Comment réaliser l'équilibre dans un marché oligopole, et l'étude de sa stabilité (Master sciences économique) sc: Economic dynamics

1. Dynamique de l’oligopole
Travail élaboré et
présenté par
SANBOURS Ali
ALAADSSI Abderrahmane
CHAMANE Fatima
BAMOU Oussama
Module; algèbre et équation différentielle
Sous la direction de :
Pr DASSER salma

3. I. Introduction au
modèle

4. .
Oligopole est un marché qui met en présence une petite taille des offreurs et un
grand nombre d’acheteurs.
Duopole est un cas d’oligopole, c’est un marché caractérisé par la présence de
deux offreurs et un grand nombre d’acheteurs.
Il existe plusieurs modèle de duopole, mais nous on va s’intéresse au modèle de
Cournot qui est un modèle économique utilisé pour décrire une structure industrielle
dans laquelle les entreprises sont en concurrence par rapport à leurs volumes de
production. Elles décident de ces volumes indépendamment les unes des autres, et
ce à un même instant. Son nom vient d'Antoine-Augustin Cournot (1801-1877), un
mathématicien qui le théorisa en observant le comportement d'entreprises au sein
d'un duopole vendant de l'eau de source.

5. Les conditions de base du duopole :
 Deux firmes 1 et 2 qui interagissent.
 Deux firmes pratiquent le même prix.
 q1+q2= Q.
 Demande inverse : P=f(q1+q2)=f(Q).
Les profits des 2 firmes 1 et 2 :
 Π1=RT1-CT1=pq1-CT1
 Π2=RT2-CT2=pq2-CT2
Les variations conjecturales pour la firme 1 et 2 :
 (Π1)‵q1= (RT1)‵q1- (CT1)‵q1
 (Π2)‵q2= (RT2)‵q1- (CT2)‵q2

6. III. Les hypothéses du modéle d’oligopole

7. Dans le modèle de Cournot la variable stratégique est la quantité.
H1 : Jeu simultané à tour (information imparfaite).
H2 : Existence de barrières à l’entrée et même à la sortie.
H3 : Cm1=Cm2=0.
H4 : P1=P2=P.
H5 : (q2)‵q1 = (q1)‵q2 = 0

8. III.La constriction du modéle

9. La dynamique d’oligopole (discret):
On considérons que on a une économie opèrent deux firmes (n=2), qui
vendent même type de bien en deux quantité déterministes (q1;q2)
Les hypothèses de travail :
01
02
03
Coûts Marginaux constants.
Les entreprises sont de taille identiques.
Avec ajustement complet et instantané.

10. 01
La fonction de production
p = 9 − Q
02
La fonction de quantité
Q = q1 + q2
03
Cout totale de firme 1
04 Cout totale de firme 2
CT1 = 3q1
CT2 = 3q2
Les équations caractéristiques d’un exemple illustrant le
modèle de Cournot :

11. Choix du niveau de production : Il est spécifié dans la théorie de
Cournot que chaque firme, ajuste sa production de la période (t) en
fonction de la production de la firme concurrente relative à la
période (t – 1). Nous avons donc :
q,t = q,t-1
Les fonctions de profits pour chaque E/ses est crée
comme suit :
Firme 1 π1,t = (9 − q1,t − q2,t−1)q1,t − 3q1,t
Firme 2 π2,t = (9 − q1,t−1 − q2,t)q2,t − 3q2,t

12. L’objectif ici est de maximiser le profit de chaque firme, ca donne les résultats
suivants :
∂π1,t / ∂q1,t = 6 − 2q1,t − q2,t−1 = 0 q1,t = 3 − 1/2q2,t−1
∂π2,t / ∂q2,t = 6 − q1,t−1 − 2q2,t = 0 q2,t = 3 − 1/2q1,t−1

13. Après l’ajustement précèdent les résultats sont comme suit :
q1,t = 2 − 2*(−1/2 ) ͭ + 1/2*(−1/2) ͭ *(q1,0 + q2,0) + 1/2*(−1/2) ͭ *(q1,0 − q2,0)
q2,t = 2 − 2 *(−1/2 ) ͭ + 1/2*(−1/2) ͭ *(q1,0 + q2,0) + 1/2*(−1/2) ͭ *(−q1,0 + q2,0)
On remarquons ici, si t tend vers l’infini le point d’équilibre des quantité serait
égal (q∗1, q∗2) = (2, 2)

