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Esfuerzo normal y tang

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Esfuerzo Normal y Tangencial

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Esfuerzo normal y tang

  1. 1. 1 ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL
  2. 2. 2 CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN 2. ESFUERZO - DEFINICIÓN 2.1. ESFUERZO NORMAL 2.2. ESFUERZO CORTANTE 2.3. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO 2.4. ESFUERZOS EN CILINDROS Y ESFERAS DE PAREDES DELGADAS 2.4.1 ESFUERZOS EN CILINDROS DE PAREDES DELGADAS 2.4.1.1. ESFUERZO DE COSTILLA O CIRCUNFERENCIAL 2.4.1.2. ESFUERZO LONGITUDINAL 2.4.2 ESFUERZOS EN ESFERAS DE PAREDES DELGADAS 3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
  3. 3. 3 1.0 INTRODUCCIÓN Desde que se comenzó a aplicar los conocimientos de la mecánica, en el análisis y diseño de estructuras y máquinas, algunos fenómenos producidos por las fuerzas naturales como el peso de un cuerpo han contribuido en desarrollar más las formas de construcción, pues había que solucionar los diversos inconvenientes que se presentan en las estructuras ante la naturaleza. Uno de los aspectos a considerar en el estudio de estructuras es la resistencia que ofrecerán los materiales que serán utilizados, pues depende de éstos el tiempo de vida que tendrán en el transcurrir del tiempo. La mecánica ha tenido siempre como particularidad estudiar las relaciones entre fuerzas que actúan en sólidos indeformables. Sin embargo en el campo de construcción, la resistencia de materiales amplía el estudio de las fuerzas que se inició en mecánica. En contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además, no supone que los sólidos son idealmente indeformables como la hace la mecánica, sino que las deformaciones por pequeñas que sean tienen gran interés. Existen efectos de cargas exteriores que se presentan en el interior de los cuerpos, éstos efectos surgen como resistencia a la deformación que les trata de causar la carga y se denominan esfuerzos. Las características geométricas de los cuerpos sometidos a cargas, son importantes para determinar la naturaleza y magnitud de los esfuerzos que surgen. Estos esfuerzos, en la resistencia de materiales, son tomados en cuenta hasta en una estructura tan pequeña que aparente que su deformación no sea de importancia. Para la resistencia de materiales es necesario estudiar si la estructura presentará flexibilidad favorable a su resistencia y que no se romperá cuando esté sometida a cargas.
  4. 4. 4 2.0 ESFUERZO Como definición general se tiene que los esfuerzos son magnitudes físicas con unidades de fuerza sobre área que se presentan al estudiar la resistencia que presentan diversas estructuras cuando se les somete cargas. A continuación presentamos esfuerzos de distinta naturaleza: 2.1 ESFUERZO NORMAL Si en una estructura se presentan fuerzas externas que le produzcan deformación, entonces en dicha estructura surgirán acciones internas como respuesta a la acción de las fuerzas mencionadas. Una de estas acciones internas viene a ser el Esfuerzo Normal, el cual lo explicaremos con el siguiente ejemplo: Consideremos una barra prismática sometida a tensión: -Una barra prismática es un elemento caracterizado por presentar una sección transversal constante en toda su longitud- En este caso se dice que la barra está sometida a una tensión por el hecho de que las fuerzas axiales producen en ella una deformación. Para analizar las acciones internas que aparecen en la barra prismática efectuaremos un corte imaginario en la sección mn perpendicular al eje longitudinal de la barra, así obtendremos una sección denominada sección transversal y a la porción determinada por esta sección hacia la derecha la separaremos y consideraremos como cuerpo libre. La carga F actúa en el extremo derecho, mientras que en el lado izquierdo aparecen fuerzas que se distribuyen de manera continua sobre la sección transversal que sustituyen a la acción sobre el tramo izquierdo de la barra prismática. La intensidad de la fuerza o lo que es lo mismo la fuerza por unidad de superficie se denomina esfuerzo, fatiga o tensión y se denota por la letra griega 𝜎 (sigma).
