform figurii 1.4:
x
z
y
Ty
Tz
T
N
R
Mx
Mz
My
Mi
M
fig.1.4
- R are o componentă după axa barei (axa x), denumită forţă axială N
respectiv o componentă T denumită forţă tăietoare, pe o axă
15

16. perpendiculară pe axa x. Forţa tăietoare se descompune pe axele y şi z
în componentele forţei tăietoare Ty şi Tz.
- M se descompune în momentul de torsiune Mx (după axa barei) şi un
moment încovoietor Mi (după o axă perpendiculară pe axa x), ale
cărui componente sunt My şi Mz.
Mărimile N, Ty, Tz, Mx, My, Mz se numesc eforturi; fiecărui efort îi
corespunde o solicitare simplă:
- Întindere – compresiune - solicitarea produsă de forţa axială N;
- Tăiere sau forfecare – solicitarea produsă de componentele forţei
tăietoare Ty, Tz;
- Torsiune sau răsucire – solicitare produsă de momentul de torsiune
Mx;
- Încovoiere – solicitarea produsă de componentele momentului
încovoietor My, Mz.
Solicitările compuse corespund cazului când apar simultan cel puţin
două eforturi în secţiune.
1.4 Ipoteze în Rezistenţa Materialelor
În tratarea problemelor propuse Rezistenţa Materialelor operează cu o
serie de ipoteze privitoare la structura materialelor şi comportarea solidului
sub sarcini. Principalele ipoteze de acest fel sunt:
- Ipoteza mediului continuu şi omogen: se consideră solidul ca mediu
continuu şi omogen, ocupând întregul spaţiu corespunzător volumului său.
- Ipoteza izotropiei materialelor: se consideră solidul ca având
proprietăţi identice pe toate direcţiile.
- Ipoteza stării naturale a corpurilor: se admite că mai înainte de
intrarea în acţiune a forţelor care produc solicitarea, în corp nu există forţe
interioare.
- Corpurile studiate sunt în echilibru static sau dinamic: astfel, în
primul caz, în ecuaţiile de echilibru intervin forţe statice reprezentând acţiuni
şi reacţiuni, iar în cel de-al doilea, se adaugă efectul forţelor de inerţie.
- Ipoteza elasticităţii perfecte: se consideră că deformaţiile dispar
complet odată cu dispariţia sarcinilor care le-au produs.
- Ipoteza deformaţiilor mici: deformaţiile se consideră mici în raport cu
dimensiunile corpurilor. De aceea se pot scrie ecuaţiile de echilibru ca în
statică; se neglijează în calcule, puterea a doua (sau superioară) a
deformaţiilor, ca infinit mic de rang superior.
16

17. - Relaţia liniară între tensiuni şi deformaţii specifice; se adoptă curba
caracteristică schematizată corespunzătoare modelului elasto-plastic. Rezultă
că pentru valori ale deformaţiilor care nu depăşesc εc este valabilă legea lui
Hooke: σ = Eε, adică tensiunile sunt proporţionale cu deformaţiile.
- Principiul lui Saint-Venant: dacă se înlocuiesc forţele care acţionează
asupra unui element de suprafaţă al unui corp elastic printr-un alt sistem de
forţe, echivalent cu primul din punct de vedere static, a doua distribuţie de
forţe produce la locul de aplicare diferenţe apreciabile faţă de prima, dar
rămâne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari faţă de locul de
aplicare a forţelor.
- Ipoteza lui Bernoulli (sau a secţiunilor plane); o secţiune plană,
normală pe axa barei înainte de deformare rămâne plană şi normală pe axă şi
după deformare.
1.5 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă
Piesele de maşini trebuie astfel dimensionate, încât să fie exclus
pericolul ruperii, al existenţei deformaţiilor mari sau al fenomenului de
pierdere a stabilităţii. Tensiunile trebuie să fie sub limita de elasticitate dar,
din raţiuni economice, cât mai aproape de aceasta, cerinţă sensibilă,
deoarece pentru o bună siguranţă a integrităţii solidului, tensiunile trebuie să
fie cât mai departe de limita de elasticitate pentru a nu se ajunge la
deformaţii mari.
Valoarea limită a tensiunii până la care poate fi solicitat un material
poartă numele de rezistenţă admisibilă (σa).
Rezistenţa admisibilă se consideră fie în raport cu limita de curgere σc
(pentru materialele ductile), fie în raport cu limita de rupere σr (pentru
materialele casante).
Raportul între tensiunea limită şi rezistenţa admisibilă reprezintă
coeficientul de siguranţă (c); astfel, se definesc:
;;
a
r
r
a
c
c c
σ
c
σ
σ
σ
==
în care: cc – coeficientul de siguranţă la curgere;
cr – coeficientul de siguranţă la rupere.
Pentru o funcţionare optimă a piesei trebuie îndeplinită condiţia:
;ac≥c
17

18. cu ca fiind notat coeficientul de siguranţă admisibil; acest coeficient se
determină astfel încât să aibă cele mai mici valori pentru care se obţine o
siguranţă deplină a funcţionării piesei pe o durată cât mai îndelungată de
solicitare.
1.6 Metode de rezolvare
Rezolvarea problemelor din Rezistenţa Materialelor se face prin
metode generale şi proprii, dintre care sunt reprezentative:
• Metoda rezistenţelor admisibile (metodă deterministă), comportând
exprimarea valorilor acestui parametru (σa) prin condiţia:
;max a
ef
σ≤σ
unde simbolizează tensiunea efectivă maximă la nivelul elementului în
discuţie. Metoda adoptă un coeficient de siguranţă unic, cu anumite rezerve
sub raportul justificării/confirmării în practică.
ef
maxσ
• Metoda stărilor limită (metodă semiprobabilistică); prin stare limită
se înţelege un stadiu de solicitare a cărui atingere implică pierderea
reversibilă sau ireversibilă a capacităţii solidului/corpului de a satisface
condiţiile de utilizare.
Pentru materiale omogene (metale, ş.a.), expresia de calcul
conformă metodelor uzuale este:
;max Rm⋅≤σ
în care: σmax - valoarea maximă probabilă a tensiunii;
R – rezistenţa de calcul (valoarea minimă probabilă a rezistenţei);
m – coeficient ce ţine seama de reducerea sau majorarea rezistenţelor
de calcul în cazuri specifice ale unor solicitări.
1.7 Condiţii de îndeplinit în soluţionarea problemelor din
Rezistenţa Materialelor
Prevalent în Rezistenţa Materialelor este studiul tensiunilor şi
deformaţiilor, dar la fel de importantă este şi determinarea sau/şi verificarea
condiţiilor de stabilitate a elementelor structurale ale corpurilor în scopul
dimensionării optime. Se convine ca elementele structurale să satisfacă
următoarele cerinţe/condiţii:
18

19. - Condiţii de rezistenţă: tensiunile nu trebuie să depăşească anumite
limite stabilite experimental pentru fiecare material, respectiv:
.max a
ef
σ≤σ
Δ
- Condiţii de rigiditate: funcţionarea organelor de maşini este
condiţionată de deformaţiile acestora, deformaţii care nu trebuie să
depăşească anumite limite, respectiv:
.max a
ef
Δ≤
- Condiţii de stabilitate: peste anumite valori critice ale sarcinilor,
piesele îşi pierd echilibrul stabil, ceea ce poate duce la distrugerea acestora;
valoarea maximă a unei sarcini se poate exprima:
;max
c
Fcr
=F
în care: Fcr – forţa critică la care poziţia de echilibru elastic a barei devine
instabilă;
c – un coeficient de siguranţă (la stabilitate).
1.8 Aspecte ale Rezistenţei Materialelor
În abordarea şi dezvoltarea/tratarea problemelor de rezistenţă se
disting trei aspecte:
• Aspectul static, care configurează problema astfel, încât solicitările de
referinţă sunt reduse la forţele interne într-un punct sau într-o secţiune, cu
utilizarea ecuaţiilor de echilibru static;
• Aspectul geometric, care se rezumă la examinarea deformaţiilor
solidului încărcat;
• Aspectul fizic, care presupune un fundament experimental, permiţând
stabilirea conexiunilor între forţele interne (tensiuni) şi deformaţii.
19

20. Capitolul 2
DIAGRAME DE EFORTURI
2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte
Elementul de structură fundamental în majoritatea construcţiilor de
clădiri, poduri, construcţii mecanice, îl reprezintă bara şi în special bara
dreaptă. Propunându-se să se determine, în cadrul Rezistenţei Materialelor,
stările de solicitare ale barei sub influenţa diverselor acţiuni, va trebui
rezolvată următoarea problemă: cunoscându-se geometria barei, legăturile ei
cu alte corpuri şi încărcările, să se determine starea de tensiune şi
deformaţie.
Principalele etape de rezolvare a problemei sunt următoarele: 1) mai
întâi trebuie determinat complet sistemul de forţe exterioare care acţionează
asupra barei, adică pe lângă încărcări trebuie determinate reacţiunile, ca
valoare şi natură; 2) trebuie determinate eforturile în secţiunile transversale
ale barei; 3) determinarea tensiunilor în oricare punct al barei. Primele două
etape pot fi soluţionate pentru structuri static determinate folosindu-se
principiile Mecanicii Teoretice.
Noţiunile operatoare în această matrice de abordare includ tipurile de
reazeme.
Orice corp în mişcare plană are trei grade de libertate, încât pentru a-l
reprezenta sunt necesare trei legături simple ale sale cu un anumit suport
referenţial.
Tipurile de reazeme cu care operează Mecanica sunt:
• Reazemul simplu, care are drept echivalent static o forţă verticală V;
V V
20

21. • Articulaţia plană, care are drept echivalent static două forţe: una
verticală V, iar cealaltă orizontală H;
V V
H H
• Încastrarea, acest tip de reazem având drept echivalent static două
forţe şi un moment;
V
H
M
Dintre posibilităţile de scriere a ecuaţiilor de echilibru cunoscute în
Mecanica Teoretică, cele care convin şi la care se apelează în cazul
determinării reacţiunilor sunt:
I. ;;0,;0,;0 AAAA MMVYHX ⇒=⇒=⇒= ∑∑∑
expresii avantajoase în cazul evaluării consolelor (fig.2.1):
VA
HA
MA
x
y
fig.2.1
A
II. ;;0,;0,;0 ABBAA VMVMHX ⇒=⇒=⇒= ∑∑∑
expresii edificatoare pentru cazul barelor simplu rezemate (fig.2.2):
VA VB
HA x
y
fig.2.2
A B
21

