Limite lista 1

224 visualizações

Publicada em

  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Limite lista 1

  1. 1. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 1 Caro aluno, aprender exige esforço e perseverança. Grandes conquistas exige grandes esforços. Bons estudos! A resolução dos exercícios propostos demonstra a possibilidade de resolução apenas aplicando a substituição do valor à qual o limite tende. 1. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3𝑥2 − 5𝑥 + 2) = Para resolver o limite, vamos substituir o "x" pelo 1. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3 ∙ 22 − 5 ∙ 2 + 2) = 4 Observe o gráfico e verifique a resolução ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐) = 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 2. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥2 + 2𝑥 − 3 4𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)2 + 2 ∙ (−1) − 3 4 ∙ (−1)− 3 = −4 −7 = 4 7 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟒 𝟕 __________________________________________________________________________________________ 3. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 2𝑥2 − 𝑥 + 1 3𝑥 − 2 ) 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 2 ∙ 12 − 1 + 1 3 ∙ 1 − 2 ) 2 = 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 ( 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟐 ) 𝟐 = 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 4. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 √ 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 √ (−2)3 + 2 ∙ (−2)2 − 3 ∙ (−2) + 2 (−2)2 + 4 ∙ (−2) + 3 = −2 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 √ 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = −𝟐 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 5. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 4𝑥2 − 7𝑥 + 5 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 4 ∙ 12 − 7 ∙ 1 + 5 = 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟓 = 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 6. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)3 − 2 ∙ (−1)2 − 4 ∙ (−1) + 3 = 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟒
  2. 2. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 2 __________________________________________________________________________________________ 7. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3𝑥 + 2 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3 ∙ 2 + 2 22 − 6 ∙ 2 + 5 = − 8 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = − 𝟖 𝟑 _________________________________________________________________________________________ 8. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥2 − 5𝑥 + 4 2𝑥 + 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 3 ∙ (−1)2 − 5 ∙ (−1)+ 4 2 ∙ (−1)+ 1 = 12 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟏𝟐 __________________________________________________________________________________________ 9. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−3 𝑥2 + 2𝑥 − 3 5 − 3𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−3 (−3)2 + 2 ∙ (−3) − 3 5 − 3 ∙ (−3) = 0 14 = 0 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟑 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟓 − 𝟑𝒙 = 𝟎 __________________________________________________________________________________________ 10. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 −𝑥2 + 3𝑥 + 4 ) 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 3 ∙ 22 − 2 ∙ 2 − 5 −22 + 3 ∙ 2 + 4 ) 3 = ( 3 6 ) 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓 −𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 ) 𝟑 = 𝟏 𝟖 __________________________________________________________________________________________ 11. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 ( 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 2𝑥2 − 9𝑥 + 2 ) 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 ( 43 − 3 ∙ 42 − 2 ∙ 4 − 5 2 ∙ 42 − 9 ∙ 4 + 2 ) 2 = ( 3 2 ) 2 = 9 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟒 ( 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟐 ) 𝟐 = 𝟗 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 12. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 √ 2𝑥2 + 3𝑥 − 4 5𝑥 − 4 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 √ 2 ∙ (−1)2 + 3 ∙ (−1) − 4 5 ∙ (−1) − 4 = √ −5 −9 = √5 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 √ 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 𝟓𝒙 − 𝟒 = √ 𝟓 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 13. lim 𝑥→−2 √ 3𝑥3 − 5𝑥2 − 𝑥 + 2 4𝑥 + 3 3 = lim 𝑥→−2 √ 3 ∙ (−2)3 − 5 ∙ (−2)2 − (−2) + 2 4(−2)+ 3 3 = √ −40 −5 3 = √8 3 = 2
  3. 3. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 √ 𝟑𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟐 𝟒𝒙 + 𝟑 𝟑 = 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 14. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √2𝑥2 + 3𝑥 + 2 6 − 4𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √2 ∙ 22 + 3 ∙ 2 + 2 6 − 4 ∙ 2 = 4 −2 = −2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 √𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟔 − 𝟒𝒙 = −𝟐 __________________________________________________________________________________________ 15. lim 𝑥→2 𝑥2 − 4 𝑥2 − 2𝑥 = lim 𝑥→2 22 − 4 22 − 2 ∙ 2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador. 𝑥2 − 4 = ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 2) 𝑒 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2) , assim temos: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2 − 4 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 𝑥(𝑥 − 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (2 + 2) 2 = 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 16. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 12 − 1 1 − 1 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador. 𝑥2 − 1 = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1) , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥 + 1) = 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 17. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 4 − 𝑥2 2 + 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 4 − (−2)2 2 + (−2) = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador. 4 − 𝑥2 = (2 + 𝑥)(2 − 𝑥)
  4. 4. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 4 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 4 − 𝑥2 2 + 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (2 + 𝑥)(2− 𝑥) (2 + 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (2 + 2) = 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 𝟒 − 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒙 = 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 18. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 4𝑥2 − 9 2𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 4( 3 2 ) 2 − 9 2 ( 3 2 ) − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 4 ∙ 9 4 − 9 2 ∙ 3 2 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 9 − 9 3 − 3 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador. 4𝑥2 − 9 = (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 4𝑥2 − 9 2𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) (2𝑥 − 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 3 2 (2 ∙ 3 2 + 3) = 6 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→ 𝟑 𝟐 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟔 __________________________________________________________________________________________ 19. lim 𝑥→3 𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑥2 − 𝑥 − 6 = lim 𝑥→3 32 − 4 ∙ 3 + 3 32 − 3 − 6 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador. 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = ( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 1) 𝑒 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 ( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 1) (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 ( 𝑥 − 1) (𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (3 − 1) (3 + 2) = 2 5 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟐 𝟓 __________________________________________________________________________________________ 20. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 2 ∙ ( 1 2) 2 + 5 ∙ 1 2 − 3 2 ∙ ( 1 2 ) 2 − 5 ∙ 1 2 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 2 ∙ 1 4 + 5 ∙ 1 2 − 3 2 ∙ 1 4 − 5 ∙ 1 2 + 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 1 2 + 5 2 − 3 1 2 − 5 2 + 2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador.