  5. 5. 5 Considerando que F está aplicada en el centro de gravedad de la sección transversal y es normal a ella entonces el esfuerzo 𝜎 estará uniformemente distribuido sobre la sección y sólo en este caso y representando por A al área de la sección transversal, el esfuerzo estará dado por: Ecuación que representa el esfuerzo, fatiga o tensión uniforme en una barra prismática de sección transversal con forma cualquiera cargada axialmente. Este esfuerzo que surge cuando F está aplicada en el centro de gravedad de la sección recibe el nombre de Esfuerzo Simple. En caso de que la fuerza F no esté aplicada en el centro de gravedad de la sección transversal de la barra, entonces la expresión 𝜎 = 𝐹 𝐴 sólo servirá para obtener el valor medio del esfuerzo. Para una determinación más exacta del esfuerzo se exige dividir la fuerza diferencial dF entre el elemento diferencial de área sobre el que actúa y escribir: 𝜎 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴 Cuando la barra se tensa bajo la acción de las fuerzas F (según la figura 1), los esfuerzos resultantes se denominan tensiones de tracción; si el sentido de las fuerzas se invierte se origina una compresión de la barra apareciendo las denominadas tensiones de compresión. Dado que 𝜎 actúa en dirección perpendicular a la superficie de corte se le conoce también como Esfuerzo Normal o Tensión Normal. Más adelante se encontrará otro tipo de esfuerzos que actúan paralelos a la superficie de corte que se denominarán esfuerzos cortantes. Tradicionalmente a las tensiones de tracción se les da signo positivo y a las de compresión signo negativo. Las unidades de tensión, esfuerzo o fatiga normal 𝜎 son unidades de fuerza divididas por unidades de superficie. En el S.I. vendrá dado por N/m2 o Pascales. Sin embargo como el Pascal es una unidad tan pequeña se suele utilizar el MPa (Megapascal) que equivale a 106 Pascales o 1 N/mm2 . Es frecuente medir el esfuerzo normal en Kp/cm2 para ello F debe medirse en Kp y la superficie de la sección de corte en 𝑐𝑚2 . EJEMPLOS: 1. Una carga de 2000 Kg está soportada por un tensor de acero liso común, de sección circular, de 10 metros de largo. Determinar: a) El diámetro necesario del tensor. b) El alargamiento del mismo.
  6. 6. 6 Siendo la tensión admisible del acero igual a 1200 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 SOLUCIÓN: La sección necesaria está dada por: 𝐴 𝑛𝑒𝑐 = 𝑷 𝝈 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠 Entonces: 𝐴 𝑛𝑒𝑐 = 2000 𝐾𝑔 1200 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 = 1.67 𝑐𝑚2 Como la sección de la barra es circular y el área del círculo es 𝐴 = 𝜋∗𝑑2 4 , entonces el diámetro necesario de la barra será: 𝑑 = √ 4∗𝐴 𝑛𝑒𝑐 𝜋 = √ 4∗1.67 𝑐𝑚2 𝜋 = 𝟏. 𝟒𝟔 𝒄𝒎 2. Dos barras sólidas cilíndricas AB y BC son soldadas juntas en B y como se muestra están sometidas a cargas. Sabiendo que d1=30 mm y d2=50 mm, encuentre el esfuerzo medio normal en las barras AB y BC. SOLUCIÓN Barra AB: Carga: 𝑃 = 60 ∗ 103 𝑁 Área: 𝐴 = 𝜋 4 𝑑1 2 = 𝜋 4 (30 ∗ 10−3)2 = 706.86 ∗ 10−6 𝑚2 Esfuerzo Normal: 𝜎 = 𝑃 𝐴 = 60∗103 706.86∗10−6 = 𝟖𝟒. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎 𝟔 𝑷𝒂 Barra BC: Carga: 𝑃 = 60 ∗ 103 − 2(125 ∗ 103) = −190 ∗ 103 𝑁 Área: 𝐴 = 𝜋 4 𝑑2 2 = 𝜋 4 (50 ∗ 10−3)2 = 1.96 ∗ 10−3 𝑚2 Esfuerzo Normal: 𝜎 = 𝑃 𝐴 = −190∗103 1.9635∗10−3 = −𝟗𝟔. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎 𝟔 𝑷𝒂 2.2 ESFUERZO CORTANTE Otro tipo de esfuerzo o tensión (acción interna) se da cuando las cargas actúan paralelas a la superficie de la sección transversal y se denomina Esfuerzo Cortante.
