Fórmulas de áreas de figuras geométricas

35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
OBJETIVOS:
• Conocer el concepto de región plana y
aprender a calcular su medida en base a la
definición de área.
• Aprender a utilizar las diversas fórmulas del
cálculo de áreas de las principales regiones
planas tales como: Región triangular, región
cuadrangular y región circular.
• Comparar las áreas de las regiones teniendo
en cuenta ciertas características entre ellas.
INTRODUCCIÓN:
Desde tiempos pasados el hombre tenía la
necesidad de medir extensiones superficiales
(terrenos de cultivo, viviendas, territorios, etc.)
con el cuál surge la necesidad de crear una
magnitud de medidas superficiales derivada de la
magnitud de medidas lineales (longitud); a la cual
se le denomina área.
REGIÓN PLANA
Es una porción de plano limitada por una línea
cerrada.
H
Plano H: H
Línea cerrada
Región plana
ÁREA
Es la medida de una región, la cuál resulta de
comparar a dicha región con otra tomada como
unidad (región unitaria).
Convencionalmente se toma como región unitaria
a una región cuadrada (Región limitada por un
cuadrado), donde la longitud de su lado es la
unidad de longitud (m) cuya área es 1 m2
(unidad
de área).
H
Plano H: H
Región unitaria
U
1m
1mB
C
D
A E
Del gráfico: A = K(Au)
Pero: Au = 1m2
∴ A = Km2
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
FÓRMULA BÁSICA
El área de una región triangular es igual al
semiproducto de las longitudes de un lado y la
altura relativa a dicho lado.
A H C
B
h
b
En el gráfico:
BH es la altura relativa a AC
Si: AC = b y BH = h
2
bh
A ABC =∆
Observación:
B
H A
C
h
b
BH : altura relativa a AC
2
bh
A ABC =
B
A C
c
b
ACyAB : catetos
2
c.b
A ABC =
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
El área de una región triángular es igual al
semiproducto de las longitudes de dos lados,
multiplicados con el seno del ángulo
determinado, por dichos lados.
B
A C
θ
c
b
En la figura:
AB = c , AC = b y m ∠ BAC = θ
θ=∆ sen
2
bc
A ABC
Observación:
B
A C
 

∆ ABC: equilátero
AB = BC = AC = 
4
3
A
2
ABC

=∆
FORMULA DE HERÓN
El área de una región triangular es igual a la raíz
cuadrada del producto del semiperímetro de la
región triangular y la diferencia de dicho
semiperímetro con la longitud de cada uno de los
lados.
B
A Cb
ac
En el ∆ ABC:
2
cba
p
++
=
p: semiperímetro de la región ABC
)cp()bp()ap(pA ABC −−−=∆
FÓRMULAS ADICIONALES
S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
ÁREAS
III

Con el inradio
B
A C
r
circunferencia inscrita
En la figura:
r : inradio del ∆ ABC
p : semiperímetro de la región ABC
A∆ ABC = pr
Observación:
B
A C
circunferencia inscrita
nm
M
En la figura:
AM = m y MC = n
nmA ABC =
RELACIÓN DE ÁREA EN REGIONES
TRIANGULARES
Consiste en establecer la comparación de las
áreas de regiones triangulares que presentan
ciertas características.
Al trazar una ceviana
B
A C
nm
D
En el ∆ ABC
BD : ceviana interior
n
m
A
A
DBC
ABD
=
∆
∆
Observación:
B
A C
mm
M
En el ∆ ABC
BM : mediana
MBCABM AA ∆∆ =
Triángulos con un ángulo de igual medida
B
A C
b
α
c
N
M L
n
α

En la figura: m ∠ BAC = m ∠ NML = α
n
bc
A
A
MNL
ABC
=
∆
∆
Triángulos con un ángulo suplementario
B
CA
b
β
a
N
LM
n
α
m
En la figura, los ángulos ACB y MLN son
suplementarios, es decir: β + α = 180
n.m
ab
AMNL
ABC
=
∆∆
Triángulos semejantes
B
A Cb
α
β
θ
c a
N
M Ln
α
β
θ
m
En la figura ∆ ABC ∼ MNL
2
2
2
2
2
2
2
MNL
ABC
K
c
n
b
m
a
A
A
====
∆
∆

K : razón de semejanza
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
FÓRMULA GENERAL
El área de una región cuadrangular es igual al
semiproducto de las longitudes de sus diagonales,
multiplicado con el seno de la medida del ángulo
determinado por dichas diagonales.
B
C
DA
d1
d2
θ
ABCD : convexo
N
P
LM
β
m
n
MNLP : cóncavo en P
θ= sen.
2
dd
A 21
ABCD
β= sen.
2
mn
A MNLP
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al
producto de la semisuma de las longitudes de las
bases con la longitud de la altura de dicho
trapecio.
m
M N
aB C
h
bA D

En el gráfico:
ABCD : trapecio
ADyBC : bases
Entonces:
h
2
ba
A ABCD 




 +
=
Además:
Si MN es la base media del trapecio
ABCD
mhA ABCD =
ÁREA DE UNA REGIÓN
PARALELOGRÁMICA
Región Romboidal
El área de una región romboidal es igual al
producto de las longitudes de un lado y la altura
relativa a dicho lado.
α
B
a
b D H
C
A
h
En la figura:
ABCD : paralelogramo
bhA ABCD =
Además:
α= senabA ABCD
Región Rombal
El área de una región rombal es igual al
semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
B
D
CA
m m
m m
d
2
d
1
En la figura:
ABCD : rombo
2
dd
A 21
ABCD =
Región Rectangular
El área de una región rectangular es igual al
producto de sus dimensiones.
B
D
C
A
a
b
En la figura:
ABCD : rectángulo
a y b : dimensiones del rectángulo
abA ABCD =
Región Cuadrada
El área de una región cuadrada es igual al
cuadrado de la longitud de su lado.
B
D
C
A
d


