Para comenzar a hablar de
Integrales, introduciremos el concepto de Función
Primitiva.
“Función primitiva de
una función dada f(x),
es otra función F(x)
cuya derivada es la
función dada. ”

Integral indefinida es el
conjunto de las infinitas
primitivas que puede tener una
función.
Se representa por ∫f(x) dx.

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de
las integrales de las mismas.
∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es
igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Integración por partes:
Este método se basa en la derivada de un producto:
(u.v)’=u’.v+u.v’
∫(u.v)’dx= ∫u’.v dx + ∫u.v’ dx
u.v= ∫u’.v dx + ∫u.v’ dx
∫u.v’ dx= u.v - ∫u’.v dx

Integración por sustitución:
Se basa en la regla de la cadena. Se trata de identificar una parte
de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se
obtenga una integral más sencilla.
Para llevar a cabo este método se debe:
1º Hacer cambio de variable, diferenciando en los términos t=u dt=u’ dx
2º Despejar u y dx, sustituyendo en la integral
3º Si la integral resultante es más sencilla, se procede a integrar
4º Volver a la variable inicial

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b] , la integral
definida es igual al área limitada entre la gráfica de
f(x) , el eje de las abscisas, y las rectas paralelas al
eje de las ordenadas, que pasan por a y por b.
Se representa por

Función Integral.
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a,b] . A
partir de esta función se define la función integral:
Que depende del límite
superior de integración

La derivada de la función integral de la función continua f(x) es
la propia f(x)
F’(x)=f(x)
La integral definida de una función continua f(x) en un intervalo
cerrado [a,b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una
función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
= G(b)-G(a)

Área de una función
1. Si la función es positiva en un intervalo [a,b] , el área de la
función viene dada por:
A=
Para hallarla, calculamos los puntos de intersección con el
eje x y luego calculamos la integral, tomando como límites a
los puntos encontrados.
2. Si la función es negativa en un intervalo [a,b] , el área de
la función viene dada por:
A= - A=

3. Si la función toma valores positivos y negativos,
calculamos los puntos de intersección con el eje x, ordenamos
de menor a mayor las raíces, que serán los límites de
integración y por último calculamos el área como la suma de
las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
4. El área comprendida entre dos funciones es igual al área
de la función que está situada por encima menos el área de
la función que está situada por debajo

Volumen de una función:
El volumen del cuerpo de revolución generado al girar la
curva f(x) alrededor del eje x y limitado por x=a y x=b ,
está dado por:
Longitud de arco:
La longitud del arco de la curva f(x) , comprendida entre
x=a y x=b viene dado por la integral definida:

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