  5. 5. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 5 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = ( 𝑥 + 3)(𝑥 − 1 2 ) 𝑒 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = ( 𝑥 − 2)(𝑥 − 1 2 ) , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 ( 𝑥 + 3) (𝑥 − 1 2 ) ( 𝑥 − 2) (𝑥 − 1 2 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 ( 𝑥 + 3) ( 𝑥 − 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 ( 1 2 + 3) ( 1 2 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 ( 1 2 + 3) ( 1 2 − 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 2 7 2 − 3 2 = − 14 6 = − 7 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟏 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = − 𝟕 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 21. lim 𝑥→− 3 2 6𝑥2 + 11𝑥 + 3 2𝑥2 − 5𝑥 − 12 = lim 𝑥→− 3 2 6 ∙ (− 3 2 ) 2 + 11 ∙ (− 3 2 ) + 3 2 ∙ (− 3 2 ) 2 − 5 ∙ (− 3 2 ) − 12 = lim 𝑥→− 3 2 6 ∙ 9 4 − 33 2 + 3 2 ∙ 9 4 + 15 2 − 12 = = lim 𝑥→− 3 2 27 2 − 33 2 + 3 9 2 + 15 2 − 12 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador. 6𝑥2 + 11𝑥 + 3 = (3𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) 𝑒 2𝑥2 − 5𝑥 − 12 = ( 𝑥 − 4)(2𝑥 + 3), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 2 6𝑥2 + 11𝑥 + 3 2𝑥2 − 5𝑥 − 12 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 2 (3𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) ( 𝑥 − 4)(2𝑥 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 2 (3𝑥 + 1) ( 𝑥 − 4) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 2 3 ∙ (− 3 2 ) + 1 − 3 2 − 4 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 2 − 9 2 + 1 − 3 2 − 4 = − 7 2 − 11 2 = 14 22 = 7 11 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→− 𝟑 𝟐 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟕 𝟏𝟏 __________________________________________________________________________________________ 22. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3 − 1 𝑥2 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 13 − 1 12 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador. 𝑥3 − 1 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 + 1) 𝑒 𝑥2 − 1 = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3 − 1 𝑥2 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 + 1) ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥2 + 𝑥 + 1) ( 𝑥 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 12 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟑 − 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟏 = 𝟑 𝟐
  6. 6. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 6 __________________________________________________________________________________________ 23. lim 𝑥→−2 8 + 𝑥3 4 − 𝑥2 = lim 𝑥→−2 8 + (−2)3 4 − (−2)2 = lim 𝑥→−2 8 − 8 4 − 4 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador. 8 + 𝑥3 = (2 + 𝑥)(4 − 2𝑥 + 𝑥2) 𝑒 4 − 𝑥2 = (2 + 𝑥)(2 − 𝑥) , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: lim 𝑥→−2 8 + 𝑥3 4 − 𝑥2 = lim 𝑥→−2 (2 + 𝑥)(4− 2𝑥 + 𝑥2 ) (2 + 𝑥)(2 − 𝑥) = lim 𝑥→−2 (4 − 2𝑥 + 𝑥2 ) (2 − 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 4 − 2 ∙ (−2) + (−2)2 2 − (−2) = 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 𝟖 + 𝒙 𝟑 𝟒 − 𝒙 𝟐 = 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 24. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥4 − 16 8 − 𝑥3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 24 − 16 8 − 23 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador. 𝑥4 − 16 = ( 𝑥2 + 4)( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 2) 𝑒 8 − 𝑥3 = (2 − 𝑥)(4 + 2𝑥 + 𝑥2) , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥4 − 16 8 − 𝑥3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥2 + 4)( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 2) −( 𝑥 − 2)(4 + 2𝑥 + 𝑥2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 − ( 𝑥2 + 4)( 𝑥 + 2) (4 + 2𝑥 + 𝑥2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 − (22 + 4)(2 + 2) (4 + 2 ∙ 2 + 2) = − 32 12 = − 8 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙 𝟒 − 𝟏𝟔 𝟖 − 𝒙 𝟑 = − 𝟖 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 25. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 12 − 3 ∙ 1 + 2 1 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador. 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = ( 𝑥 − 2)(𝑥 − 1), assim temos: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 2)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 − 2 = −1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟏 = −𝟏 __________________________________________________________________________________________
  7. 7. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 7 26. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2 ∙ (1)3 + 12 − 4 ∙ 1 + 1 13 − 3 ∙ (1)2 + 5 ∙ 1 − 3 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. Veja a demonstração no site em Aulas Slides - Fatoração e Produtos Notáveis. 2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 = ( 𝑥 − 1)(2𝑥2 + 3𝑥 − 1) 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 3 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 − 2𝑥 + 3), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)(2𝑥2 + 3𝑥 − 1) ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 − 2𝑥 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (2𝑥2 + 3𝑥 − 1) ( 𝑥2 − 2𝑥 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2 ∙ (1)2 + 3 ∙ (1) − 1 (1)2 − 2 ∙ (1)+ 3 = 4 2 = 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 27. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 𝑥3 − 𝑥2 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)3 + 3(−1)2 − (−1)− 3 (−1)− (−1)2 + 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)3 + 3(−1)2 − (−1) − 3 (−1) − (−1)2 + 2 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 = ( 𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 − 3) 𝑥3 − 𝑥2 + 2 = ( 𝑥 + 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2), assim temos: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 𝑥3 − 𝑥2 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 − 3) ( 𝑥 + 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)2 + 2 ∙ (−1)− 3 (−1)2 − 2 ∙ (−1)+ 2 = − 4 5 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟑 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟐 = − 𝟒 𝟓 __________________________________________________________________________________________
  8. 8. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 8 28. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥3 − 6𝑥 − 9 𝑥3 − 8𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 33 − 6 ∙ 3 − 9 33 − 8 ∙ 3 − 3 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥3 − 6𝑥 − 9 = ( 𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 3) 𝑥3 − 8𝑥 − 3 = ( 𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 1) , assim temos: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥3 − 6𝑥 − 9 𝑥3 − 8𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 ( 𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 3) ( 𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥2 + 3𝑥 + 3 𝑥2 + 3𝑥 + 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 32 + 3 ∙ 3 + 3 32 + 3 ∙ 3 + 1 = 21 19 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 − 𝟗 𝒙 𝟑 − 𝟖𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝟏 𝟏𝟗 __________________________________________________________________________________________ 29. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 4 𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥 − 5 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 13 − 3 ∙ 12 + 6 ∙ 1 − 4 13 − 4 ∙ 12 + 8 ∙ 1 − 5 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 4 = ( 𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) 𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥 − 5 = ( 𝑥 − 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 5) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 4 𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥 − 5 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) ( 𝑥 − 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 5) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥2 − 2𝑥 + 4) (𝑥2 − 3𝑥 + 5) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 12 − 2 ∙ 1 + 4 12 − 3 ∙ 1 + 5 = 3 3 = 1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒 𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓 = 𝟏 __________________________________________________________________________________________ 30. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥4 − 10𝑥 + 4 𝑥3 − 2𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 24 − 10 ∙ 2 + 4 23 − 2 ∙ 22 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥4 − 10𝑥 + 4 = ( 𝑥 − 2)(𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 2) 𝑥3 − 2𝑥2 = ( 𝑥 − 2) 𝑥2 , assim temos:
  9. 9. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 9 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥4 − 10𝑥 + 4 𝑥3 − 2𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 − 2)(𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 2) ( 𝑥 − 2) 𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑥2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 23 + 2 ∙ 22 + 4 ∙ 2 − 2 22 = 22 4 = 11 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙 𝟒 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒 𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 31. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 2 2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3 ∙ (1)3 − 4 ∙ (1)2 − 1 + 2 2 ∙ (1)2 − 3 ∙ (1)2 + 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 3𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 2 = ( 𝑥 − 1)(3𝑥2 − 𝑥 − 2) 2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 = ( 𝑥 − 1)(2𝑥2 − 𝑥 − 1), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 2 2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)(3𝑥2 − 𝑥 − 2) ( 𝑥 − 1)(2𝑥2 − 𝑥 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3𝑥2 − 𝑥 − 2 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3 ∙ (1)2 − 1 − 2 2 ∙ (1)2 − 1 − 1 = 0 0 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Vamos fazer novamente a fatoração utilizando Bhaskara. 3𝑥2 − 𝑥 − 2 = ( 𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) 𝑒 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = ( 𝑥 − 1)(2𝑥 + 1), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3𝑥2 − 𝑥 − 2 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) ( 𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3𝑥 + 2 2𝑥 + 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3 ∙ 1 + 2 2 ∙ 1 + 1 = 5 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟑𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏 = 𝟓 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 32. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3 − 3𝑥 + 2 𝑥4 − 4𝑥 + 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (1)3 − 3 ∙ (1) + 2 (1)4 − 4 ∙ (1) + 3 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥3 − 3𝑥 + 2 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 − 2) 𝑒 𝑥4 − 4𝑥 + 3 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3 − 3𝑥 + 2 𝑥4 − 4𝑥 + 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 − 2) ( 𝑥 − 1)( 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (1)2 + 1 − 2 (1)3 + (1)2 + 1 − 3 = 0 0 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜)
  10. 10. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 10 Vamos fazer novamente a fatoração utilizando Bhaskara. 𝑥2 + 𝑥 − 2 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 2) 𝑒 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 2𝑥 + 3), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 2) ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 2𝑥 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 + 2 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 + 2 12 + 2 ∙ 1 + 3 = 3 6 = 1 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟒 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟏 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 33. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥4 + 4𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥 − 12 2𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (−2)4 + 4 ∙ (−2)3 + (−2)2 − 12 ∙ (−2)− 12 2 ∙ (−2)3 + 7 ∙ (−2)2 + 4 ∙ (−2) − 4 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 16 − 32 + 4 + 24 − 12 −16 + 28 − 8 − 4 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥4 + 4𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥 − 12 = ( 𝑥 + 2)(𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 6) 2𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4 = ( 𝑥 + 2)(2𝑥2 + 3𝑥 − 2), 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥4 + 4𝑥3 + 𝑥2 − 12𝑥 − 12 2𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 ( 𝑥 + 2)(𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 6) ( 𝑥 + 2)(2𝑥2 + 3𝑥 − 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 6) (2𝑥2 + 3𝑥 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (−2)3 + 2 ∙ (−2)2 − 3 ∙ (−2) − 6 2 ∙ (−2)2 + 3 ∙ (−2)− 2 = 0 0 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Vamos fazer novamente a fatoração utilizando o Dispositivo de Briot-Ruffini e Bhaskara. 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 6 = ( 𝑥 + 2)(𝑥2 − 3) 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = ( 𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) , assim temos: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 6) (2𝑥2 + 3𝑥 − 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 ( 𝑥 + 2)(𝑥2 − 3) ( 𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (𝑥2 − 3) (2𝑥 − 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥2 − 3 2𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (−2)2 − 3 2 ∙ (−2) − 1 = − 1 5 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 𝒙 𝟒 + 𝟒𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒 = − 𝟏 𝟓 __________________________________________________________________________________________ 34. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 + 4 𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)4 − (−1)3 − (−1)2 + 5 ∙ (−1) + 4 (−1)3 + 4 ∙ (−1)2 + 5 ∙ (−1) + 2 =
  11. 11. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 11 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 1 + 1 − 1 − 5 + 4 −1 + 4 − 5 + 2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. Vamos efetuar as fatorações e fazer a verificação, onde pode ser notado a necessidade de efetuar novamente a fatoração. Numerador: 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 + 4 = ( 𝑥 + 1)(𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 4), se substituirmos x= - 1, notaremos que o polinômio terá como valor zero, assim há a necessidade de nova fatoração. 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 4 = ( 𝑥 + 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 4) , se substituirmos x= - 1, notaremos que o polinômio terá como solução um número diferente de zero. Sendo assim nosso polinômio fatorado resulta: 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 + 4 = ( 𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒) Denominador: (repetir o processo) 𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 + 2 = ( 𝒙 + 𝟏)( 𝒙+ 𝟏)( 𝒙 + 𝟐) Como chegamos à simplificação final, vamos resolver o limite. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 + 4 𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 4) ( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (𝑥2 − 3𝑥 + 4) ( 𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (−1)2 − 3(−1) + 4 −1 + 2 = 8 1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒 𝒙 𝟑 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟖 Caro aluno, quero deixar claro que existe outras formas de resolução, cabe a você efetuar pesquisas para melhorar seu entendimento. 35. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥2 − 12𝑥 − 4 2𝑥4 + 7𝑥3 + 2𝑥2 − 12𝑥 − 8 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (−2)4 + 2 ∙ (−2)3 − 5(−2)2 − 12 ∙ (−2)− 4 2 ∙ (−2)4 + 7 ∙ (−2)3 + 2 ∙ (−2)2 − 12 ∙ (−2) − 8 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 16 − 16 − 20 + 24 − 4 32 − 56 + 8 + 24 − 8 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜)
  12. 12. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 12 Para resolver este limite temos que fatorar o numerador e o denominador, utilizaremos o Dispositivo de Briot- Ruffini. 𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥2 − 12𝑥 − 4 = ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 1) 2𝑥4 + 7𝑥3 + 2𝑥2 − 12𝑥 − 8 = ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 2)(2𝑥2 − 𝑥 − 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥2 − 12𝑥 − 4 2𝑥4 + 7𝑥3 + 2𝑥2 − 12𝑥 − 8 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 1) ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 2)(2𝑥2 − 𝑥 − 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (𝑥2 − 2𝑥 − 1) (2𝑥2 − 𝑥 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (−2)2 − 2(−2) − 1 2(−2)2 − (−2) − 2 = 7 8 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 𝒙 𝟒 + 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒 𝟐𝒙 𝟒 + 𝟕𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟕 𝟖 ______________________________________________________________________________________ Digite a equação aqui.____ 36. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 √1 + 𝑥 − 2 𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 √1 + 3 − 2 3 − 3 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 √1 + 𝑥 − 2 𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (√1+ 𝑥 − 2)(√1+ 𝑥 + 2) ( 𝑥 − 3)(√1 + 𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (√1 + 𝑥)2 − 22 ( 𝑥 − 3)(√1+ 𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 1 + 𝑥 − 4 ( 𝑥 − 3)(√1 + 𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (𝑥 − 3) ( 𝑥 − 3)(√1 + 𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 1 (√1+ 𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 1 (√1+ 3 + 2) = 1 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 √ 𝟏 + 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟑 = 𝟏 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 37. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √ 𝑥 − 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √1 − 1 1 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √ 𝑥 − 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√ 𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√ 𝑥) 2 − 12 (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (√ 𝑥 + 1) = 1 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √ 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏 = 𝟏 𝟐 38. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − √1 − 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − √1 − 0 0 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − √1 − 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (1 − √1 − 𝑥)(1 + √1 − 𝑥) 𝑥(1 + √1 − 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 12 − (√1+ 𝑥) 2 𝑥(1 + √1 + 𝑥) =
