Resumo teorico matematica afa

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Resumo teorico matematica afa

  1. 1. AFA – Resumo Teórico Matemática
  2. 2. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 1 MATEMÁTICA – FRENTE 1 CONJUNTOS 1 - Noções Básicas Conjunto: é uma coleção de elementos. a) vazio: não possui elementos b) unitário: possui um único elemento c) universo: conjunto que possui todos os elementos Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax ∈⇒ . Caso contrário, Ax ∉ . Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ . Operações com conjuntos: a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪ b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩ c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=− Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à B é o conjunto ABCB A −= . União de dois conjuntos: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪ Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. 2 – Conjuntos Numéricos Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0} Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações e por dízimas periódicas. Números irracionais: são todos os números que não podem ser escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I. Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais. Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}. TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f:A→B é chamada função quando associa a cada elemento de A um único elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os elementos que estão em correspondência com os elementos de A. Classificações a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio. b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2). c) bijetora: função injetora e sobrejetora d) função par: f(x) = f(-x) e) função ímpar: f(x) = -f(-x) obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares. Função composta: chama-se função composta, ou função de uma função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por uma outra função. Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma função f-1 :B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1 (y)=x. Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a expressão da função inversa de f. Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então x)x)(ff( 1 =− . FUNÇÕES E EQUAÇÒES 1- Função do 1o grau Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta. Função crescente Função decrescente Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0. a b x0bax − =⇒=+ 2- Função do 2o grau Definição: f(x) = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola. Zeros da função do 2o grau: ax2 +bx+c=0 a.2 b x c.a.4b2 Δ±− = −=Δ Aqui, temos: a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois pontos distintos). b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x) c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não passa pelo eixo x). Vértice: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ−− a4 ; a2 b . 3- Função modular Definição: f(x) = |x| ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ = 0xx 0xx xf , , )( Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo )x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações esse tipo de equações devemos estudar o sinal de f e aplicar a definição de módulo: ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ = 0)x(fquando),x(f 0)x(fquando),x(f )x(f ⎩ ⎨ ⎧ <=− ≥= ⇒= 0)x(fquando),x(g)x(f 0)x(fquando),x(g)x(f )x(g)x(f 4- Função exponencial Definição: f(x) = ax , onde a é constante positiva. a) a > 1 f é crescente x2>x1 ⇒ y2>y1 Imagem = IR+ b) 0<a<1 f é decrescente x2>x1 ⇒ y2<y1 Imagem = IR+
  3. 3. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 2 Equação exponencial: são equações que possuem termos com expoentes. Observe que se a > 0 então é impossível existir solução para a equação ax = 0. 5- Função logaritmo Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog x a =⇔= . Propriedades dos logaritmos 1) clogblogc.blog aaa += 2) blog.mblog a m a = 3) clogblog c b log aaa −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4) alog blog blog c c a = Definição: f(x) = loga x. a) a>1: f é crescente Imagem = IR Domínio = IR+ b) 0<a<1: f é decrescente Imagem = IR Domínio = IR+ Condição de existência do logaritmo: a função log só existe quando a base é positiva e diferente de 1 e quando x > 0. Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser resolvida a partir das propriedades de logaritmos. Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja, são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar um modo de resolução específico para cada equação. SEQÜÊNCIAS 1- Progressão aritmética Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Termo geral: r).1n(aa 1n −+= Soma dos n primeiros termos: 1( ). 2 n n a a n S + = 2- Progressão geométrica Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos consecutivos é sempre constante. Termo geral: 1n 1n qaa − = Soma dos n primeiros termos: 1(1 ) 1 n n a q S q − = − NÚMEROS COMPLEXOS Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais. Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o número z é chamado imaginário puro. Conjugado: i.baz −= Módulo: 2 2 | |z a b= + Forma trigonométrica: )sen.i.