Cours math fin 2éme année

1
MODULE : MATHEMATIQUES FINANCIERES
CLASSE : BP 2 ISM
Proposé par Thièyacine TOP
Titulaire d'un DEA en
mathématiques appliquées
thieyacinetop@yahoo.fr
ndeye

2
Introduction
Les mathématiques financières permettent de calculer les coûts de
divers financements ou le revenu de placements qu’il s’agisse
d’opérations à cours terme (achats à crédit, escomptes de traites) ou
d’opérations à moyen et long terme (emprunts indivis ou obligataires)
compte tenu des taux d’intérêts et des autres conditions (frais
accessoires et franchises). Mais les mathématiques financières
s’appliquent à d’autres domaines concernant les entreprises tels que la
rentabilité des investissements ou l’évaluation des entreprises ou d’une
partie de leurs activités.

3
Introduction
CHAPITRE 1 : les annuités
Section 1 : les annuités de début de période
Section 2 : les annuités de fin de période
CHAPITRE 2 : les emprunts
Section 1 : les emprunts indivis
Section 2 : les emprunts obligataires
CHAPITRE 3 : le choix des investissements en avenir certain
Section 1 : définition et caractéristiques des projets
d’investissements
Section 2 : critères de choix des investissements
Conclusion

4
Chapitre 1: Annuités
Le calcul sur les annuités est un préalable indispensable aux calculs sur les
emprunts et les investissements.
Exemples
• Une personne veut acquérir une maison pour 6 000 000 F, pour cela,
elle place annuellement à la banque une somme de 130 000 F.
− But : Constituer un capital
− Versements: annuels et constants
− Période : année
• La personne a une dette de 6 000 000 F. Pour rembourser cette
dette, elle verse mensuellement une somme de 150 000 F.
− But : Remboursement de dette
− Versements: mensuels constants
− Période : mois
1. Définition
Les annuités sont des versements périodiques de sommes d’argent pour:
• Soit constituer une épargne. un capital;
• Soit rembourser un prêt ou amortir un investissement.
Le terme « annuité » est habituellement réservé à des périodicités annuelles.
Lorsque la période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le
terme « annuité » par « semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ».
Lorsque les annuités sont égales, on parle d’annuités constantes, alors que
lorsque leur montant varie d’une période à une autre, on parle d’annuités
variables.
Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ou en fin
de période.
Les annuités peuvent être certaines lorsque leur nombre est connu à
l’avance, aléatoires ou viagères, lorsque leur nombre est inconnu au moment
du contrat ou enfin perpétuelles lorsque leur nombre est illimité.
Les questions que l’on se pose au sujet des annuités sont de calculer:
• La valeur actuelle de l’ensemble d’une série annuités;
• La valeur acquise, à une date quelconque. de l’ensemble des annuités.
Pour ce faire, nous utiliserons les relations du chapitre précédent car les
calculs sur Les annuités sont du domaine des mathématiques financières à
moyens et longs termes.

5
2. Annuités constantes de fin de périodes
2.1. Valeur acquise d'annuités constantes de fin de périodes
Un cas particulier
Une personne verse annuellement 1000 F à la BHS pendant 5 ans. Quelle
est la somme retirée au moment du dernier versement (taux 10%).
4 3 2 1
1000 (1,1) 1000 (1,1) 1000 (1,1) 1000 (1,1) 1000 6105,10nV = × + × + × + × + =
On remarque nV est la somme de termes consécutifs d'une suite
géométrique de premier terme 1000 et de raison (1,1)
5
1 (1,1) 1
1000 6105,10
1 1,1 1
nombre de termes
n
q
V premier terme
q
− −
= × = × =
− −
Cas général
On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de
période, la somme des annuités (Vn) exprimée immédiatement après le
versement de la dernière annuité.
Si on note par:
o a la valeur de l’annuité ;
o n le nombre d’annuités ;
o i le taux d’actualisation à utiliser ;
o 0V la valeur actuelle ;
o nV la valeur acquise
On remarque nV est la somme de termes consécutifs d'une suite
géométrique de premier terme a et de raison (1 )i+
1 (1 ) 1 (1 ) 1
1 1 1
nombre determes n n
n
q i i
V premier terme a a
q i i
 − + − + − = × = × =
 − + −  

