Matematica E A Musica

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Matematica E A Musica

  1. 1. MATEMÁTICA E MÚSICA Dyego Raphael Alves dos Santos Universidade Católica de Brasília Departamento de Matemática Orientador: Prof. Paulo Eduardo de Brito RESUMO Este trabalho apresenta uma descrição da relação existente entre a matemática e a música, apontando fatos significativos relacionados à história da música e à participação direta da matemática em sua construção. Também trará uma analise do som musical, utilizando os princípios de Fourier. Palavras-chave: matemática; Pitágoras; escala pitagórica; escala temperada; som; análise de Fourier. 1. INTRODUÇÃO O tema proposto neste trabalho ainda não conta com um grande número de publicações, principalmente no Brasil.Portanto a produção deste trará benefícios para todos que estudam ou se simpatizam pelo tema. Tratando-se de duas áreas tão presentes em nossas vidas e aparentemente sem tanta aproximação uma da outra, o estudo ligando a matemática e a música torna-se extremamente interessante, tornando possível que todos possam compreender e entender melhor as relações existentes entre essas duas áreas, possibilitando uma análise concreta desta junção. O trabalho em si é de grande valor teórico e experimental, não só para aqueles que trabalham com música, mas para todos que apreciam o estudo da matemática e suas relações e aplicações, além de proporcionar um estudo interdisciplinar, envolvendo essas duas “artes”, a arte dos números e a arte dos sons. 2. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS CONSTITUINTES DA MUSICA A música (do grego µουσική τέχνη - musiké téchne, a arte das musas) constitui-se basicamente de uma sucessão de sons e silêncio organizada ao longo do tempo1. Cientificamente, sabe-se que o som se comporta como uma onda, ou conjunto de ondas distintas e possui três qualidades destacáveis: intensidade, altura e timbre. A intensidade está relacionada à amplitude das oscilações de pressão no ar (ou noutro meio), em outras palavras, refere-se ao volume do som. A altura do som está ligada unicamente à sua freqüência. Daí podemos ter um som mais alto (maior freqüência) e um som mais baixo (menor freqüência). Já o timbre depende da natureza do corpo sonoro. Ele nos permite 1 Definição retirada da página: http://pt.wikipedia.org/wiki/Musica , acesso em 10/10/2006
  2. 2. distinguir se sons de mesma freqüência foram produzidos por fontes sonoras conhecidas, permitindo-nos diferenciá-las. Analisando uma onda podemos determinar: Figura 1: Elementos de uma onda2  x t  Uma onda senoidal é determinada pela seguinte função: y ( x, t ) = Asen 2π  −  + φ     λ T   onde A é a amplitude, λ é o comprimento de onda, T é o período da onda (T = 1/f , onde f é a freqüência da onda) e φ é a fase. A amplitude não varia se x = xo + λt/T, ou seja, a onda se desloca numa velocidade igual a vsom = λ/T = λ f . Os sons que originam as músicas, constituem o que chamamos de escala musical, definida pelas notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, acrescidas de algumas variações, o bemol (b) e o sustenido (#), símbolos estes que significam respectivamente a diminuição e o aumento de tonalidade (freqüência) em 1 semitom. As escalas são seqüências de notas que obedecem a determinados padrões (as freqüências das notas obedecem uma razão específica) e compreendem o espaço que vai de uma nota de determinada freqüência à outra com o dobro desta (uma oitava acima). Para efeito didático, tomemos como exemplo a escala de dó maior: C = C D E F G A B C, onde: C = dó, D= ré, E= mi, F= fá, G= sol, A= lá, B= si. A partir deste exemplo podemos, identificar a nota C como sendo a fundamental, a nota D como sendo a segunda em relação a C, a nota E como sendo a terça em relação a C (intervalo de terça), a nota F como sendo a quarta em relação a C, a nota G como sendo a 2 Figura retirada da página: http://pt.wikipedia.org/wiki/Onda, acesso em 10/10/2006
  3. 3. quinta em relação a C e assim sucessivamente até chegarmos a outra nota C, que está uma oitava acima da nota fundamental. Talvez a figura do piano, ajude a relacionar as notas entre si e os seus sustenidos. Figura 2: As notas musicais no piano3. Observando a figura 2, podemos observar as notas musicais no teclado, onde as teclas brancas representam as notas naturais (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) e as teclas pretas fazem o papel das notas que apresentam sustenido ou bemol. Lembremos ainda que o som musical, além de possuir determinadas características físicas, é dotado da presença de harmônicos, presentes nos sons musicais. Os harmônicos são componentes do som (sons parciais) que compõem sua sonoridade. Exemplo de timbres ou conjunto de harmônicos: 3 Figura retirada da página: http://bach2411111.blogcindario.com/2006/07/00523-notas-en-el-piano-nuevo- dibujo.html , acesso em 15/10/2006.
