1. MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS Oleh A. Gustang

3. MATERI PERKULIAHAN 1. Pendahuluan Sifat-SifatMatemaikaEkonomidanBisnis 2. KonsepDasarMatematikadanEkonomiBisnis Model Ekonomi 3. Macam-macamFungsidalamEkonomidanBisnis Fungsi Linear Fungsi Non Linear FungsiEksponen 4. MatematikaKeuangan

5. Bedakan: MatematikaMurni & Terapan

6. MatematikaMurni: lambang2 ygdigunakanmenyatakankonsepabstrakygnilainyasesuaidefinisinya (mis. - 5 < X < 12)

8. Model ekonomi Model Ekonomi= Penyederhanaanhubunganantaravariabel-variabelekonomi. Model Ekonomidapatberbentuk model matematikadan non-matematika. Apabilaberbentuk model matematika, makaakanterdiriatassatuatausekumpulanpersamaan. Persamaanterdiriatassejumlahvariabel, konstanta, koefisien, dan/atau parameter.

9. VARIABEL, KONSTANTA, KOEFISIEN, DAN PARAMETER Variabeladalahsesuatu yang nilainyadapatberubah-ubahdalamsuatumasalahtertentu. Misalnya; Harga (Price) = P; Jumlahygdiminta/ditawarkan (Quantity) = Q; Biaya (Cost) = C; Penerimaan (Revenue) = R; Investasi (Investment) = I; Tingkat Bunga (Interest Rate) = I dll. Variabelterdiridari; Variabel Endogen = suatuvariabelygnilaipenyelesaiannyadiperolehdaridalam model; VariabelEksogen= suatuvariabel yang nilai-nilainyadiperolehdariluar model, atausudahditentukanberdasarkan data yang ada.

10. Konstantaadalahsuatubilangannyatatunggal yang nilainyatidakberubah-ubahdalamsuatumasalahtertentu. Koefisienadalahangkapengalikonstanterhadapvarabelnya. (Misal 5R; 4P; atau 0.3C) Parameter adalahsuatunilaitertentudalamsuatumasalahtertentudanmungkinakanmenjadinilai yang lain padasuatumasalah yang lainnya. (Biasanyadilambangkan dg hurufawalabjadyunaniatau Arab, Misalnyaα, β, danҲatau a, b dan c.

11. Persamaandanpertidaksamaan Persamaanadalahpernyataanbahwadualambangadalahsama. disimbolkandengantanda = (baca “samadengan”), sedangkan Pertidaksamaanadalahsuatupernyataan yang menyatakanbahwadualambangadalahtidaksama. Disimbolkandengantanda < (baca “lebihkecil”) atau > (baca: “lebihbesar)

12. PersamaandalamMatematikaEkonomidanBisnisterdiridariTigaMacam, yaitu: PersamaanDefinisi (Identity, =) adalahsuatubentukkesamaandiantaraduapernyataan yang mempunyaiarti yang sama. PersamaanPerilaku (behaioral equation) adalahsuatupersamaanygmenunjukkanbahwaperubahanperilakusuatuvariabelsebagaiakibatdariperubahanvariabellainnyaygadahubungannya. KondisiKeseimbanganadalahsuatupersamaanygmenggambarkanpersyaratanuntukpencapaiankeseimbangan (equilibrium). Misalnya; Qd = Qs ; S = I

13. Sistembilangannyata

14. BilanganRasionaladalahbilangan yang angkadesimalnyaberakhirdengannolatauberulang. (misalnya; 5/1 = 5,00; 1/3 = 0,333 BilanganIrasionaladalahbilangan yang angkadesimalnyatidakberakhirdengannolatautidakberulang. (misalnya; √2 = 1,41423… )

15. Konsepdanteorihimpunan KonsepHimpunanadalahsuatukonsepyg paling mendasarbagiilmumatematika modern padaumumnyadandibidangilmuekonomidanbisnispadakhususnya. Karenadalambidangekonomidanbisnisterutamadalamhalpembentukan model kitaharusmenggunakansehimpunan/sekelompok data observasidarilapangan.

