3. Джон Непер (англ. John Napier; 1550-1617) —
шотландский барон, математик, изобретатель
логарифмов
Биография
В ранней молодости, тотчас же по окончании курса в
Сент-Эндрюсском университете, куда он поступил в
1563 году, Непер совершил путешествие по Германии,
Франции и Италии, из которого вернулся на родину в
1571 году. Поселившись в своем родном замке и
женившись в том же году, он затем уже никогда не
оставлял Шотландии.
4. Всё его время было посвящено занятиям
богословскими предметами и математикой. По его
собственным словам, истолкование пророчеств всегда
составляло главный предмет его занятий, математика
же служила для него только отдыхом.
Тем не менее Непер вошёл в историю как
изобретатель замечательного вычислительного
инструмента — таблицы логарифмов. Это
открытие вызвало гигантское облегчение труда
вычислителя. Кроме того, оно привело к появлению
новой трансцендентной функции и показало пример
решения дифференциального уравнения.
5. Открытие логарифмов
Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро
росла. Значительная часть трудностей была связана с
умножением и делением многозначных чисел. В ходе
тригонометрических расчётов, Неперу пришла в
голову идея: заменить трудоёмкое умножение на
простое сложение, сопоставив с помощью
специальных таблиц геометрическую и
арифметическую прогрессии, причём геометрическая
будет исходной. Тогда и деление автоматически
заменяется на неизмеримо более простое и надёжное
вычитание.
6. Основное свойство логарифма Непера: если величины
образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы
образуют прогрессию арифметическую. Однако правила
логарифмирования для неперовой функции отличались от
правил для современного логарифма.
Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).
К сожалению, все значения таблицы Непера содержали
вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это
не помешало новой методике вычислений получить
широчайшую популярность, и составлением
логарифмических таблиц занялись многие европейские
математики, включая Кеплера.
7. В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение
под названием «Описание удивительной таблицы
логарифмов», на латинском языке (56 страниц текста и
90 страниц таблиц). Там было краткое описание
логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы
логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом
1'.
Сочинение разделено на 2 книги, из которых первая
посвящена логарифмам, а вторая — плоской и
сферической тригонометрии, причём вторая часть
одновременно служит практическим пособием по
первой. Более развёрнутое описание содержалось в
другом труде, изданном посмертно его сыном; там же
Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.
8. В 1615 году Непера посетил оксфордский профессор
математики Генри Бригс. Непер уже был болен, поэтому не
смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу
рекомендации видоизменить определение логарифма,
приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои
таблицы в год смерти Непера (1617).
Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое
только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В 1624 году Эдмунд Уингейт изобрёл первую
логарифмическую линейку, до появления карманных
калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.
9.
10. ЛОГАРИФМ, число, применение которого
позволяет упростить многие сложные
операции арифметики. Использование в
вычислениях вместо чисел их логарифмов
позволяет заменить умножение более
простой операцией сложения, деление –
вычитанием, возведение в степень –
умножением и извлечение корней – делением
11. Общее описание. Логарифмом данного числа
называется показатель степени, в которую нужно
возвести другое число, называемое основанием
логарифма, чтобы получить данное число. Например,
логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе
говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить
число 100 (102
= 100). Если n – заданное число, b –
основание и l – логарифм, то bl
= n. Число n также
называется антилогарифмом по основанию b числа l.
Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100.
Сказанное можно записать в виде соотношений logb n =
l и antilogbl = n.
13. Любое положительное число, кроме единицы, может
служить основанием логарифмов, но, к сожалению,
оказывается, что если b и n – рациональные числа, то в
редких случаях найдется такое рациональное число l,
что bl
= n. Однако можно определить иррациональное
число l, например, такое, что 10l
= 2; это
иррациональное число l можно с любой требуемой
точностью приблизить рациональными числами.
Оказывается, что в приведенном примере l примерно
равно 0,3010, и это приближенное значение логарифма
по основанию 10 числа 2 можно найти в
четырехзначных таблицах десятичных логарифмов.
14. Логарифмы по основанию 10 (или десятичные
логарифмы) столь часто используются при
вычислениях, что их называют обычными
логарифмами и записывают в виде log2 = 0,3010 или lg2
= 0,3010, опуская явное указание основания логарифма.
Логарифмы по основанию e, трансцендентному числу,
приближенно равному 2,71828, называются
натуральными логарифмами. Они встречаются
преимущественно в работах по математическому
анализу и его приложениям к различным наукам.