(coszz α+α= Obs: o ângulo α é chamado argumento do número complexo, e é medido a partir do eixo real no sentido anti-horário. Forma exponencial: α = i e.zz Operações com números complexos Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i: 22 21 2 1 21 21 21 z.z z.z z z i)bcad()bdac(zz i).db()ca(zz i).db()ca(zz = ++−= −+−=− +++=+ dica: use a propriedade distributiva na multiplicação Multiplicação e divisão na forma trigonométrica )sen.i(coszz )sen.i(coszz β+β= α+α= 22 11 )](sen.i).[cos( z z z z )](sen.i).[cos(z.zz.z β−α+β−α= β+α+β+α= 2 1 2 1 2121 Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um número inteiro então: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π+θ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π+θ = θ+θ= n k sen.i n k cos.zz )]n(sen.i)n[cos(zz nn nn 22 Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos, para cada k, uma raiz diferente. POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de grau n é toda expressão do tipo n n xaxaxaaxP ++++= ...)( 2 210 , onde os valores a0, a1, ..., an são constantes. Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus termos correspondentes são iguais. Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os coeficientes de P são nulos. Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um polinômio igualado a zero, ou seja: 0...2 210 =++++ n n xaxaxaa . Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as raízes de um polinômio. Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em: ))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−= onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio. Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com coeficientes reais e o número complexo a + b.i é raiz de P(x) então seu conjugado a – b.i também é raiz. Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x). )(R(x) D(x))( xQ xP Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão de P(x) por (x-a): ..... 1 011 − − + nnn nn aaaa aaaaa Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o esquema acima; Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente; Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o segundo coeficiente; Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo anterior, até o último coeficiente; Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os outros são os coeficientes do polinômio Q(x). Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a). Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com coeficientes inteiros. Se P adimite uma raiz racional p/q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an. Relações de Girard a) ax2 +bx+c=0 b) ax3 +bx2 +cx+d=0 a c P a b S = − = a d P a c S a b S − == − = 2 c) anxn +an-1xn-1 +...+a1x +a0=0 n n n pnp p n n n n a a P a a S a a S a a S 0 2 2 1 )1( )1( −= −== − = −−− Obs: aqui, Sp indica a soma dos produtos das raízes tomadas p a p.
  4. 4. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 3 MATEMÁTICA – FRENTE 2 MATEMÁTICA BÁSICA 1- Potenciação Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado um número real a, temos vezesn n a...aaa ×××= . Propriedades 1) se 1a0a 0 =⇒≠ 2) n n a 1 a =− 3) nnn b.a)b.a( = 4) n nn b a b a =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5) mnmn aa.a + = 6) mn m n a a a − = 7) m.nmn a)a( = 2- Radiciação Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se n é um inteiro tal que n > 1, temos: nn abab =⇒= Propriedades 1) nn 1 aa = (raiz escrita na forma de potência) 2) n mp.n p.m aa = 3) nnn b.ab.a = 4) nmm n a=a ⋅ Racionalização de denominadores: a racionalização de denominadores consiste em transformar um denominador irracional, indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua fração. 1 1 1) . n nn p n p n n np p n p a a aa a a − − − = = ( ) ( ) 2 2 1 1 b 2) = = = a - b a - b a - a b a a b a bb a b + + + ⋅ −+ ( ) ( ) 2 2 1 1 - - b - 3) = = = a + b a + b a - - a b a a b a bb a b ⋅ − 3- Produtos Notáveis 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 ( )( ) ( ) 2. . ( ) 2. . ( ) 3. . 3. . ( ) 3. . 3. . ( )( ) ( )( ) a b a b a b a b a a b b a b a a b b a b a a b a b b a b a a b a b b a b a b a ab b a b a b a ab b − = + − + = + + − = − + + = + + + − = − + − − = − + + + = + − + 4- Aritmética Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser decomposto como produto de seus fatores primos. Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide simultaneamente uma série de números dados. Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo simultaneamente de uma série de números dados. Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a = 5- Regra de Três Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção. X K Y = Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. KY.X = Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. Z W K Y X == Z W.Y X Z W Y X =⇒=⇒ Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais. D.CKB.A == B C D A D.CB.A =⇒= Regra de três composta: regra de três composta é um processo que relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações Situação Grandeza 1 Grandeza 2 ........... Grandeza n 1 A1 B1 ........... X1 2 A2 B2 ........... X2 Aqui, temos dois casos: 1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n, basta resolvermos a proporção: .....2D.2C.2B.2A .....1D.1C.1B.1A 2X 1X = 2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo, que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n: .....2D.2C.1B.2A .....1D.1C.2B.1A 2X 1X = 6- Matemática financeira Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o capital aplicado e M é o montante final (capital + juros). Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros. jCt.i.cCM t.i.Cj +=+= = Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao capital, proporcionando juros sobre juros. CMj )i1.(CM t −= += BINÔMIO DE NEWTON Fatorial: 1.2)...2)(1(! −−= nnnn Obs: 0! = 1 e 1! = 1 Número binomial: )!pn(!p !n p n − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Triângulo de Pascal: 14641 1331 121 11 1 Obs: a soma dos elementos da linha n é igual a n 2 . Relação de Stifel: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1p 1n 1p n p n Binômios de Newton: são todas as potências da forma (a+b)n , com n natural. iin n i n ba i n ba − = ∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+ 0 )( Termo geral do binômio ppn p ba p n T − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =1
  5. 5. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 4 ANÁLISE COMBINATÓRIA Permutações: !nPn = Permutações circulares: )!1( −= nPn Permutações com elementos repetidos: !...!. !,..., ba n P ba n = Arranjos: )!( ! , pn n A pn − = Combinações: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = p n pnp n C pn )!(! ! , PROBABILIDADE Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento. O total de elementos do espaço é dado por n(E). Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. O número de elementos de um evento A é dado por n(A). Definição de probabilidade: a probabilidade de um determinado evento A acontecer é: ⎩ ⎨ ⎧ − − = amostralespaçoE eventoA onde )E(n )A(n )A(P Probabilidade condicional: probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um outro evento B ocorreu antes. Aqui, como B já ocorreu, ele se torna nosso novo espaço amostral. Assim: )( )( )( )( )/( Bp BAp Bn BAn BAp ∩ = ∩ = União de eventos: )BA(p)B(p)A(p)BA(p ∩−+=∪ Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de A não interfere na ocorrência de B. Nesse caso, temos )B(p).A(p)BA(p =∩ . Eventos mutuamente excludentes: dois eventos A e B são mutuamente excludentes quando a ocorrência de A faz com que o evento B não aconteça, e vice-versa. Nesse caso, temos 0)BA(p =∩ e )B(P)A(p)BA(p +=∪ . TRIGONOMETRIA Trigonometria no triângulo retângulo opostocateto seno hipotenusa = , cos cateto adjacente seno hipotenusa = opostocateto tagente cateto adjascente = Lei dos Senos R2 Csen c Bsen b Asen a === ∧∧∧ Lei dos Cossenos a2 = b2 + c2 – 2bc . cos ∧ A Principais relações trigonométricas 2 2 cos 1sen α α+ = ( ) .cos cos . .sen sen senα β α β α β+ = + ( ) cos .cos . .cos sen senα β α β α β+ = − ( ) 1 . tg tg tg tg tg α β α β α β + + = − . . 2. . .cos. 2 2 p q p q sen p sen q sen + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . . 2.cos .cos. 2 2 p q p q cos p cos q + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ MATRIZES Definição: uma matriz n x m é uma tabela numérica com n linhas e m colunas. Se m = n, a matriz é chamada quadrada de ordem n. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nmn m aa aa A 1 111 Multiplicação por um número: seja x um número qualquer. Quando fazemos x.A, multiplicamos todos os elementos de A por x: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nmn m nmn m axax axax Ax aa aa A .. .. . 1 111 1 111 Soma de matrizes: quando A=(aij) e B=(bij) são matrizes de mesma ordem (n x m), então: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ =+ nmnmnn mm baba baba BA 11 111111 Multiplicação de matrizes: para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B. Se C = A.B, então: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ ++++ = nnnnnnnnn nnnnnn babababa babababa C ........ ......... 1111111 1111111111 Obs: se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q. Matriz inversa: dada uma matriz quadrada A, dizemos que a possui uma inversa quando existe B de mesma ordem tal que A.B = B.A = I. Nesse caso, B = A-1 . Matriz transposta (At ): matriz formada trocando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. Matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica quando A = At . Matriz anti-simétrica: uma matriz é chamada anti-simétrica quando A = - At . DETERMINANTES Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij. Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j .Dij. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Cálculo do determinante para ordens 1 e 2 ( ) bcad dc ba A dc ba A aaAaA −==⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ==⇒= det det Propriedades 1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 2) det(A) = det(A t ). 3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. 4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. 5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é nulo. 6) det(A -1 ) = 1/det A. 7) det(A.B) = det A.det B 8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = k n . det A Existência da matriz inversa: Uma matriz A só possui inversa se tem determinante não-nulo.