En la figura:
ABCD : cuadrado
2
ABCDA =
También:
2
d
A
2
ABCD =
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el área del siguiente triángulo, si su
proyección del lado AB es 3 y el lado
AC = 9.
A
B
C
37°
a) 18 b) 10 c) 9
d) 27 e) 15
02.Hallar el área del triángulo rectángulo ABC.
Si AB = 6 y BC = 9. (Recto en B)
a) 20 b) 22 c) 27
d) 10 e) 15
03.Hallar el área de un triángulo equilátero, si su
altura es 3.
a) 3 b) 35 c) 34
d) 33 e) 32
04.Hallar el área de un triángulo ABC, si sus
lados miden 7 y 16 y su ángulo comprendido
entre dichos lados mide 30°.
a) 24 b) 25 c) 28
d) 23 e) 20
05.En un triángulo rectángulo ABC (m < B = 90°).
Si se traza la altura BH . Si las proyecciones
HCyAH miden 2 y 8 respectivamente.
Calcular el área del triángulo.
a) 10 b) 20 c) 40
d) 15 e) 30
06.Las medidas de los lados de un triángulo son
13, 14 y 15. Calcular el área de la región
triangular.
a) 84 b) 81 c) 27
d) 49 e) 51
07.El lado de un cuadrado mide 24 cm.
¿Cuánto mide el área del círculo que se
encuentra circunscrita al cuadrado?
a) 4π b) 16π c) 22π
d) 32π e) 8π
08.La hipotenusa de un triángulo rectángulo
forma con una cateto un de 37°. Calcular el
área del triángulo si el lado opuesto al ángulo
de 37° mide 6cm.
a) 48 cm2
b) 4 cm2
c) 8 cn2
d) 12 m2
e) 24 cm2
09.El lado de un rombo mide 10 cm y sus
diagonales están en la relación de 3 es a 4.
¿Cuál es su área?
a) 96 m2
b) 10 m2
c) 15 m2
d) 20 m2
e) 18 m2
10.El área de un trapecio es 210 m2
y su altura
mide 6 m. Calcular la longitud de cada una de
las bases si están en relación de 2 es a 5.
a) 50 y 20 m b) 20 y 40 m c) 60 y 10 m
d) 60 y 20 m e) N.a.

11.Hallar el área de un cuadrado inscrito es un
círculo de radio 24 cm.
a) 16 cm2
b) 4 cm2
c) 8 cm2
d) 64 cm2
e) N.a.
12.Un rectángulo tiene un área de 216m2
. Su
largo mide 6 metros más que su ancho. Sus
dimensiones serán:
a) 11 y 19 m b) 12 y 18 m c) 27 y 4m
d) 12 y 19 m e) N.a.
13.Hallar el área de un triángulo equilátero si su
altura es 3 .
a) 2
3 µ b) 2
3 µ c)
2
33 µ
d) 2
2
3
µ e) 2
34 µ
14.En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
se traza la altura BH . Si las proyecciones
HCyAH miden 4 y 16
respectivamente. Calcular el área del
triángulo BHC.
a) 32 2
µ b) 64 2
µ c) 30 2
µ
d) 60 2
µ e) 45 2
µ
15.Las medidas de los lados de un triángulo son
10, 12 y 14. Su área de la región triangular
será:
a) 318 2
µ b) 315
2
µ c) 24 2
µ
d) 24 3 2
µ e) 12 3
2
µ
16.En la siguiente figura: Hallar el área de la
región triangular BHC.
B
20
A
30°
CH
a) 150 3 2
µ b) 200 3 2
µ
c) 100 3 2
µ d) 50 3 2
µ
e) N.a.
17.Las bases de un trapecio están en relación de
4 es a 6 y su área es 280m2
. Entonces su
altura es:
a) 56 x m b) 28 x m c) 56 / x m
d) 10 x2
m e) N.a.
18.Hallar el área del triángulo equilátero inscrito
en una circunferencia de radio igual a 5.
a) 375 2
µ b)
4
375
2
µ
c)
4
3 2
µ d)
2
x314 2
µ
e) N.a.
19.En la siguiente figura. Hallar el área del
cuadrado ABCD. ("O" centro de la
circunferencia).
B
A
C
D
12
O
a) 144 2
µ b) 12 2 2
µ c) 288
2
µ
d) 10 2 2
µ e) 5 2
µ
20.Hallar la diagonales de un rombo, sabiendo
que están en relación de 5 es a 2. Además el
área del rombo es 125 m2
.
a) 5 m y 2 m b) 25 m y 10 m
c) 30 m y 12 m d) 40 m y 20 m
e) 25 m y 12 m
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01. En un triángulo isósceles ABC el lado
desigual AC mide 8cm y el inradio mide 2
cm. Hallar el área del triángulo ABC. (en
cm2
)
a) 32/3 b) 64/3 c) 124
d) 30 e) 16
02.En un triángulo rectángulo ACB, la mediatriz
de la hipotenusa AB interseca el cateto BC en
el punto “E”. Si AB = 20m; AC = 12m.
Hallar el área del cuadrilátero ADEC. (D :
Punto medio de AB )
a)
2
117
b)
2
111
c)
2
137
d)
2
119
e)
2
135
03.Hallar el área de un triángulo cuyos lados
miden 26 m, 18 m y 20 m.
a) 18 m2
b) 9 m2
c) 6 m2
d) 15 m2
e) 12 m2
04.En un cierto triángulo rectángulo la altura
relativa a la hipotenusa mide 2m y la
hipotenusa es los 5/4 de uno de los catetos.
¿Cuál es el área del triángulo?
a) 12 m2
b) 13/3 m2
c) 6 m2
d) 25 m2
e) 25/6 m2
05. Los lados de un rombo son dos radios y dos
cuerdas de un círculo cuyo radio mide 16.
Calcular el área de la región limitada por el
rombo.
a) 64 3 b) 128 c) 256
d) 135 3 e) 128 5
06.En un trapecio, cuyas bases miden 4 y 6 se
trazan paralelas a las bases que trisecan a la
altura que mide 6. Calcular el área de la
región limitada por el trapecio intermedio.
a) 10 b) 7,5 c) 12
d) 9 e) 8
07.Se tiene un trapecio isósceles ABCD, BC //
AD, en el que se trazan la altura BH y la
diagonal BD. Si ABCDS = 16. Calcular
BHDS (S : Área)
a) 12 b) 16 c) 8
d) 6 e) 4

