1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE
TORREÓN
Procesos Industriales Área de Manufactura
Irene Alejandra Cordero Acosta
Estadística
“Prueba de Hipótesis e Intervalos de Confianza”
UNIDAD III
Torreón, Coahuila
A 18 de abril de 2012
Estadística 1

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Prueba de Hipótesis
1.- Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de
relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón
suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de esta
marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketing
realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados
aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta
marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media =
169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las
ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel
de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se
considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?
n = 51
H0: ( = 170000
H1: ( < 170000
a = 0,05
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2.- Se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor para los
sistemas de salida de emergencia en aeronaves. (Esta rapidez es una variable
aleatoria con alguna distribución de probabilidad). Especialmente interesa la
rapidez de combustión promedio (que es un parámetro (m) de dicha
distribución). De manera más específica, interesa decidir si esta rapidez promedio
es o no 50 cm/seg.
El planteamiento formal de la situación se realiza en términos de una Hipótesis
Nula (que es la proposición que se quiere poner a prueba) y una Hipótesis
Alternativa, la cual se aceptará si se rechaza la hipótesis nula:
Hipótesis Nula: H0: m = 50 cm/seg
Hipótesis Alternativa: H1: m 50 cm/seg
3.- Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus
representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos
representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una
muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas
semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99%
para aclarar esta cuestión.
( = 40
n=8
Nivel de confianza del 99%
Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005
H0: ( = 40
H1: ( > 40
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Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7
a = 0,005
4.- Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el
tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada
semana se distribuye normalmente con una media de 22 horas y desviación
estándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de
mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una
muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendo
como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.
Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.
n = 64
a = 5% = 0,05
H0: ( = 22
H1: ( > 22
a = 0,05
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5.- Un error de tipo I cuando m=50, pero x para la muestra considerada cae en la
región crítica y se cometerá un error de tipo II cuando m 50 pero x para la
muestra considerada cae en la región de aceptación; calcular a para el ejemplo
de la rapidez de combustión para una muestra de N=10 datos, suponiendo que la
desviación estándar de la rapidez de combustión es s=2.5 cm/seg.
Calcular a del ejemplo anterior para
a) los nuevos límites de la región de aceptación 48 y 52.
b) Para N=16 con los límites originales
c) con ambas modificaciones
a) a = normcdf(48,50,0.79) + (1-normcdf(52,50,0.79)) = 0.0114
b) a = normcdf(48.5,50,0.625)+(1-normcdf(51.5,50,0.625)) = 0.0164
c) a = normcdf(48,50,0.625)+(1-normcdf(52,50,0.625)) = 0.0014
6.- Los empleados de una compañía eligen uno de tres posibles planes de
pensión. La gerencia desea saber con a=0.05 si la preferencia en la elección es
independiente de la clasificación del contrato (asalariados y por horas). De una
muestra aleatoria de 500 empleados se obtiene la siguiente tabla de
contingencia
Tipo de contrato Plan 1 Plan 2 Plan 3 Total
Asalariados 160 140 40 340
Por Horas 40 60 60 160
Total 200 200 100 500
La variable de interés es la preferencia de los empleados por los planes de
pensión
H0: La preferencia es independiente del tipo de contrato
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H1: La preferencia no es independiente del tipo de contrato
a=0.05
c r (Oij E ij ) 2
El estadístico de prueba es χ 2
j 1 i 1 E ij
Como r=2, c=1, c2 tiene 2 grados de libertad, por lo tanto H0 debe rechazarse
si c2> c20.05,2=5.99
Cálculos: c2 = 49.63
Como 49.63>5.99, Se rechaza la hipótesis de independencia. El valor P para c2
= 49.63 es P=1.671x10-11
Rechazar H0 si la rapidez promedio de combustión m es mayor que 52 cm/seg o
menor que 48 cm/seg. Dada la simetría sólo se requiere evaluar la probabilidad
de aceptar H0: m=50 cuando el valor verdadero es m=52.
b = normcdf(51.5,52,0.79) - normcdf(48.5,52,0.79) = 0.2643
7.- Un diseñador quiere reducir el tiempo de secado de una pintura. Se prueban
dos fórmulas de pintura. La fórmula 1 es la normal y la fórmula 2 posee un
ingrediente secante que se espera reduzca el tiempo de secado. Se sabe que el
tiempo de secado tiene una desviación estándar de 8 min y que ésta no se
afecta con la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especímenes con la
fórmula 1, y 10 con la fórmula 2, obteniéndose tiempos promedio de secado de
x1=121 min, y x2=112 min. Respectivamente. ¿A qué conclusión se llega sobre la
eficacia del nuevo ingrediente utilizando a=0.05?
