1. Calcula el vértice y el eje de simetría de la parábola y = 3x 6x + 1.
2
1
Solución:
El vértice viene dado por:
V ( x, y ) (1 2)
,
y el eje de simetría es la recta x = 1.
2
2 Calcula el eje de simetría de la parábola y = x + 2 y los puntos simétricos con respecto de éste eje de (1, 3)
y (0, 2).
Solución:
El eje de simetría de la parábola es la recta x = 0, por tanto los puntos pedidos son (1, 3) como punto simétrico del
primero, y el propio (0, 2) como simétrico del segundo, puesto que éste es el vértice.
2
3 Calcula los puntos de intersección de las rectas y = 3 e y = 1 con la parábola y = x + 1.
Solución:
Los puntos de intersección de y = 3 con y = x2 1 son ( 2,3) y ( 2,3).
El punto de intersección de y = 1 con y = x2 1 es (0, 1).
Comprueba si los puntos (2, 1), (1, 3) y (1, 3), pertenecen a la parábola y = 2x + 1.
2
4
Solución:
2
Los puntos pertenecerán a y = 2x + 1 si verifican la ecuación.
(2, 1) no pertenece a la parábola, ya que 1 2 4 1
(1, 3) sí pertenece a la parábola porque 3 2 12 1
( 1, 3) también pertenece a la parábola, ya que 3 2 (1)2 1
Calcula el vértice de la parábola y = x 6x y observa cómo son entre sí
2
5
los puntos (0, 0) y (6, 0) pertenecientes a dicha parábola.
Solución:
El vértice de la parábola es:
V ( x, y ) (3, 9)
Por tanto, los puntos señalados son simétricos respecto del eje de simetría que es la recta x = 3.
6 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la siguiente parábola y señala qué ocurre en el punto (0, 4).
2. Solución:
,0 0,
Esta curva es decreciente en el intervalo , y creciente en el intervalo .
(0,4)
El punto es el vértice y en él la parábola pasa de ser decreciente a ser creciente.
Calcula la imagen mediante la parábola y = x + 1 de x = 2, x = 1 y x = 2.
2
7
Solución:
La imagen de 2 es 5.
La imagen de 1 es 2.
La imagen de 2 es 5.
Calcula los puntos de las parábolas y = x 4 e y = x + 2, que cortan el eje de abscisas.
2 2
8
Solución:
Para la primera de las parábolas los puntos de corte con el eje de abscisas son (2, 0) y (2, 0).
2
La segunda parábola no corta el eje de abscisas, ya que la ecuación x + 2 = 0, no tiene solución en los números
reales.
9 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones representan parábolas:
yx 1
y x2 x 1
y x2
y 2x 3
Solución:
y x 1 RECTA
y x2 x 1 PARÁBOLA
y x2 PARÁBOLA
y 2x 3 RECTA
10 Dibuja, aproximadamente, la parábola que tiene (2, 1) como vértice y que pasa por el punto (4, 1) y por su
simétrico con respecto del eje de simetría.
Solución:
3. 11 Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola y = x2 + 2x + 3.
Solución:
El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 3).
Los puntos de corte con el eje de abscisas, tienen como primeras coordenadas las soluciones
de la ecuación x + 2x + 3 = 0, es decir, x = 1 y x = 3.
2
Los puntos son (1, 0) y (3, 0).
12 Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo:
y x 3 x2
y 3 x2 x
y 2x 2x 2
Solución:
y x 3 x2 Abierta hacia arriba
y 3 x2 x Abierta hacia abajo
y 2x 2x 2 Abierta hacia abajo
13 Sabemos que la parábola y = 2x2 + bx + c tiene como vértice (2, 1) y que pasa por el punto (1, 0). Averigua
b y c.
Solución:
Los dos puntos dados como dato, tienen que cumplir la ecuación de la parábola.
Tenemos, por tanto, un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son:
5 11
b yc
3 3
14 Escribe la ecuación de la parábola en cada uno de los casos siguientes:
a) Su vértice es (0, 1) y tiene las ramas hacia arriba.
b) Su eje de simetría es x = 2 y tiene las ramas hacia abajo.
Solución:
4. 2
a) Como tiene las ramas hacia arriba, el coeficiente de x debe ser positivo. Una de las posibles soluciones es: y
= x 1.
2
2
b) Como tiene las ramas hacia abajo, el coeficiente de x debe ser negativo y si su eje de simetría es x = 2, el
vértice debe ser un punto con la primera coordenada igual a 2, por ejemplo (2, 0). Una posible solución es: y = x
2
+ 4.