08.En la figura ABCD es un paralelogramo y
AMDMPC SS + = 18 , calcular ABPS
A
B C
D
M
P
a) 9 b) 12 c) 12 3
d) 18 e) 24
09. ¿Qué fracción del área del triángulo ABC,
nos representa el área de la región
sombreada?
B
A C
c
b
a
a
b
c
a) 1/6 b) 1/12 c) 1/18
d) 1/8 e) 1/10
10.Dos triángulos semejantes tienen que sus
bases miden 8dm y 3 dm. ¿En qué relación se
encuentran sus áreas?
a) 8/3 b) 16/9 c) 64/3
d) 8/9 e) 64/9
11.En la figura ABCD es un romboide,
BOCS = 9µ2
y PODS = 4µ2
. Calcular el
área de la región ABCD.
A
B C
D
O
P
a) 36 µ2
b) 30 c) 27
d) 38 e) 24
12.En el gráfico, calcular el área de la región
sombreada, si las áreas de las regiones
triangulares MNP y EPF son 4m2
y 9 m2
respectivamente.
(MC // DE)
M N C
P
E F Da
b
a
b
a) 26 m2
b) 18 c) 30
d) 31 e) 32
13.Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) cuya
base mayor AD mide 14 cm y altura 8cm. Si
el área del trapecio es de 80 cm2
. Hallar el
área del triángulo BCD.
a) 48 cm2
b) 24 cm2
c) 30 cm2
d) 12 cm2
e) 36 cm2
14.En un paralelogramo tiene como base 12m y
como altura 3m. Hallar la diagonal del
cuadrado equivalente a dicho paralelogramo.
a) 6 m b) 6 2 m c) 8 m
d) 4 3 m e) 2 6 m
15.En un triángulo ABC se traza la bisectriz
interior BF y sobre ella se ubica el punto “P”.
Calcular la relación de las áreas de las
regiones APB y BPC, si 2AB = 3BC.
a) 3/2 b) 1/2 c) 1
d) 3/4 e) 2/5
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar el área sombreada: ("O" centro de la
circunferencia).
A
B
C
D
4m
O
a) 4π - 8 b) 4 (π – 2 ) c) 4π
d) 8π e) 8 + 4π
02.Hallar el área sombreada:
B
A CD
10 8
50m 2
a) 28 m2
b) 100 m2
c) 25 m2
d) 20 m2
e) 40 m2
03. En la figura ABCD es un paralelogramo.
Area del triángulo BPC = 10, área del
triángulo DPC = 8, área del triángulo APD=
5. Calcular el área del triángulo ABP.
A
B C
P
D
a) 2
4 µ b) 2
7 µ c) 2
5 µ
d) 2
10 µ e) N.a
04.En un triángulo rectángulo, un cateto mide 4
m y la altura relativa a la hipotenusa mide 2, 4
m. Hallar el área de dicho triángulo.
a) 2
m4 b) 2
m8,4 c)
2
m6
d) 2
m4,6 e)
2
m2,7
05.El lado desigual AC de un triángulo
isósceles ABC mide 8 m y el radio del círculo
inscrito es 2 m. Calcular el área de dicho
triángulo.
a)
3
64
b)
7
60
c)
3
49
d)
3
50
e)
3
32

CÍRCULO
Es aquella región plana limitada por una
circunferencia.
d
R
O
En el gráfico:
R : radio del círculo d : diámetro
A = πR2
También:
4
d
A
2
π
=
SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitada por un
ángulo central y su arco correspondiente.
Lθ
O
R
A
B
En el gráfico:
R : radio del sector circular AOB
θ : medida del ángulo central
º360
R
A
2
AOB
θπ
=
Además:
L : longitud del arco AB
2
R.L
A AOB =
SEGMENTO CIRCULAR
Es aquella porción de círculo determinada por
una cuerda de dicho círculo.
P
θ
O
R
A B
R
R
En el gráfico:
APB: :segmento circular determinado por la
cuerda AB
R : radio
θ : medida del ángulo central
correspondiente al segmento circular
θ−
θπ
= sen
2
R
º360
R
A
22
APB
CORONA CIRCULAR
Es aquella región plana limitada por dos
circunferencias concéntricas.
r
R
A B
T
a
En la figura las circunferencias de radios R y r
determinan la corona circular.
Acorona = π (R2
– r2
)
También:
Si T es punto de tangencia y AB = a
4
a
A
2
corona
π
=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el perímetro de la región sombreada.
2 2
a) 2 π b) 4 π + 1 c) 3 π
d) 2 ( π + 1) e) 2 (π + 2)
02.Hallar el perímetro de la región sombreada.
44
4
a) 2(π + 1) b) 4(π + 2) c) 2π + 1
d) 4(π + 1) e) 2π + 8
ÁREA DE
REGIONES

03.Hallar el área de la región sombreada.
6
6
6
6
6
6
a) 12 (π - 3 ) b) 6 ( 2 3 - π)
c) 6 ( 3 3 - π) d) 12 ( 3 + π)
e) 12 ( 3 3 - π)
4
4O
A
B
a) 4 (π + 1) b) 4 (π - 2) c) 2 (π + 1)
d) 2 (π + 3) e) 3 (π + 1)
6 8
a) 4 (6 - π) b) 4 (π - 2) c) 4 (6 - π)
d) 4 (6 - π) e) 4 (6 - π)
C
D
B
A
4
4
a) 24 – 8π b) 24 – 7π c) 32 – 4π
d) 32 – 9π e) 28 – 4π
2
2
a) 2(π - 1) b) 2(π - 2) c) 2(π + 1)
d) 3(π - 1) e) 3(π - 2)
4
4
a) 10 b) 12 c) 9
d) 8 e) 6
2 a
2 aB
A
C
D
a) ( )1a4 2
−π b) ( )1a 2
−π
c) ( )2a4 2
−π d) ( )1a 2
−π
e) ( )2a2 2
−π
4
44
a) π + 2 b) 2(π - 1) c) 4(4 - π)
d) 4(π - 2) e) 4(4 - 2π)
11.El área del sector circular es el área del
círculo como:
60ºO
A
B
a) 4: 3 b) 3: 1 c) 5: 2
d) 3: 2 e) 5: 3
64
a) 24 - 4π b) 18 - 6π c) 24 - 3π
d) 24 - 7π e) 6 (4 - π)
13.Hallar el área de la parte sombreada en la
siguiente figura: (π = 3, 14)
20 cm
20 cm
B
A
C
D
r
a) 86 2
cm b) 48 2
cm c) 52 2
cm
d) 90 2
cm e) N.a
14.Si ABCD es un cuadrado, AEAC = .
Hallar el área sombreada si el lado del
cuadrado es 10cm.
B E
C
A
D
a) 100 cm2
b) 50 cm2
c) 60 cm2
d) 25 cm2
e) N.a.

15.Hallar el área sombreada, si los radios son: R
= 6; r = 4.
r
R
a) 20 π b) 12π c) 16 π
d) 18 π e) N.a.
16.Hallar el área sombreada 4BD = ;
°=12AB ; °=8CD
B
O
A
D
C
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
17.Hallar el área sombreada. AB = 60° y R =
12
B
O
A
a) 10 π b) 20 π c) 30 π
d) 35 π e) 24 π
18.¿Qué % del área del cuadrado es el área
sombreada?
a) 50% b) 75% c) 40%
d) 25% e) N.a.
19.En la siguiente figura. Hallar la relación del
área sombreada al área no sombreada.
a) 1/7 b) 1/5 c) ¼
d) 1/3 e) N.a.
20.¿Cuánto vale el área sombreada, de la
siguiente figura. Si ABCD es un cuadrado de
lado 8.
B
A D
C
a) 30 b) 40 c) 32
d) 8 e) 16
01.Dado el cuadrado de la figura, sabiendo que
EF // BC y CF = ¼ AD, determine la razón
entre el área de la región sombreada y el área
de la región no sombreada.
A
B
D
C
E F
a) 5 / 11 b) 11/ 5c) 11 / 6
d) 16 / 11 e) 4 / 3
02.Si el área del trapecio ABCD e 80 m2
y M es
punto medio de DC, hallar el área de la parte
sombreada.
A
B C
D
M
a) 2
m50 b) 2
m40 c) 2
m60
d) 2
m70 e) N.a.
03.Hallar el área sombreada en la siguiente
figura. ABCD es un cuadrado de lado 10.
A B
CD
a) π100 b) ( )π425 c)
π+100
d) π−80 e) N.a.
04.Calcular el área de la región sombreada, si el
segmento MB mide 4m.
N O
O` O``
M
a) 4π b) 8π c) 6π
d) π/2 e) 3π
05.Hallar el área de la región sombreada:
4
4 4
a) π + 2 b) 2 ( π - 1 ) c) 4 (4 - π )
d) 4 (π - 2 ) e) 4 ( 4 – 2 π )
06.Calcular el área de la corona circular si
AB = 12m.
A
B
R
r
a) 144m2
b) 72m2
c) 72πm2
d) 36m2
e) 36πm2
07.Hallar el área de la parte sombreada. Si
ABCD es un cuadrado.