14. IV. Etude continu

15. ETUDE QUANTITATIVE :
Dans le cadre de notre étude, ici aussi, nous allons travailler sur le cas de
deux entreprises (n=2)
Les Hypothèses sont :
Les entreprises sont de la même taille.
Coût Marginale constante de deux firmes.
Ajustement incomplet et non instantané

16. .
.
Fonction de production
p(t) = 9 − Q(t)
Fonction de quantité
Q(t) = q1(t) + q2(t)
Cout totale de deux firme
CT1(t) = 3q1(t)
CT2(t) = 3q2(t)
Cela conduit à des recettes totales et des profits pour chaque entreprise
Firme 1
RT1(t) = (9 − q1(t) − q2(t))q1(t)
π1(t) = (9 − q1(t) − q2(t))q1(t) − 3q1(t)
Firme 2
RT2(t) = (9 − q1(t) − q2(t))q2(t)
π2(t) = (9 − q1(t) − q2(t))q1(t) − 3q2(t)
Nous supposons que pour l'entreprise 1, la production est ajustée de façon continue en
proportion de l'écart entre le niveau désiré et le niveau réel.
𝑑qi(t)
𝑑𝑡
= Ki( xi(t) - qi(t) ) avec ki > 0

17. Dans la même logique précédente, l’objectif de chaque firme est de maximiser
son profit :
Puisque les fonctions de réaction exprimé la production protéger (anticipé) . on remplace,
𝒙𝟏 𝒕 𝒆𝒕 𝒙𝟐 𝒕 dans les fonctions d’ajustement :
𝜕𝑞1 𝑡
𝜕𝑡
= 3𝑘1 − 𝑘1𝑞1 𝑡 −
1
2
𝑘1𝑞2 𝑡
𝜕𝑞2 𝑡
𝜕𝑡
= 3𝑘2 −
1
2
𝑘2𝑞1 𝑡 − 𝑘2𝑞2 𝑡
𝜕𝑞1 𝑡
𝜕𝑡
= 3𝑘1 − 𝑘1𝑞1 𝑡 −
1
2
𝑘1𝑞2 𝑡
𝜕𝑞2 𝑡
𝜕𝑡
= 3𝑘2 −
1
2
𝑘2𝑞1 𝑡 − 𝑘2𝑞2 𝑡
𝑥1 𝑡 = 3 −
1
2
𝑞2 𝑡
𝑥2 𝑡 = 3 −
1
2
𝑞1 𝑡

18. Résolution de système
Considérons maintenant le modèle sous forme matricielle
𝜕𝑞1 𝑡
𝜕𝑡
= 3𝑘1 − 𝑘1𝑞1 𝑡 −
1
2
𝑘1𝑞2 𝑡
𝜕𝑞2 𝑡
𝜕𝑡
= 3𝑘2 −
1
2
𝑘2𝑞1 𝑡 − 𝑘2𝑞2 𝑡
𝜕𝑞1 𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑞2 𝑡
𝜕𝑡
=
3𝑘1
3𝑘2
+
−𝑘1 −
1
2
𝑘1
−
1
2
𝑘2 −𝑘2
×
𝑞1 𝑡
𝑞2 𝑡
𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑋
Solution générale : 𝑋𝑔 = 𝑋ℎ + 𝑋𝑝

19. Déterminer la solution homogène :
La matrice du système est :
𝑇𝑟 𝐴 = − 𝑘1 + 𝑘2
𝐷𝑒𝑡 𝐴 =
3𝑘1𝑘2
4
𝐴 =
−𝑘1 −
1
2
𝑘1
−
1
2
𝑘2 −𝑘2
 Déterminer les valeurs propres :
𝑃𝐴 𝜆 = 𝜆2
− 𝜆. 𝑡𝑟 𝐴 + det 𝐴 = 0
𝛥 = 𝑘1 − 𝑘2 ² + 𝑘1𝑘2 > 0
Pour simplifier le calcul au dessus on suppose que :
𝜆1 =
−1
2
𝑘
k1 = k2 = k
𝜆2 =
−3
2
𝑘
𝛥 > 0 et les deux valeurs propres sont négatives. Donc, l’équilibre est un
nœud stable.