6
Alors, si les annuités sont de fin de périodes, on a la relation :
On peut calculer l'expression
( )1 1
n
i
i
 + −      
est donnée par la table financière.
2.2. Calcul des paramètres , , ,nV a i n
Résolution:
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
Résolution:
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
( )1 1
(formule de capitalisation).
n
n
i
V a
i
 + −  =    

8
2.3. La valeur acquise exprimée d périodes après le dernier versement

9
2.4. Valeur actuelle (ou valeur à l'origine) d'annuités constantes de fin
de périodes
On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de
période, la somme des annuités actualisées 0V exprimée à la date origine.
Alors, si les annuités sont de fin de périodes, on a la relation :
On peut calculer l'expression
( )1 1
n
i
i
− − +      
est donnée par la table financière.
2.5 Relation entre nV et 0V
( )
0
1 1
(formule d'actualisation)
n
i
V a
i
− − +  =    

10
2.6 Calcul des paramètres
Résolution:
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
Résolution:
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

11
2.7. La valeur actuelle exprimée d période avant la date d'origine

12
3. Annuités de début de périodes
3.1. Valeur acquise
Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le
graphique suivant:
3.2. Valeur actuelle
( )1 1
(1 )
n
n
i
V a i
i
 + −  = +    

13
Alors, si les annuités sont début de périodes, on a la relation :
3.3. La valeur acquise exprimée p périodes après le dernier versement
( )
0
1 1
(1 )
n
i
V a i
i
− − +  = +    

14
3.4. La valeur actuelle exprimée p période avant la date d'origine
4. Les annuités variables
4.1 Les annuités quelconques
4.1.1. Les annuités quelconques de fin de période
4.1.1.1 La valeur acquise
4.1.1.2. La valeur actuelle
4.1.2. Les annuités quelconques début de période
4.1.2.1 La valeur acquise

15
4.1.2.2. La valeur actuelle
Exercice 1.
Une personne verse, à intervalles réguliers égaux à 1 an, des sommes
constantes de montant 10 000 F chacune, à un organisme de capitalisation.
Taux d’intérêt: 10%, date du premier versements: 1/12/1992; date du
dernier versement: 1/12/2007.
Calculer le montant du capital constitué:
a) à la date du 1/12/2007,
b) à la date du 1/12/2008. On rappelle que le dernier versement est daté du
1/12/ 2007. On suppose que le titulaire du capital constitué le 1/12/2007
n’a pas retiré ce capital,
c) à la date du 1/12/2O12 Mêmes hypothèses qu’en b.
Exercice 2.
Un suite de 13 annuités constantes, capiLa1iscs au taux de 9,5% a une
valeur acquise de 200000 F. Calculer le montant de 1annuité.
Exercice 3.
Dix annuités de 1 000 F chacune ont une valeur acquise de 15 800 F.
Calculer le taux de capitalisation.
Table financière donne :
10
10
1,0975 1
9,75% 15,747621
0,0975
1,10 1
10% 15,937425
0,10
i
i
−
= =
−
= =
Exercice 4.
n annuités de 25000 F chacune, capitalisées 11%, ont une valeur acquise de
400 000 F
Calculer n. Donner deux solutions.

16
Exercice 5.
Calculer ta valeur acquise de 10 versements, de chacune 10 000 €, effectués
tous les deux ans. Taux annuel d’intérêt : 8,5 %.
Exercice 6.
a) Calculer à la date du 15 octobre 1992 la valeur d’une suite d’annuités de
chacune 12 500 F. Date de versement de la première: 15 octobre 1993; date
de versement de la dernière: 15 octobre 2007. Taux: 10,5 %.
b) Calculer la valeur de cette mime suite d’annuités d la date du 15 octobre
1990. Même taux.
Exercice 7. 18 annuités constantes ont une valeur à l’origine de 300 000 €.
taux d’escompte: 17%. Calculer. l’annuité.
Exercice 8. 14 annuités de 50000 F chacune ont une valeur actuelle de
400 000 F. Calculer le taux de l’escompte.
Table financière : 8,50%<i<8,75%.
Exercice 9
Déterminer l’échéance moyenne d’une suite de 30 annuités constantes de
10 000 F chacune. Taux: 10,25 %.
Exercice 10. Une suite de 15 annuités est ainsi constituée:
5 annuités de 1 000 F chacune
puis 5 annuités de 1 500 F chacune
puis 5 annuités de 2 000 F chacune
Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle de cette série d’annuités.
Taux: 11,5%.
Exercice 11. Une suite de 12 annuités se présent de la façon suivante:
4 annuités égales chacune, à x euros
puis 4 annuités égales chacune, à 2x euros
puis 4 annuités égales chacune, à 3x euros
La valeur à l’origine de ces annuités, estimée à 9,5 %, s’élève à 184 704,04 F
Calculer le montant de x.