16. Definisidanpenulisanhimpunan Himpunanadalahkelompokdariobjek-objek yang berbeda. Objek-objekdalamhimpunandisebutelemenhimpunan. Penulisanhimpunanada 2 cara, yaitu; 1. Denganmendaftarkansatu per satu. Misal; S adalahhimpunandaribilanganbulatpositifdari 1 sampai 5, dapatditulismenjadi. S = {1,2,3,4,5}. 2. Dengancaradeskriptif. Misal; B adalahsuatuhimpunandarisemuabilanganbulatypositif, dapatditulismenjadi; B = {x|xbilanganbulatpositif}

17. Operasi Himpunan Gabungan (Union) notasi U Irisan(Intersection) notasi∩ Selisihnotasi (-) HimpunanBagian (subset) notasiс Pelengkap(complement) misal Him. AC

18. a  A berarti a anggota him A a  A berarti a bukananggota him A notasiuntukhimpunankosong  atau { } Beberapa notasi Himpunan

19. Kaidah matematika dlm Himpunan Idempoten A  A = A AU A = A Asosiatif (A  B)  C = A  (B  C) Komutatif A  B = B  A Distributif AU(B  C) = (AUB)  (AUC)

20. Identitas A U = A A U S = S Kelengkapan A U Ac = S (Ac)c = A De Morgan (AUB)c = Ac Bc

21. FUNGSI Penerapanfungsidalamekonomidanbisnismerupakansalahsatubagian yang sangatpentinguntukdipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentukmatematikabiasanyadinyatakandenganfungsi. Fungsidalammatematikamenyatakansuatuhubungan formal diantaraduahimpunan data. Jikahimpunan data tersebutadalahvariabel, makafungsidapatdikatakansebagaihubunganantaraduavariabel.

22. Fungsiadalahsuatubentukhubunganmatematis yang menyatakanhubunganketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuahfungsidibentukolehbeberapaunsuryaitu: variabel, koefisien, dankonstanta. Variabeldankoefisiensenantiasaterdapatdalamsetiapfungsi. Variabeladalahunsurpembentukfungsi yang mencerminkanataumewakilifaktor (data) tertentu, dilambangkandenganhuruf-huruflatin. Berdasarkankedudukanatausifatnya, didalamsetiapfungsiterdapatduamacamvariabelyaituvariabelbebas(independent variable) danvariabelterikat (dependent variable). Variabelbebasadalahvariabel yang nilainyatidaktergantungpadavariabel lain, sedangkanvariabelterikatadalahvariabel yang nilainyatergantungpadavariabel lain.

23. Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabeldalamsebuahfungsi. Konstantaadalahbilanganatauangka yang (kadang-kadang) turutmembentuksebuahfungsitetapiberdirisendirisebagaibilangan (tidakterkaitpadasuatuvariabeltertentu). y = 5 + 0,8x y : variabelterikat x : variabelbebas 0,8 : koefisienvariabel x 5 : konstanta Sedangkannotasisebuahfungsisecaraumumadalah: y = f(x)

24. FUNGSI LINIER Fungsi linieradalahfungsi yang paling sederhanakarenahanyamempunyaisatuvariabelbebasdanberpangkatsatupadavariabelbebastersebut, sehinggaseringdisebutsebagaifungsiberderajadsatu. Bentukumumpersamaan linier adalah: y = a + bx; dimana a adalahkonstantadan b adalahkoefisien (b≠0). Atauseringdinyatakandalambentukimplisitberikut: Ax + By + C = 0

25. A. KEMIRINGAN DAN PENGGAL GARIS Sesuaidengannamanyafungsi linier jikadigambarkanpadakoordinatcartesiusakanberbentukgarislurus (linier). Kemiringanpadasetiaptitik yang terletakpadagarislurustersebutadalahsama. Hal iniditunjukkanolehkoefisien b padapersamaany = a + bx. Koefisieniniuntukmengukurperubahannilaivariabelterikaty sebagaiakibatdariperubahanvariabelbebasx sebesarsatu unit. Sedangkan a adalahpenggalgarispadasumbuvertikal(sumbuy). Penggal a mencerminkannilai y pada kedudukan x = 0. Kemiringan (slope)darifungsi linier adalahsamadenganperubahanvariabelterikat x dibagidenganperubahandalamvariabelbebasy. Kemiringanjugadisebutgradien yang dilambangkandenganhuruf m. Jadi: Kemiringan = m =

26. Sebagaicontoh, y = 15 – 2x, kemiringannyaadalah –2. Iniberartibahwauntuksetiapkenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

27. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS Sebuahpersamaan linier dapatdibentukmelaluibeberapamacamcara, antara lain: (1) metode dua titik dan (2) metode satu titik dan satu kemiringan. 1. MetodeDuaTitik Apabiladiketahuiduatitik A dan B dengankoordinatmasing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:

28. misaldiketahuititik A (2,3) dantitik B (6,5), makapersamaanliniernyaadalah: 4y – 12 = 2x – 4 4y = 2x + 8 Y = 0,5x + 2

29. 2. Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan Dari sebuahtitik A (x1, y1) dansuatukemiringan (m)dapatdibentuksebuahpersamaan linier denganrumussebagaiberikut; y – y1 = m (x – x1) Misaldiketahuititik A (2,3) dankemiringanm=0,5 makapersamaanliniernyaadalah: y – y1 = m (x – x1) y – 3 = 0,5(x – 2) Y – 3 = 0,5x – 1 Y = 0,5x + 2

30. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Duabuahgarislurusmempunyaiempatmacamkemungkinanbentukhubunganberimpit, sejajar, berpotongandantegaklurus. a. Berimpit b. Sejajar c. Berpotongan d. Tegaklurus

31. Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsionalterhadap) persamaan garis yang lain. Sejajar, duabuahgarisakansejajarapabilakemiringangaris yang satusamadengankemiringangaris yang lain (m1 = m2). Berpotongan, duabuahgarisakanberpotonganapabilakemiringangaris yang satutidaksamadengankemiringangaris yang lain (m1 ?m2). Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikandarikemiringangaris yang lain dengantanda yang berlawanan (m1 = - 1/m2). Atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan –1 (m1 x m2 = -1).

32. Latihan: 1. Carilahkemiringandantitikpotongsumbu y padapersamaangarisberikutini: a. 3x – 2y + 12 = 0 b. 2x – 5y – 10 = 0 c. 4x – 6y = 10 2. Untuksetiappasangantitik-titikkoordinatberikutcarilahpersamaangarislurusnya: a. (3,5) dan (10,2) b. (-6,-4) dan (10,8) 3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan garislurusnya: a. (2,6), m = 0,4 b. (5,8), m = -1,6 4. Tentukanhimpunanpenyelesaiandarisistempersamaan linier berikutdenganmetodeeliminasi: a. 2x – 3y = 5 dan 3x – 2y = -4 b. 4x + 3y = 16 dan x – 2y = 4 5. Tentukanhimpunanpenyelesaiandarisistempersamaan linier berikutdenganmetodesubstitusi: a. x – y = 2 dan 2x + 3y = 9 b. x – y = -1 dan 3x + 2y = 12 6. Tentukanhimpunanpenyelesaiandarisistempersamaan linier berikutdenganmetodedeterminan: a. x + y = 5 dan 2x + 3y = 12 b. 2x – 3y = 13 dan 4x + y = 15

33. SISTEM PERSAMAAN LINIER Penyelesaiansuatusistempersamaan linier adalahsuatuhimpunannilaiyang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atausecarasederhanapenyelesaiansistempersamaan linier adalahmenentukantitikpotongdariduapersamaan linier. Adatigacara yang dapatdigunakanuntukpenyelesaiansuatusistempersamaan linier, yaitu: (1). MetodeSubstitusi, (2). MetodeEliminasi, dan (3). MetodeDeterminan.

34. MetodeSubstitusi Misal: carilahnilaivariabelx dan y dariduapersamaanberikut: 2x+3y=21 danx+4y=23 ? Jawab: Salahsatupersamaandirubahdahulumenjadi y = ... atau x = .... Misalpersamaan x+4y=23 dirubahmenjadi x=23-4y. Kemudiandisubstitusikankedalampersamaan yang satu. x = 23-4y Þ 2x + 3y = 21 2(23-4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21 25 = 5y y = 5 Untukmendapatkannilai x, substitusikan y = 5 kedalamsalahsatupersamaan. y = 5 Þ 2x + 3y = 21 2x + 3(5) = 21 2x + 15 = 21 2x = 21 – 15 x = 6/2 x = 3 Jadihimpunanpenyelesaian yang memenuhikeduapersamaantersebutadalahhimpunanpasangan (3,5)

35. MetodeEliminasi Misal: carilahnilaivariabelx dan y dariduapersamaanberikut: 3x-2y=7 dan2x+4y=10 ? Jawab: Misalvariabel yang hendakdieliminasiadalah y 3x - 2y = 7 |x 2| 6x – 4y = 14 2x + 4y = 10 |x 1| 2x + 4y = 10 + 8x + 0 = 24 x = 3 Untukmendapatkannilai y, substitusikan x = 3 kedalamsalahsatupersamaan. x = 3 Þ 3(3) - 2y = 7 -2y = 7 – 9 2y = 2 y = 1 Jadihimpunanpenyelesaian yang memenuhikeduapersamaantersebutadalahhimpunanpasangan (3,1)