  6. 6. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 5 SISTEMAS LINEARES Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente é 1: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ... ... ... 2211 22222121 11212111 A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz as m equações acima. Forma matricial ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa 2 1 2 1 21 22221 11211 ... ... ... Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando b1=b2=...=bn=0. Classificação de sistemas lineares a) possível e determinado: só possui 1 solução; b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções; c) impossível: não possui soluções. Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado. Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto- solução. Propriedades: 1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente; 2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior. Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. MATEMÁTICA – FRENTE 3 GEOMETRIA PLANA 1- Triângulos Teorema de Tales r//s//t EF DE BC AB = Semelhança de Triângulos ⇔ΔΔ '''~ VBAABC ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == = = = ⇔ ∧∧ ∧∧ ∧∧ 'c c 'b b 'a a e 'CC 'BB 'AA Razão entre linhas homólogas: admitindo que k é a razão de semelhança, temos: ΔABC~ΔA’B’C’ k 'c'b'a cba 'm m 'h h 'c c 'b b 'a a = ++ ++ ===== Teorema fundamental ABC~ADEBC//DE ΔΔ⇒ Base média do triângulo ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = 2 BC MN BC//MN NCAN e BMAM Relações Métricas no Triângulo Retângulo a2 = b2 + c2 b2 = a . n c2 = a . m b . c = a . h h2 = m . n Área do Triângulo 2 h.a S = 2 αsencb S •• = ( )( )( )cpbpappS −−−= ; 2 cba p ++ = R4 abc S = a,b,c – lados do triângulo R - raio da circunferência circunscrita rp 2 rcba S . ).( = ++ = a,b,c – lados do triângulo p – semiperímetro r – raio da circunferência inscrita 2- Quadriláteros Base média do trapézio 2 ba MN + = Área dos Paralelogramos: a área de qualquer paralelogramo é dada por: S = (base) . (altura) Paralelogramo Qualquer S = a • h Retângulo SR = a • b Losango . . 2 D d S h= =
  7. 7. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 6 Quadrado 2 S = Trapézio 2 h).ba( S + = Área do Círculo e de Suas Partes Obs: O comprimento da circunferência é dado por S = 2πr Círculo S = πr2 Coroa Circular S = π.(R2 – r2 ) Setor Circular 2 o r 360 S π• α = 2 r S • = Áreas de Figuras Semelhantes Se, em duas figuras semelhantes, a razão entre as linhas homólogas é igual a k, a razão entre as áreas é igual a k2 . GEOMETRIA ANALÍTICA Ponto Médio e Distância de Dois Pontos 2 A B M x x x + = 2 ba m yy y + = ( ) ( )2 BA 2 BAAB YYXXd −+−= Equação Da Reta - Coeficiente Angular m = tg θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π ≠θ 2 BA BA XX YY m − − = Formas da Equação da Reta Equação geral: ax+by+c=0 Equação reduzida: y = mx + q m é o coeficiente angular q é o coeficiente linear 1 1 0 1 A A B B x y x y x y = Distância de Ponto a Reta ( ) 0 0 , 2 2p r ax by c d a b + + = + Retas Paralelas r// s ⇒ mr = ms Retas Perpendiculares mr.ms= -1 Equação Da Circunferência (x – xc)2 + (y – yc)2 = r2 Obs: uma equação redutível à forma x2 + y2 + αx + βy + γ representa uma circunferência de centro C = (xC; yC) e raio r, onde γyxre 2 β y, 2 α x 2 C 2 CCC −+=−=−= , desde que 02 cy2 cx >γ−+ Área do Triângulo 2 SABC Δ = , onde 1 1 1 A A B B C C x y x y x y Δ = GEOMETRIA ESPACIAL 1- Prismas Cubo 3ad = Área Total = 6a2 V = a3 Paralelepípedo reto retângulo Área Total = 2(ab+bc+ac) V = abc 2c2b2ad ++= Prisma regular: o prisma regular é reto e sua base é um polígono regular. O volume de qualquer prisma é dado pela fórmula: V = (área da base).(altura) 2- Piramides Volume: o volume de qualquer pirâmide é dado por )altura).(basedaárea( 3 1 V = Pirâmide regular: a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a base é o centro da mesma. Tetraedros notáveis Tetraedro tri-retângulo Tetraedro regular (todas as arestas são congruentes) 3- Cilindro Cilindro oblíquo (g – geratriz) Cilindro reto Volume: o volume de qualquer cilindro é dado pela fórmula: V = (área da base).(altura) Obs: de um cilindro circular reto é possível calcular a área lateral e a área total: St = 2πrh St = 2πr(h + r)
  8. 8. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 7 4- Cone Cone oblíquo Cone reto Volume: o volume de qualquer cone é dado por: )altura).(basedaárea( 3 1 V = Área lateral: num cone reto, a planificação da superfície lateral é um setor circular cujo raio é a geratriz. Área lateral = πrg Área Total = πr(g + r) g r2π =θ (θ em radianos) 5- Esfera área = 4πr2 3 E r 3 4 V π= 6- Sólidos semelhantes São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes) proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão entre dois elementos lineares homólogos. Assim: 2 31 1 2 2 A Vh k k k H A V = = = Onde: h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido; H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido. 7- Relação de Euler: V – A + F = 2

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