22. 2.1.1 Determinarea eforturilor într-o secţiune
Cunoscând forţele exterioare care acţionează asupra unei bare, se pot
determina eforturile într-o secţiune a ei, în care scop se recurge la metoda
secţiunilor.
Fie o bară solicitată de forţele exterioare în echilibru P1, P2, ..., Pn,
forţe care includ atât încărcările cât şi reacţiunile corespunzătoare. Pentru a
determina eforturile într-o secţiune curentă „i” se secţionează bara după un
plan normal pe axa sa longitudinală (fig.2.3).
N
T
T
M M
P1
P2
P3
PnPn
P3
P2
P1
x
y
1i
fig.2.3
În secţiunea curentă „i” s-au introdus eforturile secţionale care trebuie
să alcătuiască un sistem static echivalent cu sistemul de forţe de pe partea
înlăturată. Dacă se îndepărtează partea din stânga, pentru echilibrul părţii din
dreapta, pe faţa acesteia trebuie introdusă acţiunea părţii înlăturate, acţiune
manifestată prin forţele interioare.
Acest sistem de forţe se va reduce în centrul de masă al secţiunii,
situat pe axa barei, astfel:
- o forţă tangentă la axă (N), forţa axială;
- o forţă normală la axa barei (T), forţa tăietoare;
- un cuplu (M), reprezentând momentul încovoietor.
Dacă în loc să se înlăture partea din stânga s-ar proceda la dislocarea
părţii din dreapta, am avea acelaşi recurs cu excepţia inversării sensului
eforturilor secţionale în raport cu prima situaţie discutată, dar egale ca
valoare cu acestea. Această alternativă dă posibilitatea ca, în scopul reducerii
calculelor numerice, să se aleagă, la determinarea eforturilor, partea pe care
reducerea sistemului de forţe exterioare este cea mai facilă.
Forţa axială (N), reprezintă suma proiecţiilor pe axa barei din
secţiunea considerată a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau din dreapta.
Este considerată pozitivă atunci când pe faţa din dreapta are sens invers
sensului axei x sau, ca sens fizic, este pozitivă când este de întindere (trage
de secţiunea în care se aplică).
N N N N
Forţa tăietoare (T), este suma proiecţiilor pe normala la axa barei în
22

23. secţiunea considerată a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau a celor din
dreapta. Se consideră pozitivă când pe faţa din dreapta are sens invers
sensului axei y; ca sens fizic este pozitivă când roteşte solidul în sensul
acelor de ceasornic.
T T T T
Momentul încovoietor (M), reprezintă suma momentelor, în raport cu
centrul de greutate al secţiunii, a tuturor forţelor de la stânga secţiunii sau a
celor de la dreapta. Se consideră pozitiv când, în secţiune, întinde fibra
inferioară (de jos), respectiv negativ când întinde fibra superioară (de sus).
M MM M
Sunt denumite diagrame de eforturi reprezentările grafice ale valorilor
eforturilor în secţiunile considerate.
Reprezentarea acestor diagrame este strict necesară pentru stabilirea
secţiunilor în care eforturile se situează în limite de atenţie.
Se convine ca în atare grafice ordonatele pozitive să fie reprezentate
astfel:
- pentru momentele încovoietoare, sub linia de referinţă (de partea
întinsă a barei);
- pentru forţa axială sau forţa tăietoare, deasupra liniilor de referinţă
corespunzătoare.
2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile
analitice ale eforturilor
O cale de a construi diagramele de eforturi constă în determinarea
expresiilor analitice pentru secţiunea curentă x şi apoi reprezentarea grafică
a funcţiilor N(x), T(x), M(x). Punctele caracteristice sunt punctele în care se
modifică încărcările.
Exemplu (fig.2.4):
.25.2;02254;0
;75.0;0224;0
;3;0
FVaFaFaVM
FVaFaFaVM
FHX
CCA
AAC
A
==⋅+⋅+⋅−=
==⋅+⋅−⋅=
==
∑
∑
∑
23

24. x1 x2
x 2F F
3FHA A B C D
VA VC
2a 2a a
N
3F
T
F
1.25F
0.75F
Fa
1.5Fa
M
fig.2.4
+
-
+
+
-
-
Verificare:
.0325.275.0;0 =−+=∑ FFFY
Se stabileşte sensul de parcurgere de la stânga la dreapta; se alege o
secţiune curentă x pe intervalul A-B, x ∈ [0; 2a]:
( )
( )
( )
.5.1;2
;0;0;
;75.0
;3
FaMax
MxxVxM
FVxT
FxN
B
AA
A
=⇒=
=⇒=⋅=
==
−=
Se alege apoi pe intervalul B-C o nouă secţiune curentă, x1 ∈ [2a; 4a]:
( )
( ) ;25.1275.0
;3
1
1
FFFxT
FxN
−=−=
−=
24

25. ( ) ( )
.;4
;5.1;2;2275.0
1
1111
FaMax
FaMaxaxFxFxM
C
B
−=⇒=
=⇒=−−⋅=
Se observă că în punctul B, în expresia lui Tx1 intervine un salt
(discontinuitate) egal cu valoarea forţei 2F şi în sensul acesteia.
Pe consola (tronsonul) C-D se iau forţele de la dreapta în funcţie de
noul parametru curent, x2 ∈ [0; a]:
( )
( )
( )
.;
;0;0;
;
;3
2
222
2
2
FaMax
MxxFxM
FxT
FxN
C
D
−=⇒=
=⇒=⋅−=
=
−=
2.1.3 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări
Se consideră o bară solicitată de un sistem plan de forţe exterioare
concentrate şi forţe distribuite continuu. Se detaşează un element de lungime
dx separat prin două secţiuni transversale. Pe secţiunea din stânga se aplică
eforturile N, T şi M, iar pe secţiunea din dreapta aceleaşi mărimi cu
creşterile diferenţiale dN, dT şi dM corespunzătoare (fig.2.5).
x dx
N
M
T
pt
q
T+dT
N+dN
M+dM
A B
x
y
dx
fig.2.5
Se exprimă astfel condiţiile de echilibru ale elementului diferenţial
sub acţiunea forţelor exterioare şi a eforturilor secţionale:
( )
( )2;;0;0
1;;0;0
q
dx
dT
dTTdxqTY
p
dx
dN
dNNdxpNX tt
−=⇒=−−⋅−=
−=⇒=++⋅+−=
∑
∑
25

26. ( )3.;0
2
;0
dx
dM
TdxTdMM
dx
dxqMMB =⇒=⋅+−−⋅⋅−=∑
Aceste relaţii au următoarele semnificaţii:
- derivata forţei axiale într-un punct oarecare al unei bare drepte, în
raport cu axa x, este egală în modul cu intensitatea sarcinii uniform
distribuite după tangenta la axa longitudunală a barei;
- derivata forţei tăietoare, în raport cu axa x, este egală în modul cu
intensitatea după normala la axa barei a sarcinii uniform dstribuite;
- derivata momentului încovoietor într-un punct oarecare al barei
drepte, în raport cu axa x, este egală cu forţa tăietoare.
Relaţiile (2) şi (3) au drept corolar:
( )4.2
2
q
dx
dT
dx
Md
−==
Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) rezultă următoarele observaţii:
- când sarcina tangenţială uniform distribuită pt este nulă, forţa axială
este constantă;
- când sarcina normală uniform distribuită q este nulă, forţa tăietoare
este constantă iar momentul încovoietor variază liniar;
- când sarcina normală uniform distribuită este constantă, forţa tăietoare
variază liniar iar momentul încovoietor variază parabolic;
- dacă forţa tăietoare intersectează axa barei (linia de referinţă),
diagrama de moment încovoietor are un punct de extrem în dreptul secţiunii
în care forţa tăietoare este nulă (fig.2.6 – curbura diagramei de moment ţine
sarcina).
Mmax
T
M
fig.2.6
- în dreptul unei sarcini concentrate diagrama forţei tăietoare face un
salt egal cu sarcina din punctul respectiv şi în sensul acesteia, pentru un sens
de parcurgere de la stânga la dreapta, iar diagrama de moment încovoietor
prezintă un vârf în sensul săgeţii sarcinii concentrate (fig.2.7).
26

27. F
T
M
fig.2.7
+
-
- în dreptul unui cuplu de pe bară diagrama de moment încovoietor
prezintă un salt egal cu valoarea cuplului şi în sensul acestuia (fig.2.8).
T
M
fig.2.8
+
M
M
2.1.4 Utilizarea relaţiilor diferenţiale la trasarea diagramelor de
eforturi
Pentru trasarea diagramelor de eforturi se determină eforturile în
punctele caracteristice prin metoda reducerii: parcurgând bara de la stânga la
dreapta se cumulează forţele longitudinale respective cele transversale
întâlnite.
Între punctele caracteristice se reprezintă diagrama de efort pe baza
relaţiilor diferenţiale. Punctele caracteristice sunt cele în care încărcarea este
discontinuă.
27

28. Vor fi tratate în continuare o serie de exemple tipice de construire a
diagramelor de eforturi.
a) Grindă simplu rezemată la capete, încărcată cu o forţă concentrată
(fig.2.9).
P
A C B
H =0B
VBVA
a b
l
Pb/l
Pa/l
T
M
Pab/l fig.2.9
+
+
-
.
;0
;
;
;
l
Pab
a
l
Pb
M
MM
T
l
Pa
P
l
Pb
T
T
l
bP
T
l
bP
V
C
BA
st
B
dr
C
st
CA
A
=⋅=
==
=−=−=
=
⋅
=
⋅
=
Caz particular: a = b = l/2, (fig.2.10).
b) Grindă simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform
distribuită (fig.2.11).
28

29. P
A C B
H =0B
VBVA
P/2
P/2
T
M
Pl/4 fig.2.10
+
+
-
l/2 l/2
A B
H =0B
VBVA
l
T
M
fig.2.11
x
ql/2
ql/2
l/2
ql/8
2
+
+
-
q
;
2
ql
VV BA ==
;
2
xq
ql
T variaţie liniară;x ⋅−=
29

30. ;
2
;0
;
2
;
;
2
;0
l
x
ql
Tl
ql
T
x
B
A
=⇒=
−==
==
T
x
x
;
222
2
2
x
q
x
qlqx
xVM Ax ⋅−⋅=−⋅= variaţie parabolică;
.
8
;0
2
max
ql
MMM BA ===
c) Grindă simplu rezemată la capete încărcată cu un cuplu
concentrat (fig.2.12)
A C B
VBVA
a b
l
T
M
fig.2.12
+
H =0A
M
M/l
Mb/l
Ma/l
+
-
;0
;
;
==
==
==
BA
st
BA
BA
M
T
l
M
M
l
M
VV
T
.;
l
bM
M
l
aM
M
l
aM
M dr
C
st
C
⋅
−=−
⋅
=
⋅
=
30

