Ecuaciones diferenciales de Orden Superior

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 01
CICLO 02-2014
“Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
PARTE I. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
En los problemas del 1 al 8 compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independientes en el intervalo ]−∞,∞[.
1) 푓1(푥)=푥,푓2(푥)=푥2,푓3(푥)=4푥−3푥2
2) 푓1(푥)=푥푒푥,푓2(푥)=푥,푓3(푥)=푒푥
3) 푓1(푥)=5,푓2(푥)=푐표푠2(푥),푓3(푥)=푠푒푛2(푥)
4) 푓1(푥)=cos(2푥),푓2(푥)=1,푓3(푥)=푐표푠2(푥)
5) 푓1(푥)=푥,푓2(푥)=푥−1,푓3(푥)=푥−3
6) 푓1(푥)=−1,푓2(푥)=2−푥,푓3(푥)=2+푥
7) 푓1(푥)=1+푥,푓2(푥)=1,푓3(푥)=푥2
8) 푓1(푥)=푒푥,푓2(푥)=푒−푥,푓3(푥)=푠푒푛ℎ(푥)
PARTE II. SOLUCIÓN DE UNA E.D.L DE ORDEN SUPERIOR.
En los problemas del 9 al 16 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado y formar la solución general.
9) 푦ʹˈ−푦ʹ−12푦=0,푓1(푥)=푒−3푥,푓2(푥)=푒4푥,]−∞,∞[
10) 푦ʹˈ−4푦=0,푓1(푥)=cosh⁡(2x),푓2(푥)=푠푒푛ℎ(2푥),]−∞,∞[
11) 푦ʹˈ−2푦ʹ+5푦=0,푓1(푥)=푒푥cos⁡(2푥),푓2(푥)=푒푥푠푒푛(2푥),]−∞,∞[
12) 4푦ʹˈ−4푦ʹ+푦=0,푓1(푥)=푒 푥 2,푓2(푥)=푥푒 푥 2,]−∞,∞[
13) 푥2푦ʹˈ−6푥푦ʹ+12푦=0,푓1(푥)=푥3,푓2(푥)=푥4,]0,∞[
14) 푥2푦ʹˈ+푥푦ʹ+푦=0,푓1(푥)=cos⁡(ln(x)),푓2(푥)=푠푒푛(ln(푥)),]0,∞[
15) 푥3푦ʹˈˈ+6푥2푦ʹʹ+4푥푦ˈ−4푦=0,푓1(푥)=x,푓2(푥)=푥−2,푓3(푥)=푥−2ln푥,]0,∞[
16) 푦(퐼푉)+푦ʹˈ=0,푓1(푥)=1,푓2(푥)=푥,푓3(푥)=cos(푥),푓4(푥)=푠푒푛(푥),]−∞,∞[

2. PARTE III. REDUCCIÓN DE ORDEN.
En los ejercicios del 17 al 30, 푦1 es solución de la E.D homogénea presentada. Utilizar el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución 푦2, y formar la solución general de la E.D: 푦푔=퐶1푦1+퐶2푦2.
17) 푦ʹˈ−4푦ʹ+4푦=0,푦1=푒2푥
18) 푦ʹˈ+16푦=0,푦1=cos⁡(4푥)
19) 푦ʹˈ−푦=0,푦1=cosh⁡(푥)
20) 9푦ʹˈ−12푦ʹ+4푦=0,푦1=푒 2푥 3
21) 푥2푦ʹˈ−7푥푦ʹ+16푦=0,푦1=푥4
22) 푥푦ʹˈ+푦ʹ=0,푦1=ln⁡(푥)
23) 푥2푦ʹˈ−푥푦ʹ+2푦=0,푦1=푥푠푒푛(ln⁡(푥))
24) (1−푥2)푦ʹˈ−2푥푦ʹ=0,푦1=1
25) 푥2푦ʹˈ−3푥푦ʹ+5푦=0,푦1=푥2cos⁡(ln(푥))
26) (1−2푥−푥2)푦ʹˈ+2(1+푥)푦ʹ−2푦=0,푦1=푥+1
27) 푥2푦ʹˈ−20푦=0,푦1=푥−4
28) 푥2푦ʹˈ+푥푦ʹ+푦=0,푦1=cos⁡(ln⁡(푥))
29) 푦ʹˈ−4푦=2,푦1=푒−2푥, E.D no Homogénea.
30) 푦ʹˈ−3푦ʹ+2푦=5푒3푥,푦1=푒푥, E.D no Homogénea.
PARTE IV. ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
En los problemas del 31 al 44, determinar la solución general de cada E.D.
31) 푦ʹˈ−푦ʹ−6푦=0
32) 푦ʹˈ+8푦ʹ+16푦=0
33) 12푦ʹˈ−5푦ʹ−2푦=0
34) 푦ʹˈ+9푦=0
35) 푦ʹˈ−4푦ʹ+5푦=0
36) 3푦ʹˈ+2푦ʹ+푦=0
37) 푦ʹʹʹ−4푦ʹˈ−5푦ʹ=0
38) 푦ʹʹʹ−5푦ʹʹ+3푦ʹ+9푦=0
39) 푑3푢 푑푡3+ 푑2푢 푑푡2−2푢=0
40) 푦ʹʹʹ+3푦ʹʹ+3푦ʹ+푦=0
41) 푦(퐼푉)+푦ʹʹʹ+푦ʹʹ=0
42) 푑3푦 푑푥4+24 푑2푦 푑푥2+9푦=0
43) 푑5푢 푑푟5+5 푑4푢 푑푟4−2 푑3푢 푑푟3−10 푑2푢 푑푟2+ 푑푢 푑푟 +5푢=0
44) 푑5푥 푑푠5−7 푑4푥 푑푠4+12 푑3푥 푑푠3+8 푑2푥 푑푠2=0

