Un breve suplemento de álgebra para 4º de la ESO,1º y 2º de bachillerato.

1. Perlas e incógnitas

2. En estas diapositivas se muestra un problema
extraido de la obra El hombre que calculaba de
Malba Tahan, con motivo de hacer una
atractiva introducción al estudio del Álgebra y a
los métodos de resolución de ecuaciones
propios de 4º ESO y 1º y 2º de Bachillerato,
además como motivación y ejercicio de la
practica matemática como ejercicio conjunto de
razonamiento lógico y creatividad.

3. Conociendo al autor
Malba Tahan, entre otros,
es el pseudónimo de Julio
César de Mello y Souza,
profesor y escritor
brasileño (1895-1974).
Durante su vida escribio
alrededor de 120 libros,
incluyendo cuentos, textos
de divulgación y
enseñanza de las
Matemáticas, así como
inovadores desarrollos
pedagógicos.

4. Conociendo la obra
El hombre que calculaba
fue escrito en 1938. En el
año 2001 llegó a su 54a
edición. En él, el autor
pone en boca de Beremiz
Samir una serie de
problemas matemáticos
combinados con una
delicada redacción y
poniendo en manifiesto el
interes de Mello y Souza
por la culturas de Oriente
Medio.

5. Enunciado
Un rajá dejo un cierto número de perlas como herencia a
sus hijas y bajo las siguientes condiciones para su reparto.
A la hija mayor se le dejaria tomar una perla y después se
le adjudicaria una septima parte de lo que quedase. A la
segunda, tomar dos perlas y otro septimo de lo que
quedase. Y así sucesivamente para el resto de las hijas.
Las más jovenes presentaron sus quejas al juez, ya que,
según ellas, recibirían menos que las primeras.
El juez, habil en la resolución problemas, concluyó que el
reparto era justo, pues a cada hija le correspondía el
mismo número de perlas que al resto de sus hermanas.
¿Cúal es el número de perlas y el número de hijas?

6. Definiendo una estrategia
Aunque este problema tiene un enunciado
propenso a aplicarle los métodos de la
Aritmética, vamos a darle un enfoque
algebraico, considerando y trabajando en todo
momento con el número total de perlas que
forman esta misteriosa herencia.
La ventaja de seguir este método, además de
reducir mucho el número de variables es que
presenta una sorpresa en su solución.

7. Pasemos a plantear la solución. Lo primero que
hemos de hacer es definir una incognita. En
este problema se nos presenta dos, el número
de perlas que consta la herencia y el número
de hijas que tiene el rajá.
Sabemos que el reparto es equitativo, siendo la
cantidad de perlas herada por cada hija igual a
la de las otras, luego empezaremos definiendo
el número de perlas que reciben la primera y
segunda hija en función del número de perlas
en total.

8. Definimos x como el número de perlas que
forma la herencia y n al número de hijas del
rajá. Tal como se plantea el enunciado,
podemos expresar el número de perlas que
han extraido la primera y segunda hija. Según
esto, la primera coge una perla y una septima
parte de las que queda, que son todas menos
la que ha sustraido.
En términos algebraicos, podríamos decir que
ha cogido una perla más una septima parte de
x-1 (donde hemos tenido en cuenta la perla
que ha cogido con anterioridad)

9. Ahora toca usar el lenguje matemático. Así
pues, todo lo anterior indica con seguridad que
el número de perlas de la herencia asociadas a
la hija mayor es de:
1
nº de perlas de la primera hija : 1+ ( x−1)
7

10. Aplicando este proceso a la segunda hhija,
sabemos que ha tomado dos perlas más un
septimo de lo que quedaba. Tenemos que
definir, como antes, esta cantidad. De las x
perlas iniciales hay que restarles las
adjudicadas a la hija mayor menos las dos que
tomo la segunda con anterioridad. Así pues:
1 (6+ x)
nº de perlas de la segunda hija : 2+ ( x− −2)
7 7

11. Ahora, como todas las hijas reciben el mismo
número de perlas, la herencia correspondiente
de la primera y segunda hija han de ser
iguales. Así pues:
1 1 (6+ x)
1+ ( x−1) = 2+ ( x− −2)
7 7 7
( x+ 6) 1 7x (6+ x+ 14)
= 2+ ( − )
7 7 7 7
(6x−20)
( x+ 6) = 14+
7
7x+ 42 = 98+ 6x−20
7x−6x = 98−20−42
x = 36

12. Con un poco de reflexión, el lector habrá ciado
en la cuenta que para resolver el problema se
han recurrido a los métodos de igualación y
reducción de expresiones, muy frecuentes en
la resolución de problemas con una y dos
incógnitas, y es exactamente lo que se ha
hecho.
Los métodos algebraicos anteriores, aunque se
pueden considerar muy simples en su
definición, son herramientas muy poderosas
que nos permiten acercarnos a la solución de
cualquier problema surgido en las muchas
ramas de las ciencias Matemáticas.

13. Calculemos el números de hijas del rajá, n.
Según las condiciones del enunciado, este ha
de ser tal que si dividimos el número de perlas
entre el número de hijas nos ha de dar la
cantidad de perlas que recibe cada hija.
Veamos primero este número, que es
calculable con los datos y la información que
tenemos.
Si x=36 perlas, y sabiendo lo que recibe, por
ejemplo, la primera hija, tenemos que:
1
1+ (36−1) = 1+ 5 = 6
7

14. Y al ser la cantidad de perlas que recibe cada
hija igual a la de las otras y las consideraciones
entabladas en las diapositivas anteriores
podemos concluir con mucha seguridad que el
numero buscados es:
36 = 6⋅n
n = 6 hijas tiene el rajá

15. Observaciones
La belleza de los enunciados de la obra de
Malba Tahan radica no solo en la originalidad
de los métodos de resolución de los problemas
numéricos, sino también en su contenido.
La solución de este problema pasa por un tipo
de número denominado perfecto. Estos
números poseen la propiedad de expresarse
como suma de sus divisores. Así pues, vemos
2
que 6=1+2+3 y 36=6 , siendo el cuadrado de
un número perfecto.

16. Bibliografia
Algunos títulos acordes con los contendos aqui
tratados son los siguientes:
● El enigma de Fermat. Tres siglos de desafio a la
matemática. Albert Violant, ed. RBA
● Los números primos. Un largo camino al infinito,
Enrique Gracián, ed. RBA.
● Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, A.J.Durán,
ed. Barcelona, Destino.