B C
A D
r=2u
r=2u
a) 2(18 - π)µ2
b) (15 - π)µ2
c) (12 - π)µ2
d) 2(8 - π)µ2
e) (16 - π)µ2
08.Hallar el área de la Región sombreada
a
a a
a
a) a2
(4 - π) b) )2(
2
a 2
π−
c) )4(
4
a 2
π− d)
)3(
3
a 2
π−
e) N.a.
09.Calcular el área de la región sombreada.
A
B
6m
30°
C
a) 10πm2
b) 15πm2
c) 16πm2
d) 18πm2
e) 20πm2
10.El área del sector circular mostrado es:
A
Br = 8u
5u
O
a) 40µ2
b) 20µ2
c) 30µ2
d) 28µ2
e) 36µ2
11.Calcular el área de un círculo inscrito en un
sector circular de 60º de ángulo central y
tiene por área 2
24 µ
a) 2
2 µ b) 2
4 µ c) 2
6 µ
d) 2
8 µ e) 2
10 µ
12.En la figura se tiene un cuadrante con centro
“ O ”. Hallar el área de la región sombreada.
Si m2MBym1AM ==
A
O
M
B
a)
4
7
8
5
−
π
b)
2
7
4
5
−
π
c)
8
7
4
5
−
π
d)
7
8
5
4
−
π
e)
4
7
5
8
−
π
13.En un rectángulo ABCD se inscribe una
semicircunferencia de diámetro AD .
Calcular el área del segmento circular
determinado al unir los puntos medios de
CDyAB . Sabiendo que 6AB =
a) 3615 −π b) 3912 −π
c) 2812 −π d) 3818 −π
e) 3129 −π
14.Sea 





= 10
5
1
;10
5
2
P el
punto donde el círculo y el segmento son
tangentes. El área de la región sombreada es:
Y
P
O
a) 52 −π b)
2
3
−π c) 2 π - 3
d)
22
5 π
− e) N.a
15.Calcular el área de la región sombreada; si
AO = OB = 2 µ.
45º
A BO
a) ( ) 2
1 µ−π b) ( ) 2
2 µ−π c)
( ) 2
3 µ−π

d) ( ) 2
4 µ−π e) ( ) 2
32 µ−π
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular el área de la región sombreada:
A C
B
10 cm
6 cm
02.Calcular el área de la región sombreada.
A
C
B10
D
10
10 10
03.Hallar el área de la región sombreada, en:
A
CB 4
D
4
44
4
4 4
4
04.Calcular el área de la región sombreada:
10 10 10
10
10
10
10 10 10
10
10
10
05.Calcular el área de la región sombreada
32 cm E
50 cm
DA
B C
50 cm
50 cm
9 cm
18 cm
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Un plano en el espacio queda determinado por los
siguientes postulantes.
1. Tres puntos no colineales determinan un
plano al cual pertenecen.
A
B
C
2. Dos rectas secantes determinan un plano al
cual pertenecen.
3. Una recta y un punto exterior a ella
determinan un plano.
A
4. Dos rectas paralelas determinan un plano.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2
FIGURAS DEL ESPACIO
PLANOS
A. Paralelos: No tienen ningún punto en
común.
* P // Q
* φ=∩QP
B. Secantes: Dos planos son secantes
cuando tienen un punto común
necesariamente tienen otro punto común,
en consecuencia tienen una recta común,
dicha recta se denomina recta de
intersección entre dichos planos.
Q
S
AB: Recta de Intersección
A B
C. Coincidentes: La condición necesaria
suficiente para que dos planos coincidan
es que tengan tres puntos comunes, no
colineales.
A
B
C
P
UN PLANO Y UNA RECTA
A. Paralelas: No tienen ningún punto en
común.
B. Secantes: Tienen un punto en común, dichos
puntos se denominan punto de intersección o
traza de la recta con respecto al plano.

P
RECTAS Y

35 36
M
N
m
nl
P
xº
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
C. Recta contenida en el plano: Una recta
pertenece a un plano o está contenida en
dichos planos si tienen dos puntos comunes.
P
A
B 
* ∈H
DOS RECTAS
A. Paralelas: Son dos rectas coplanares
(Pertenecen a un plano) y no se intersectan.
* φ=∩BA
A
B
B. Secantes: Son dos rectas coplanares que
tienen un punto de intersección.
C. Rectas Cruzadas o Alabeadas: Son dos
rectas que no determinan plano alguno.
Las rectas A y B son alabeadas.
a
A
b
TEOREMA DE THALES
Si tres planos paralelos son intersectados por
dos rectas, los segmentos entre los planos
tienen longitudes proporcionales.
a) Si las rectas son coplanares.
A
B
P
C
D
E
F
Q
R
DF
BD
CE
AC
=
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Definición: Si una recta es perpendicular a un
plano es perpendicular a todas las rectas
contenidas en dicho plano.
- A: pie de la perpendicular.
- Si: l ⊥a y l⊥m
- Luego: l⊥ recta b
- Entonces: l ⊥ plano P
- También: l ⊥ recta r
A

a
n
m
b
r
P
CONDICIÓN PARA QUE UNA RECTA SEA
PERPENDICULAR A UN PLANO
La condición necesaria y suficiente para
que una recta sea perpendicular a un plano, es que
dicha recta sea perpendicular a dos rectas
secantes contenidas o paralelas a dicho plano.
(*) Si: l ⊥ a; l ⊥ b
(*) Entonces: l ⊥ plano P

P
a
b
Teorema:
Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes
contenidas en un plano; es perpendicular a todas las
rectas contenidas en el plano determinado por las
secantes.
m
n
ba
Q