3. En los ejercicios del 45 al 52 resuelva la E.D dada, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.
45) 푦ʹʹ+16푦=0,푦(0)=2,푦ʹ(0)=−2
46) 4푦ʹʹ−4푦ʹ−3푦=0,푦(0)=1,푦ʹ(0)=5
47) 푦ʹʹ+푦ʹ+2푦=0,푦(0)=푦ʹ(0)=0
48) 푦ʹʹ−2푦ʹ+푦=0,푦(0)=5,푦ʹ(0)=10
49) 푦ʹʹʹ+12푦ʹʹ+36푦ʹ=0,푦(0)=,푦ʹ(0)=1,푦ʹʹ(0)=−7
50) 푦ʹʹʹ+2푦ʹʹ−5푦ʹ−6푦=0,푦(0)=푦ʹ(0)=0,푦ʹʹ(0)=1
51) 푑2푦 푑휃2+푦=0,푦( 휋 3)=0,푦ʹ( 휋 3)=2
52) 푑2푦 푑푡2−4 푑푦 푑푡 −5푦=0,푦(1)=0,푦ʹ(1)=2
53) Las raíces de la ecuación característica son 푚1=− 12,푚2=3+푖,푚3=3−푖. ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente?
54) Determinar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes que tenga las soluciones: 4푒6푥⁡푦⁡3푒−3푥.
55) Obtener la solución general de las ecuaciones diferenciales que a continuación se presentan.
i) 푚6+2푚4+푚2=0
ii) 푠(퐼푉)(푡)+2푠ʹʹ(푡)−8푠(푡)=0
iii) 푦ʹʹʹ=푦ʹʹ
iv) 푚3−1=0
v) 4 푑 푑푥 ( 푑3푦 푑푥3)+2 푑2푦 푑푥2= 푑 푑푥 ( 푑푦 푑푥 )+3 푑4푦 푑푥4
PARTE V. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
En los problemas del 56 al 75 resuelva las ecuaciones diferenciales usando el método CI.
56) 푦ʹʹ−9푦=54
57) 푦ʹʹ+푦ʹ=3
58) 푦ʹʹ+4푦ʹ+4푦=2푥+6
59) 푦ʹʹʹ+푦ʹʹ=8푥2
60) 푦ʹʹ−푦ʹ−12푦=푒4푥
61) 푦ʹʹ−2푦ʹ−3푦=4푒푥−9
62) 푦ʹʹ+25푦=6푠푒푛(푥)
63) 푦ʹʹ+6푦ʹ+9푦=−푥푒4푥
64) 푦ʹʹ−푦=푥2푒푥+5
65) 푦ʹʹ−2푦ʹ+5푦=푒푥푠푒푛(푥)

