Pemrograman Linier: Metode Grafis
Achmad Fajri Febrian
Telkom University

Ruang Lingkup Pemrograman Linier
1
Model Programa
Linear –
Formulasi
Masalah
2
Model Programa
Linear – Metode
Grafis
3
Model Programa
Linear – Metode
Simpleks
(Maksimasi)
4
Model Programa
Linear – Metode
Simpleks
(Minimasi)

Memaknai Pemrograman Linier: Metode Grafis
Program linear atau pemrograman linear adalah metode untuk memperoleh hasil
optimal dari suatu model matematika yang disusun dari persamaan linear.
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau
perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan
matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang memuat
satu variabel dengan pangkat satu. Bentuk umum persamaan linear
satu variabel adalah
Sistem koordinat Kartesius
Ket: dimana x adalah variabel. Persamaan ini hanya memiliki
satu solusi. Beberapa contohnya adalah:
3x = 1
x+5 =5
5x =5
ax+b=0, dengan a≠0. Contoh x+8=9

Memaknai Pemrograman Linier: Metode Grafis
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan garis lurus yang mempunyai 2 variabel atau peubah.
Persamaan linear dua variabel ditulis dengan bentuk
ax + by = c
Sebagai keterangan, x dan y adalah variabel dengan pangkat satu, sedangkan a dan b adalah koefisien,
dan c adalah konstanta.
Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan xy bukanlah
persamaan linear.
Contoh sistem persamaan linear dua variabel:
3 x + 5 y = 21
X – 2y = 10
Contoh grafik dari suatu
persamaan linear dengan
nilai a=0,5 dan c=2
(garis merah)

Memaknai Pemrograman Linier: Metode Grafis
Tujuan dan Manfaat
1. Program Linear banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimasi dalam industri, perbankkan, pendidikan dan masalah-masalah
lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Bentuk linear di sini
berarti bahwa seluruh fungsi dalam model ini merupakan fungsi linear.
2. Manfaat dari mempelajari program linier yaitu untuk menyelesaikan
masalah optimal. Sedangkan dalam bisnis manfaat dari memperlajari
program linier yaitu menentukan nilai minimum dalam hal
menentukan biaya sedangkan nilai maksimum dalam hal menentukan
keuntungan.

Memaknai Pemrograman Linier: Metode Grafis
Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan
optimasi menggunakan teknik program linear.
1. Tentukan variabel-variabel kendalanya.
2. Tentukan fungsi tujuan.
3. Susun model dari variabel-variabel kendala.
4. Gambarkan grafik dari model yang telah dibuat.
5. Tentukan titik-titik potong dari grafik.

Contoh Kasus
Flair Furniture Company

Flair Furniture Company
Perusahaan Flair Furniture memproduksi kursi dan meja
murah. Proses produksi untuk masing-masingnya mirip,
dimana keduanya membutuhkan beberapa jam pengerjaan
pada bagian pertukangan dan beberapa jam pengerjaan pada
bagian pengecatan. Untuk menyelesaikan satu meja
dibutuhkan waktu 4 jam di bagian pertukangan dan 2 jam di
bagian pengecatan. Sementara itu, untuk menyelesaikan satu
kursi dibutuhkan 3 jam di bagian pertukangan dan 1 jam di
bagian pengecatan.

Flair Furniture Company
pertukangan adalah 240 jam dan 100 jam
Dalam minggu ini, waktu yang tersedia pada
pada
bagian
bagian
pengecatan. Setiap meja yang terjual mendatangkan profit
$70 bagi perusahaan; dan perusahaan mendapatkan $50
untuk tiap kursi yang terjual. Permasalahan Flair Furniture
adalah bagaimana kombinasi jumlah meja dan kursi yang
harus diproduksi sehingga perusahaan mampu mendapatkan
profit yang maksimal?z

Metode Grafis untuk Permasalahan
Maksimasi

Formulasi Masalah
Fungsi Tujuan:
• Maksimasi profit = $70X1 + $50X2
Kendala:
≤ 240
≤ 100
≥ 0
• 4X1 + 3X2
• 2X1 + 1X2
• X1
• X2 ≥ 0

Representasi
grafis dari
fungsi kendala
Sumbu ini merupakan representasi
dari kendala X1 ≥ 0
Sumbu ini merupakan
representasi dari kendala
X2 ≥ 0
X1
X2
Jumlah
kursi
Jumlah meja

Representasi grafis dari fungsi kendala
Ubah
pertidaksamaan
(“≤” atau “≥”)
menjadi
persamaan
(“=“)
Temukan
kuadrat dua titik
dari persamaan
tersebut
(Ketika X1 = 0
dan X2 = 0)
Hubungkan
kedua titik yang
sudah
ditemukan
tersebut untuk
membuat garis
Temukan
area/wilayah
yang memenuhi
pertidaksamaan