31. d) Grindă în consolă acţionată de o forţă concentrată (fig.2.13)
A B
VA
l
T
M
fig.2.13
+
P
α
N
HA
MA
--
Pcosα
Psinα
Plsinα
.0
;sin
;sin
;cos
;sin;0
;cos;0
;sin;0
=
⋅−=
=⋅=
=⋅=
⋅==
⋅==
⋅==
∑
∑
∑
B
A
st
BA
st
BA
AA
A
A
M
PlM
TP
NPN
PlMM
PHX
PVY
α
α
α
α
α
α
T
e) Grindă în consolă acţionată de o sarcină uniform distribuită (fig.2.14)
.M;
pl
M;
px
xpl
pl
M
;T;plT;pxplT
;
pl
M;M
;plV;Y
BAx
BAx
AA
A
0
222
0
2
0
0
222
2
=−=⇒−⋅+−=
==⇒−=
==
==
∑
∑
31

32. A B
VA
l
T
M
fig.2.14
MA
p
pl
pl/2
2
+
-
x
f) Grindă cu console acţionată de forţe concentrate (fig.2.15)
P P
AC B
VBVA
l
T
M
fig.2.15
a a
D
P
P
Pa Pa
+
-
-
(datorită simetriei);PVV BA ==
T ;st
AC TP =−=
32

33. .0
;
;
;
;0
==
⋅−=
⋅−=
==
==+−=
DC
B
A
st
D
dr
B
st
B
dr
A
MM
aPM
aPM
TP
TPP
T
T
2.1.5 Relaţii de recurenţă la grinda dreaptă
Relaţiile de recurenţă pot uşura mult rezolvarea problemelor de trasare
a diagramelor de eforturi. Astfel, într-o secţiune oarecare “i”, efectul
încărcărilor precum şi al forţelor de legătură din secţiune poate fi înlocuit
prin rezultanta acestora, eforturile secţionale Ni, Ti, Mi.
În secţiunea oarecare “j” nu mai este necesar să se reia în discuţie
toate forţele de la stânga, eforturile din “j” putând fi exprimate în funcţie de
eforturile din “i” şi încărcările de pe i-j (fig.2.16):
T
.dsinFdTMM
;sinFT
;cosFNN
jkkijiij
k
kij
k
kij
∑
∑
∑
−⋅+=
−=
−=
α
α
α
Fk
Fk
Mi Mj
Ti
Tj
Ni Nj
djk
dij
1i
k
j
fig.2.16
α
Dacă pe o porţiune cu sarcină distribuită se consideră o secţiune
curentă x (fig.2.17), eforturile vor fi:
33

34. x
Mi Mj
p
x0
Ti Tj
Ti
Tj
Mi
Mj
Mx0
T
M
+
+
-
fig.2.17
.
2
;;0
;
2
;
max
2
00
2
0
M
p
T
MM
p
T
xxpT
xp
xTMM
xpTT
i
ix
i
i
iix
ix
=+=
=⇒=⋅−
⋅
−⋅+=
− ⋅=
Expresia lui Mx0 se poate scrie şi în funcţie de eforturile din “j”,
obţinându-se aceeaşi valoare.
2.1.6 Grinzi cu încărcări complexe. Metoda suprapunerii
efectelor
Uneori diagramele se pot determina fără calcule, prin suprapunerea
efectelor, recurgându-se la ipoteza micilor deplasări. Ecuaţiile de echilibru
se pot scrie pe forma nedeformată a sistemului, deci la calculul reacţiunilor
şi al eforturilor se poate aplica principiul suprapunerii efectelor (principiul
suprapunerii efectelor este o proprietate a funcţiilor liniare).
Fie grinda simplu rezemată cu consolă încărcată ca în figura 2.18. Se
consideră separat acţiunea fiecărei forţe exterioare şi se trasează diagramele
de moment încovoietor corespunzătoare.
34

35. F2 F1
A D B C
l
a b c
F1
F ca/l1
F c1
M
F2
F ab/l2
M
F1
F2
M
F c1
A
B
D
D
/
/
//
fig.2.18
+
+
-
-
Diagrama finală se obţine prin adunarea în fiecare secţiune
caracteristică a ordonatelor obţinute în cele două diagrame. Astfel, de la linia
AB/
se scad ordonatele corespunzătoare diagramei MF2; din punctul D/
se
trasează în jos ordonata până în D//
, egală cu valoarea corespunzătoare din
diagrama MF2:
.12
l
ca
F
l
ab
FMD −=
35

36. 2.2 Grinzi cu console şi articulaţii
Sunt sisteme de bare drepte fixate la teren printr-o articulaţie şi
reazeme simple, bare legate între ele prin articulaţii intermediare.
O primă problemă de clarificat este dacă sistemul este sau nu static
determinat.
Se numeşte grad de nedeterminare statică a unui sistem: n = L – 3C
(pentru sisteme plane), cu C – numărul de corpuri libere deschise şi L –
numărul de legături echivalente legăturilor simple ce trebuie suprimate
pentru obţinerea a C corpuri. Pentru n = 0 sistemul este static determinat.
Ecuaţiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul în
ansamblu sau pentru fiecare corp în parte.
Un astfel de sistem este alcătuit dintr-o parte independentă şi una sau
mai multe părţi fundamentale, în următoarea accepţiune:
• Părţi independente sau corpuri de tip I sunt corpuri ale căror forţe de
legătură pot fi determinate din ecuaţii de echilibru proprii. Forţele de
legătură ale părţilor independente depind numai de încărcările exterioare ale
acestora.
• Părţi fundamentale sau corpuri de tip II sunt corpuri care îşi transmit
singure forţele la teren.
Forţele de legătură de pe părţile independente devin acţiuni pe părţile
fundamentale.
Pentru exemplul din figura 2.19 gradul de nedeterminare statică se
calculează astfel:
;02363 =⋅−=−= CLn
sistemul este static determinat. Partea independentă este ABCD, pentru care:
;33.1
3
4
a
M
a
M
VV DA ===
pentru partea fundamentală DEF reacţiunea VD devine acţiune (forţă de
încărcare). Trasarea diagramelor de efort se face ca şi în cazul grinzilor
drepte, pentru fiecare tip de corp (tronson) în parte, diagramele finale fiind
compuse din diagramele corespunzătoare fiecărui tronson reprezentate una
în continuarea celeilalte (fig.2.19).
36

37. M 3M M/a
2
A B C D E F
a a a 2a 4a
V =1.33M/aA
V =1.33M/aD
1.33M/a
V =4.5M/aE
V =1.16M/aF
1.16M/a
3.33M/a
1.33M/a
T
M
4.66M
1.33M
1.67M0.33M1.33M
fig.2.19
+
+
-
-
-
37

38. 2.3 Diagrame de eforturi pe cadre
Intersecţia a două bare reprezintă un nod. Dacă unghiul făcut de cele
două bare rămâne constant şi după deformare, nodul este rigid. Structurile
din bare care au cel puţin un nod rigid poartă denumirea de cadre.
Cadrele pot fi spaţiale sau plane.
La un nod plan în care se intersectează numai două bare, momentele
sunt egale şi întind aceeaşi fibră.
Linia de referinţă pentru reprezentarea diagramelor este chiar schema
cadrului. Pentru fiecare bară trebuie ales un sistem de axe proprii; axa x este
întotdeauna axa barei (fig.2.20a).
Dacă diagramele de efort sunt trasate corect, nodurile sistemului
trebuie să fie în echilibru. Pentru verificarea corectitudinii trasării
diagramelor se separă fiecare nod, prin secţionarea barelor concurente în nod
şi se introduc pe feţele secţiunilor eforturile, ţinându-se seama de convenţia
de semne şi de sensul de parcurgere (fig.2.20b).
4P
PA B C D
V =3PA
H =PE
E
2a
a a a
V =PE
x
y
x
y
x
y
P
P
N
3P
P
P
T
3Pa
2Pa
2Pa
M
+ +
+
-
-
-
-
fig.2.20a
38

39. .3;0
;;0
;;0
PVM
PVM
PHX
AE
EA
E
==
==
==
∑
∑
∑
nod C
P
2Pa
P
2Pa
P
P fig.2.20b
Probleme
Problema 2.a
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2.a.
1kN/m 2kN
A B C D x
H =0A
V =3.5kNA V =2.5kND
4m 2m 2m
3.5
0.5 2.5
x0
6.125 6
5
T
M
[kN]
[kNm]
fig.2a
+
+
-
39

40. Calculul reacţiunilor:
.5.2,0124628;0
;5.3,0822641;0
;0;0
kNVVM
kNVVM
HX
DDA
AAD
A
==⋅⋅−⋅−⋅=
==⋅−⋅+⋅⋅=
==
∑
∑
∑
Verificarea reacţiunilor verticale:
.0241;0 =−⋅−+=∑ DA VVY
Calculul forţei tăietoare:
T
.5.225.0
;5.0415.3
;0
st
D
dr
C
st
CB
dr
A
TkN
TkN
=−=−−=
=−=⋅−=
=
T
T
Calculul momentului încovoietor:
;125.6
2
5.3
2
;624145.3
;0
22
max kNm
q
T
MM
kNmM
MM
A
A
C
DA
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
=⋅⋅−⋅=
==
pentru determinarea secţiunii în care momentul este Mmax se egalează forţa
tăietoare cu zero în această secţiune:
.525.2
;5.315.3;0 0000
kNmM
mxxTT
D
xx
=⋅=
=⇒⋅−==
Problema 2.b
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2b.
Calculul reacţiunilor:
.
;0275;0
;
5
242
;04225;0
;0;0
FV
FaaFFaaFaVM
F
a
FaFaFaFa
V
FaaFFaaFaVM
HX
B
BE
E
EB
B
=
=+⋅−+⋅−⋅=
=
−++
=
=−⋅−−⋅+⋅=
==
∑
∑
∑
40

41. F 2Fa F Fa
A B C D E G x
H =0B
V =FB V =FE
2a 2a 2a a a
F F
T
2Fa
Fa
M
fig.2b
-
-
-
-
Verificarea reacţiunilor verticale:
.0;0 =−−+=∑ FFVVY EB
Calculul forţei tăietoare:
T
.0
;
;0
;
=+−=
=−=
==+−=
=−=
FF
TF
TFF
TF
dr
E
st
E
dr
D
st
D
dr
B
st
B
dr
A
T
T
T
Calculul momentului încovoietor:
.
;0246
;022
;224
;22
;0
FaMM
FaaFaFM
FaFaM
FaaFaFM
FaaFM
M
GE
D
dr
C
st
C
B
A
−==
=+⋅+⋅−=
=+−=
−=⋅+⋅−=
−=⋅−=
=
41