* a⊥
* b⊥
* Q⊥
* n;m ⊥⊥ 
MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
ALABEADAS
Es el segmento perpendicular a ambas rectas alabeadas.
* ⊥MN , MNmMN ⇒⊥ es la
menor distancia; es decir la mínima distancia.
M
m
N

P
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
M N
m
n l
Pie de la
P
Penpendicular
Q
Si por el pie de una recta perpendicular a un plano,
se traza una segunda perpendicular a una recta
contenida en dicho plano, el pie de la segunda
perpendicular unida con cualquier punto de la recta
perpendicular al plano, determina una recta
perpendicular a la recta contenida en dicho plano.
* l ⊥ plano P, m∈ plano P, MN ⊥ m y Q ∈ l
* Luego: QN ⊥ m → n ⊥ m
Observación:
En cualquiera de los dos casos siempre x = 90°.
a)
* l ⊥ plano P
* n ⊥ recta m
*Luego:
MN ⊥recta
m
* Es decir:
°=90x

35 36
M N
m
n l
P
xº
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
b)
* l ⊥ plano P
* MN ⊥ recta m
* Luego:
n ⊥ recta m
* Es decir:
°=90x
PRÁCTICA DE CLASE
01. Las proyecciones de un segmento de recta
AB sobre un plano “∅” y sobre una
perpendicular al plano contenida en el mismo
plano AB , miden 15 y 8 m. Hallar: AB.
a) 10 b) 12 c) 15
d) 17 e) N.a.
02. Un segmento de recta AB de 26 m, une al
punto “A” del plano “∅” con el punto “B”
del plano “θ” siendo “θ” y “∅” paralelos. La
proyección de AB sobre cualquiera de los
dos planos mide 24m. Hallar la distancia
entre dichos planos.
a) 10m b) 15m c) 20 m
d) 18 m e) N.a.
03. Se tiene dos puntos A y B encima de un
plano ∅ el primero a 8m y el segundo a 4m
de dicho plano, la proyección de AB sobre el
plano mide 9m. Hallar la longitud del menor
camino de A hasta B pasando por un punto
del plano.
a) 10m b) 15m c) 20m
d) 18m e) N.a.
04. Sea el plano P y un segmento exterior; tal
como AB que mide 10m. Si la distancia de
A al plano es de 16m y B al plano es de 8m.
Hallar la longitud de la proyección de AB
sobre el plano P.
a) 8m b) 12m c) 6m
d) 5m e) 7m
05. Dado un cuadrado ABCD cuyo lado mide
4m por B se levanta una perpendicular al
plano determinado por ABCD, hasta el punto
P. Hallar la distancia de P al punto medio de
AD si PB = 5 m.
06. En una circunferencia cuyo radio mide 2m,
se inscribe un triángulo equilátero ABC. Por
“M”, punto medio de AB se levanta una
perpendicular a la circunferencia, hasta el
punto “P”.
Si PM = 4m. Hallar la distancia de P al
vértice C.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.a
07. Se tiene las rectas cruzadas m y n, siendo
AB la distancia mínima entre ellas (A en
m y B en n), se toman C en m y D en n, de
manera que: m ∠ CDB = 90º y además AC =
2. BD. Hallar la medida del ángulo con el que
se cruzan m y n.
a) 40º b) 60º c) 70º
d) 80º e) N.a
08. Por el incentro de un triángulo rectángulo se
levanta una perpendicular al plano del
triángulo, en la cual se toma un punto “P”, tal
que la distancia de “P” al incentro es 2.
Calcular la distancia desde el punto “P” a la
hipotenusa, si los catetos miden 3 y 4.
a) 5 b) 32 c) 3
d) 24 e) N.a
09.En la figura BC y CD pertenecen al
plano α y AD es perpendicular al plano α
. Si AD = 30 y BC = 16. Hallar MN.
A
B
C
D
N
α
M
a) 17 b) 16 c) 15
d) 12 e) N.a
10.Tres planos paralelos determinan sobre una
recta secante L1, los segmentos AE y EB,
sobre otra recta secante L2 los segmentos CF
y FD. Si AB=16m, CD=24m y FD – EB =
2m. Calcule CF.
a) 16 b) 18 c) 19
d) 20 e) N.a
11. ¿Cuántos planos como máximo se pueden
determinar con 10 puntos y 8 rectas?
a) 200 b) 220 c) 228
d) 230 e) N.a
12.En el gráfico AB y CD se cruzan
determinando un ángulo cuya medida es 90º.
Si AM = MC, BN = ND, AB = 10 y CD = 24.
Calcular MN.
A
M
C
B
N
D
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) N.a
13.¿Cuántos planos como máximo se pueden
determinar con 20 puntos?
a) 1144 b) 1240 c) 1140
d) 1232 e) N.a.
14.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera?
a) Todo plano determinado por dos rectas
paralelas a otro plano es siempre paralelo
al otro plano.
b) Si dos rectas son paralelas a un plano son
siempre paralelas entre si.
c) Toda recta paralela a uno de dos planos
que se cortan perpendicularmente es
siempre perpendicular al otro plano.
d) Todo plano perpendicular a una recta
situada en un plano es perpendicular al
plano.
e) Toda recta perpendicular a una recta
contenida en un plano será perpendicular
al plano.
15 Si un plano es paralelo a una recta:
a) Toda perpendicular a la recta será paralela
al plano.
b) Toda recta paralela al plano será paralela
a la recta dada.
c) Todo plano perpendicular al plano dado
será paralela a la recta dada.
d) Toda recta si es perpendicular al plano
tendrá que ser perpendicular a la recta.
e) Toda recta que es perpendicular al plano
tendrá que ser paralela a la recta.