36. MetodeDeterminan ax + by = c dx + ey = f Nilaix adalah: x = Nilai y adalah; y = Misal persamaan pada soalsebelumnyayaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akandiselesaikandengancaradeterminan:

37. Nilaix adalah: x = Nilai y adalah; y = Jadihimpunanpenyelesaian yang memenuhikeduapersamaantersebutadalahhimpunanpasangan (3,1)

38. PENERAPAN FUNGSI LINIER Fungsi linieradalahsuatufungsi yang sangatseringdigunakanolehparaahlielonomidanbisnisdalammenganalisadanmemecahkanmasalah-masalahekonomi. Hal inidikarenakanbahwakebanyakanmasalahekonomidanbisnisdapatdisederhanakanatauditerjemahkankedalam model yang berbentuk linier. Beberapapenerapanfungsi linier dalambidangekonomidanbisnisadalah: Fungsipermintaan, fungsipenawarandankeseimbanganpasar Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk PengaruhPajakdanSubsidiTerhadapKeseimbanganPasar. Fungsibiaya, fungsipendapatandananalisisPulangPokok(BEP=Break Even Point) Fungsi Konsumsi dan Tabungan ModelPenentuanPendapatanNasional

39. FUNGSI PERMINTAAN, FUNGSI PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASAR FUNGSI PERMINTAAN Fungsipermintaanmenunjukkanhubunganantarajumlahproduk yang dimintaolehkonsumendenganhargaproduk. Di dalamteoriekonomidijelaskanbahwajikaharganaikmakajumlahbarang yang dimintaturun, demikianjugasebaliknyabahwajikahargaturunmakajumlahbarang yang dimintanaik, sehinggagrafikfungsipermintaanmempunyaislope negatif (miring kekiri) Notasifungsipermintaanakanbarangx adalah: Qx = f (Px) Qx = a – b Px Atau Px =a/b – 1/b Qx dimana: Qx = Jumlahproduk x yang diminta Px = Hargaproduk x a dan b = parameter

40. Kurvapermintaan

41. FUNGSI PENAWARAN Fungsipenawaranmenunjukkanhubunganantarajumlahproduk yang ditawarkanolehprodusenuntukdijualdenganhargaproduk. Di dalamteoriekonomidijelaskanbahwajikaharganaikmakajumlahbarang yang ditawarkanbertambah, demikianjugasebaliknyabahwajikahargaturunmakajumlahbarang yang ditawarkanturun, sehinggagrafikfungsipermintaanmempunyaislope positif (miring kekanan) Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah: Qx = f (Px) Qx = -a + b Px Atau Px = a/b + 1/b Qx dimana: Qx = Jumlahproduk x yang ditawarkan Px = Hargaproduk x a dan b = parameter Contoh: Fungsi pernawaran P = 3 + 0,5Q

42. Kurvapenawaran

43. KESEIMBANGAN PASAR Pasarsuatumacambarangdikatakanberadadalamkeseimbangan (equilibrium) apabilajumlahbarang yang dimintadipasartersebutsamadenganjumlahbarang yang ditawarkan. Secaramatematikdangrafikditunjukanolehkesamaan: Qd = Qs atauPd = Ps yaitu perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.

44. Kurvakeseimbanganpasar

45. B. KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK Di pasarterkadangpermintaansuatubarangdipengaruhiolehpermintaanbarang. Inibisaterjadipadaduamacamprodukataulebih yang berhubungansecarasubstitusi (produkpengganti) atausecarakomplementer (produkpelengkap). Produksubstitusimisalnya: berasdengangandum, minyaktanahdengan gas elpiji, dan lain-lain. Sedangkanprodukkomplementermisalnya: tehdengangula, semen denganpasir, dan lain sebagainya. Dalampembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secaramatematisfungsipermintaandanfungsipenawaranproduk yang beinteraksimempunyaiduavariabelbebas. Keduavariabelbebas yang mempengaruhijumlahjumlah yang dimintadanjumlah yang ditawarkanadalah (1) hargaprodukitusendiri, dan (2) hargaproduk lain yang salingberhubungan.