  13. 13. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 13 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − 1 + 𝑥 𝑥(1 + √1 + 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 𝑥(1 + √1 + 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 (1 + √1 + 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 (1 + √1 + 0) = 1 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 − √ 𝟏 − 𝒙 𝒙 = 𝟏 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 39. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √ 𝑥 + 3 − 2 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √1 + 3 − 2 1 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √ 𝑥 + 3 − 2 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√ 𝑥 + 3 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 3 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√ 𝑥 + 3) 2 − 22 (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 3 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 + 3 − 4 (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 3 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 3 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (√ 𝑥 + 3 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (√1 + 3 + 2) = 1 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √ 𝒙 + 𝟑 − 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟏 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 40. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1 − 2𝑥 − 𝑥2 − 1 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1 − 2 ∙ 0 − 02 − 1 0 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1 − 2𝑥 − 𝑥2 − 1 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√1 − 2𝑥 − 𝑥2 − 1)(√1− 2𝑥 − 𝑥2 + 1) 𝑥(√1− 2𝑥 − 𝑥2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√1 − 2𝑥 − 𝑥2) 2 − 12 𝑥(√1− 2𝑥 − 𝑥2 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − 2𝑥 − 𝑥2 − 1 𝑥(√1 − 2𝑥 − 𝑥2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 −2𝑥 − 𝑥2 𝑥(√1− 2𝑥 − 𝑥2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥(−2 − 𝑥) 𝑥(√1− 2𝑥 − 𝑥2 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (−2 − 𝑥) (√1 − 2𝑥 − 𝑥2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (−2 − 0) (√1− 2 ∙ 0 − 0 + 1) = − 2 2 = −1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 √𝟏 − 𝟐𝒙 − 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝒙 = − 𝟏 __________________________________________________________________________________________ 41. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1 + 𝑥 − √1 − 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1 + 0 − √1 − 0 0 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1 + 𝑥 − √1 − 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√1+ 𝑥 − √1 − 𝑥)(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥) 𝑥(√1+ 𝑥 + √1 − 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√1 + 𝑥) 2 − (√1 − 𝑥) 2 𝑥(√1+ 𝑥 + √1 − 𝑥) =
  14. 14. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 14 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 + 𝑥 − (1 − 𝑥) 𝑥(√1 + 𝑥 + √1− 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 + 𝑥 − 1 + 𝑥 𝑥(√1+ 𝑥 + √1 − 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 2𝑥 𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 2 ∙ 𝑥 𝑥(√1 + 𝑥 + √1− 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 2 (√1+ 0 + √1 − 0) = 2 2 = 1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 √ 𝟏 + 𝒙 − √ 𝟏 − 𝒙 𝒙 = 𝟏 __________________________________________________________________________________________ 42. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √2𝑥 − √ 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √2 ∙ 1 − √1 + 1 1 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √2𝑥 − √ 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√2𝑥 − √ 𝑥 + 1)(√2𝑥 + √ 𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(√2𝑥 + √ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√2𝑥) 2 − (√ 𝑥 + 1) 2 (𝑥 − 1)(√2𝑥 + √ 𝑥 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2𝑥 − (𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(√2𝑥 + √ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2𝑥 − 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)(√2𝑥 + √ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(√2𝑥 + √ 𝑥 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (√2 ∙ 1 + √1 + 1) = 1 2√2 = √2 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √ 𝟐𝒙 − √ 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 = √ 𝟐 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 43. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3 − √10 − 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3 − √10 − 1 12 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3 − √10 − 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (3 − √10 − 𝑥)(3 + √10− 𝑥) ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(3+ √10 − 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (3)2 − (√10 − 𝑥) 2 ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(3+ √10 − 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 9 − 10 + 𝑥 ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(3 + √10 − 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (−1 + 𝑥) ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(3+ √10− 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 ( 𝑥 + 1)(3+ √10− 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (1 + 1)(3 + √10− 1) = 1 12 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟑 − √ 𝟏𝟎 − 𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 𝟏𝟐 __________________________________________________________________________________________ 44. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 2 − √ 𝑥 + 1 𝑥2 − 9 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 2 − √3 + 1 32 − 9 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 2 − √ 𝑥 + 1 𝑥2 − 9 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (2 − √ 𝑥 + 1)(2+ √ 𝑥 + 1) ( 𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(2+ √ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (2)2 − (√ 𝑥 + 1) 2 ( 𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(2 + √ 𝑥 + 1) =
  15. 15. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 15 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 4 − 𝑥 − 1 ( 𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(2 + √ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 −(𝑥 − 3) ( 𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(2+ √ 𝑥 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 −1 ( 𝑥 + 3)(2+ √ 𝑥 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 −1 ( 𝑥 + 3)(2 + √ 𝑥 + 1) = − 1 24 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝟐 − √ 𝒙 + 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟗 = − 𝟏 𝟐𝟒 __________________________________________________________________________________________ 45. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √ 𝑥 + 3 − 2 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √1 + 3 − 2 12 − 31 + 2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √ 𝑥 + 3 − 2 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√ 𝑥 + 3 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√ 𝑥 + 3) 2 − (2)2 ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 + 3 − 4 ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥 − 1) ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 3 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 1 (1 − 2)(√1+ 3 + 2) = − 1 4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √ 𝒙 + 𝟑 − 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = − 𝟏 𝟒 __________________________________________________________________________________________ 46. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2 − 4 √ 𝑥 + 2 − √3𝑥 − 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 22 − 4 √2 + 2 − √3 ∙ 2 − 2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2 − 4 √ 𝑥 + 2 − √3𝑥 − 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) (√ 𝑥 + 2 − √3𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) (√ 𝑥 + 2) 2 − (√3𝑥 − 2) 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) 𝑥 + 2 − 3𝑥 + 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) −2𝑥 + 4 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) −2(𝑥 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 + 2)(√ 𝑥 + 2 + √3𝑥 − 2) −2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 − (2 + 2)(√2+ 2 + √3 ∙ 2 − 2) 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 − (2 + 2)(√2+ 2 + √3∙ 2 − 2) 2 = − 16 2 = −8 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟒 √ 𝒙 + 𝟐 − √ 𝟑𝒙 − 𝟐 = −𝟖 __________________________________________________________________________________________ 47. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √𝑥2 − 3𝑥 + 3 − √𝑥2 + 3𝑥 − 3 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √12 − 3 ∙ 1 + 3 − √12 + 3 ∙ 1 − 3 1 − 3 ∙ 1 + 2 = 0 0