Cantidad de interés: m1 - m2
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H0: m1 = m2
H1: m1 > m2 (se busca evidencia fuerte que indique que el tiempo de secado
promedio de la muestra 2 es menor)
a=0.05
El estadístico de prueba es
H0 se rechazará si z>z0.05 = 1.645
Sustituyendo los datos, obtenemos z=(121-112)/(12.8)1/2=2.52
z = 2.52 > 1.645 se rechaza H0 con un nivel de significancia a=0.05
8.- Un embotellador de refresco desea estar seguro de que las botellas que usa
tienen en promedio un valor que supera el mínimo de présión de estallamiento de
200 psi. El embotellador puede formular una prueba de hipótesis de dos maneras:
H0: m=200 psi H0: m=200 psi
H1: m>200 psi H1: m<200 psi
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Intervalos de Confianza
1.- Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo de
confianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es:
100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025
El 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad de
obtener un punto fuera de ese intervalo.
Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos que
para un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960.
C.I. Multiplicador Z /2
99 2.576
95 1.960
90 1.645
85 1.439
80 1.282
Para tamaños de muestra >30, o conocida usar la distribución Normal
Para muestras de menor tamaño, o desconocida usar la distribución t
El ancho del intervalo de confianza decrece con la raíz cuadrada del tamaño de
la muestra.
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2.- resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi
media puntual:
X media = 28.08 con S = 1.02
intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con n-1=3
grados de libertad)
Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)
3.- Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala
de depresión.
2 5 6 8 8 9 9 10 11
11 11 13 13 14 14 14 14 14
14 15 15 16 16 16 16 16 16
16 16 17 17 17 18 18 18 19
19 19 19 19 19 19 19 20 20
Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional,
asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional
desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s =18,7. Luego, un
intervalo de confianza aproximado es
Luego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje
promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.
4.- En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412
mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6%
eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres
hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:
Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianza
de 95%.
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5.- El promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media
nacional de 3250 gramos. Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la
población en estudio, se obtuvo:
= 2930
s= 450
n= 30
Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se
obtiene:
Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianza
de 95%.
Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis,
entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).
6.- Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar
la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una
semana. La semana encontró que la distribución de cantidades gastadas por
semana tendía a seguir una distribución normal, con una desviación estándar
de $5. Una muestra de de 64 fumadores reveló que  = $20.
¿Cuál es el estimador de intervalo de confianza de 95% para la μ?
n = 64= 20σ= 5N.C = 95% = .9500
1 - .9500 = .0500 2 = .0250
Intervalo de confianza
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.
7.- María considera postularse para la alcaldía de la ciudad de Torreón. Antes
de solicitar la postulación, decide realizar una encuesta entre los electores de
Carolinas. Una muestra de de 400 electores revela que 300 la apoyarían en las
elecciones de noviembre. Construya un intervalo de confianza del 99% para la
proporción poblacional
.9900 = .0100 2 = .0050
n = 300x = 15 p = x/n = 15/300 =0.05 N.C = 80%
Intervalo de confianza =
8.- La Doctora Burgos es profesora de inglés. Hace poco contó el número de
palabras con faltas de ortografía en un grupo de ensayos de sus estudiantes.
Observó que la distribución de palabras con faltas de ortografía por ensayo se
regía por una distribución normal con una desviación estándar de 2.44 palabras
por ensayo. En su clase de 40 alumnos de las 10 de la mañana, el número medio
de las palabras con faltas de ortografía fue de 6.05. Construya un intervalo de
confianza de 90%
n = 40= 6.05σ= 2.44N.C = 90% = .9000
.9000 = .1000 2 = .0500
Intervalo de confianza
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