  7. 7. 7 Un claro ejemplo de elemento de máquina sometido a esfuerzo cortante es el que se presenta en el bulón de la figura siguiente: Bajo la acción de las cargas F aparecen en el elemento tensiones o esfuerzos según se presenta en (b) de la figura anterior. Las tensiones o esfuerzos pueden ser sustituidos por cargas V de valor igual a F/2. Los esfuerzos o tensiones cortantes sobre la sección mn vienen dados por la fórmula: Siendo 𝜏 el denominado esfuerzo cortante, V=F/2 y A la superficie de la sección transversal (paralela a la fuerza cortante). Como V es una fuerza y A una superficie las unidades de los esfuerzos o tensiones cortantes son las mismas que las de las tensiones o esfuerzos axiales es decir Pascales en el S.I. Es importante destacar que los esfuerzos cortantes no sólo aparecen en elementos de máquinas con montajes como los anteriores, también aparecen en piezas sometidas a tracción, flexión, torsión y otros, como se verá más adelante. Para obtener una idea clara de este importante concepto considérese el elemento de material de dimensiones ΔX, ΔY, ΔZ que se presenta en la figura siguiente:
  8. 8. 8 Si en las caras perpendiculares a los ejes X y Y existe un esfuerzo cortante de valor 𝜏, el equilibrio según el ejeX obliga a que exista en cada par de caras paralelas el mismo esfuerzo cortante. El valor de la fuerza en la cara superior será 𝜏. ΔX. ΔZ que estará equilibrada en la cara inferior con una fuerza de igual módulo pero de sentido contrario. Estas dos fuerzas generan un par respecto al eje Z de valor 𝜏. ΔX.ΔY.ΔZ, por lo que la pieza no gire tiene que haber otro momento igual y de sentido contrario que evidentemente será el debido al esfuerzo cortante sobre las caras perpendiculares, como las superficies son iguales los esfuerzos cortantes en caras perpendiculares son iguales. Por ello se puede asegurar que los esfuerzos cortantes en caras paralelas y en caras perpendiculares son iguales. Cuando en una sección sólo actúan esfuerzos cortantes y no hay tensiones axiales se dice que se trata de un esfuerzo cortante puro. EJEMPLOS: 1. Se tiene los miembros de madera C y B, éstos se unen mediante las placas de empalme de madera contrachapada de modo que queden completamente pegados a las superficies de contacto. Como parte del diseño de la junta y sabiendo que la distancia entre los extremos de los miembros debe ser de 8 mm, determinar la menor longitud L permitida si el esfuerzo cortante promedio en la cola no debe exceder 800 Kpa. SOLUCIÓN Para la cola de cada miembro se tiene dos superficies de contacto. Trabajando con la cola del miembro C: 𝑉 = 24 2 = 12 𝐾𝑁 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎 𝟑 𝑵 Tensión de corte permitido: 𝜏 𝑝 = 800 𝐾𝑃𝑎 ; 𝜏 𝑝 = 𝑃 𝐴 𝐴 = 𝑃 𝜏 𝑝 = 12 ∗ 103 800 ∗ 103 = 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝟐 Áreatransversal que la madera C quiere cortar: 𝐴 = 100(ℎ)
  9. 9. 9 ℎ = 𝐴 0.1 = 15 ∗ 10−3 0.1 = 150 ∗ 10−3 𝑚 = 𝟏𝟓𝟎𝒎𝒎 ⇒ 𝑳 = 2ℎ + 8𝑚𝑚 = 2(150) + 8 = 𝟑𝟎𝟖 𝒎𝒎 2. Una carga P es aplicada en una barra de acero soportada como se muestra por un disco de aluminio en el que un hueco de diámetro 0.6in ha sido taladrado. Con la seguridad de que el esfuerzo cortante no debe exceder 18Ksi en la barra de acero y 10Ksi en el disco de aluminio. Determine la máxima carga P que puede ser aplicada en la barra. SOLUCIÓN Con la barra de acero: Área transversal que la barra quiere cortar: 𝐴 = 𝜋(0.6)(0.4) = 0.7540 𝑖𝑛2 Esfuerzo cortante permitido: 𝜏 𝑝 = 18 𝐾𝑠𝑖 ; 𝜏 𝑝 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝑃 = 𝜏 𝑝 𝐴 𝑷 = (18)(0.7540) = 𝟏𝟑. 𝟓𝟕 𝑲𝒊𝒑 Con el disco de aluminio: Área transversal que el disco quisiera cortar: 𝐴 = 𝜋(1.6)(0.25) = 1.2566 𝑖𝑛2 Esfuerzo cortante permitido: 𝜏 𝑝 = 10 𝐾𝑠𝑖 ; 𝜏 𝑝 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝑃 = 𝜏 𝑝 𝐴 𝑷 = (10)(1.2566) = 𝟏𝟐. 