15 Representa la parábola y = (x + 1) (x + 3).
Solución:
El vértice es el punto (2, 1), y corta al eje de abscisas en 3 y 1.
16 Calcula cuáles son los puntos de intersección de la recta y = x 2
y la parábola y = x + 4.
2
Solución:
Los puntos en común de estas dos funciones tienen que cumplir las dos ecuaciones, así, dichos puntos serán la
solución del sistema formado por las dos ecuaciones.
yx2
x 2 x 4 x x 6 0 x 2,3
2 2
y x 4
2
Los puntos de intersección son (2, 0) y (3, 5).
17 Halla los puntos de intersección de la recta x y + 1 = 0 y la parábola y = (x 2)2 + 1.
Solución:
Los puntos de intersección son las soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones, es decir (1, 2) y (4, 5).
18 Calcula los puntos de la parábola y = x2 x 2 que tienen ordenada nula.
Solución:
Los puntos cuya ordenada es nula son los que tienen por abscisas las soluciones de la ecuación:
x 2 x 2 0, es decir, x = 2, x 1.
19 En un rectángulo, la base es el triple que su altura más tres metros. Calcula la función que nos da el área
del rectángulo en función de la longitud de su altura.
Solución:
2
A = 3x + 3x = 3x · (x + 1), con x en metros.
5. 20 El hombre bala del circo describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación
1 2
y x x . ¿Cuál será la altura máxima que alcance en dicha trayectoria?, ¿cuántos
10
metros habrá recorrido cuando vuelva a tocar el suelo?
Solución:
El punto más alto es el vértice de la parábola, por tanto, la altura máxima será la ordenada del vértice que es 5 m,
es decir 2,5 metros. El alcance máximo será la ordenada distinta de cero de los puntos de corte de la parábola con
y = 0, es decir, 10 m.
21 Calcula la ecuación de una recta horizontal que interseque a y = 2x2 + x 1 en un solo punto.
Solución:
Tiene que ser una recta horizontal que pase por el vértice, es decir, una recta que pase por:
1 9
V( x, y ) ,
4 8
La recta pedida es:
9
y
8
22 Calcula la intersección con el eje de ordenadas de la parábola que contiene a los puntos(2, 1), (3, 0) y (0, 0).
Solución:
Los tres puntos deben cumplir la ecuación:
y ax2 bx c
Resolviendo el sistema obtenemos:
1 3
a ,b yc0
2 2
Así la ecuación de la parábola que queríamos es:
1 2 3
y x x
2 2
La intersección con el eje de ordenadas de nuestra parábola es, por supuesto (0, 0).
23 Halla la ecuación de una parábola que interseque a y = x2 + 4 en los puntos
(2, 0), (2, 0) y cuyo vértice esté a la misma distancia del origen de coordenadas que el vértice de la
parábola dada.
Solución:
El vértice de y = x + 4 es el punto (0, 4) que está a cuatro unidades de distancia del origen de coordenadas, por
2
tanto, el vértice de la parábola pedida es (0, 4) y la ecuación será: y = x 4.
2
24 Representa una parábola que pase por (2, 0) y (2, 0), con las ramas hacia arriba y cuyo vértice tiene como
ordenada 4.
Solución:
6. 25 Calcula la ecuación de una parábola que pasa por los puntos (0, 0), (1, 2) y (1, 2).
Solución:
2
La ecuación es: y = 2x .
26 1
Halla los puntos de la parábola y x 2 2 x 1 cuya abcisa es x .
2
Solución:
2
1 1 1
y 2 1
2 2 4
27 Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (1, 4) y pasa por (3, 0).
Solución:
Necesitamos un tercer punto para poder calcular la ecuación. La parábola es simétrica con respecto del eje x = 1,
así que el punto simétrico de (3, 0) es (1, 0).
La ecuación es: y = x 2x 3.
2
28 Halla el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola y = (x + 2) (x 4).
Solución:
Desarrollando la expresión: y = x 2x 8
2
El vértice es el punto de abscisa:
b 2
1
2·a 2·1
.
Su segunda coordenada es: y = 1 2 · 1 8 = 9.
2
Por tanto, el vértice es el punto (1, 9).
Para calcular los puntos de corte con el eje OY se sustituye x por 0: y = (0 + 2) (0 4) = 8. Es el punto (0, 8).