Representasi grafis dari fungsi kendala
Fungsi kendala pertama:
4X1 + 3X2 ≤ 240
• Ketika X1 = 0:
4(0) + 3X2 = 240
3X2 = 240
X2 = 80
Titik pertama: (0,80)
4X1 + 3X2 = 240
• Ketika X2 = 0
4X1 + 3(0) = 240
4X1 = 240
X1 = 60
Titik kedua: (60,0)

Representasi
grafis dari
fungsi kendala
X1
X2
(X1=0, X2=80)
(X1=60, X2=0)
Jumlah
kursi
Jumlah meja

Representasi grafis dari fungsi kendala
4X1 + 3X2 ≤ 240
• (30, 20)
4(30) + 3(20) = 180
180 < 240
• (70, 40)
4(70) + 3(40) = 400
400 > 240 X1
X2
Jumlah
kursi Jumlah meja

Representasi grafis dari fungsi kendala
Fungsi kendala kedua:
2X1 + 1X2 ≤ 100
• Ketika X1 = 0:
2(0) + 1X2 = 100
X2 = 100
Titik pertama: (0,100)
2X1 + 1X2 = 100
• Ketika X2 = 0
2X1 + 1(0) = 100
X1 = 50
Titik kedua: (50,0)

Representasi
grafis dari
fungsi kendala
X1
X2
(X1=0, X2=100)
(X1=50, X2=0)
Jumlah
kursi
Jumlah meja

Representasi grafis
dari fungsi kendala
• 4X1 + 3X2 ≤ 240
• 2X1 + 1X2≤ 100
• X1 ≥ 0
• X2 ≥ 0
X1
X2
Kendala bagian pengecatan
Kendala bagian pertukangan
Jumlah
kursi
Jumlah meja

Metode Corner Point Solution

Metode Corner Point
Solution
A. (0,0)
B. (50,0)
C. (?,?)
D. (0,80)
A
B
C
D
X1
X2

Metode Corner Point
Solution
Find value of point C
4X1 + 3X2 = 240
2X1 + 1X2 = 100 (-2)
4X1 + 3X2 = 240
-4X1 - 2X2 = -200
X2 = 40 A
B
C
D
X1
X2

Metode Corner Point
Solution
4X1 + (3)(40) = 240
4X1 + 120 = 240
4X1 = 120
X1 = 30
Therefore, C (30,40)
A (0,0)
B (50,0)
C (30,40)
D (0,80)

Metode Corner Point Solution
Profit terbesar yang bisa didapatkan adalah
$4,100, yang dapat diperoleh dengan
memproduksi 30 meja dan 40 kursi
Point Number of
Tables (X1)
Number of
Chairs (X2)
Profit =
$70X1 + $50X2
A 0 0 $0
B 50 0 $3,500
C 30 40 $4,100
D 0 80 $4,000

Metode Grafis untuk Permasalahan
Minimasi

Formulasi Masalah
Fungsi Tujuan:
• Minimasi Biaya = 2X1 + 3X2
Kendala:
• 5X1 + 10X2 ≥ 90
• 4X1 + 3X2 ≥ 48
• 0.5X1 ≥ 1.5
• X1, X2 ≥ 0

Empat Kasus Khusus
pada Programa Linear

Empat Kasus Khusus pada Programa Linear
Tidak ada solusi yang fisibel
Unboundedness
Pengulangan
Solusi Optimal Ganda

Tidak ada solusi yang
fisibel
Kendala
• X1 + 2X2 ≤ 6
• 2X1 + X2 ≤ 8
• X1 ≥ 7

Unboundedness
Maksimasi profit = $3X1 + $5X2
Kendala:
• X1 ≥ 5
• X2 ≤ 10
• X1 + 2X2 ≥ 10
• X1, X2 ≥ 0

Pengulangan
(Redundancy)
Maksimasi profit = $1X1 + $2X2
Kendala:
• X1 + X2 ≤ 20
• 2X1 + X2 ≤ 30
• X1 ≤ 25
• X1, X2 ≥ 0

Lebih dari Satu Solusi
Optimal
Maksimasi profit = $3X1 + $2X2
Kendala:
• 6X1 + 4X2 ≤ 24
• X1 ≤ 3
• X1, X2 ≥ 0

Analisis Sensitivitas
Seberapa sensitif solusi optimal yang dihasilkan akan berubah
• Pendekatan trial-and-error
Pendekatan yang digunakan adalah “ trial and error “ yang
tidak menjamin terciptanyarencana produksi yang optimal,
tetapi penghitungan yang dibutuhkan hanya sedikit dan
dapatdilakukan oleh staf yang palingdasar pekerjaannya
(karyawan administrasi).
• Metode analisis post-optimality

Thank you