17
Chapitre 2. Emprunts Indivis
1. Approche

18
2. Tableau d'amortissement
Activités.

20
3. Emprunts à versements constants : Calcul de l'annuité
Activités.

21
4. Emprunts à versements constants : tableau d'amortissement

26
5. Emprunts à amortissements constants
Activité:

30
Exercices de travaux dirigés
Exercice 1.Un emprunt de 100 000 F a contracté. Durée de
l’amortissement: 16 ans; taux : 9%.
Les 15 premières annuités sont égales chacune à 12 000 F. La 16e annuité
est de montant différent, (l’emprunt n’est donc pas remboursable par
annuités constantes).
a) Calculer le montant de la 16e annuité.
b) Présenter les deux premières et la dernière lignes du tableau
d’amortissement.
c) Calculer par deux procédés différents le montant de la dette encore vivante
après paiement de la 11e annuités.
Exercice 2.
Exercice 3.
Exercice 4.
Un emprunt indivis d’un montant initial de 800000 F est amortissable au
moyen de 12 annuités constantes. Taux d’intérêt: 9%
1) Calculer par quatre procédés au moins la dette résiduelle après paiement
de 7 échéances.
2) Présenter la 8 e ligne du tableau d'amortissement de cet emprunt.

31
Exercice 5.
L’achat d’un immeuble d’un montant de 5000000 F est rgl6 comme suit:
2 000 000 F comptant
3 000 000 F payables au moyen de 10 échéances annuelles
constantes, la première intervenant un an après l’achat. Taux: 8,5%.
Immédiatement après paiement de la troisième de ces annuités l’acquéreur
demande à se libérer au moyen de quatre annuités (au lieu des sept prévues)
constantes, la première intervenant dans un an, le taux d’intérêt ( restant
8,5%. Calculer le montant de chacune de ces quatre annuités.
Exercice 6.
Exercice 7.
Exercice 8.

32
Exercice 9.
Exercice 10.
Exercice 11. Un emprunt de nominal K est remboursable au moyen de 6
annuités .Le quotient du 3ième au 1er est égal à 1,177225.
Calculer:
a) Le premier amortissement.
b) Le taux de l’emprunt.
c) Le nominal initial de l’emprunt.
d) Le montant de l'annuité constante.
N’utiliser ni table financière, ni calculatrice. On donne (1 + i)6 = 1,631468.
Exercice 12.

33
Exercice 13.
Exercice 14.
Exercice 15.

34
Exercice 16.
Le 15 novembre 1982, un industriel achète un matériel aux conditions
suivantes : Prix: 125000F
Règlement : 20 % comptant ; le solde en un certain nombre de trimestrialités
constantes (comprenant intérêt et amortissement) de 8376,66 F, chacune, la
première devant être versée le 15 février 1983.
Dans le tableau d’amortissement dressé à cette occasion, l’amortissement
afférent à la dernière trimestrialité s’élève à 8 132,68 F.
On demande: a) le taux trimestriel appliqué.
b) le taux annuel équivalent.
c) la date de versement de la dernière trimestrialité.
Exercice 17.

35
Chapitre 3: Emprunt obligatoire
A. Généralités

36
B. Emprunts obligatoires remboursables
par annuités constantes

38
C. Taux moyen de rendement ( ou de placement ou actuariel) à
l'émission de l'emprunt.

42
Chapitre 4: Choix d'investissement

47
II-Le choix des investissements en avenir certain
A. Etude de la rentabilité d'un investissement. méthode de la
valeur actuelle nette (ou VAN)
Problème.
Solution

49
Solution.
B. Taux de rentabilité interne d'un investissement (ou TRI)

51
C. Choix entre deux investissements
D. Indice de profitabilité (I.P)

52
E. Délai de récupération du capital investi

55
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.

Cours math fin 2éme année

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (9)

Semelhante a Cours math fin 2éme année

Semelhante a Cours math fin 2éme année (20)

Cours math fin 2éme année