Los cortes con OX se obtienen sustituyendo y por 0: 0 = (x + 2) (x 4) x = 2, x = 4. Esos puntos son (2, 0) y
(4, 0).
29 Representa las parábolas y = 2x2 4x + 5 e y = 2x2 + 4x 3 y calcula su intersección.
Solución:
7. Sólo tienen el punto (1, 3) en común.
30 Calcula los puntos de intersección de las parábolas: y = x2 2 e y = x2 + 2.
Solución:
Serán las soluciones del sistema de ecuaciones:
y x2 2
y x 2
2
Los puntos son:
2,0 y 2,0
31 Calcula las ecuaciones de las parábolas que pasan por los puntos (2, 3) y (2, 3) y cuya distancia del vértice
al origen de coordenadas es de cuatro unidades.
Solución:
La abscisa del vértice de cada una de ellas es 0, así que los vértices son (0, 4) y (0, 4).
Las ecuaciones son:
1 2
y x 4
4
7 2
y x 4
4
2
32 Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola: y = x + 2x.
Solución:
Con el eje de abscisas (0, 0) y (2, 0).
Con el eje de ordenadas (0, 0).
33 ¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (1, 3), (1, 3) y el origen de coordenadas?
Solución:
2
La ecuación de la parábola pedida es: y = 3x
34 ¿Es posible que los puntos (0, 2), (1, 1) y (2, 4) pertenezcan a la misma parábola?
8. Solución:
Estos tres puntos están alineados, pertenecen a la recta y = 2 3x, por lo tanto no pueden pertenecer a la misma
parábola.
35 Un balón describe una trayectoria parabólica. Queremos calcular la ecuación de dicha trayectoria y para
ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 10 m de ser lanzado y ésta
es de 15 m. Además vuelve a tocar el suelo a 25 m de distancia del punto desde donde se lanzó. Calcula la
ecuación de la trayectoria descrita por el balón.
Solución:
La ecuación pedida es la de una parábola que pasa por los puntos: (0, 0), (10, 15) y (25, 0).
Por tanto será:
1 2 5
y x x
10 2
.
36 Calcular el vértice y el eje de simetría de:
y ax2 x a R
.
Solución:
El vértice será:
1 1
V( x, y ) ,
2a 4a
y el eje:
1
x , a R 0
2a
37 Calcula los puntos de intersección de la curva y = 2x2 1 con la bisectriz del segundo cuadrante.
Solución:
La bisectriz del segundo cuadrante tiene como ecuación y = x.
Por tanto los puntos pedidos serán las soluciones del sistema
y x
y 2x 1
2
Los puntos son:
1 1
2 , 2 y ( 1 1)
,
.
38 Calcula el punto que pertenece a la parábola y = x2 2 y es simétrico al punto (1, 1) con respecto del eje
de ordenadas.
Solución:
2
Esta parábola es igual que y = x , pero trasladada dos unidades hacia abajo, por tanto, es simétrica con respecto al
eje de ordenadas. El punto simétrico de (1, 1) es el punto (1, 1).
39 ¿Cuál es el punto de intersección de y = x2 2 con el eje de simetría de y = x2 + 2? Comprueba que es el
mismo que su vértice, ¿qué quiere decir esto?
9. Solución:
El eje de simetría de y = x + 2 es x = 0, así que el punto de intersección de y = x 2 con este eje es el punto (0,
2 2
2),
que a su vez es el vértice. Esto quiere decir, que x = 0 es también el eje de y = x 2.
2
40 ¿Cuál es la expresión que nos da el área de cualquier triángulo rectángulo isósceles en función de la
longitud de sus catetos?. ¿Qué tipo de función es?
Solución:
Si llamamos x a la longitud de los catetos, la función pedida será:
1
A x2
2
Esta función es una parábola.
41 Halla el área del rectángulo cuya diagonal es la que tiene como extremos los puntos de intersección de la
2
parábola y = x y la bisectriz del primer cuadrante.
Solución:
Los puntos de intersección son (0, 0) y (1, 1), por tanto el rectángulo es en realidad un cuadrado de lado 1, con
área 1 unidad cuadrada.
42 Calcula la ecuación de una parábola cuyos puntos de intersección con la recta
y = 2x 1 tienen como abscisas 1 y 1 y además pasa por el origen de coordenadas.
Solución:
Los puntos por los que pasa la parábola son (1, 1), (1, 3) y (0, 0), por tanto la ecuación de ésta será:
y = x + 2x.
2