1.
CALCULO INTEGRAL
JORGE ALBAHACA
MATEMATICA II
UNIVERSIDAD FERMIN TORO

2.
INTEGRAL DEFINIDA Y
CALCULO DE ÁREAS
A3 A2
A4 A1

3.
b n
f ( x )dx lim f ( x *i ) x i
n
a i 1
b No tiene
Límite significado,
Superior
f ( x )dx indica respecto
a que variable
e Inferior a
se integra.
Integrando

4.
2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función integrable en [a, b]
y F una primitiva de f en [a, b], entonces:
b b
f (x ) dx F(b) F(a) F(x )
a a
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.

5.
Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales
1. (1 sen x ) dx
0
1
2. 3 2 x dx
0
2 3
3. 2
dx
1 x 2

6.
PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y
y son constantes, se tiene:
b b b
( f (x ) g ( x )) dx f (x ) dx g (x ) dx
a a a
Propiedad de linealidad

7.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función contínua en 1; 5 , si:
3 5
f ( x) dx 4 y f ( x) dx 7
1 1
Determine el valor de:
5
f ( x ) dx
3

8.
2. Si existen las integrales de la izquierda,
también existe la integral de la derecha:
c b b
f (x ) dx f (x ) dx f (x ) dx
a c a
c a, b
Propiedad aditiva respecto al intervalo de
integración

9.
La propiedad anterior es aplicada cuando la función
está definida por partes y cuando es seccionalmente
continua.
Ejemplo:
x -2; -1 x 1
Si: f ( x)
1 2 x; 1 x 2
2
y se quiere hallar: f x dx
1
2 1 2
f ( x)dx ( x 2 ) dx (1 2 x) dx
1 1 1

10.
3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x)
para todo x [a, b], se tendrá:
b b
g(x) dx f (x) dx
a a
Teorema de comparación

11.
4. Si f(x) 0, cuando a x b,
b
entonces f(x) dx 0
a
Sea f una función integrable en [a, b],
entonces:
a
5. f ( x ) dx 0
a
a b
6. f ( x) dx f ( x) dx
b a

12.
EJERCICIOS
 Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
1. ¿Será correcto afirmar que:
1 1 1
a) 1 1 2
2
dx 2 2
dx
1
( x 1) 0
( x 1) ( x 1) 0
3
b) 2 40
(1 x 4 ) dx ?
2
3

13.
EJERCICIOS
4. Determine el valor de “ k ” tal que:
k
2
(3x 2 x) dx 2
1

14.
EJERCICIOS
 Se muestra al grafica de . Usando fórmulas
geométricas: f
 Evalúe la integral: 9
f ( x) dx
3
 Calcule el área representada por la
integral:
9
f ( x) dx
3