42. Problema 2.c
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda în consolă din figura
2c.
10kN 40kNm 20kN
A B C D
1m 1m 1m
30kN
20kN
T
30kNm
20kNm
20kNm
M
+
+
- -
fig.2c
Necalculându-se reacţiunile iniţial, se porneşte cu calculul eforturilor
secţionale (forţă tăietoare şi moment încovoietor), din dreapta către stânga,
luându-se mereu în considerare forţele dinspre capătul liber al consolei:
.3011040320
;040220
;204020
;20120
;0
;301020
;20
kNmM
M
kNmM
kNmM
M
TkN
TkN
A
B
st
C
dr
C
D
dr
A
st
B
dr
B
st
D
−=⋅−+⋅−=
=+⋅−=
=+−=
−=⋅−=
=
==+=
==
T
T
42

43. Problema 2.d
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda cu articulaţie
intermediară din figura 2d.
20kN 20kN/m
A B C
D
E
1m 2m 2m 6m
V =60kNE
20kN
60kN
26.67
46.67
60
60
T
26.67
120
90
M
[kN]
[kNm]
fig.2d
+
+
-
- -
V =60kND
V =106.67kNC
V =26.67kNA
Se calculează gradul de nedeterminare statică:
.02363 =⋅−=−= CLn
Partea independentă este DE; reacţiunile sunt:
.60
2
206
kNVV ED =
⋅
==
Reacţiunea VD devine acţiune pe bara AD; reacţiunile pe bara AD
sunt:
.67.26
3
260202
;0
;67.106
3
605120
;0
kNVM
kNVM
A
ACD
C
C
ACD
A
=
⋅+⋅−
==
=
⋅+⋅
==
∑
∑
Calculul forţei tăietoare:
T ;
;67.26
drAstB
AdrA
T
kNV
=
T −=−=
43

44. ;67.462067.26 stCdrB TkNT =−=−−=
.60
;6067.10667.46
kNT
TkNT
stE
DdrC
−=
==+−=
Calculul momentului încovoietor:
.90
8
620
8
;120260
;67.26167.26
;0
22
max kNm
lq
M
kNmM
kNmM
MMM
C
B
EDA
=
⋅
=
⋅
=
−=⋅−=
−=⋅−=
===
Problema 2.e
Pentru cadrul din figura 2e să se traseze diagramele de efort.
40kN
10kN
A
BC
D
3m
1m 2m
H =0A
M =90kNmA
V =30kNA
1 2
3
fig.2e
Calculul reacţiunilor:
.90240110;0
;30;0
;0;0
kNmMM
kNVY
HX
AA
A
A
=⋅+⋅==
==
==
∑
∑
∑
44

45. 30
10
40
10
90
80
TN M
-
-
-
+
+
[kN] [kN] [kNm]
Nodul B 10kNm
10kN
40kN
80kNm
30kN
90kNm
1 2
3
Problema 2.f
Pentru cadrul din figura 2f să se traseze diagramele de efort.
34kNm 52kNm V =28.67kNE
H =0A
V =28.67kNA
1m
1m 1m 1m
A
B C D
E
fig.2f
45

46. Calculul reacţiunilor:
.kN.VV EA 6728
3
86
3
5234
==
+
==
28.67
28.67
28.67
5.34
23.33
28.67
N T M
+
+
+
-
-
-
[kN] [kN] [kNm]
Problema 2.g
Pentru cadrul din figura 2g să se traseze diagramele de efort.
1kN/m
3m
2m6m2m
45
0
A
B
C
D
EHE
VE
1 2
3
F
4kN
fig.2g
NB-F
46

47. Calculul reacţiunilor:
( )
.6;0
;8;0
;5.8
,03106436
2
2
;0
kNHX
kNVY
kNN
N
M
E
E
EB
EB
E
==
==
=
=⋅−⋅−+
=
∑
∑
∑
−
−
Nodul C
20kNm
6kN
2kN
2kNm
8kN
18kNm
1 2
3
8.5
6
8
2
6
2
6
2
20
2
18
6kN
6kN
N T
M
[kN] [kN]
[kNm]
+
-
-
- -
+
+
- -
-
47

48. Capitolul 3
CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR
TRANSVERSALE ALE BARELOR
3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate
Dacă se consideră secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii
elementare dA, atunci aria secţiunii va fi:
.∫=
A
dAA
S
S
Se raportează consideraţiile următoare la o figură plană (secţiunea
transversală a unei bare raportată la un sistem ortogonal de axe de
coordonate Oy1z1) şi se apelează la expresiile:
∫
∫
=
=
A
z
A
y
dAy
dAz
,
;
11
11
reprezentând suma produselor ariilor elementare dA cu distanţa la axa
corespunzătoare (y1 sau z1). Aceste expresii definesc momentele statice ale
secţiunii faţă de axa y1 sau z1 (fig.3.1); unitatea de măsură pentru momentul
static este: [ ] ., 333
mmcmL =
O
y1
z1
z
y
b z
z1
a
y
y1G
dA
fig.3.1
48

49. În situaţia în care axele z şi y trec prin centrul de greutate al secţiunii,
momentele statice sunt nule:
;0== yz SS
S
y
cu:
∫ ∫==
A A
yz dAzSdAy .,
Se exprimă y şi z în forma:
;; 11 bzzay −=−=
şi se introduc în relaţiile lui Sz şi Sy, astfel:
;0
;0
1
1
=−
=−
∫
∫
A
A
dAbdAz
dAadAy
∫
∫
A
A
rezultă coordonatele centrului de greutate:
.
;
1
1
1
1
1
1
∑
∑∫
∑
∑∫
===
===
i
i
i
ii
G
i
i
i
ii
G
A
Az
A
dAz
z
A
Ay
A
dAy
y
b
a
Orice sistem de axe cu originea în centrul de greutate al figurii
geometrice reprezintă un sistem de axe centrale.
3.2 Momente de inerţie (geometrice)
Se numeşte moment de inerţie axial al figurii plane (de arie A), în
raport cu o axă din planul său, suma produselor elementelor de arie dA cu
pătratul distanţei lor la axa considerată. În raport cu axele Oy şi Oz
momentele de inerţie se exprimă:
∫ ∫==
A A
zy dAyIdAz ,; 22
I
întotdeauna pozitive.
Suma produselor elementelor de arie dA cu distanţele lor la un sistem
de axe rectangular Oyz :
49

50. ;∫=
A
yz dAyzI
I
sumă ce poate fi pozitivă sau negativă, poartă denumirea de moment de
inerţie centrifugal al figurii plane în raport cu axele Oyz.
Momentul de inerţie polar al unei figuri plane în raport cu un punct
(pol) din planul figurii, este reprezentat de suma produselor elementelor de
arie dA cu pătratele distanţelor lor în raport cu acel punct:
∫=
A
p dAr ;2
deoarece r2
= z2
+ y2
(fig.3.2), rezultă:
O
y
z
y
z
r
dA
fig.3.2
( ) .IIdAyzI zy
A
p +=+= ∫
22
Momentul de inerţie polar este aşadar, egal cu suma momentelor de
inerţie axiale Iy şi Iz pentru orice sistem de axe ortogonale Oy şi Oz care trec
prin polul „O”.
Din această relaţie rezultă că suma momentelor de inerţie axiale în
raport cu un sistem de axe rectangulare cu aceeaşi origine, O, reprezintă un
invariant la rotirea sistemului de axe.
Momentele de inerţie (axiale, centrifugale, polare) se exprimă în
unităţi de lungime la puterea a patra: [ ] ., 444
mmcmL =
Dacă axele de referinţă sunt centrale, momentele de inerţie se numesc
centrale.
Uneori în calcule se utilizează razele de inerţie (giraţie), mărimi
liniare, ce se definesc prin expresiile:
.;;
A
I
i
A
I
i
A
I p
p
y
y
z
z ===i
50

51. 3.2.1 Momente de inerţie pentru secţiuni simple
Determinarea momentelor de inerţie, pentru figurile simple se poate
realiza prin integrarea directă în formulele de definiţie.
a. Cazul unei secţiuni dreptunghiulare (fig.3.3)
Să se evalueze momentele de inerţie în raport cu axele centrale Oy şi
Oz paralele cu laturile dreptunghiului.
Pentru determinarea momentului de inerţie în raport cu axa Oz se
consideră o suprafaţă elementară dA, de forma unei fâşii paralele cu axa Oz,
de lăţime b şi înălţime dy:
.
123
;
32
2
32
2
22 bhby
dybydAyI
dybdA
h
h
h
hA
z ====
⋅=
−
−
∫∫
În mod analog se determină:
.
12
3
2 hb
dAzI
A
y == ∫
Momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe Oyz
este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie.
b
h/2
h/2
y
dy
z
y
O
fig3.3
b. Cazul unei secţiuni circulare (fig.3.4)
Avându-se în vedere simetria secţiunii în raport cu oricare axă
centrală, este indicat să se determine mai întâi momentul de inerţie
polar şi apoi momentele de inerţie în raport cu axele centrale.
Elementul de arie dA este cuprins între două raze care fac între ele
unghiul dϕ şi două cercuri concentrice de rază r şi r+dr, astfel:
z
y
r
drR
R
fig3.4
dA
ϕ
dϕ
.
642
;
322
;
4
44
0
3
2
0
2
DI
II
DR
drrddArI
ddrrdA
p
yz
R
A
p
π
ππ
ϕ
ϕ
π
===
====
⋅⋅=
∫∫∫
51

52. 3.2.2 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă
În problemele de calcul ale elementelor de construcţii apare adesea
necesitatea determinării momentelor de inerţie pentru secţiuni de forme mai
complicate, în raport cu diferite axe situate în planul acestor secţiuni. În
acest caz, separând secţiunea în părţi componente simple, la care momentele
de inerţie se pot evalua uşor, momentul de inerţie al întregii secţiuni în
raport cu o axă se va determina ca suma momentelor de inerţie ale tuturor
părţilor componente în raport cu acea axă.
Fie, astfel, o secţiune de o formă oarecare descompusă în figuri
elementare (fig.3.5):
1 2 3
4 5 6
O z
y
y dA
fig.3.5
relaţia de bază avută în vedere este:
....... 21
2
2
1
22
++=++== ∫∫∫ zz
AAA
z IIdAydAydAyI
Dacă secţiunea are goluri, atunci aria corespunzătoare acestora se va
lua cu semnul minus; astfel: De
Di
z
y fig.3.6
( ).
64
44
ieyz DDII −==
π
52