𝟓𝟕 𝑲𝒊𝒑 El valor máximo de P es el valor más pequeño: 𝑷 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟕 𝑲𝒊𝒑 2.3 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO Tanto pernos como pasadores y remaches crean esfuerzos en los elementos, en toda la superficie de aplastamiento de contacto. Por ejemplo, consideremos las platinas A y B, unidas por un remache CD, de las que se muestra en la figura 4. El remache ejerce sobre la platina A una fuerza P igual u opuesta a la fuerza F que ejerce la platina sobre el remache. P es la resultante de fuerzas elementales distribuidas en la superficie interior de un semicilindro de diámetro “d” y longitud “t” igual al espesor de la platina. Como la distribución de estas fuerzas y los esfuerzos correspondientes es muy complicada, en la práctica se usa un valor medio 𝜎 𝑏, llamado fuerza de aplastamiento, que se obtiene dividiendo la carga P
  10. 10. 10 por el área proyectada del remacheen la platina. Como esta área es igual a t·d, en la que “t” es el espesor de la platina y “d” el diámetro del remache, se tiene: EJEMPLOS: 1. Un eslabón AB de ancho b=2 in y espesor t=0.25 in, es usado para apoyarlo en una barra horizontal. Sabiendo que la tensión normal en el eslabón es -20 Ksi y que el promedio de la tensión de corte en cada uno de los pernos es 12 Ksi. Determine: a) El diámetro de los pernos. b) El esfuerzo de aplastamiento en el eslabón. SOLUCIÓN: La Tensión Normal en el eslabón es de -20Ksi. El signo negativo indica que está en compresión. Área de la proyección del perno en el eslabón: 𝐴 = 𝑏 𝑡 = (2)(0.25) = 0.5 𝑖𝑛2 Tensión Normal en el eslabón: 𝜎 = 20 𝐾𝑠𝑖 (En compresión) Entonces la carga que actúa en la sección transversal del eslabón, será: 𝑃 = 𝜎𝐴 = 20(0.5) = 10 𝐾𝑖𝑝 Hallando el diámetro del perno: Tensión de corte permitido en cada perno: 𝜏 𝑝 = 12 𝐾𝑠𝑖 𝜏 = 𝑉 𝐴 En este caso V=P 𝜏 𝑝 = 𝑃 𝐴 Entonces:
  11. 11. 11 𝜏 𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑝 ⇒ 𝐴 𝑝 = 𝑃 𝜏 𝑝 ⇒ 𝜋 4 ∗ 𝑑2 = 𝑃 𝜏 𝑝 ⇒ 𝑑 = √ 4𝑃 𝜋𝜏 𝑝 a) 𝑑 = √ 4𝑃 𝜋𝜏 𝑝 = √ 4(10) 𝜋(12) = 𝟏. 𝟎𝟑𝟎 𝒊𝒏 b) 𝜎 𝑏 = 𝑃 𝑑𝑡 = 10 (1.030)(0.25) = 𝟑𝟖. 𝟖𝟑 𝑲𝒔𝒊 2. La fuerza axial en la columna soportando la viga de madera mostrada es 𝑃 = 75 𝐾𝑁. Determine la longitud admisible más pequeña L de la placa de apoyo si el esfuerzo de aplastamiento en la madera no debe exceder 3.0 MPa. SOLUCIÓN: Esfuerzo de aplastamiento: 𝜎 𝑏 = 𝑃 𝐴 ; 𝐴 = (140𝑚𝑚)(𝐿) = (0.14𝑚)(𝐿) 𝜎 𝑏 = 𝑃 (0.14)(𝐿) ⇒ 𝐿 = 𝑃 0.14 𝜎 𝑏 = 75 ∗ 103 0.14(3 ∗ 106) 𝐿 = 178.6 ∗ 10−3 𝑚 𝑳 = 𝟏𝟕𝟖. 𝟔 𝒎𝒎 2.4 ESFUERZOS EN CILINDROS Y ESFERAS DE PAREDES DELGADAS Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. El análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia: recipientes cilíndricos y esféricos. 2.4.1 ESFUERZOS EN CILINDROS DE PAREDES DELGADAS 2.4.1.1 Esfuerzo de Costilla o Circunferencial:
  12. 12. 12 Llamando R a la presión interna del fluido sobre las paredes del cilindro. La fuerza que actúa sobre un área elemental dA es 𝑅𝑑𝐴. Su componente vertical es 𝑅𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃. La fuerza de presión interna vertical resultante, es: 𝑹 𝒚 = ∫ 𝑹𝒅𝑨𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑹 ∫ 𝒅𝑨𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 Es la proyección del elemento diferencial de área dA sobre un plano vertical. Entonces para este caso del cilindro: El área del rectángulo MNOQ es igual al del Rectángulo ABFE. Entonces: 𝐴 𝑀𝑁𝑂𝑄 = 𝐴 𝐴𝐵𝐹𝐸 ∫ 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐷𝐿 Entonces la fuerza de presión vertical resultante es: 𝑹 𝒚 = 𝑅 ∫ 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑹 𝒚 = 𝑹𝑫𝑳 Como la pared es delgada, se puede admitir que el esfuerzo resistente P (viendo la figura 5b) está distribuido uniformemente sobre su correspondiente área transversal, entonces: 𝜎 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝜎1 = 𝑃 𝐿𝑡 ⇒ 𝑷 = 𝝈 𝟏 𝑳𝒕 Resultante de fuerzas verticales: 2𝑃 − 𝑅 𝑦 = 0 2𝑃 = 𝑅 𝑦 2𝑃 = 𝑅𝐷 𝐿 2(𝜎1 𝐿𝑡) = 𝑅𝐷𝐿 𝝈 𝟏 = 𝑹𝑫 𝟐𝒕 A este esfuerzo 𝜎1 que se presenta en cilindros se le denomina Esfuerzo de Costilla o Circunferencial.