20. 𝜆2 =
−3
2
𝑘
Le vecteur propre de 𝜆2est:
𝐴 − 𝜆𝐼 𝑋 = 0
−1
2
𝑘. 𝑞1 𝑡 −
1
2
𝑘. 𝑞2 𝑡 = 0
−1
2
𝑘. 𝑞1 𝑡 −
1
2
𝑘. 𝑞2 𝑡 = 0
 Déterminer des vecteurs propres associés à chaque valeur propre :
Le vecteur propre de 𝜆1est: 𝟏
−𝟏
𝟏
𝟏
La solution homogène s’écrit : 𝑿 = 𝑪𝟏𝒆
−
𝟏
𝟐
𝒌 𝒕 𝟏
−𝟏
+ 𝑪𝟐𝒆
−
𝟑
𝟐
𝒌 𝒕 𝟏
𝟏
𝝀𝟏 =
−𝟏
𝟐
𝒌
1
2
𝑘. 𝑞1 𝑡 +
1
2
𝑘. 𝑞2 𝑡 = 0
−1
2
𝑘. 𝑞1 𝑡 +
1
2
𝑘. 𝑞2 𝑡 = 0

21. Solution particulière :
On a: 𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑋
𝑋𝑝 = −𝐴−1
× 𝐵
𝐴−1 =
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
× 𝐶𝑜𝑚𝑇 𝐴 =
−
4
3𝑘
2
3𝑘
2
3𝑘
−
4
3𝑘
𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠: 𝑋𝑝 =
2
2
𝐷𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0. la matrice A est inversible.
la solution particulière s’écrit:
On sait que

22.  Solution générale :
𝑋 = 𝑋ℎ + 𝑋𝑝 = 𝐶1𝑒
−
1
2
𝑘 𝑡 1
−1
+ 𝐶2𝑒
−
3
2
𝑘 𝑡 1
1
+
2
2
𝑞1 𝑡 = 𝐶1𝑒
−
1
2
𝑘 𝑡
+ 𝐶2𝑒
−
3
2
𝑘 𝑡
+ 2
𝑞2 𝑡 = −𝐶1𝑒
−
1
2
𝑘 𝑡
+ 𝐶2𝑒
−
3
2
𝑘 𝑡
+ 2
 ETUDE QUALITTATIVE
De ce que nous avons obtenu deux valeurs propres réel et puisque
𝑘1𝑒𝑡 𝑘2 sont positive et 𝛥 > 0 𝑒𝑡 𝑇𝑟 𝐴 < 0 on constate que les
deux firmes retrouve l’équilibre dans une économie après un choc.

23. n=2 :
Trace < 0
Det > 0
𝛥 > 𝟎

24. V. Les critiques du modéle
d’oligopole

25. Les limites du modèle l'oligopole
Le modèle duopole, d'oligopole de Cournot considère un marché avec des firmes de nombre limité qui
produisent un bien homogène, ont des fonctions des coûts identiques et se font en concurrence par rapport à
la quantité. Chaque firme choisit son niveau de production et le prix de marché s'ajuste de façon à ce que
l'offre soit égale à la demande, sous certaines hypothèses sur les fonctions de demande et de coût. Donc on
parle de l'existence de l'équilibre de Cournot, thème qu'a été abordé par (J. Friedman ) . À ce niveau y a deux
questions fondamentales qui se posent l'une c'est celle de la détermination des prix dans l'oligopole de Cournot
et celle des conjonctures attribuées aux producteurs cournotiens sont longuement discutées. L'intervention de
la théorie de concurrence par les prix, on parle de l'oligopole selon ( Bertrand et Edgeworth ), ils critiquent le
modèle de Cournot c'est à dire l'idée de la concurrence sur un marché en choisissant les quantités d'un bien
qu'elles produiront, pour cela ils ont élaboré un autre modèle de comportement possible pour un oligopole.
Selon la perception habituelle, les entreprises rivalisent à travers les prix qu'elles font payer pour leur bien .
Dans le modèle de Bertrand, la variable stratégique est le prix, le comportement des entreprises est symétrique
et elles ont une capacité de production suffisante pour couvrir la totalité du marché

26. Conclusion
À la recherche de maximisation des profits, l'entreprise exerce une
certaine puissance sur le marché et plus particulièrement la situation d'un
marché se caractérisant par l'existence d'un nombre très limité de
vendeurs qu'ont conscience de leur interdépendance pour leurs décisions
de prix et de production, C'est ce que l'on appelle " oligopole"Dans le
cadre de l'analyse des comportements oligopolistiques, le modèle de
Cournot qu'est fondé sur la fixation des quantités. On parle de l'existence
d'un équilibre de cournot à partir d'un processus d'ajustement sur les
quantités produites par les entreprises.

27. Bibliographie:
Economic dynamic phase diagrams and
their economic application second
Edition. Ronald shone