16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Una recta y un plano perpendicular a una
misma recta son paralelas.
b) Es imposible trazar desde un punto dos
perpendiculares distintas a un mismo
plano.
c) Una recta que es paralela a dos planos
que se cortan es paralela a su
intersección.
d) Una recta que forman ángulos iguales con
otras tres que se pasan por su pie en un
plano es paralela a dicho plano.
e) Si una recta es paralela a un plano
entonces será paralela a todos los planos
paralelos al plano dado.
falsa?
a) Toda recta perpendicular a un plano
perpendicular a cualquier recta contenida
en el plano.
b) Si una recta y un plano son
perpendiculares todo plano que pasa por
la recta es perpendicular al plano.
c) Dos segmentos paralelos que se cortan a
un plano forman con él, ángulos iguales.
d) Por un punto de una recta sólo puede
pasar un plano que sea perpendicular.
e) N.a.
falsa?
a) Si dos planos son paralelos las
intersecciones de estos con un tercero son
paralelas.
b) Por una recta paralela a un plano sólo se
puede trazar un plano perpendicular al
primero.
c) Dos planos perpendiculares a una misma
recta son paralelos entre si.
d) Toda recta paralela a un plano es paralelo
a cualquier recta contenida en dicho
plano.
e) Si una recta M y un plano P son
perpendiculares a una recta L la recta M y
el plano P son paralelas entre si.
falsa?
a) Todos los planos paralelos a un plano dado
son paralelos entre si.
b) Todos los planos paralelos a una recta son
paralelos entre si.
c) Si un plano corta a una de tres rectas
paralelas también corta a las otras dos.
d) Si una recta es paralela a un plano la
paralela trazada a dicha recta por un
punto del plano estará contenida en el
plano.
e) Si un plano es paralelo a una recta toda
paralela a la recta será paralela al plano.
falsa?
a) Dos planos perpendiculares a una misma
recta son paralelas entre si.
b) Si una recta es paralela a una recta
contenida en un plano es paralela al
plano.
c) Si una recta es perpendicular a una recta
contenida en un plano todo plano que
pasa por la primera es perpendicular al
plano que contiene a la segunda.
d) Si dos planos son perpendiculares toda
recta perpendicular a una de ellas es
paralela al otro.
e) Dos rectas perpendiculares a un mismo
plano son paralelos entre si.
01.Se tiene una circunferencia de diámetro
EF=10. Por E se levanta la perpendicular DE
al plano de la circunferencia y en esta nueva
curva se toma el punto tal que DA=EF.
Calcular DF si AE=6.
a) 2 41 b) 41 c) 41
d) 82 e) N.a.
02. Se tiene el segmento de recta AB = 8 situado
en un piano T. Desde un punto O de dicho
plano se levanta una perpendicular OP = 12 a
dicho plano tal que AP = BP =13. Calcular la
distancia de O a AB.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.a.
03. Por un punto Q un plano S y un radio 2 se
traza una circunferencia contenida en el plano
y además se levanta la perpendicular QP=5 a
dicho plano. Por un punto B de dicha curva se
traza la tangente BC a dicha curva. Calcular
CP si BC=8.
a) 9 b) 9,6 c) 10
d) 12 e) 11
04. Se tiene un cuadrado ABCD de lado “a”. por
B se traza BP=a perpendicular al plano
ABCD, luego se toma M punto medio de CD.
Calcular el área del triángulo PMO si O es el
centro del cuadrado.
a) a2
b) 5a 2 c) 3a 2
d) 5a2 2 e)
8
5a 2
05. Por el vértice A de un triángulo ABC se traza
la perpendicular AM al plano del triángulo.
Se trazan AP y AQ perpendiculares MB y
MC respectivamente. Hallar el área del
triángulo BMC.
Si PB=6, MQ=5, MP=4 y º030BMˆC
a) 10 b) 12 c) 20
d) 18 e) 15
06. Por un punto A exterior a un plano Q se
trazan las oblicuas AB=20, 320AC = y
la perpendicular AF a dicho plano. Hallar BC
si ABF=60º, ACF=30º y BFC=90º.
a) 10 b) 1010 c) 105
d) 108 e) N.a.
07.Se tiene el segmento de recta AB, exterior a
un plano Q. La proyección de AB sobre dicho
plano mide 15 y AB=17. Calcular la longitud
de la proyección de AB sobre una recta
perpendicular a dicho plano.
a) 7 b) 8 c) 5
d) 3 e) 12
08.Se tienen los puntos A y B situados a uno y
otro lado de un plano. Dichos distan 6 y 2 de
dicho plano respectivamente. Calcular AB si
la proyección de AB sobre dicho plano mide
15.
a) 10 b) 18 c) 17
d) 14 e) 20
09. La distancia entre los puntos A y B es 13 y la
proyección del segmento AB sobre un plano
mide 12. Hallar la diferencia de las alturas de
A y B con relación a dicho plano.
a) 1 b) 2 c)3
d) 4 e) 5
10.La diferencia entre las proyecciones de un
segmento de recta AB sobre un plano Q y
sobre una recta perpendicular al plano es 7 m.
Hallar AB si mide 1m más que su diferencia
al plano Q.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 20
11.Se tienen dos cuadrados perpendiculares
ABCD y ADEF cuyos lados miden 4. Hallar
BE

a) 4 b) 34 c) 32
d) 55 e) 5
12. En un diedro AB de 30º se tiene una esfera
que es tangente a las caras en P y Q. Hallar
PQ si la distancia del centro de la esfera a AB
es 12.
a) 56 b) 76 c) 106
d) 103 e) N.a.
13.Se proyecta un triángulo equilátero ABC
sobre un plano P determinándose el triángulo
ABD.
Calcular AD si AB=4 y BAD=45º
a) 22 b) 3 c) 52
d) 23 e) 2
14. Por el vértice A de un triángulo equilátero de
lado 6, se levanta la perpendicular AH al
plano de dicho triángulo y luego se unen H
con B y C. hallar la distancia de A al plano
HBC si el diedro formado por los planos
ABC y HBC mide 60º.
a) 3 b) 4 c) 4,5
d) 5 e) 8
15. Se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo
equilátero BEC perpendicular al plano que
contiene al cuadrado. Calcular BC si la
distancia de E al centro del cuadrado es 4.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01.Si una recta es perpendicular a tres rectas
dadas.
a) Las tres rectas dadas tienen que ser
paralelas.
b) Las tres rectas dadas tienen que estar en un
mismo plano que contenga a la
perpendicular.
c) Por las tres rectas dadas no pueden pasar
planos paralelos entre si.
d) Por las tres rectas pueden pasar tres planos
paralelos entre si
e) Las tres rectas tienen que ser secantes.
02.Uno de los catetos de un triángulo isósceles
está contenido en un plano “P” y el otro
forma con dicho plano un ángulo de 45º.
Calcular la medida del ángulo que forma su
hipotenusa con el plano “P”.
a) 45º b) 30º c) 60º
d) arc Sen 1/5 e) arc Cos
4
2
03. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD, se
levanta la perpendicular OS a su plano. Si el
lado del cuadrado AB=6 y OS=4. Calcular la
distancia desde “A” al plano SCD.
a)
5
17 b)
2
32 c) 4,8
d) 2,4 e) 3
04. Se tienen las rectas alabeadas “m” y “n”.
Sobre la recta “m” se marcan los puntos A y
E, sobre la recta “n” los puntos B y F de
modo que AB sea la menor distancia entre las
rectas “m” y “n”, además: AB=AE=BF y
ÇFE=AB 3 .
Calcular la medida del ángulo que forman las
rectas “m” y “n” en el espacio.
a) 60º b) 53º c) 90º
d) 30º e) 75º
05. En la figura los segmentos AB y EF son
alabeados y ortogonales. Si ellos miden 12 y
14m respectivamente. Hallar la longitud del
segmento que une los puntos medios de EB y
AF respectivamente.
a) m79 b) 8,2 c) m83
d) 7,8m e) m85
SUPERFICIE POLIÉDRICA.- Es la superficie no
plana determinada por la reunión de cuatro o más
regiones poligonales planas no coplanares de
modo que cualquier par de regiones poligonales,
llamadas caras tienen en común a lo más un lado
llamado arista.
POLIEDRO.- Es la reunión de una superficie
poliédrica con todos sus puntos interiores.
Cara
Arista Vértice
Sección
plana
Diagonal
R
Las intersecciones poligonales planas que lo
limitan a todo poliedro se denominan caras.
Las intersecciones de las regiones planas
poligonales se denomina aristas.
Los puntos en que se cortan las aristas o lados se
llaman vértices.
El segmento que tiene por extremos a dos vértices
que no pertenecen a una misma cara se llama
diagonal.
Se llaman ángulos diedros del poliedro a los
determinados por las caras que tiene una arista
común; y los ángulos. Sólidos o poliédricos, los
determinados por varias caras que tienen un
vértice común.
Se denomina sección plana al plano de la región
poligonal determinada al trazar un plano secante
al poliedro.
A la suma de las áreas de todas sus caras se
entiende como el área de un poliedro.
A la porción del espacio que ocupa un poliedro se
entiende como el volumen del mismo.
POLIEDRO