Натуральные логарифмы также записывают, не
указывая явно основание, но используя специальное
обозначение ln: например, ln2 = 0,6931, т.к. e0,6931
= 2
15. • Пользование таблицами обычных логарифмов. Обычный логарифм
числа – это показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы
получить данное число. Так как 100
= 1, 101
= 10 и 102
= 100, мы сразу
получаем, что log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.д. для возрастающих целых
степеней 10. Аналогично, 10–1
= 0,1, 10–2
= 0,01 и, следовательно, log0,1 = –1,
log0,01 = –2 и т.д. для всех целых отрицательных степеней 10. Обычные
логарифмы остальных чисел заключены между логарифмами
ближайших к ним целых степеней числа 10; log2 должен быть заключен
между 0 и 1, log20 – между 1 и 2, а log0,2 – между -1 и 0. Таким образом,
логарифм состоит из двух частей, целого числа и десятичной дроби,
заключенной между 0 и 1. Целочисленная часть называется
характеристикой логарифма и определяется по самому числу, дробная
часть называется мантиссой и может быть найдена из таблиц. Кроме
того, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм числа 2 равен
0,3010, поэтому log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Аналогично, log0,2 = log(2ё10) =
log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Выполнив вычитание, мы получим
log0,2 = – 0,6990. Однако удобнее представить log0,2 в виде 0,3010 – 1 или
как 9,3010 – 10; можно сформулировать и общее правило: все числа,
получающиеся из данного числа умножением на степень числа 10, имеют
одинаковые мантиссы, равные мантиссе заданного числа. В большинстве
таблиц приведены мантиссы чисел, лежащих в интервале от 1 до 10,
поскольку мантиссы всех остальных чисел могут быть получены из
приведенных в таблице.
16. В большинстве таблиц логарифмы даются с четырьмя
или пятью десятичными знаками, хотя существуют
семизначные таблицы и таблицы с еще бóльшим
числом знаков. Научиться пользоваться такими
таблицами легче всего на примерах. Чтобы найти
log3,59, прежде всего заметим, что число 3,59
заключено между 100
и 101
, поэтому его характеристика
равна 0. Находим в таблице число 35 (слева) и
движемся по строке до столбца, у которого сверху
стоит число 9; на пересечении этого столбца и строки
35 стоит число 5551, поэтому log3,59 = 0,5551. Чтобы
найти мантиссу числа с четырьмя значащими
цифрами, необходимо прибегнуть к интерполяции.
17. В некоторых таблицах интерполирование облегчается
пропорциональными частями, приведенными в
последних девяти столбцах в правой части каждой
страницы таблиц. Найдем теперь log736,4; число 736,4
лежит между 102
и 103
, поэтому характеристика его
логарифма равна 2. В таблице находим строку, слева от
которой стоит 73 и столбец 6. На пересечении этой
строки и этого столбца стоит число 8669. Среди
линейных частей находим столбец 4. На пересечении
строки 73 и столбца 4 стоит число 2. Прибавив 2 к
8669, получим мантиссу – она равна 8671. Таким
образом, log736,4 = 2,8671.
18. Натуральные логарифмы. Таблицы и свойства
натуральных логарифмов аналогичны таблицам и
свойствам обычных логарифмов. Основное различие
между теми и другими состоит в том, что
целочисленная часть натурального логарифма не
имеет существенного значения при определении
положения десятичной запятой, и поэтому различие
между мантиссой и характеристикой не играет особой
роли. Натуральные логарифмы чисел 5,432; 54,32 и
543,2 равны, соответственно, 1,6923; 3,9949 и 6,2975.
Взаимосвязь между этими логарифмами станет
очевидной, если рассмотреть разности между ними:
log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; последнее
число есть не что иное, как натуральный логарифм
числа 10 (пишется так: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052;
последнее число равно 2ln10. Но 543,2 = 10ґ54,32 =
102
ґ5,432.
19. Таким образом, по натуральному логарифму данного
числа a можно найти натуральные логарифмы чисел,
равные произведениям числа a на любые степени n
числа 10, если к lna прибавлять ln10, умноженный на n,
т.е. ln(aґ10n
) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Например,
ln0,005432 = ln(5,432ґ10–3
) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 –
(3ґ2,3026) = – 5,2155. Поэтому таблицы натуральных
логарифмов, как и таблицы обычных логарифмов,
обычно содержат только логарифмы чисел от 1 до 10.
В системе натуральных логарифмов можно говорить
об антилогарифмах, но чаще говорят об
экспоненциальной функции или об экспоненте. Если x =
lny, то y = ex
, и y называется экспонентой от x (для
удобства типографского набора часто пишут y = exp
x). Экспонента играет роль антилогарифма числа x.
20. С помощью таблиц десятичных и натуральных
логарифмов можно составить таблицы логарифмов по
любому основанию, отличному от 10 и e. Если logb a = x,
то bx
= a, и, следовательно, logc bx
= logc a или xlogc b = logc
a, или x = logc a/logc b = logb a. Следовательно, с помощью
этой формулы обращения из таблицы логарифмов по
основанию c можно построить таблицы логарифмов
по любому другому основанию b. Множитель 1/logc b
называется модулем перехода от основания c к
основанию b.
21. Ничто не мешает, например, пользуясь формулой
обращения, или перехода от одной системы
логарифмов к другой, найти натуральные логарифмы
по таблице обычных логарифмов или совершить
обратный переход. Например, log105,432 = loge 5,432/loge
10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Число 0,4343,
на которое нужно умножить натуральный логарифм
данного числа, чтобы получить обычный логарифм,
является модулем перехода к системе обычных
логарифмов.