  16. 16. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 16 (temos uma indeterminação) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √𝑥2 − 3𝑥 + 3 − √𝑥2 + 3𝑥 − 3 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√𝑥2 − 3𝑥 + 3 − √𝑥2 + 3𝑥 − 3)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√𝑥2 − 3𝑥 + 3 − √𝑥2 + 3𝑥 − 3)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√𝑥2 − 3𝑥 + 3) 2 − (√ 𝑥2 + 3𝑥 − 3) 2 ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2 − 3𝑥 + 3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 3 ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 −3𝑥 + 3 − 3𝑥 + 3 ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 −6𝑥 + 6 ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 −6(𝑥 − 1) ( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 − 6 (𝑥 − 2)(√𝑥2 − 3𝑥 + 3 + √𝑥2 + 3𝑥 − 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 − 6 (1 − 2)(√12 − 3 ∙ 1 + 3 + √12 + 3 ∙ 1 − 3) = 6 2 = 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑 − √𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟑 48. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3𝑥 − 2 − 2 √4𝑥 + 1 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3 ∙ 2 − 2 − 2 √4 ∙ 2 + 1 − 3 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3𝑥 − 2 − 2 √4𝑥 + 1 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) (√4𝑥 + 1 − 3)(√4𝑥 + 1 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) (√4𝑥 + 1) 2 − (3)2 =
  17. 17. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 17 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) (√4𝑥 + 1) 2 − (3)2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) (√4𝑥 + 1) 2 − (3)2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) 4𝑥 + 1 − 9 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) (4𝑥 − 8) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥 − 2 − 2)(√3𝑥 − 2 + 2)(√4𝑥 + 1 + 3) (4𝑥 − 8)(√3𝑥 − 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(√3𝑥 − 2) 2 − (2)2 ](√4𝑥 + 1 + 3) (4𝑥 − 8)(√3𝑥 − 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(√3𝑥 − 2) 2 − (2)2 ](√4𝑥 + 1 + 3) (4𝑥 − 8)(√3𝑥 − 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [3𝑥 − 2 − 4](√4𝑥 + 1 + 3) (4𝑥 − 8)(√3𝑥 − 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3𝑥 − 6)(√4𝑥 + 1 + 3) (4𝑥 − 8)(√3𝑥 − 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3(𝑥 − 2)(√4𝑥 + 1 + 3) 4(𝑥 − 2)(√3𝑥 − 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3(√4𝑥 + 1 + 3) 4(√3𝑥 − 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3 ∙ (√4 ∙ 2 + 1 + 3) 4 ∙ (√3 ∙ 2 − 2 + 2) = 18 16 = 9 8 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 √ 𝟑𝒙 − 𝟐 − 𝟐 √ 𝟒𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟗 𝟖 Obs.: aqui o conjugado foi aplicado separadamente, no próximo limite aplicaremos de uma só vez. Veja! __________________________________________________________________________________________ 49. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 √2𝑥 + 1 − 3 √ 𝑥 − 2 − √2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 √24 + 1 − 3 √4 − 2 − √2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 √2𝑥 + 1 − 3 √ 𝑥 − 2 − √2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 (√2𝑥 + 1 − 3)(√2𝑥 + 1 + 3)(√ 𝑥 − 2 + √2) (√ 𝑥 − 2 − √2)(√ 𝑥 − 2 + √2)(√2𝑥 + 1 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 [(√2𝑥 + 1) 2 − (3)2 ](√ 𝑥 − 2 + √2) [(√ 𝑥 − 2) 2 − (√2) 2 ](√2𝑥 + 1 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 [2𝑥 + 1 − 9](√ 𝑥 − 2 + √2) [ 𝑥 − 2 − 2](√2𝑥 + 1 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 (2𝑥 − 8)(√ 𝑥 − 2 + √2) (𝑥 − 4)(√2𝑥 + 1 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 2(𝑥 − 4)(√ 𝑥 − 2 + √2) (𝑥 − 4)(√2𝑥 + 1 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 2 ∙ (√ 𝑥 − 2 + √2) (√2𝑥 + 1 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 2 ∙ (√ 𝑥 − 2 + √2) (√2𝑥 + 1 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 2 ∙ (√4− 2 + √2) (√2 ∙ 4 + 1 + 3) = 4√2 6 = 2√2 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟒 √ 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 √ 𝒙 − 𝟐 − √ 𝟐 = 𝟐√ 𝟐 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 50. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 4 − √10 + 𝑥 2 − √10 − 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 4 − √10 + 6 2 − √10 − 6 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜)
  18. 18. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 18 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 4 − √10 + 𝑥 2 − √10 − 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 (4 − √10 + 𝑥)(4 + √10+ 𝑥)(2 + √10 − 𝑥) (2 − √10 − 𝑥)(2 + √10− 𝑥)(4 + √10 + 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 [(4)2 − (√10 + 𝑥) 2 ](2 + √10− 𝑥) [(2)2 − (√10 − 𝑥) 2 ](4 + √10+ 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 [16 − 10 − 𝑥](2+ √10 − 𝑥) [4 − 10 + 𝑥](4 + √10 + 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 (6 − 𝑥)(2 + √10 − 𝑥) −(6 − 𝑥)(4 + √10 + 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→6 (6 − 𝑥)(2 + √10 − 𝑥) −(6 − 𝑥)(4 + √10 + 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥→6 (2 + √10 − 𝑥) (4 + √10 + 𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥→6 (2 + √10 − 6) (4 + √10 + 6) = − 4 8 = − 1 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟔 𝟒 − √ 𝟏𝟎 + 𝒙 𝟐 − √ 𝟏𝟎 − 𝒙 = − 𝟏 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 51. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √3𝑥 + 4 − √ 𝑥 + 4 √ 𝑥 + 1 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √3 ∙ 0 + 4 − √0 + 4 √0 + 1 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 + 1)(√3𝑥 + 4 − √ 𝑥 + 4)(√3𝑥 + 4 + √ 𝑥 + 4) (√ 𝑥 + 1 − 1)(√ 𝑥 + 1 + 1)(√3𝑥 + 4 + √ 𝑥 + 4) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 + 1) [(√3𝑥 + 4) 2 − (√ 𝑥 + 4) 2 ] [(√ 𝑥 + 1) 2 − (1)2](√3𝑥 + 4 − √ 𝑥 + 4) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 + 1)[3𝑥 + 4 − 𝑥 − 4] [ 𝑥 + 1 − 1](√3𝑥 + 4 + √ 𝑥 + 4) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 + 1)[3𝑥 − 𝑥] 𝑥(√3𝑥 + 4 + √ 𝑥 + 4) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 + 1) ∙ 2𝑥 𝑥 ∙ (√3𝑥 + 4 + √ 𝑥 + 4) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 + 1) ∙ 2 (√3𝑥 + 4 + √ 𝑥 + 4) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√0 + 1 + 1) ∙ 2 (√3∙ 0 + 4 + √0 + 4) = 4 4 = 1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 √ 𝟑𝒙 + 𝟒 − √ 𝒙 + 𝟒 √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟏 __________________________________________________________________________________________ 52. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √𝑥2 + 𝑥 − 2 − √𝑥2 − 𝑥 + 2 √ 𝑥 + 2 − 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √22 + 2 − 2 − √22 − 2 + 2 √2 + 2 − 2 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚. ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √𝑥2 + 𝑥 − 2 − √𝑥2 − 𝑥 + 2 √ 𝑥 + 2 − 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√ 𝑥 + 2 + 2)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 − √𝑥2 − 𝑥 + 2)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) (√ 𝑥 + 2 − 2)(√ 𝑥 + 2 + 2)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) =
  19. 19. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 19 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√ 𝑥 + 2 + 2)[(√𝑥2 + 𝑥 − 2) 2 − (√𝑥2 − 𝑥 + 2) 2 ] [(√ 𝑥 + 2) 2 − (2)2](√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√ 𝑥 + 2 + 2)[ 𝑥2 + 𝑥 − 2 − 𝑥2 + 𝑥 − 2] [ 𝑥 + 2 − 4](√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√ 𝑥 + 2 + 2)[2𝑥 − 4] [ 𝑥 − 2](√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√ 𝑥 + 2 + 2)2[ 𝑥 − 2] [ 𝑥 − 2](√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√ 𝑥 + 2 + 2) ∙ 2 (√𝑥2 + 𝑥 − 2 + √𝑥2 − 𝑥 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√2 + 2 + 2) ∙ 2 (√22 + 2 − 2 + √22 − 2 + 2) = 8 4 = 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 √𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟐 − √𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟐 √ 𝒙 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 53. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √2𝑥2 − 3𝑥 + 2 − 2 √3𝑥2 − 5𝑥 − 1 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √2 ∙ 22 − 3 ∙ 2 + 2 − 2 √3 ∙ 22 − 5 ∙ 2 − 1 − 1 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √2𝑥2 − 3𝑥 + 2 − 2 √3𝑥2 − 5𝑥 − 1 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 − 2)(√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 + 2)(√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1) (√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 − 1)(√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1)(√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(√2𝑥2 − 3𝑥 + 2) 2 − (2)2 ](√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1) [(√3𝑥2 − 5𝑥 − 1) 2 − (1)2](√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [2𝑥2 − 3𝑥 + 2 − 4](√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1) [3𝑥2 − 5𝑥 − 1 − 1](√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [2𝑥2 − 3𝑥 − 2](√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1) [3𝑥2 − 5𝑥 − 2](√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)(√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 + 1) ( 𝑥 − 2)(3𝑥 + 1)(√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [2 ∙ (2) + 1](√3 ∙ (2)2 − 5 ∙ (2)− 1 + 1) [3 ∙ (2) + 1](√2 ∙ (2)2 − 3 ∙ (2)+ 2 + 2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5 ∙ (√12 − 10 − 1 + 1) 7 ∙ (√8 − 6 + 2 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5 ∙ (1 + 1) 7 ∙ (2 + 2) = 5 ∙ 2 7 ∙ 4 = 10 28 = 5 14 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 √𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝟐 √𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏 − 𝟏 = 𝟓 𝟏𝟒 __________________________________________________________________________________________ 54. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 √3𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 1 √𝑥2 + 3𝑥 + 6 − 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 √3 ∙ (−1)2 + 4 ∙ (−1) + 2 − 1 √(−1)2 + 3 ∙ (−1) + 6 − 2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚. ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 √3𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 1 √𝑥2 + 3𝑥 + 6 − 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 1)(√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1)((√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2)) (√𝑥2 + 3𝑥 + 6 − 2)(√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2)(√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1) =
  20. 20. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 20 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [(√3𝑥2 + 4𝑥 + 2) 2 − (1)2 ](√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2) [(√𝑥2 + 3𝑥 + 6) 2 − (2)2](√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [3𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 1](√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2) [ 𝑥2 + 3𝑥 + 6 − 4](√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [3𝑥2 + 4𝑥 + 1](√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2) [ 𝑥2 + 3𝑥 + 2](√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1)(3𝑥 + 1)(√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2) ( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 2)(√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 (3𝑥 + 1)(√𝑥2 + 3𝑥 + 6 + 2) ( 𝑥 + 2)(√3𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [3(−1) + 1](√(−1)2 + 3(−1) + 6 + 2) (−1 + 2)(√3(−1)2 + 4(−1)+ 2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [−3 + 1](√1 − 3 + 6 + 2) 1 ∙ (√3 − 4 + 2 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [−3 + 1](2+ 2) 1 ∙ (1 + 1) = −2 ∙ 4 2 = −4 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 √𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐 − 𝟏 √𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟔 − 𝟐 = −𝟒 __________________________________________________________________________________________ 55. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 − 2 √3𝑥 − 5 3 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 2 − 2 √3∙ 2 − 5 3 − 1 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) Atenção!! Você já sabe. x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 − 2 √3𝑥 − 5 3 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) (√3𝑥 − 5 3 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) ∙ 1 + 12 ] (√3𝑥 − 5 3 − 1) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) ∙ 1 + 12] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) ∙ 1 + 12 ] (√3𝑥 − 5 3 − 1) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + ( √3𝑥 − 5 3 ) + 1] ( √3𝑥 − 5 3 ) ∙ (√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) ∙ (√3𝑥 − 5 3 ) + (√3𝑥 − 5 3 ) − (√3𝑥 − 5 3 ) 2 − (√3𝑥 − 5 3 ) − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] ( √3𝑥 − 5 3 ) 3 + (√3𝑥 − 5 3 ) 2 + ( √3𝑥 − 5 3 ) − (√3𝑥 − 5 3 ) 2 − ( √3𝑥 − 5 3 ) − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] ( √3𝑥 − 5 3 ) 3 + (√3𝑥 − 5 3 ) − (√3𝑥 − 5 3 ) − 1 =
  21. 21. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 21 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] (3𝑥 − 5) + (√3𝑥 − 5 3 ) − (√3𝑥 − 5 3 ) − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] (3𝑥 − 5) − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] 3𝑥 − 5 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] 3𝑥 − 6 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ [(√3𝑥 − 5 3 ) 2 + (√3𝑥 − 5 3 ) + 1] 3(𝑥 − 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(√3 ∙ 2 − 5 3 ) 2 + (√3∙ 2 − 5 3 ) + 1] 3 = 3 3 = 1 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 √ 𝟑𝒙 − 𝟓 𝟑 − 𝟏 = 𝟏 _________________________________________________________________________________________ 56. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √ 𝑥 + 1 3 − 1 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √0+ 1 3 − 1 0 = 0 0 ( 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √ 𝑥 + 1 3 − 1 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√ 𝑥 + 1 3 − 1) ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) ∙ 1 + 12 ] 𝑥 ∙ [( √ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) ∙ 1 + 12] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √ 𝑥 + 1 3 − 1) ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) + 1] 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 13 ) 2 + (√ 𝑥 + 13 ) ∙ 1 + 12] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √ 𝑥 + 1 3 ) ∙ (√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) ∙ (√ 𝑥 + 1 3 ) + ( √ 𝑥 + 1 3 ) ∙ 1 − (√ 𝑥 + 1 3 ) 2 − (√ 𝑥 + 1 3 ) − 1 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √ 𝑥 + 1 3 ) 3 + (√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) − (√ 𝑥 + 1 3 ) 2 − (√ 𝑥 + 1 3 ) − 1 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √ 𝑥 + 1 3 ) 3 + (√ 𝑥 + 1 3 ) − (√ 𝑥 + 1 3 ) − 1 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + ( √ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √ 𝑥 + 1 3 ) 3 − 1 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 + 1 − 1 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 𝑥 ∙ [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + (√ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 [(√ 𝑥 + 1 3 ) 2 + ( √ 𝑥 + 1 3 ) + 1] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 [(√0 + 1 3 ) 2 + ( √0+ 1 3 ) + 1] = 1 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 𝟑 − 𝟏 𝒙 = 𝟏 𝟑
  22. 22. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 22 __________________________________________________________________________________________ 57. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥 + 1 √2𝑥 + 3 3 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 −1 + 1 √2(−1)+ 3 3 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑥 + 1 √2𝑥 + 3 3 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) (√2𝑥 + 3 3 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 )(1) + (1)2 ] (√2𝑥 + 3 3 − 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 )(1) + (1)2] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] ( √2𝑥 + 3 3 − 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] ( √2𝑥 + 33 )(√2𝑥 + 33 ) 2 + (√2𝑥 + 33 )( √2𝑥 + 33 ) + (√2𝑥 + 33 ) − 1(√2𝑥 + 33 ) 2 − ( √2𝑥 + 33 ) − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] ( √2𝑥 + 3 3 ) 3 + (√2𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥 + 3 3 ) − (√2𝑥 + 3 3 ) 2 − (√2𝑥 + 3 3 ) − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] (2𝑥 + 3) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) − ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 − (√2𝑥 + 3 3 ) − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] (2𝑥 + 3) − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] 2𝑥 + 3 − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 33 ) 2 + (√2𝑥 + 33 ) + 1] 2𝑥 + 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 ( 𝑥 + 1) ∙ [(√2𝑥 + 33 ) 2 + (√2𝑥 + 33 ) + 1] 2( 𝑥 + 1) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [(√2𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥 + 3 3 ) + 1] 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [(√2 ∙ (−1) + 3 3 ) 2 + (√2∙ (−1)+ 3 3 ) + 1] 2 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [(√−2+ 3 3 ) 2 + (√−2 + 3 3 ) + 1] 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 [(1)2 + 1 + 1] 2 = 3 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 𝒙 + 𝟏 √ 𝟐𝒙+ 𝟑 𝟑 − 𝟏 = 𝟑 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 58. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √8 − 2𝑥 + 𝑥23 − 2 𝑥 − 𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √8− 2(0)+ (0)23 − 2 (0)− (0)2 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜)