OBSERVACIÓN:
La denominación de un poliedro se hace en
función del número de caras, siendo: Tetaedro al
menor poliedro de 4 caras, pentaedro el poliedro
de 5 caras, exaedro el poliedro de 6 caras, y así
sucesivamente.
POLIEDRO CONVEXO
Es aquel que está limitado por una superficie
poliédrica convexo.
Una superficie poliédrica es convexa si todos los
vértices quedan en un mismo semiespacio
respecto al plano que contiene a cada cara.
Además se tiene que al trazar una recta secante
corta en 2 puntos de intersección a su superficie
poliédrica.
POLIEDRO NO CONVEXO (CÓNCAVO)
Es aquel que esta limitado por una superficie
poliédrica no convexa.
Una superficie poliédrica se llamará no convexa,
si los vértices quedan en uso y otros semiespacio
respecto al plano que contiene a una cara
convenientemente escogida.
Además se
tiene que
al trazar
una recta
secante
corta en
más de 2
puntos de
intersección a su superficie poliédrica.
TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual al
número de aristas más dos.
Si para un poliedro convexo :
C → número de caras
V → número de vértices
A → número de aristas
Entonces se verifica que :
2AVC +=+
TEOREMA
Si un poliedro está formado por R polígonos de n
lados, 1R polígonos de 1n lados, ………
hasta mR polígonos de mn lados. Entonces
el número de sus aristas “A” estará dado por :
2
nxRnxRnxRnxR
A mm2211 ++++
=

OBSERVACIÓN :
Para poliedros cuyas caras son polígonos del
mismo número de lados.
2
nxC
A =
Donde :
A → # de aristas
C → # de caras
n → # de lados de c/cara
TEOREMA
En todo poliedro se cumple que la suma de las
medidas de los ángulos internos de todas sus
caras es igual a 360° multiplicado por el número
de vértices menos dos.
( )∑ −°=∠ 2V360im s
( )∑ −°=∠ CA360im s
Donde :
A → # de aristas
C → # de caras
n → # de vértices
PROPIEDAD
El número de diagonales de un poliedro se
determina así:
DC#ACD# v
2 −−=
( )
DC#A
2
1VV
D# −−
−
=
Donde :
V → # de vértices
A → # de aristas del poliedro
DC → # de diagonales de todas las
caras del poliedro
# D → Número de diagonales del poliedro
v
2C → Combinación del número de
vértices de dos en dos
POLIEDROS REGULARES
Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras
son todas polígonos regulares congruentes,
comprobándose que en cada vértice concurren un
número igual de aristas.
En todo poliedro regular sus ángulos diedros son
congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros.
Todo poliedro regular se puede inscribir o
circunscribir en una esfera, siendo el centro de la
esfera el centro del poliedro regular.
Sólo existen cinco poliedros regulares convexos.
TETAEDRO REGULAR
Limitado por cuatro triángulos equiláteros unidos
de tres en tres.
En un tetraedro regular su altura cae en el centro
de su base, o sea en el baricentro.
a/2
a/2
a
H
a
h
O
Ga
Altura : h =
3
6a
Apotema : OH =
12
6a
Area total : 3a 2
Volumen =
12
2a 3
C = 4 , V = 4 y A = 6
Desarrollo de su superficie lateral
EXAEDRO REGULAR O CUBO
Limitado por seis cuadrados unidos de tres en
tres.

a
D
H
O
Apotema :
2
a
OH =
Diagonal : 3aD =
Area Total = 6 2
a
Volumen = 3
a
C = 6 , V = 8y A = 12
OCTAEDRO REGULAR
Limitado por ocho triángulos equiláteros unidos
de cuatro en cuatro.
D
O
H
α
Apotema :
6
6a
OH =
Diagonal : 2aD =
Area Total = 2a32
Volumen =
3
2a 3
C = 8 , V = 6y A = 12
DODECAEDRO REGULAR
Limitado por doce pentágonos regulares unidos
de tres en tres.
O
α
Aislando dos caras de manera conveniente.
O
α
H
Apotema :
10
51125
2
a
OH
+
=
Área Total =
5
525
a15 2 +
Volumen =
10
52147
2
a5 3 +
C = 12 , V = 20 y A = 30
ICOSAEDRO REGULAR
Limitado por veinte triángulos equiláteros unidos
de cinco en cinco.
O
α
Aislando dos caras de manera conveniente.
O
α
H
Apotema :
6
537
2
a
OH
+
=
Área Total = 2a35
Volumen =
2
537
a
6
5 3 +
C = 20 , V = 12 y A = 30
PRACTICA DE CLASE
01.Calcular el área total de un tetraedro regular
de arista “x”
a) 10m b) 19,2m c) 20m
d) 15m e) 21m
02.Si la distancia del punto medio de una de las
caras de un cubo a una de sus diagonales
mide 1 metro. Calcular la arista del sólido.
a) m6 b) m3 c) m7
d) m32 e) N.a.
03.Si la distancia de uno de sus vértices de un
cubo al punto medio de una de las caras
opuestas es de 1 metro. Calcular la arista del
sólido.
a) 6 b)
3
2 c)
3
6
d) 3 e) N.a.
04.Se Tiene un cubo cuya arista mide 1 metro.
Calcular la distancia entre una de las
diagonales del sólido y una de las diagonales
de su cara, sabiendo que estas rectas se
cruzan.
a) m
6
6 b) m
2
3 c) 2
d) 6 e) N.a.
05.Una pirámide tiene 42 aristas. Calcular la
suma de las medidas de los ángulos de todas
sus caras.
a) 7200 b) 700 c)7100
d) 7500 e) 8000