53. b
h D
z
y fig.3.7
.D
bh
Iz
4
3
6412
π
−=
3.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor
Se consideră o figură plană de arie A raportată la un sistem de axe
ortogonale Oyz, pentru care sunt cunoscute momentele de inerţie raportate la
axele Oy şi Oz. Să se determine momentele de inerţie în raport cu noile axe
O1 y1 şi O1 z1 paralele cu primele (fig.3.8);
O1
y1
z1
z
y
b z
z1
a
y
y1O
dA
fig.3.8
astfel:
( )
( )( ) .
;2;2
;2
;;
11
11
1
22
2222
1
11
AabSbSaIdAbzayI
AbSbIIAaSaII
dAadAyadAydAaydAyI
ayybzz
zyyz
A
yz
yyyzzz
AAAAA
z
⋅+⋅+⋅+=++=
⋅+⋅+=⋅+⋅+=
++=+==
+=+=
∫
∫∫∫∫∫
53

54. Sz şi Sy reprezintă momentele statice ale figurii în raport cu axele Oy
şi Oz. Dacă aceste axe sunt centrale, atunci momentele statice sunt nule, iar
relaţiile pentru momentele de inerţie raportate la axele paralele cu cele
centrale vor fi:
.
;
;
11
1
1
2
2
AabI
AaI
AbI
zyyz
zz
yy
⋅+=
⋅+=
⋅+=
I
I
I
Adunând primii doi termeni, se obţine:
( ) .AbaIII ppzy ⋅++==+ 22
111
I
Momentele de inerţie axiale sunt minime în raport cu centrul de
greutate al secţiunii; cu cât axele de referinţă sunt mai depărtate de centrul
de greutate cu atât momentele de inerţie axiale cresc.
Exemplu
Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele z şi y care trec
prin centrul de greutate al figurii compuse (fig.3.9):
b2
h2
h1
h2
b1
G
z
y fig.3.9
Rezolvare:
( )
( )
( );
;
;
2
2
∑
∑
∑
⋅+=
⋅+=
⋅+=
i
iyyzzyzzy
i
iyyyy
i
izzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
I
I
I
;
212
20
12
22
2
21
3
22
3
11
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= hb
hhhbhb
Iz
54

55. ;
12
2
12
3
22
3
11 bhbh
y +=I
în care s-au notat cu dz zi distanţa de la axa centrală z la axa zi a
dreptunghiului “i” şi cu dy yi, distanţa de la axa centrală y la axa yi a
dreptunghiului “i”.
3.4 Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor
Dacă se cunosc momentele de inerţie Iz, Iy, Izy ale unei figuri plane în
raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz din planul acesteia, să se determine
momentele de inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit
faţă de primul cu un unghi α (fig.3.10).
O E
B
C
y
y1
z
z1
dA
z
z1
y
y1
D
fig.3.10
α
Pentru elementul de arie dA, coordonatele faţă de sistemul respectiv
sunt:
- faţă de Oyz: y şi z;
- faţă de Oy1z1: y1şi z1.
Relaţiile între aceste coordonate sunt:
.cossin
;sincos
1
1
αα
αα
zyOBCDz
zyBECEBCy
+=+=
−=−==
Momentele de inerţie faţă de noile axe sunt:
55

56. ( )
ααα
αααα
αα
2sinsincos
cossin2sincos
sincos
22
2222
22
11
zyyz
AAA
AA
z
III
dAyzdAzdAy
dAzydAyI
−+=
=−+=
=−==
∫∫∫
∫∫
(1)
( )
.2sincossin
cossin2cossin
cossin
22
2222
22
11
ααα
αααα
αα
zyyz
AAA
AA
y
III
dAyzdAzdAy
dAzydAzI
++=
=++=
=+==
∫∫∫
∫∫
(2)
Momentul de inerţie centrifugal este:
( )( )
( )∫∫∫
∫∫
−+−=
=+−==
AAA
AA
yz
dAyzdAzdAy
dAzyzydAzyI
;sincoscossincossin
cossinsincos
2222
1111
αααααα
αααα
.2cos2sin
211
αα zy
yz
yz I
II
I +
−
= (3)
Prin sumarea relaţiilor (1) şi (2), se obţine:
,11 zyzy IIII +=+
adică suma momentelor de inerţie axiale în raport cu două axe ortogonale, cu
aceeaşi origine, este un invariant.
Înlocuind în relaţiile de mai sus:
,
2
2cos1
cos;
2
2cos1
sin 22 α
α
α
α
+
=
−
= relaţiile (1), (2) şi (3) devin:
;2sin2cos
22
2sin
2
2cos1
2
2cos1
1
αα
α
αα
zy
yzyz
zyyzz
I
IIII
IIII
−
−
+
+
=
=−
−
+
+
=
;2sin2cos
22
2sin
2
2cos1
2
2cos1
1
αα
α
αα
zy
yzyz
zyyzy
I
IIII
IIII
+
−
−
+
=
=+
+
+
−
=
(4)
.2cos2sin
211
αα zy
yz
yz I
II
+I
−
=
56

57. 3.4.1 Momente de inerţie principale şi direcţii principale
Din expresiile precedente ale momentelor de inerţie axiale rezultă că
mărimea momentului de inerţie în raport cu o axă oarecare depinde de
unghiul de înclinare a acestei axe în raport cu o axă de referinţă. În acest caz
se poate determina o valoare α a unghiului, pentru care momentul de inerţie
atinge o valoare extremă. Pentru evaluarea acestei limite se va anula prima
derivată a expresiei lui Iz1 din grupul de relaţii (4):
( )
,02cos2sin
2
;0
2 11
1
=−=−
−
−= yzzy
yzz
II
II
d
Id
αα
α
de unde:
.
2
2
zy
zy
II
I
tg
−
=α (5)
Se poate trage concluzia că momentele de inerţie axiale sunt extreme
pe direcţiile pe care momentele de inerţie centrifugale sunt nule. Aceste
direcţii se numesc direcţii principale, iar valorile momentelor de inerţie
respective sunt momente de inerţie principale.
Relaţia (5) conduce la două valori pentru unghiul α: α/
şi α/
+ π/2.
Sunt deci două direcţii principale ortogonale; faţă de una din axe momentul
de inerţie este maxim, faţă de cealaltă, minim. Se notează:
.; 2min1max IIII ==
Pentru a calcula momentele de inerţie principale, se calculează din
relaţia (5):
( )
( )
( )
;
421
1
2cos
;
4
2
21
2
2sin
222
222
zyzy
zy
zyzy
zy
III
II
tg
III
I
tg
tg
+−
−
±=
+
±=
+−
±=
+
±=
α
α
α
α
α
substituind în (4), se obţine:
( ) ( )
;
4
2
422 22222,1
zyzy
zy
zy
zyzy
zyyzyz
III
I
I
III
IIIIII
I
+−+−
−
⋅
−
±
+
= ∓
după simplificări, rezultă forma finală:
57

58. ( ) .4
2
1
2
22
2,1 zyzy
yz
III
II
+−±I
+
= (6)
Măsurarea unghiului α se face în sens orar (pentru unghiuri pozitive),
în raport cu axa z.
Pentru stabilirea axelor principale de inerţie se calculează derivata a
doua a expresiei lui Iz1, notându-se cu α1 unghiul făcut de direcţia principală
corespunzătoare lui I1:
( )
;2sin2cos
22
112
2
1
αα
α
zy
yzz
I
II
d
Id
+
−
−=
prin efectuarea calculelor, rezultă expresia finală a derivatei:
.cos2
2
1
1
22
2
zy
zy
yz
I
tg
I
II α
α ⋅⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎢
⎢
⎣
⎡
(7)
Se observă că semnul expresiei (7) depinde numai de raportul:
zyI
tg 1α
;
pentru un maxim trebuie îndeplinită condiţia:
;01
<
zyI
tgα
astfel, pentru:
.
2
00
;
2
00
11
11
π
αα
π
αα
<⇒>→<
>⇒<→>
tg
tg
zy
zy
I
I
Axele principale de inerţie pot fi precizate în orice punct din planul
figurii. Din punct de vedere practic, interesează în mod deosebit axele
principale centrale de inerţie ale figurii şi momentele de inerţie principale
centrale. Când figura are cel puţin o axă de simetrie, una din axele centrale
principale de inerţie va corespunde cu axa de simetrie, trecând prin centrul
de greutate al figurii.
3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de
inerţie centrale principale I1, I2, ale unei figuri plane
În practica inginerească, pentru calculul momentelor de inerţie
centrale principale se procedează astfel:
58

59. 1. Se determină centrul de greutate al secţiunii. Se stabilesc figurile
geometrice elementare componente. Se stabileşte un sistem de axe pentru
fiecare figură.
2. Se determină momentele de inerţie faţă de un sistem de axe centrale
convenabil alese (să treacă prin centrul de greutate şi să fie paralele cu
celelalte axe pentru fiecare figură):
( )
( )
( )∑
∑
∑
⋅+=
⋅+=
⋅+=
i
iyyzzyzzy
i
iyyyy
i
izzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
.
;
;
2
2
I
I
I
3. Se calculează momentele de inerţie faţă de axele centrale principale cu
relaţia:
( ) .4
2
1
2
22
2,1 zyzy
yz
III
II
+−±I
+
=
3.1 Se stabilesc axele I şi II, calculându-se α şi α + π/2 cu relaţia:
;
2
2
zy
zy
II
I
−
=αtg
se fac precizări asupra axelor principale I şi II, punând condiţia:
.01
<
zyI
tgα
3.5 Moment de inerţie centrifugal maxim
Se consideră că axele principale de inerţie ale suprafeţei sunt axele
Oy, Oz, astfel încât:
.0;; 21 === zyyz IIIII
Relaţiile (4) devin:
( ) ( )
( )c
II
I
b
IIII
Ia
IIII
I
yz
yz
α
αα
2sin
2
;2cos
22
;2cos
22
21
21212121
11
11
−
=
−
−
+
=
−
+
+
=
(8)
59

60. Din relaţia (c) rezultă că momentul de inerţie centrifugal are valoarea
maximă pentru:
;4512sin 0
=⇒= αα
această valoare fiind dată de relaţia:
( ) .
2
21
max11
II
yzI
−
=
Deci, momentul de inerţie centrifugal al unei suprafeţe are valoarea
maximă faţă de un sistem rectangular de axe, rotit cu 450
faţă de axele
principale de inerţie ale suprafeţei.
Înlocuind în (a) şi (b) valoarea cos 2α = 0 (α = 450
), se obţin valorile
momentelor de inerţie axiale în raport cu axele rotite cu 450
faţă de axele
principale de ineţie:
.
2
21
11
II
IyzI
+
==
Să se calculeze momentele de inerţie centrale principale pentru
secţiunile de mai jos:
Problema 3.a
68.75
41.25
20
200
G
10 100 10
y =y1
y2
z
z1
z2
fig.3.a
;75.68
;
12020102002
102001102
1
1
mmy
A
Ay
y
G
i
i
i
ii
G
=
⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
∑
∑
60