  23. 23. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 23 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √8 − 2𝑥 + 𝑥23 − 2 𝑥 − 𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√8 − 2𝑥 + 𝑥23 − 2)[(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 )(2)+ (2)2 ] 𝑥(1 − 𝑥)[(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + (√8 − 2𝑥 + 𝑥23 )(2) + (2)2] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 − 2) [(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] 𝑥(1 − 𝑥) [(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) ∙ ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) ∙ 2( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) − 2 ∙ ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 − 4 ∙ ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) − 8 𝑥(1− 𝑥)[( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 3 + 2( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 4( √8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) − 2 ∙ ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 − 4 ∙ ( √8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) − 8 𝑥(1 − 𝑥) [( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 3 + 2( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 4( √8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) − 2 ∙ ( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 − 4 ∙ ( √8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) − 8 𝑥(1 − 𝑥) [( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2( √8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) 3 − 8 𝑥(1 − 𝑥)[(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 8 − 2𝑥 + 𝑥2 − 8 𝑥(1 − 𝑥)[(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 −2𝑥 + 𝑥2 𝑥(1 − 𝑥)[(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8 − 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥(−2 + 𝑥) 𝑥(1 − 𝑥) [(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (−2 + 𝑥) (1 − 𝑥) [(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) 2 + 2(√8− 2𝑥 + 𝑥23 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (−2 + 0) (1 − 0) [(√8− 2 ∙ 0 + 023 ) 2 + 2(√8 − 2 ∙ 0 + 023 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 −2 [(√8 3 ) 2 + 2(√8 3 ) + 4] = −2 4 + 4 + 4 = − 2 12 = − 1 6 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 √𝟖 − 𝟐𝒙 + 𝒙 𝟐𝟑 − 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝟐 = − 𝟏 𝟔 __________________________________________________________________________________________ 59. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − √1− 𝑥 3 1 + √3𝑥 − 1 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − √1− 0 3 1 + √3 ∙ 0 − 1 3 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜)
  24. 24. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 24 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 − √1 − 𝑥 3 1 + √3𝑥 − 1 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (1 − √1− 𝑥 3 ) ∙ [(1)2 + (1)( √1 − 𝑥 3 ) + ( √1 − 𝑥 3 ) 2 ] ∙ [(1)2 − (1)( √3𝑥 − 1 3 ) + ( √3𝑥 − 1 3 ) 2 ] (1 + √3𝑥 − 1 3 ) ∙ [(1)2 − (1)( √3𝑥 − 1 3 ) + ( √3𝑥 − 1 3 ) 2 ] ∙ [(1)2 + (1)( √1 − 𝑥 3 ) + ( √1 − 𝑥 3 ) 2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (1 − √1 − 𝑥 3 ) ∙ [1 + ( √1− 𝑥 3 ) + (√1 − 𝑥 3 ) 2 ] ∙ [1 − (√3𝑥 − 1 3 ) + (√3𝑥 − 1 3 ) 2 ] (1 + √3𝑥 − 1 3 ) ∙ [1 − (√3𝑥 − 1 3 ) + (√3𝑥 − 1 3 ) 2 ] ∙ [1 + ( √1− 𝑥 3 ) + (√1 − 𝑥 3 ) 2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 + ( √1− 𝑥 3 ) + ( √1− 𝑥 3 ) 2 − ( √1− 𝑥 3 ) − ( √1 − 𝑥 3 ) 2 − ( √1 − 𝑥 3 ) 3 ] ∙ [1 − ( √3𝑥 − 1 3 ) + ( √3𝑥 − 1 3 ) 2 ] [1 − ( √3𝑥 − 1 3 ) + ( √3𝑥 − 1 3 ) 2 + ( √3𝑥 − 1 3 ) − ( √3𝑥 − 1 3 ) 2 + ( √3𝑥 − 1 3 ) 3 ] ∙ [1 + ( √1 − 𝑥 3 ) + ( √1 − 𝑥 3 ) 2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 − (√1− 𝑥 3 ) 3 ] ∙ [1 − (√3𝑥 − 1 3 ) + (√3𝑥 − 1 3 ) 2 ] [1 + (√3𝑥 − 1 3 ) 3 ] ∙ [1 + (√1 − 𝑥 3 ) + (√1− 𝑥 3 ) 2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 − 1 + 𝑥] ∙ [1 − (√3𝑥 − 1 3 ) + (√3𝑥 − 1 3 ) 2 ] [1 + 3𝑥 − 1] ∙ [1 + (√1 − 𝑥 3 ) + (√1− 𝑥 3 ) 2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 ∙ [1 − (√3𝑥 − 1 3 ) + (√3𝑥 − 1 3 ) 2 ] 3𝑥 ∙ [1 + (√1 − 𝑥 3 ) + ( √1− 𝑥 3 ) 2 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 − (√3𝑥 − 1 3 ) + ( √3𝑥 − 1 3 ) 2 ] 3 ∙ [1 + (√1 − 𝑥 3 ) + ( √1− 𝑥 3 ) 2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 − (√3∙ 0 − 1 3 ) + (√3 ∙ 0 − 1 3 ) 2 ] 3 ∙ [1 + (√1− 0 3 ) + (√1 − 0 3 ) 2 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 − (√−1 3 ) + ( √−1 3 ) 2 ] 3 ∙ [1 + (√1 3 ) + (√1 3 ) 2 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [1 − (√−1 3 ) + (√−1 3 ) 2 ] 3 ∙ [1 + (√13 ) + (√13 ) 2 ] = 1 + 1 + 1 3 ∙ (1 + 1 + 1) = 3 9 = 1 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 − √ 𝟏 − 𝒙 𝟑 𝟏 + √ 𝟑𝒙 − 𝟏 𝟑 = 𝟏 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 60. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 √2− 3𝑥3 − 2 1 + √2𝑥 + 3 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 √2 − 3 ∙ (−2)3 − 2 1 + √2 ∙ (−2) + 3 3 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 √2 − 3𝑥 3 − 2 1 + √2𝑥 + 3 3 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (√2 − 3𝑥3 − 2) ∙ [(√2 − 3𝑥3 ) 2 + (√2 − 3𝑥3 )(2) + (2)2] ∙ [(1)2 − (1)(√2𝑥 + 33 ) + (√2𝑥 + 33 ) 2 ] (1 + √2𝑥 + 33 ) ∙ [(1)2 − (1)(√2𝑥 + 33 ) + (√2𝑥 + 33 ) 2 ] ∙ [(√2 − 3𝑥3 ) 2 + (√2 − 3𝑥3 )(2) + (2)2] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (√2 − 3𝑥 3 − 2) [(√2− 3𝑥 3 ) 2 + 2(√2 − 3𝑥 3 ) + 4] ∙ [1 − (√2𝑥 + 3 3 ) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 ] (1 + √2𝑥 + 3 3 ) ∙ [1 − (√2𝑥 + 3 3 ) + (√2𝑥 + 3 3 ) 2 ] ∙ [(√2− 3𝑥 3 ) 2 + 2(√2 − 3𝑥 3 ) + 4] =
  25. 25. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 25 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 [( √2− 3𝑥 3 ) 3 + 2( √2 − 3𝑥 3 ) 2 + 4( √2− 3𝑥 3 ) − 2( √2 − 3𝑥 3 ) 2 − 4( √2− 3𝑥 3 ) − 8] ∙ [1 − ( √2𝑥 + 3 3 ) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 ] [1 − ( √2𝑥 + 3 3 ) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥 + 3 3 ) − ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥 + 3 3 ) 3 ] ∙ [( √2− 3𝑥 3 ) 2 + 2( √2 − 3𝑥 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 [(2 − 3𝑥) + 2( √2 − 3𝑥 3 ) 2 + 4( √2− 3𝑥 3 ) − 2( √2 − 3𝑥 3 ) 2 − 4( √2− 3𝑥 3 ) − 8] ∙ [1 − ( √2𝑥 + 3 3 ) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 ] [1 − ( √2𝑥 + 3 3 ) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥 + 3 3 ) − ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 + (2𝑥 + 3)] ∙ [( √2− 3𝑥 3 ) 2 + 2( √2 − 3𝑥 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 [(2 − 3𝑥) − 8] ∙ [1 − ( √2𝑥 + 3 3 ) + (√2𝑥 + 3 3 ) 2 ] [1 + (2𝑥 + 3)] ∙ [(√2 − 3𝑥 3 ) 2 + 2(√2− 3𝑥 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (2 − 3𝑥 − 8) ∙ [1 − (√2𝑥 + 3 3 ) + ( √2𝑥 + 3 3 ) 2 ] (1 + 2𝑥 + 3) ∙ [(√2− 3𝑥 3 ) 2 + 2(√2 − 3𝑥 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 (3𝑥 − 6) ∙ [1 − (√2𝑥 + 3 3 ) + (√2𝑥 + 3 3 ) 2 ] (2𝑥 + 4) ∙ [(√2 − 3𝑥 3 ) 2 + 2(√2 − 3𝑥 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 3 ∙ ( 𝑥 − 2) ∙ [1 − (√2(−2) + 3 3 ) + (√2(−2)+ 3 3 ) 2 ] −2 ∙ ( 𝑥 − 2) ∙ [(√2 − 3(−2)3 ) 2 + 2 (√2 − 3(−2)3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 3 ∙ [1 − (√−4+ 3 3 ) + (√−4 + 3 3 ) 2 ] −2 ∙ [(√2 + 6 3 ) 2 + 2(√2+ 6 3 ) + 4] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 3 ∙ [1 − (−1) + (−1)2] −2 ∙ [(2)2 + 2(2) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 3 ∙ [1 + 1 + 1] −2 ∙ [4 + 4 + 4] = − 9 24 = − 3 8 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−𝟐 √ 𝟐 − 𝟑𝒙 𝟑 − 𝟐 𝟏 + √ 𝟐𝒙+ 𝟑 𝟑 = − 𝟑 𝟖 __________________________________________________________________________________________ 61. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 + 1 √2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3 ∙ (2)2 − 7 ∙ (2) + 1 3 + 1 √2 ∙ (2)2 − 5 ∙ (2) + 3 3 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 + 1 √2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 − 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 + 1)∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 )(1) + (1)2 ] ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 )(1) + (1)2 ] (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 − 1)∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 )(1) + (1)2 ] ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 )(1) + (1)2 ] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 + 1)∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 − 1)∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] =