06.La suma de todos los ángulos de las caras de
un prisma es 20 880.
Calcular su número de aristas.
a) 50 b) 88 c) 90
d) 100 e) 99
07.Calcular el número de aristas de aquel
poliedro, cuyo número de caras es igual al
número de vértices, si además la suma de los
ángulos de sus caras es 2520º.
a) 5 b) 12 c) 16
d) 18 e) 20
08.Calcular el volumen del poliedro formado al
unir los puntos medios de las aristas de un
tetraedro regular de altura 62 .
a) 29 b) 26 c) 36
d) 15 e) 18
09.El número de caras más el número de vértices
y más el número de aristas de un poliedro
convexo es 98. Calcular el número de caras si
la suma de las caras de todos sus ángulos es
7200.
a) 20 b) 28 c) 15
d) 20 e) 18
10.Calcular el área total de un tetraedro regular,
cuyo centro dista de una de sus aristas
u6 .
a) 348 b) 48 c) 243
d) 230 e) 20
11.En un octaedro regular ABCDEF si la
distancia entre los puntos medios de BE y
AD es “a”. Hallar su volumen.
a)
27
6a4 3
b)
27
6a8 3
c)
3
a4 3
d)
27
6a 3
e) N.a.
12.En que relación se encuentran los volúmenes
de un tetraedro regular y un octaedro regular,
si la altura del primer mide igual a la arista
del segundo.
a)
2
3
b)
3
2
c)
28
33
d)
3
28
e) N.a.
13. Se tiene un tetraedro regular de arista “a” si
su proyección sobre un plano perpendicular a
una región de área S. Hallar el volumen del
tetraedro.
a)
3
aS
b)
4
S
c) aS
d)
4
aS
e) N.a.
14. Calcular el número de vértices del poliedro
formado por 6 triángulo, 8 cuadriláteros y 10
pentágonos.
a) 30 b) 32 c) 24
d) 28 e) N.a.
15. un poliedro está formado por 8 triángulos y
“x” cuadriláteros. Hallar x, si el número se
aristas es 28.
a) 8 b) 10 c) 6
d) 12 e) N.a.
16. Hallar el volumen de un tetraedro regular
inscrito en un cubo de arista “a”.
a)
9
33a
b)
3
33a
c)
6
33
a
d)
6
3a
e) N.a.
17. En un tetraedro regular la distancia de un
vértice al baricentro de la cara opuesta mide
“a”, Calcular el área total del tetraedro.
a) 32a b) 33 2a c)
2
32a
d) 34 2a e) N.a
18. En un tetraedro regular el radio de la esfera
circunscrita mide 36m. Hallar el radio de la
esfera inscrita en dicho tetraedro regular.
a) 10 b) 15 c) 24
d) 20 e) 12
19. En la proyección de una cara cualquiera de
un octaedro regular sobre un plano diagonal
que contiene a uno de sus lados es A. hallar el
área del octaedro.
a) A38 b) A32 c) A34
d) A316 e) A36
20. Un poliedro convexo esta formado por 6
cuadriláteros, 8 hexágonos y 4 octágonos.
Calcular el número de vértices.
a) 26 b) 36 d)32
d) 30 e) 28
01. El área de la sección hecha en un cubo cuya
arista mide 210 por un plano diagonal
es: (en m2
)
a) 280 b) 282 c) 200
d) 300 e) N.a.
02. El área de un cubo es igual al cuadrado de la
longitud de su diagonal multiplicado por:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
03. La suma de las longitudes de todas las aristas
de un cubo es 36 cm. Hallar el volumen del
cubo.
a) 9 b) 16 c) 18
d) 27 e) 81
04. La altura de un tetraedro regular mide 2cm,
Hallar la arista.
a) 62 b) 32 c) 23
d) 6 e) N.a.
05. Hallar la razón entre las áreas totales de un
cubo y un octaedro que tiene como vértices
los puntos centrales de las caras del cubo.
a) 3 b) 23 / c) 32
d) 2 e) N.a.
06. La arista de un cubo mide 2. Hallar el área
del triángulo equilátero determinado al unir
tres vértices no consecutivos del cubo:
a) 32 b) 34 c) 23
d)
2
33 e) 22
07.Una pirámide tiene 500 aristas. ¿Cuántas
caras en total posee?
a) 125 b) 501 c) 251
d) 250 e) 351

08.Un poliedro está formado por 10 pentágonos,
15 cuadriláteros y 20 triángulos. ¿Cuántas
aristas tiene?
a) 170 b) 180 c) 85
d) 210 e) 139
09.Un prisma tiene 90 aristas. Hallar la suma de
los ángulos de todas sus caras.
a) 21 500 b) 20 880 c) 12 460
d) 15 600 e) 17 920
10.En un cubo de un metro de arista la distancia
del centro de una cara a cualquiera de los
vértices de la cara opuesta mide:
a) 5m b) 1m c) m
2
6
d) m
2
5
e) 6m
11.Cuatro esferas de radio 10m. Son tangentes
entre si formando una pila triangular (es
decir, una de ellas está sobre las otras tres),
Calcular la altura de la pila.
a) ( )36
3
20
+ b) 40
c) ( )61
3
20
+ d)








+
3
2
320
e) ( )35
3
40
+
12. Hallar el área total de un tetraedro regular,
siendo la suma de las longitudes de sus aristas
36 cm. (en cm2
)
a) 36 b) 36 c)24
d) 336 e) 324
13.En un poliedro, la suma del número de caras,
vértices y aristas es 32. Calcule el número de
aristas de dicho poliedro.
a) 12 b)13 c) 14
d)15 e) 16
14.En un tetraedro regular A-BCD, M es punto
medio de su respectiva altura AH, H es el pie
de dicha altura. Calcule la m < DMB
a) 45º b) 30º c) 90º
d) 60º e) 53º
15.En un tetraedro regular A-BCD cuya arista
mide 2m, Calcule el área de la región
cuadrangular cuyos vértices son puntos
medios de AB , AD , DC y CB
respectivamente.
a) 1m2
b) 2m2
c) 22m
d) 3m2
e) 1,5m2
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular la suma de las medidas de los
ángulos internos de un poliedro. Si el
poliedro tiene 6 vértices.
02.Hallar el área total de un tetraedro regular, si
su altura es 64 .
03.Hallar el volumen de un tetraedro regular, si
su altura es 32 .
04.Hallar el Área total y Volumen de un cubo, si
su diagonal es 3 .
05.Si el área total de un octaedro regular es
38 Hallar su Volumen.
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01. B B A E
02. A D A C
03. B B B D
04. E A E D
05. E C C C
06. C E B C
07. C D B C
08. D C C C
09. D B C B
10. E B A C
11. B B B A
12. C A C D
13. B D A D
14. B D C C
15. A B D A
16.
17.
18.
19.
20.

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