46. Notasifungsipermintaanmenjadi: Qdx = ao – a1Px + a2Py Qdy = bo + b1Px - b2Py Sedangkanfungsipenawarannya: Qsx = -mo + m1Px + m2Py Qsy = -no + n1Px + n2Py

47. Dimana: Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X Qdy = Jumlah yang dimintadariproduk Y Qsx = Jumlah yang ditawarkandariproduk X Qsy = Jumlah yang ditawarkandariproduk Y Px = Hargaproduk X Py = Hargaproduk Y a0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta. Syaratkeseimbanganpasardicapaijika: Qsx = QdxdanQsy = Qdy

48. Contoh: Diketahuifungsipermintaandanfungsipenawarandariduamacamproduk yang mempunyaihubungansubstitusisebagaiberikut: Qdx = 5- 2Px + Py Qdy = 6 + Px - Py Dan Qsx = -5 + 4Px - Py Qsy = -4 - Px + 3Py Carilahhargadanjumlahkeseimbanganpasar !

49. PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR Adanyapajak yang dikenakanpemerintahataspenjualansuatubarangakanmenyebabkanprodusenmenaikkanhargajualbarangtersebutsebesartarifpajak per unit (t), sehinggafungsipenawarannyaakanberubah yang padaakhirnyakeseimbanganpasarakanberubah pula. Fungsipenawaransetelahpajakmenjadi: Ps = f(Q) + t atau Qs = f(P - t)

50. Contoh: Fungsipermintaansuatuprodukditunjukkanoleh P=15-Q danfungsipenawaran P=0,5Q+3. TerhadapprodukinipemerintahmengenakanpajaksebesarRp 3 per unir. Berapahargadanjumlahkeseimbanganpasarsebelumdansesudahkenapajak ? Berapabesarpajak per unit yang ditanggungolehkonsumen ? Berapabesarpajak per unit yang ditanggungolehprodusen ? Berapa besar penerimaan pajak total oleh pemerintah ?

51. subsidi Adanyasubsidi yang diberikanpemerintahataspenjualansuatubarangakanmenyebabkanprodusenmenurunkanhargajualbarangtersebutsebesarsubsidi per unit (s), sehinggafungsipenawarannyaakanberubah yang padaakhirnyakeseimbanganpasarakanberubah pula. Fungsipenawaransetelahsubsidimenjadi: Ps = f(Q) - s atau Qs = f(P + s)

52. Analisispulangpokok PulangPokok (Break Even); Apabilapenerimaan total darihasilpenjualanproduksamadenganbiaya total yang dikeluarkanperusahaan. TR = TC TR = P.Q dan TC = FC + VQ Dimana;

53. FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN FungsiKonsumsi; C = a + bYd Dimana; C = Konsumsi Yd = PendapatanYgdapatdibelanjakan a = Konsumsidasartertentuygtidaktergantungpadapendapatan b = Kecenderungankonsumsi marginal (MPC) Fungsi Tabungan; S = -a + (1-b)Yd Dimana; S = Tabungan a = PendapatanYgdapatdibelanjakan Yd = PendapatanYgdapatdibelanjakan (1-b) = Kecenderungankonsumsi marginal (MPC)

54. Fungsi non linear FungsiKuadrat Y = f(X) = aX2 + bX + c Dimana; Y = VariabelTerikat X = VariabelBebas a, b, dan c = konstanta, dan a ≠ 0 Koordinattitikpuncakdarisuatu parabola dapatdiperolehdenganrumus;

55. Rumuskuadrat

56. MACAM-MACAM PARABOLA Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola akanterbukakeatasdanmemotongsumbu X diduatitikygberlainan. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akanterbukakeatasdanmenyinggungsumbu X diduatitikygberimpit. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola akanterbukakeatasdantidakmemotongmaupunmenyinggungsumbu X. Jika a < 0 dan D > 0, maka parabola akanterbukakebawahdanmemotongsumbu X diduatitikygberlainan. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola akanterbukakebawahdanmenyinggungsumbu X diduatitikygberimpit. Jika a < 0 dan D < 0, maka parabola akanterbukakebawahdantidakmemotongmaupunmenyinggungsumbu X.

57. Bentuk lain fungsikuadrat X = f(Y) = aY2 + bY + c Kurvanya Parabola Horizontal Koordinattitikpuncak Parabola adalah;

58. 2. Fungsipangkattiga (f. kubik) Y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 Dimana a3 ≠ 0

59. 3. Fungsirasional BentukUmum;

60. Penerapanfungsi nonlinear FUNGSI PERMINTAAN; A. FungsiKuadrat; P = c + bQ – aQ2 atau Q = c + bP – aP2 B. FungsiRasional;

61. 2. Fungsipenawaran BentukUmum; P = c + bQ + aQ2 atau Q = c + bP + aP2