  26. 26. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 26 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [( √3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 3 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 + ( √3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] [( √2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 3 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) − (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 − (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) − 1] ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(3𝑥2 − 7𝑥 + 1) − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 + ( √3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] [(2𝑥2 − 5𝑥 + 3) + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) − (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 − (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) − 1] ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(3𝑥2 − 7𝑥 + 1) + 1] ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] [(2𝑥2 − 5𝑥 + 3) − 1] ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3𝑥2 − 7𝑥 + 2) ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + ( √2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] (2𝑥2 − 5𝑥 + 2) ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − ( √3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( 𝑥 − 2) ∙ (3𝑥 − 1) ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] ( 𝑥 − 2) ∙ (2𝑥 − 1) ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3𝑥 − 1) ∙ [(√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) 2 + (√2𝑥2 − 5𝑥 + 3 3 ) + 1] (2𝑥 − 1) ∙ [(√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) 2 − (√3𝑥2 − 7𝑥 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3 ∙ 2 − 1) ∙ [(√2∙ 22 − 5 ∙ 2 + 3 3 ) 2 + (√2 ∙ 22 − 5 ∙ 2 + 3 3 ) + 1] (2 ∙ 2 − 1) ∙ [(√3∙ 22 − 7 ∙ 2 + 1 3 ) 2 − (√3 ∙ 22 − 7 ∙ 2 + 1 3 ) + 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5 ∙ [(√8− 10 + 3 3 ) 2 + (√8 − 10 + 3 3 ) + 1] 3 ∙ [(√12− 14 + 1 3 ) 2 − (√12− 14 + 1 3 ) + 1] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5 ∙ [(1)2 + 1 + 1] 3 ∙ [(−1)2 − (−1)+ 1] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5 ∙ [1 + 1 + 1] 3 ∙ [1 + 1 + 1] = 15 9 = 5 3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 √𝟑𝒙 𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏 𝟑 + 𝟏 √𝟐𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 𝟑 − 𝟏 = 𝟓 𝟑 __________________________________________________________________________________________ 62. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √5𝑥 + 4 − 3 √ 𝑥 − 2 3 + 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √5 ∙ 1 + 4 − 3 √1− 2 3 + 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √5𝑥 + 4 − 3 √ 𝑥 − 2 3 + 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√5𝑥 + 4 − 3)(√5𝑥 + 4 + 3) [(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 )(1)+ (1)2 ] (√ 𝑥 − 2 3 + 1) [(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 )(1) + (1)2](√5𝑥 + 4 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√5𝑥 + 4 − 3)(√5𝑥 + 4 + 3)[(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] (√ 𝑥 − 2 3 + 1) [(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1](√5𝑥 + 4 + 3) =
  27. 27. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 27 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 [(√5𝑥 + 4) 2 − (3)2 ][(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] ( √ 𝑥 − 2 3 + 1)[(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] (√5𝑥 + 4 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (5𝑥 + 4 − 9)[(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] [(√ 𝑥 − 2 3 ) 3 −(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 + ( √ 𝑥 − 2 3 ) + (√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1](√5𝑥 + 4 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (5𝑥 − 5)[(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] [(√ 𝑥 − 2 3 ) 3 − (√ 𝑥 − 2 3 ) 2 + (√ 𝑥 − 2 3 ) + ( √ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1](√5𝑥 + 4 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (5𝑥 − 5)[(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] [ 𝑥 − 2 + 1](√5𝑥 + 4 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 5( 𝑥 − 1) [(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] ( 𝑥 − 1)(√5𝑥 + 4 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 5 ∙ [(√ 𝑥 − 2 3 ) 2 − (√ 𝑥 − 2 3 ) + 1] (√5𝑥 + 4 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 5 ∙ [(√1− 2 3 ) 2 − (√1 − 2 3 ) + 1] (√5 ∙ 1 + 4 + 3) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 5 ∙ [(√−1 3 ) 2 − (√−1 3 ) + 1] (3 + 3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 5 ∙ [1 + 1 + 1] (3 + 3) = 15 6 = 5 2 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √ 𝟓𝒙+ 𝟒 − 𝟑 √ 𝒙− 𝟐 𝟑 + 𝟏 = 𝟓 𝟐 __________________________________________________________________________________________ 63. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √5𝑥 − 2 3 − 2 √ 𝑥 − 1 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √5 ∙ 2 − 2 3 − 2 √2 − 1 − 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √5𝑥 − 2 3 − 2 √ 𝑥 − 1 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( √5𝑥 − 23 − 2) [(√5𝑥 − 23 ) 2 + (√5𝑥 − 23 )(2) + (2)2 ](√ 𝑥 − 1 + 1) (√ 𝑥 − 1 − 1)(√ 𝑥 − 1 + 1) [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + ( √5𝑥 − 2 3 )(2)+ (2)2] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( √5𝑥 − 2 3 − 2) ∙ [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] (√ 𝑥 − 1 + 1) (√ 𝑥 − 1 − 1)(√ 𝑥 − 1 + 1) ∙ [( √5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(√5𝑥 − 2 3 ) 3 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 4(√5𝑥 − 2 3 ) − 2(√5𝑥 − 2 3 ) 2 − 4(√5𝑥 − 2 3 ) − 8](√ 𝑥 − 1 + 1) [(√ 𝑥 − 1) 2 − (1)2] ∙ [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 [(5𝑥 − 2) + 2(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 4(√5𝑥 − 2 3 ) − 2(√5𝑥 − 2 3 ) 2 − 4(√5𝑥 − 2 3 ) − 8](√ 𝑥 − 1 + 1) [ 𝑥 − 1 − 1] ∙ [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] =
  28. 28. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 28 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (5𝑥 − 10)(√ 𝑥 − 1 + 1) ( 𝑥 − 2) ∙ [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5( 𝑥 − 2)(√ 𝑥 − 1 + 1) ( 𝑥 − 2) ∙ [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5(√ 𝑥 − 1 + 1) [(√5𝑥 − 2 3 ) 2 + 2(√5𝑥 − 2 3 ) + 4] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5(√2 − 1 + 1) [(√5∙ 2 − 2 3 ) 2 + 2(√5 ∙ 2 − 2 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 5(1 + 1) [(√10 − 2 3 ) 2 + 2(√10− 2 3 ) + 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 10 [(√8 3 ) 2 + 2(√8 3 )+ 4] = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 10 [4 + 4 + 4] = 10 12 = 5 6 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 √ 𝟓𝒙 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 √ 𝒙 − 𝟏 − 𝟏 = 𝟓 𝟔 __________________________________________________________________________________________ 64. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √3𝑥3 − 5𝑥 + 6 − 2 √𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 + 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 √3 ∙ (1)3 − 5 ∙ (1) + 6 − 2 √(1)2 − 3 ∙ (1)+ 1 3 + 1 = 0 0 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √3𝑥3 − 5𝑥 + 6 − 2 √𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 + 1 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 − 2)(√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − ( √𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 )(1) + (1)2 ] (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 + 1)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 )(1) + (1)2](√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 − 2)(√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − ( √𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 + 1)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] (√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 [(√3𝑥3 − 5𝑥 + 6) 2 − (2)2 ][(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] [(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 3 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 3 + (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1](√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 [(3𝑥3 − 5𝑥 + 6) − 4] [(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] [(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 3 + 1](√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (3𝑥3 − 5𝑥 + 2)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] [ 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 1](√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) =
  29. 29. Limite - Exercícios Resolvidos - Lista 1 Professor Alan - Matemático www.calculandocerto.com.br calculandocerto@gmail.com Calculando Certo Página 29 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (3𝑥3 − 5𝑥 + 2)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] ( 𝑥2 − 3𝑥 + 2)(√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥 − 1)(3𝑥2 + 3𝑥 − 2)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] ( 𝑥 − 1)( 𝑥 − 2)(√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (3𝑥2 + 3𝑥 − 2)[(√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) 2 − (√𝑥2 − 3𝑥 + 1 3 ) + 1] ( 𝑥 − 2)(√3𝑥3 − 5𝑥 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (3 ∙ 12 + 3 ∙ 1 − 2)[(√12 − 3 ∙ 1 + 1 3 ) 2 − (√12 − 3 ∙ 1 + 1 3 ) + 1] (1 − 2)(√3∙ 13 − 5 ∙ 1 + 6 + 2) = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 4 ∙ [1 + 1 + 1] −1 ∙ (2 + 2) = − 12 4 = −3 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 √𝟑𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟔 − 𝟐 √𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟑 + 𝟏 = −𝟑

×