1. TEMA 1. PRODUCTOS NOTABLES
Objetivos:1. Definir el concepto de producto notable.
2. Explicar y ejemplificar los tipos de productos notables.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Casos de productos notables:
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
c) Cubo de la adición de dos cantidades
d) Cubo de la sustracción de dos cantidades
e) Producto de la suma de la diferencia de dos cantidades
f) Producto de dos binomios de la forma (x+ a) (x+ b)
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades
Elevar al cuadrado a +b equivale a multiplicar ese binomio por símismo, es decir:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
Resolviendo (a + b) (a + b)=(a) (a) + (a) (b) + (a) (b) + (b) (b)
= a2 + 2ab + b2
Podemos concluir que (a + b)2= a2 + 2ab + b2
Por tanto el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Ejercicio1
Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la suma de dos cantidades.
1. (m+3)2 5. (1 +3x2)2
2. (5+ x)2 6. (2x + 3y)2
3. (6a + b)2 7. (a2x + by2)2
4. (x + y)2 8. (am+ an)2
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Elevar al cuadrado a - b equivale a multiplicar estadiferencia por sí mismo, es decir:
(a - b)2 = (a - b) (a - b)
Resolviendo (a - b) (a - b)=(a) (a) - (a) (b) - (a) (b) + (b) (b)
= a2 - 2ab + b2
Podemos concluir que (a - b)2= a2 - 2ab + b2
Por tanto el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejercicio 2.
Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
1. (a – 3)2 5. (10x3 – 9xy5)2
2. (x- 7)26. (xm - yn)2
3. (2a – 3b)27. (10x3 – 9xy5)2
4. (3a4– 5b2 )28. (a7 – b7)2
c) Cubo de la adición de dos cantidades
Si elevamos (a+ b) al cubo
Tendremos: (a + b)3=(a + b)(a + b)(a + b)
=(a + b)2(a + b)
= (a2 + 2ab + b2) (a+ b)
= (a2) (a) + (a2) (b) + (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2) (a) + (b2) (b)
= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2+ b3
Podemos concluir que: (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Po tanto el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el
triplo de del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el
cuadrado dela segunda, más el cubo de la segunda.

2. Ejemplo1.
(X+3)3=(x+3) (x+ 3)(x + 3)
=(x+3)2 (x+3)
= (x2 + 2(x) (3) + (3)2) (x+ 3)
= (x2 + 6x + 9) (x+ 3)
= (x2) (x) + (x2)(3) + (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) + (9)(3)
= x3 + 3x2 + 6x2 + 18x + 9x + 27
= x3 + 9x2 + 27x + 27
Por tanto: (X+3)3= x3 + 9x2 + 27x + 27
Nota: Este problema lo podemos resolver de manera más abreviada, el cuál
llamaremossimple inspección. Para ello debemos utilizar la fórmula
obtenida:
(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Observe:
(X+3)3=(x)3 + 3(x)2 (3) + 3(x) (3)2 + (3)3
=x3 + 9x2 + 27x + 27
Ejemplo 2.
(2x+ 5)3= (2x+ 5)(2x+ 5) (2x+ 5)
= (2x+ 5)2 (2x+ 5)
= ((2x)2 + 2 (2x) (5) + (5)2) (2x+ 5)
= (4x2 + 20x + 25) (2x+ 5)
= (4x2) (2x) + (4x2) (5) + (20x) (2x) + (20x) (5) + (25) (2x) + (25) (5)
= 8x3 + 20x2 + 40x2 + 100x + 50x + 125
= 8x3 + 60x2 + 150x + 125
Por simple inspección seria:
(2x+ 5)3= (2x)3 + 3(2x)2 (5) + 3(2x) (5)2 + (5)3
= 8x3 + 60x2 + 150x + 125
Ejercicio 3
Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por
procedimiento y por simple inspección).
1. (a + 2)35. (4n+3)3
2. (m + 3)36. (2x + 3y)3
3. (2x + 1)3
4. (2 + y2)3
d) Cubo de la diferencia de dos cantidades
Si elevamos (a - b) al cubo
Tendremos: (a - b)3=(a - b)(a - b)(a - b)
=(a - b)2(a - b)
= (a2 - 2ab + b2) (a- b)
= (a2) (a) - (a2) (b) - (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2) (a) - (b2) (b)
= a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3
= a3 - 3a2b + 3ab2- b3
Podemos concluir que: (a - b)3= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Po tanto el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad menos el triplo de del cuadrado de la primera por la
segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el
cubo de la segunda.

3. Ejemplo1.
(X-3)3=(x-3) (x- 3) (x - 3)
=(x-3)2 (x-3)
= (x2 - 2(x) (3) + (3)2) (x- 3)
= (x2 -6x + 9) (x- 3)
= (x2) (x) - (x2) (3) - (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) - (9)(3)
= x3 - 3x2 - 6x2 + 18x + 9x - 27
= x3 - 9x2 + 27x - 27
Por tanto: (X-3)3= x3 - 9x2 + 27x - 27
Por simple inspección seria
(X-3)3=(x)3 - 3(x)2 (3) + 3(x) (3)2 - (3)3
=x3 - 9x2 + 27x - 27
Ejercicio 4
Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por
procedimiento y por simple inspección).
1. (x – 1)34. (1 – 2n)3
2. (n – 4)3 5. (a2 – b)3
3. (1- 3y)3 6. (1 – a2)3
e) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
Sean los términos (a + b)(a – b) resolviendo el producto se tiene que:
(a + b) (a – b)=(a) (a) - (a) (b) + (a) (b) – (b) (b)
= a2 –ab – ab - b2
= a2 – b2
Podemos concluir que (a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual: al
cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.
Desde ahora en adelante resolveremos `por simple inspección
Ejemplo 1
(3 + x) (3 – x)= (3)2 –(x)2
= 9 – x2
Ejemplo2
(6 +3x) (3x – 6) = (3x + 6) (3x – 6)
= (3x)2 – (6)2
= 9x2 - 36
Ejercicio 5
Resuelva los siguientes problemas
1. (x + y) (x – y) 6. (6x2 – m2x) (6x2 + m2x)
2. (m – n) (m + n) 7. (am+bn) ( am – bn)
3. (2a – 1) (1 + 2a)8. (2m + 9) (2m – 9)
4. ( n – 1) (n + 1)
5. (y2 – 3y) (y2 + 3y)
f) Producto de dos binomios de la forma (x + a) (x + b)
Para resolver este tipo de producto notable por simple inspección, debes
aplicar los siguientes pasos:

4. 1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos
delos binomios.
2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica
de los segundos términos de los binomios y en este término la parte
literal esta elevada a un exponente que es la mitad del que tiene la
parte literal del primer término del producto.
3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos
de los binomios.
Ejemplo 1
(x – 7) (x - 6)= x2 + (-7 -6) x+ (-7) (-6)
=x2 – 13x + 42
Ejemplo 2
(x2 – 12) (x2 – 3) = x4 + (-12 – 3)x2 + (-12) (-3)
= x4 -15x2 + 36
Ejemplo 3
(y - 11) (y + 9)= y2 + (-11 + 9)y + (-11) (9)
= y2 – 2y – 99
Ejercicio 6
1. (x + 2) ( x + 3)
2. (n + 3) (n + 5)
3. (a2 + 8) (a2 -7)
4. (m -8)(m + 12)
5. (x3 + 6) (x3 – 8)
6. (x4- 2) (x4 + 5)
7. (a3 + 12) (a3 – 15)
8. (x4 + 7) ( x4 – 11)