61. .10501.115013333
;
12
12020
5510200
12
10200
2
;10156.331563300
;75.6820120
12
20120
25.4110200
12
10200
2
473
2
3
2
3
2
474
1
2
3
2
3
1
mmmmII
II
mmmmII
II
y
y
z
z
⋅===
⋅
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅
==
⋅===
⋅⋅+
⋅
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅
==
Problema 3.b
250
12
600
15
200
10G
306.375
z1
z2 z
z3
y
fig.3.b
.
y
z
G
mm.II
;mm..
..II
;mm.
.
y
4
7
333
2
482
3
2
3
2
3
1
1
105682
12
20015
12
10600
12
25012
1045712530715200
12
15200
375060010
12
60010
37530612250
12
12250
375306
152001060012250
56131520030610600
⋅=
⋅
+
⋅
+
⋅
==
⋅=⋅⋅+
⋅
+
+⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
==
=
⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅
=
61

62. Problema 3.c
90 12x
I 20
z1
z
z2
y
24.52
fig.3.c
G
( )
.109.110117
12
9012
;1096.252.24105.33102140
52.246.1001290
12
1290
;52.24
105.331290
6.1001290
464
3
2
47224
2
3
1
22
mmII
mm
II
mmy
y
z
G
⋅=⋅+
⋅
==
⋅=⋅⋅+⋅+
+−⋅+
⋅
==
−=
⋅+⋅
⋅⋅−
=
Problema 3.d
100
15 15
8
240
6 6
16.65
32
z1
z2
z
z3
y
y1 fig.3.d
G
U 10
62

63. ( )
.1067.510205326240
12
6240
2
12
1008
;1098.465.165.1351350
103.2965.166240
12
2406
265.1408100
12
8100
;65.16
1350262408100
5.13513501248100
4642
33
2
472
42
3
2
3
1
2
mmII
mm
II
mmy
y
z
G
⋅=⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
⋅
+
⋅
==
⋅=−+
+⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
==
=
+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅
=
Problema 3.e
;20
10601090
501060
;10
10601090
251060
1
1
mmy
mmz
G
G
=
⋅+⋅
⋅⋅
=
=
⋅+⋅
⋅⋅
=
10
100 90
20
30z2
10 15
z1
z
y1 y2
y
α1
fig.3.e
I
II
60 10x
( )( ) ;105.46003015090010200
;1013.415600
12
6010
10900
12
1090
;1051.130600
12
1060
20900
12
9010
45
452
3
2
3
462
3
2
3
mmI
mmI
mmI
zy
y
z
⋅=⋅⋅++⋅−−+=
⋅=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=
⋅=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=
( )
.264419;
2
0,0
;241570
2
264419;264419
;
1051.11013.4
105.42
2
;1052.2;1067.1
;105.4
2
1013.41051.1
2
1013.41051.1
///0
111
///0///0/////0/
65
3
45
2
46
1
25
25656
2,1
−=>⇒<>
=+−=−=
⋅−⋅
⋅⋅
=
⋅=⋅=
⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅−⋅
±
⋅+⋅
=
α
π
αα
π
αα
α
tgI
tg
mmImmI
I
zy
63

64. Capitolul 4
TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor
Se consideră un corp / solid, supus acţiunii unor forţe oarecare, în
echilibru, ca in fig.4.1a.
I
II
I I
N
N
ΔP
n
n
ΔA(S)
a) b) c)
-
-
-
-
-
t
dA
p
σ
τ
fig.4.1
După o prealabilă secţionare în două a corpului, se îndepărtează una
din părţi; pe suprafaţa S, în jurul punctului N, se va stabili un element de
suprafaţă de arie ΔA, definit de versorul normalei la suprafaţă, n (fig.4.1b).
Forţa de legătură, care trebuie introdusă ca urmare a secţionării
corpului şi îndepărtării uneia dintre părţi, forţă care revine ariei elementare
ΔA, se notează cu PΔ .
Expresia:
,lim
0
p
A
P
=
A Δ
Δ
→Δ
se numeşte tensiune totală, p , în punctul N.
Dacă prin acelaşi punct N se face o altă secţionare, se va obţine un alt
versor al suprafeţei elementare, o altă forţă de legătură corespunzătoare ariei
elementare şi, prin urmare, o altă tensiune totală. Deci, tensiunea totală într-
un punct este întotdeauna asociată cu versorul planului tangent la secţiunea
dusă prin acel punct.
64

65. Se descompune tensiunea totală p , după direcţia normalei la
suprafaţa n şi după direcţia conţinută în planul secţiunii, t ; cele două
componente notate cu σ şi τ, sunt tensiunea normală respectiv tensiunea
tangenţială, acestea satisfăcând relaţia (fig.4.1c):
,
222
τσ +=p
sau
.tnp τσ +=
Unitatea de măsură pentru tensiuni este [ : N/mm2
în SI.]2−
FL
Tensiunea tangenţială se poate descompune după două direcţii
perpendiculare pe normala la secţiune şi perpendiculare între ele (fig.4.2).
Dacă aceste direcţii sunt y şi z (axele secţiunii), axa x fiind normala la
secţiune, atunci componentele respective sunt τyx şi τzx; rezultă:
x (i)
z (k)
y (j)
N
τyx
τzx
σx
-
-
- fig.4.2
px
_
.kjip zxyxxx ⋅+⋅+⋅= ττσ
Referitor la notaţiile privind indicii tensiunilor, sunt necesare anumite
precizări, astfel:
- pentru tensiunea σ se utilizează un singur indice, care se referă la
normala la secţiune;
- pentru tensiunea τ se utilizează doi indici, primul se referă la axa cu
care este paralelă tensiunea, iar al doilea, la normala la secţiunea în care este
conţinută tensiunea.
Convenţia semnelor este următoarea: σ este considerată pozitivă când
trage de secţiune (tensiunea σ este în acest caz de întindere), iar tensiunile τ
se consideră pozitive când sunt orientate în sens contrar sensului pozitiv al
axelor după care acţionează.
Printr-un punct P din interiorul unui corp se pot duce numai trei plane
perpendiculare între ele (fig.4.3). Pe fiecare din aceste plane există o
tensiune totală p, cu trei componente; starea de tensiune spaţială într-un
punct este definită de nouă componente (este o mărime tensorială). Tabloul
celor nouă componente, notat cu Tσ, se numeşte tensorul tensiunilor în
punctul P:
65

66. x
y
z
pz
py
px
σz
σx
σy
τyzτxz
τzy
τxy
τzx
τyx
P
fig.4.3
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
σττ
τστ
ττσ
σ
Fiecare coloană a acestui tensor conţine cele trei componente ale
tensiunii totale corespunzătoare unuia din cele trei plane duse prin punctul P,
definite de versorii kji ,, , astfel:
.
;
;
kjip
kjip
kjip
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
σττ
τστ
ττσ
66

67. 4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangenţiale
Dintr-un corp solicitat se detaşează un element de volum, considerat
în jurul unui punct, având laturile dx, dy, dz.
Pe fiecare din feţele acestui element trebuie introduse toate tensiunile
existente (câte trei componente pe fiecare faţă), putându-se scrie, astfel,
ecuaţiile de echilibru pentru elementul considerat.
Deoarece interesează numai ecuaţia de moment faţă de una din axe
(de exemplu faţă de Oy), pe element s-au figurat numai tensiunile care
intervin în această ecuaţie, neglijându-se creşterile acestor tensiuni la
trecerea de la o faţă la alta a elementului (aceste creşteri reprezentând, în
ecuaţia de momente, variaţii mici de ordin superior). Sensul acestor tensiuni
nu se cunoaşte; se presupune că este cel ales în desen (fig.4.4), urmând ca în
ecuaţiile de momente să se confirme sau nu această ipoteză.
dxdy
dz
x
y
z
τxz
τzx
τxz
τzx
fig.4.4
O
Ecuaţia de momente faţă de Oy va avea forma:
( ) ( ) .;0 zxxzzxxz dxdzdydzdydx ττττ =→=− (1)
În mod similar, scriind ecuaţii de momente faţă de axele Ox şi Oz
(după ce în prealabil s-au reprezentat pe feţele elementului tensiunile care
intervin în aceste ecuaţii), se obţin:
;yzzy ττ = (2)
şi .xyyx ττ = (3)
Relaţiile (1), (2) şi (3) reprezintă legea dualităţii tensiunilor
tangenţiale, care se enunţă astfel:
67

68. „ Pe două plane care fac între ele un unghi de 900
, componentele
tensiunilor tangenţiale, perpendiculare pe linia comună a celor două plane,
sunt egale între ele ca mărime şi au sensurile fie convergente, fie divergente
faţă de această linie” (fig.4.5).
τ τ/
fig.4.5
90
0
4.1.2 Relaţii de echivalenţă între eforturi şi tensiuni în
secţiunea transversală a unei bare
Se consideră partea din dreapta a unei bare secţionate şi se reprezintă
eforturile din secţiune şi tensiunile într-un punct (fig.4.6).
x
z
y
Ty
Tz
N
Mx
Mz
My
fig.4.6
σx
τzx
τyx
dA
Echivalenţa dintre eforturi şi tensiuni se exprimă prin relaţiile (ecuaţii
de proiecţii, respective de moment):
( ) .dAyM;dAzM;dAyzM
;dAT;dAT;dAN
A
xz
A
xy
A
zxyxx
A
zxz
A
yxy
A
x
∫∫∫
∫∫∫
⋅=⋅=⋅+⋅−=
===
σσττ
ττσ
Tensiunile şi eforturile sunt mărimi static echivalente, ele constituind
două moduri de reprezentare a forţelor interioare de pe o secţiune
transversală a barei.
68