4. 66) 푦ʹʹ+푦ʹ+ 14 푦=푒푥(푠푒푛(3푥)−cos⁡(3푥))
67) 푦ʹʹ+25푦=20푠푒푛(5푥)
68) 푦ʹʹ+푦ʹ+푦=푥푠푒푛(푥)
69) 푦ʹʹʹ+8푦ʹʹ=−6푥2+9푥+2
70) 푦ʹʹʹ−푦ʹʹ+푦ʹ−푦=푥푒푥−푒−푥+7
71) 푦ʹʹʹ−3푦ʹʹ+3푦ʹ−푦=푒푥−푥+16
72) 2푦ʹʹʹ−3푦ʹʹ−3푦ʹ+2푦=(푒푥+푒−푥)2
73) 푦(퐼푉)−2푦ʹʹʹ+푦ʹʹ=푒푥+1
74) 푦ʹʹ+푦ʹ+푦=푠푒푛(푥)푠푒푛(3푥)
75) 푦ʹʹ+푦=푥푐표푠3(푥)
PARTE VI. MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS.
Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales en los problemas del 76 al 95, por el método VP.
76) 푦ʹʹ+푦=tan⁡(푥)
77) 푦ʹʹ+푦=sec(푥)tan⁡(푥)
78) 푦ʹʹ+푦=푠푒푐2(푥)
79) 푦ʹʹ−푦=푠푒푛ℎ(2푥)
80) 푦ʹʹ−9푦= 9푥 푒3푥
81) 푦ʹʹ−3푦ʹ+2푦= 푒3푥 1+푒푥
82) 푦ʹʹ−2푦ʹ+푦=푒푥푡푎푛−1(푥)
83) 푦ʹʹ−2푦ʹ+푦=푒푥sec(푥)
84) 푦ʹʹ+10푦ʹ+25푦= 푒−10푥 푥2
85) 4푦ʹʹ−4푦ʹ+푦=푒 푥 2√1−푥2
86) 푦ʹʹʹ+4푦ʹ=sec⁡(2푥)
87) 2푦ʹʹʹ−6푦ʹʹ=푥2
88) 푦ʹʹ−푦=푒푥
89) 푦ʹʹ+3푦ʹ+2푦=3푒−2푥+푥
90) 2푦ʹʹ+3푦ʹ+푦=푒−3푥
91) 4푦ʹʹ−푦=푥푒 푥 2
92) 2푦ʹʹ+푦ʹ−푦=푥+1
93) 푦ʹʹ+2푦ʹ−8푦=2푒−2푥−푒−푥
94) 푦ʹʹ−4푦ʹ+4푦=(12푥2−6푥)푒2푥
95) 푦ʹʹ−푦=푥2푒푥

5. PARTE VII. MÉTODO DE COUCHY-EULER
En los ejercicios del 96 al 110 resuelva la E.D homogénea dada, por la ecuación de Couchy Euler.
96) 4푥2푦ʹʹ+푦=0
97) 푥푦ʹʹ−푦ʹ=0
98) 푥2푦ʹʹ+5푥푦ʹ+3푦=0
99) 푥2푦ʹʹ+3푥푦ʹ−4푦=0
100) 4푥2푦ʹʹ+4푥푦ʹ−3푦=0
101) 푥2푦ʹʹ+8푥푦ʹ+6푦=0
102) 푥2푦ʹʹ+5푥푦ʹ+3푦=0
103) 푥2푦ʹʹ−7푥푦ʹ+41푦=0
104) 2푥2푦ʹʹ+푥푦ʹ+푦=0
105) 푥3푦ʹʹʹ+푥푦ʹ−푦=0
106) 푥3푦ʹʹʹ−2푥2푦ʹʹ+4푥푦ʹ−4푦=0
107) 푥4푦(퐼푉)+6푥3푦ʹʹʹ+9푥2푦ʹʹ+3푥푦ʹ+푦=0
108) 푥3푦ʹʹʹ−2푥2푦ʹʹ−2푥푦+8푦=0
109) 푥2푦ʹʹ−5푥푦ʹ+8푦=0,푦(2)=32,푦ʹ(2)=0
110) 푥2푦ʹʹ−3푥푦ʹ+4푦=0,푦(1)=5,푦ʹ(1)=3
En los ejercicios del 111 al 121 resuelva la E.D no homogénea dada, por la ecuación de Couchy Euler.
111) 푥푦ʹʹ−4푦ʹ=푥4
112) 푥2푦ʹʹ−2푥푦ʹ+2푦=푥4푒푥
113) 푥2푦ʹʹ−2푥푦ʹ+2푦=푥3ln⁡(푥)
114) 푥2푦ʹʹ=푥+2푦
115) 푥2푦ʹʹ−푥푦ʹ+2푦=ln⁡(푥)
116) 푥2푦ʹʹ+2푥푦ʹ+푦=푥푙푛(푥)
117) 푥2푦ʹʹʹ−2푥푦ʹ=2ln(3)∗푙표푔9푥5
118) 푥2푦ʹʹ−푥푦ʹ+푦=2푥
119) 2푥2푦ʹʹ+5푥푦ʹ+푦=푥2−푥
120) 푥푦ʹʹ+푦ʹ=푥
121) 푥2푦ʹʹ+10푥푦ʹ+8푦=푥2