  13. 13. 13 2.4.1.2 Esfuerzo Longitudinal: Teniendo un recipiente cilíndrico cerrado y haciéndole un corte imaginario como se muestra en la figura podemos hacer el siguiente análisis de cuerpo libre: La fuerza F tiende a separar esta parte del cilindro de la otra y es la fuerza que actúa sobre el fondo del mismo: 𝐹 = 𝑅𝐴 ⇒ 𝐹 = 𝑅( 𝜋𝐷2 4 ) Esta fuerza F será contrarrestada por la resultante P de las fuerzas (esfuerzos longitudinales) que actúan en la pared del cilindro, normalmente al plano de la sección transversal de corte. El área de esta sección es igual al espesor de la pared multiplicada por la longitud de la circunferencia media, o sea 𝜋(𝐷 + 𝑡)𝑡. Si t es muy pequeño comparado con D, el área es aproximadamente igual a 𝜋𝐷𝑡. 𝜎 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝜎2 = 𝑃 𝜋( 𝐷 + 𝑡) 𝑡 ⇒ 𝑃 = 𝜎2 𝜋( 𝐷 + 𝑡) 𝑡 Entonces hallando el esfuerzo longitudinal: Resultante de las fuerzas horizontales: 𝑃 − 𝐹 = 0 𝑃 = 𝐹 𝜎2 𝜋(𝐷 + 𝑡)𝑡 = 𝑅( 𝜋𝐷2 4 ) 𝝈 𝟐 = 𝑹𝑫 𝟐 𝟒( 𝑫 + 𝒕) 𝒕 En el caso de que t sea muy pequeño: 𝝈 𝟐 = 𝑹𝑫 𝟒𝒕 Este esfuerzo 𝜎2 es conocido como Esfuerzo Longitudinal. OBSERVACIÓN: Si hacemos una comparación entre el Esfuerzo Circunferencial ( 𝝈 𝟏) y el Esfuerzo Longitudinal( 𝝈 𝟐), resulta que 𝝈 𝟏 = 𝟐𝝈 𝟐. 2.4.2 ESFUERZOS EN ESFERAS DE PAREDES DELGADAS
  14. 14. 14 Considerando ahora un recipiente esférico, de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido bajo presión manométrica R. Haciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el valor del esfuerzo. La fuerza que actúa sobre un área elemental dA es 𝑅 𝑑𝐴. Su componente vertical es 𝑹 𝒅𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜽. La fuerza vertical resultante, será: 𝑅 𝑦 = ∫ 𝑅 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑅 ∫ 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 Como en el caso del cilindro,𝒅𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜽Es la proyección del elemento diferencial de área dA sobre un plano vertical. Entonces para este caso de la esfera: ∫ 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜋𝐷2 4 Entonces la fuerza vertical resultante es: 𝑹 𝒚 = 𝑹( 𝝅𝑫 𝟐 𝟒 ) Como la pared es delgada, se puede admitir que el esfuerzo resistente P está distribuido uniformemente en toda su periferia, entonces: 𝜎 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝜎3 = 𝑃 𝜋𝐷𝑡 ⇒ 𝑷 = 𝝈 𝟑 𝝅𝑫𝒕 Resultante de fuerzas verticales: 𝑃 − 𝑅 𝑦 = 0 𝑃 = 𝑅 𝑦 𝑃 = 𝑅( 𝜋𝐷2 4 ) 𝜎3 𝜋𝐷𝑡 = 𝑅( 𝜋𝐷2 4 ) 𝝈 𝟑 = 𝑹𝑫 𝟒𝒕

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