69. 4.2 Deformaţii specifice. Tensorul deformaţiilor
4.2.1 Deformaţia specifică liniară
O bară având lungimea iniţială l, în urma solicitărilor mecanice îşi
modifică această dimensiune cu cantitatea Δl = l1 – l, unde Δl este
deformaţia liniară totală, putând fi vorba de alungire totală sau scurtare
totală (fig.4.7).
l Δl
l1
fig.4.7
Raportul:
,1
l
ll
l
l −
=
Δ
=ε
se numeşte deformaţie specifică liniară şi reprezintă deformaţia unui tronson
de bară de lungime egală cu unitatea; poate exista o alungire specifică, caz
ăn care deformaţia se consideră pozitivă sau o scurtare specifică, în care caz
deformaţia se consideră negativă.
Pentru un element de volum cu laturile dx, dy şi dz, deformaţiile
liniare totale după cele trei direcţii sunt Δ(dx), Δ(dy), Δ(dz), iar deformaţiile
specifice liniare:
( ) ( ) ( );,,
dz
dz
dy
dy
dx
dx
zyx
Δ
=
Δ
=
Δ
= εεε
ε reprezintă o mărime adimensională.
4.2.2 Deformaţia specifică unghiulară
În urma deformaţiei unghiurile drepte ale unui corp se modifică
(fig.4.8), potrivit relaţiei:
;11
ab
bb
ab
bb
arctg ≈=γ
69

70. în care γ este deformaţia specifică unghiulară sau lunecarea, ce indică cu cât
se modifică unghiul drept în urma deformării.
b b1 d d1
a c
γ γ
fig.4.8
Convenţional, se consideră deformaţia specifică unghiulară pozitivă
când unghiul drept se micşorează şi negativă, când unghiul drept se măreşte.
Tabloul (matricea) componentelor deformaţiei specifice, notat cu Tε,
pentru un element de volum considerat în vecinătatea unui punct, se numeşte
tensorul deformaţiilor, scriindu-se prin analogie cu tensorul tensiunilor:
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
εγγ
γεγ
γγε
ε
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor
Diagrama caracteristică a oţelului. Relaţia fizică între tensiuni şi
deformaţii specifice pentru diverse materiale se stabileşte pe cale
experimentală, prin încercarea la diverse solicitări a unor epruvete
confecţionate din materialele respective.
Bunăoară încercarea la întindere pentru oţel se face pe epruvete care
au forma şi dimensiunile standardizate (fig.4.9).
d0
l0
P P
fig.4.9
70

71. Corpul cilindric al epruvetei este cotat cu d0 – diametrul şi l0 –
lungimea, măsurată între două repere suficient de depărtate de capetele
epruvetei.
Cu ajutorul unei maşini de încercat, epruveta se supune la întindere,
forţa P aplicându-se lent. În timpul încercării, la diverse trepte de încărcare
P1, P2, ..., se măsoară deformaţia liniară totală a epruvetei, Δl1, Δl2, ...;
reprezentând grafic perechile de valori (P, Δl) se obţin o serie de puncte prin
care se trasează diagrama încercării la întindere, diagramă care, evident,
depinde de dimensiunile epruvetei (fig.4.10).
P
Δl
fig.4.10
Se poate trasa însă o diagramă independentă de dimensiunile
epruvetei, prin succesiunea de puncte ale căror coordonate sunt σ şi ε, cu:
;,
00 l
l
A
P Δ
== εσ
aici A0 este aria secţiunii transversale iniţiale a epruvetei, iar l0, lungimea
iniţială a acesteia.
Diagrama astfel obţinută este ceea ce specialiştii numesc diagrama
caracteristică sau curba caracteristică a oţelului.
Încercând până la rupere o epruvetă confecţionată dintr-un oţel de
construcţii (cu conţinut redus de carbon – oţel moale), se înregistrează curba
caracteristică din fig.4.11.
Punctele caracteristice ale unei asemenea diagrame sunt:
(1) σp – limita de proporţionalitate, respectiv valoarea tensiunii σ
până la care, încărcând şi descărcând epruveta, nu se obţine nici o
deformaţie remanentă.
(2) σe – limita de elasticitate, respectiv valoarea tensiunii σ la care
prin descărcare se provoacă în epruvetă o deformaţie remanentă
de 0,01%. Această valoare stabilită convenţional, defineşte limita
de elasticitate tehnică, σ = σ0,01.
71

72. 1
2
3 4
M
5
6
6
M0
fig.4.11
curba reala
curba conventionala
σp
σe
σc
σr
εp εe
εM
εr
σ
ε
α
/
Ο
(3) σc – limita (rezistenţa) de curgere, respectiv valoarea tensiunii la
care deformaţia barei creşte fără ca încărcarea să crească. La
descărcare, se constată deformaţii remanente ale epruvetei.
(5)σr – limita (rezistenţa) de rupere, măsurată prin ordonata maximă a
diagramei caracteristice.
În intervalul O÷2, tensiunea σ poate fi exprimată prin relaţia:
;, Etgtg =⋅= ααεσ
în care E – modul de elasticitate longitudinal.
Se reţine aici legea lui Hooke (σ = E ⋅ ε), conform căreia în zona de
comportare elastică a materialului, tensiunile sunt proporţionale cu
deformaţiile specifice.
În punctul (3) începe zona de curgere, în material producându-se un
dezechilibru, o reaşezare a moleculelor, zona 3÷4 definind un aşa numit
palier de curgere.
Din punctul (4) începe reconsolidarea materialului, deformaţia
epruvetei crescând o dată cu creşterea încărcării.
Zona 4÷5 defineşte ceea ce în metalurgie poartă numele de zonă de
consolidare.
În fine, ruperea efectivă a materialului se produce în punctul (6).
72

73. Se face precizarea că diagrama caracteristică a oţelului aici
reprezentată este o diagramă convenţională, deoarece ordonatele de pe
această diagramă s-au obţinut raportând valoarea forţei respective la aria
secţiunii iniţiale a epruvetei. În realitate, pe măsură ce forţa aplicată creşte,
epruveta se alungeşte, deci îşi micşorează dimensiunile secţiunii
transversale. Această micşorare este, însă, nesemnificativă până în
apropierea punctului (5), când începe ştrangularea epruvetei.
Pe zona ştrangulată se observă, înainte de rupere, linii (striuri)
orientate la 450
faţă de axa de rupere (fig.4.12).
fig.4.12
45
0
Ruperea se produce, astfel, în partea centrală a secţiunii transversale a
epruvetei (zonă cu aspect rugos), datorată tensiunii normale σmax, pe când în
partea marginală, având unghiul de înclinare de 450
, ruperea este cauzată de
tensiuni tangenţiale τmax.
Punctul M de pe diagrama caracteristică, punct situat pe diagramă
după limita de curgere a materialului, are drept abscisă εM = εp+ εe, εp fiind
deformaţia specifică plastică sau remanentă, care este o deformaţie
ireversibilă după descărcare, iar εe, deformaţia specifică elastică, care este o
deformaţie reversibilă.
Punctul (6) de pe curba caracteristică are drept abscisă deformaţia
specifică liniară la rupere. Această deformaţie se măsoară după ruperea
epruvetei, deci de fapt se măsoară numai deformaţia specifică remanentă. Pe
diagramă, abscisa punctului (6) se obţine printr-o paralelă la dreapta O÷1; εr
reprezintă deformaţia specifică liniară la rupere a materialului.
Informativ, pentru epruvete din OL37, valorile caracteristice sunt:
%.2826%
;/101.2
;/200
;/240210
;/450370
25
2
2
2
÷=
⋅=
=≈
÷=
÷=
r
pe
c
r
mmN
mmN
mmN
mmN
σ
E
ε
σ
σ
σ
73

74. Pentru materialele casante, a căror diagramă caracteristică este
trasată în figura 4.13 (diagramă fără palier de curgere), se defineşte σ0,2 –
limita tehnică de curgere, ce reprezintă, convenţional, valoarea tensiunii
pentru care, la descărcare, deformaţia specifică este de 0,2%.
σ
ε
0.2%
σ0.2
fig.4.13
Încercarea la compresiune pentru oţel se realizează pe epruvete de
formă cilindrică cu înălţimea egală cu diametrul, şi în acest caz datele fiind
standardizate.
Diagramele caracteristice la compresiune se trasează de obicei pe
aceeaşi diagramă cu diagrama caracteristică la întindere. În zona de
compresiune elastică cele două diagrame sunt identic antisimetrice
(fig.4.14).
fig.4.14
σ
ε
Ο
−ε
−σ
74

75. Diagrama caracteristică la întindere este o diagramă convenţională, pe
când diagrama caracteristică la compresiune este o diagramă reală.
Ruperea oţelurilor solicitate la compresiune se realizează numai în
cazul oţelurilor casante (epruvetele se sparg); în cazul oţelurilor ductile,
epruvetele se turtesc, fără a se rupe.
Încercarea la torsiune pentru oţel se efectuează pe epruvete tubulare
cu grosimea peretelui mică.
Diagrama caracteristică la torsiune este similară cu diagrama
caracteristică la întindere, pe baza ei obţinându-se graficul funcţiei τ = f(γ)
(fig.4.15).
fig.4.15Ο
β
γ
τ
τr
τc
τe
τp
Până la limita de proporţionalitate (τp), practic până la limita de
elasticitate (τe), este valabilă legea lui Hooke - τ = γ⋅G; G = tgβ, reprezintă
modulul de elasticitate transversal ( la OL37, G = 8,1⋅104
N/mm2
).
4.4 Diagrame caracteristice schematizate
Diagramele caracteristice obţinute pe cale experimentală pentru
diverse materiale, nu se recomandă a fi utilizate în calculele de proiectare,
aceasta impunând reevaluări pentru schematizarea lor.
Astfel, pentru materialele casante se adoptă o diagramă
corespunzătoare unui material având o comportare ideal elastică. Diagrama
75

76. este reprezentată până la limita de rupere printr-o dreaptă a cărei pantă este E
= tgα (fig.4.16).
σ
σr
α
εr
ε
fig.4.16
Ο
Pentru materialele ductile se adoptă diagrama Prandtl corespunzătoare
unui material ideal elasto-plastic, în care caz până la limita de curgere
materialul are o comportare ideal elastică (dreapte 0÷1 de pantă E = tgα) iar
apoi o comportare ideal plastică (dreapta 1÷2, paralelă cu axa Oε), ca în
fig.4.17.
σ
σc
α
ε
fig.4.17
Ο
1 2
De menţionat că pentru materialele ductile se mai adoptă uneori o
diagramă corespunzătoare unui material elasto-plastic cu consolidare, iar în
76

77. ceea ce priveşte cele două drepte prin care se prezintă cele două moduri de
comportare a materialului (elastic, respectiv, plastic), acestea au pante
diferite (E = tgα; E1 = tgβ; E1< E), vezi fig.4.18.
σ
σc
α
ε
fig.4.18
Ο
1
2
β
77

78. Capitolul 5
SOLICITAREA AXIALĂ CENTRICĂ
5.1 Forţa axială. Tensiuni de întindere – compresiune
Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă supusă acţiunii unui
sistem de două forţe P egale şi de sens contrar, aplicate la capetele barei, în
lungul axei longitudinale a acesteia.
Secţionând bara cu un plan normal pe axă, în secţiunea transversală
apare o forţă axială N = P. Se spune că secţiunea transversală este solicitată
axial.
P P
PP N N
x
x
fig.5.1
Solicitarea axială este de întindere dacă forţele trag de bară (fig.5.1)
sau de compresiune când forţele converg spre bară (fig.5.2).
P P
fig.5.2
În vederea determinării mărimii şi legii de distribuţie a tensiunilor,
problema comportă următoarele aspecte:
78

79. Aspectul geometric
Dacă pe bară se marchează conturul unei secţiuni transversale, se
constată că după încărcare, conturul se deplasează paralel cu el însuşi;
alungirile şi, corespunzător alungirile specifice sunt constante pe contur
(fig.5.3).
x
x u
l Δl
NN
fig.5.3
Este normal ca să se admită că, în interiorul barei, deformaţiile sunt
egale (este valabilă ipoteza secţiunilor plane).
Aspectul fizic
Dacă în secţiunea x, în toate punctele secţiunii transversale, u = ct. şi ε
= ct., din legea lui Hooke rezultă că şi tensiunile normale sunt constante,
deci se distribuie uniform pe secţiune, adică:
.ctE =⋅= εσ
Aspectul static
Se ştie că (fig.5.4):
,AdAdAN
A A
⋅=== ∫ ∫ σσσ
ceea ce implică faptul că tensiunea normală se distribuie uniform pe secţiune
cu intensitatea σ = Ν/Α.
A
N
dA
σ
x
fig.5.4
79

80. 5.2 Deformaţii şi deplasări
Conform legii lui Hooke, alungirea sau scurtarea specifică se
calculează cu relaţia:
.
EA
N
A
N
dar
E
=⇒== εσ
σ
ε
O bară având modulul de elasticitate longitudinal E = ct. şi aria A =
ct., de lungime l, se va alungi sub acţiunea unei forţe de întindere N cu:
;
EA
lN
ll =⋅= εΔ
produsul E⋅A se numeşte rigiditate la întindere sau compresiune.
Dacă se pune problema determinării deplasării unui punct oarecare al
barei solicitate axial, chestiunea se reduce la calculul unei alungiri sau
scurtări (după cum forţa axială este de întindere sau compresiune).
Fie cazul unei bare solicitate axial ca în figura 5.5:
H =NA
N
A C C B
x uC
l Δl
/
fig.5.5
Pentru punctul C, deplasarea CC/
va fi:
.
EA
xN
u
⋅
=C
5.3 Dimensionarea, verificarea, forţa capabilă
Se pleacă de la relaţia de calcul a tensiunii normale σ, în cazul
solicitării axiale:
.
A
N
=σ
80

81. Verificarea Se dau secţiunea efectivă a barei Aef şi forţa axială
suportată de aceasta; se cere verificarea barei cunoscând rezistenţa
admisibilă σa sau rezistenţa de calcul R, astfel:
;max
max a
ef
ef
ef
A
N
σσ ≤= prin metoda rezistenţelor admisibile
sau
;max
max R
A
N
ef
ef
ef
≤=σ prin metoda stărilor limită.
Dimensionarea Se cere să se dimensioneze secţiunea cunoscându-se
forţa axială suportată de bară şi rezistenţa admisibilă (rezistenţa de calcul);
se obţin relaţiile:
;max
a
ef
nec
N
A
σ
= prin metoda rezistenţelor admisibile,
respectiv,
;max
R
N
A
ef
nec = prin metoda stărilor limită.
Forţa capabilă Cunoscând secţiunea barei şi rezistenţa admisibilă
(rezistenţa de calcul), se calculează forţa capabilă:
;aefcap AN σ⋅= prin metoda rezistenţelor admisibile
şi
;RAN efcap ⋅= prin metoda stărilor limită.
Uneori sunt impuse condiţii restrictive cu privire la deformaţii; relaţia
de verificare în acest caz este de forma:
( ) ;max al Δ≤Δ
cu Δa – deformaţia admisibilă a barei.
5.4 Bare cu secţiune variabilă solicitate la întindere
Există cazuri când secţiunea barei este slăbită de găuri sau crestături
practicate din motive de ordin funcţional sau constructive.
Neglijând concentrările de tensiuni care apar datorită acestor slăbiri
locale, se va lucra cu secţiunea efectivă a barei.
Secţiunea întregă neslăbită (Abr) este denumită secţiune brută,
secţiunea slăbită (Anet) secţiune netă, iar aria slăbirii ΔA.
81

82. Relaţia de legătură va fi, evident:
.AAbrnetA Δ−=
Se ilustrează în figura 5.6 situaţia în care secţiunea variază datorită
prezenţei găurilor de nit în secţiune:
d
bN
NN
N
t
t
fig.5.6
Secţiunea cea mai mică dintre secţiunile slăbite este secţiunea netă;
aceasta fiind secţiunea periculoasă, în această secţiune vor fi făcute calculele
de rezistenţă. În cazul ales, pentru o platbandă (fig.5.6):
.2 dttbnetA ⋅−⋅=
5.5 Calculul barelor întinse ţinând seama de greutatea proprie
În cazul barelor foarte lungi sau cu secţiune mare comparativ cu
lungimea, trebuie luată în considerare şi greutatea proprie a barei. Fie o bară
cu A aria secţiunii transversale şi γ greutatea specifică a materialului
(fig.5.7); astfel, se calculează:
( )
;
;.
;
max lqPNN
ctAq
xlqPN
B
x
⋅+==
=⋅=
−+=
γ
.
;
;
l
P
A
lAPA
lAPN
A
a
nec
necanec
a
nec
a
B
nec
⋅−
=
⋅⋅+=⋅
⋅⋅+
==
γσ
γσ
σ
γ
σ
82

83. N = P + AlB γ
N = PA
N
fig.5.7
l
x
q
P
A
B
Barele la care tensiunile maxime
fig.5.8P
sunt egale cu σa în toate secţiunile se
numesc bare de egală rezistenţă, ele
constituind şi cazul cel mai favorabil
pentru opţiuni tehnologice,(fig.5.8),
realizarea practică necesitând, însă,
foarte multă manoperă. Soluţia este o
bară cu secţiunea variind descrescă-
tor, în trepte, fiecare porţiune având
un anumit diametru (fig.5.9). O ase-
menea figură compusă se întâlneşte, de exemplu, în construcţia braţului unor
tipuri de macarale sau alte utilaje specifice domeniului de construcţii.
A3
A2
A1
l3
l2
l1
N = N + G3 2 3
N = N + G2 1 2
N = F + G1 1
F
N
F fig.5.9
83

84. Potrivit acestei configurări, se fac următoarele determinări:
( )( )
( )( )( )
.
;
;
332211
2
33
2
3
221122
1
2
11
1
lll
F
l
N
A
ll
F
l
N
A
l
F
A
aaa
a
a
aa
a
a
a
γσγσγσ
σ
γσ
γσγσ
σ
γσ
γσ
−−−
=
−
=
−−
=
−
=
−
=
Deformaţii Alungirea specifică a elementului de lungime dx
considerat, conform relaţiei de definiţie, este:
;
dx
dx
x
Δ
=ε
din legea lui Hooke:
;dx
E
dx
dx
dx
E x
x
σ
σ =Δ⇒
Δ
=
dar .
1
dxx
A
P
E
dxx
A
P
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ⇒+= γγσ
Integrând pe lungimea l, se obţine alungirea totală a barei:
;
2
11
;
2
11 2
00
lAlP
EA
l
l
l
A
P
E
dxx
A
P
E
dxl
ll
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ=Δ ∫∫
γ
γ
γ
cu notaţia .
2
11
lGP
EA
lAlG ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ⇒= γ
5.6 Sisteme static nedeterminate la forţe axiale
Un sistem este static nedeterminat când numărul necunoscutelor
depăşeşte numărul ecuaţiilor de echilibru.
Pentru rezolvare se foloseşte metoda compatibilităţii geometrice a
deplasărilor: se scriu ecuaţiile de echilibru static, care se completează cu
numărul de condiţii de compatibilitate geometrică a deplasărilor, egal cu
gradul de nedeterminare statică.
84

85. 5.6.1 Bare cu secţiuni neomogene
Dacă bara are secţiunea constantă şi omogenă atunci tensiunea este
constantă în secţiune. În practică se folosesc însă, cel mai adesea, bare cu
secţiuni neomogene, în sensul că secţiunea acestora este compusă din două
sau mai multe materiale cu caracteristici mecanice diferite.
Este cazul stâlpilor de beton cu armături de oţel sau al cablurilor de
cupru cu inimă de oţel. Se pune problema determinării modului de
repartizare a tensiunilor într-o astfel de secţiune dacă se cunoaşte forţa axială
aplicată întregii secţiuni. Solicitarea produce în cele două materiale din
secţiune tensiuni σ de valori diferite.
Fie cazul barei din fig.5.10, cu secţiunea constantă, alcătuită din două
materiale diferite (acestora corepunzându-le modulele de elasticitate E1 şi
E2), cu ariile secţiunilor transversale A1 şi A2; bara este solicitată axial de
forţa F.
F F
N1
N2
F
E , A1 1
E , A2 2
fig.5.10
Dacă N1 şi N2 sunt forţele axiale preluate de cele două materiale, din
condiţia de echilibru static se poate scrie:
.21 NNF +=
Întrucât cele două materiale sunt solidarizate între ele, deformaţia va
fi aceeaşi pentru fiecare material; aceasta reprezintă condiţia de
compatibilitate geometrică (de deformaţie), astfel:
;21 lll Δ=Δ=Δ
85

86. ;;
22
2
2
11
1
1
AE
lN
l
AE
lN
l =Δ=Δ
sau
.
22112211
21
22
2
11
1
AEAE
F
AEAE
NN
AE
N
AE
N
+
=
+
+
==
Tensiunile în cele două materiale vor fi:
.
;
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
a
i
ii
a
i
ii
AE
EF
A
N
AE
EF
A
N
σσ
σσ
≤==
≤==
∑
∑
=
=
5.6.2 Bară dublu articulată
Se consideră o bară dreaptă, de rigiditate EA, articulată la ambele
capete şi încărcată cu forţa P de-a lungul axei în punctul M (fig.5.11). Se
pune problema determinării reacţiunilor HA şi HB din articulaţii.
HA A M P B HB
a b
l
HA
HB
N
fig.5.11
+
-
Pentru aceasta, se pleacă de la ecuaţia de echilibru static.
,0=−+ PHBAH
ecuaţie cu două necunoscute, căreia îi vom asocia ecuaţia suplimentară de
86