  4. 4. Figura 3: Exemplo de uma mesma nota tocada por dois instrumentos musicais4. Os harmônicos de um som determinam à qualidade sonora ou timbre da nota musical ouvida. Um som apresenta-se mais rico quanto maior a presença de harmônicos. Observando o exemplo ilustrado na figura 3, podemos observar que a onda da nota Dó da flauta apresenta uma menor riqueza de harmônicos em relação a mesma nota emitida pelo violino. 3. HISTÓRICO DA RELAÇÃO MATEMÁTICA E MUSICA A matemática e a música possuem histórias antigas e já se faziam presentes desde as primeiras civilizações. Os povos de diferentes épocas e culturas sempre fizeram uso destas duas áreas, em separado ou em conjunto. A relação entre a matemática e a música é bem mais antiga do que imaginamos, visto, por exemplo, que foi encontrado no ano de 1995, nos Alpes da Eslováquia, um osso de urso com idade entre 43000 a 82000 anos, que apresentava uma configuração de buracos capaz de produzir intervalos musicais de tons e semitons, elementos fundamentais da escala diatônica moderna. Esse achado emitia tais intervalos em virtude da distância entre o segundo e terceiro buracos ser duas vezes aquela existente entre o terceiro e o quarto, o que já demonstrava preocupações matemáticas quando de sua confecção. Partindo deste fato, podemos observar, o quanto a matemática é importante para a música, ajudando-a na sua construção. A relação entre matemática e musica se evidencia de forma científica primeiramente com Pitágoras (séc.V a.C), que foi o primeiro a realizar uma experiência registrada na história da ciência, no sentido de isolar algum dispositivo para observar fenômenos de forma artificial. Trata-se do experimento feito com o monocórdio, instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa, possuindo ainda um cavalete móvel colocado sob a corda para dividi-la em duas seções. Este 4 Figura retirada da página: http://digitalmedia.wfu.edu/project/nsf-due-0340969/interactive/timbre , acesso em 15/10/2006
  5. 5. instrumento construído por Pitágoras foi utilizado para que ele, partindo da relação entre o comprimento da corda estendida e a altura do som emitido quando tocada, estabelecesse relações de comprimentos que produzissem determinados intervalos sonoros. Pitágoras concluiu que ao dividir a vibração bem no meio da corda, a tonalidade do som era a mesma da produzida com a corda solta, mas uma oitava acima, ou seja com o som mais agudo. Exercida a pressão a 2 do tamanho original, ouvia-se uma quinta acima e 3 pressionando um ponto situado a 3 do comprimento da corda em relação a sua 4 extremidade e tocando-a a seguir, ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Com isso Pitágoras estabeleceu relações entre a matemática e a música, associando razões de números inteiros com intervalos musicais consonantes. Dando continuidade aos seus estudos, Pitágoras estabeleceu uma escala de sons adequados ao uso musical, formando uma série a partir da fração 2 (intervalo de quinta). Ele então 3 definiu doze notas musicais, sendo sete naturais ( Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si) e mais cinco acidentais ( Dó#, Ré#, Fá#,Sol# e Lá#). Suponha que o tom emitido por uma corda solta corresponda a tonalidade Dó de comprimento 1 (tamanho hipotético), então temos: 2 λDó = λFá 3 2 λFá # = λSi 2 3 λSol = λDó 3 2 λDó # = λFá # 2 3 λRé = λSol 3 2 λSol # = λDó # 2 3 (1) λLá = λRé 3 2 λRé # = λSol # 2 3 λMi = λLá 3 2 λLá # = λRé # 2 3 λSi = λMi 3 Essas são as relações de comprimento de corda definida por Pitágoras, onde as notas são obtidas através do ciclo das quintas, ou seja, a partir de uma determinada nota se obtém todas as outras em quintas consecutivas. Sendo f 0 = f uma freqüência fundamental e 2 f a oitava de f , então a partir da sucessão de quintas de Pitágoras podemos definir a relação de comprimento de onda da seguinte n 3 1 forma: f n =   m , onde n representa o numero de quintas puras percorridas e m é o 2 2
  6. 6. inteiro tal que f n ∈ [ f ,2 f [ . Diante desta definição, e considerando 132,0000 Hz a freqüência de Dó, temos: Tabela 1: Relações de freqüências entre as notas na escala pitagórica Nota Freqüência Relação com C1 Relação com a anterior C1 132,0000 1:1 - D1 148,5000 9:8 9:8 E1 167,0625 81:64 9:8 F1 176,0000 4:3 256:243 G1 198,0000 3:2 9:8 A1 222,7500 27:16 9:8 B1 250,5937 243:128 9:8 C2 264,0000 2:1 256:243 Tabela adaptada retirada de: < http://www.music-center.com.br/escalas.htm> Analisando a tabela podemos observar que nesse processo pitagórico foram obtidos dois intervalos diferentes. O primeiro que aparece na tabela é o intervalo 9:8, que representa um tom inteiro, e o outro, é o intervalo 256:243, denominado semitom. Para completar a escala, podemos tomar o menor intervalo (256:243), e assim obteremos as notas C#, D#, F#, G#, A#. Podemos observar ainda que as notas E# e B# não compõem a escala, pois suas freqüências correspondem (aproximadamente) respectivamente às freqüências de F1 e C2. Podemos concluir então que a distância tonal entre C-D, D-E, F-G, G-A e A-B, é de um tom, apresentando a relação de 9:8, enquanto que os intervalos de E-F e B-C, apresentam a relação de 256:243, ou seja, a distância tonal entre eles é de um semitom. Porém, a escala definida por Pitágoras apresenta um desajuste em algumas notas. Por exemplo, para a nota C#, obtemos a freqüência de 139,0618 Hz, e para a nota Db, obtemos freqüência igual a 140,9590. Portanto percebemos que há uma diferença entre essas respectivas notas, que equivale a 1,0136..., chamada coma pitagórica. Essa diferença se repete para todo par de notas que possuam a mesma característica do exemplo citado. A escala definida por Pitágoras foi usada durante séculos até pouco depois da Idade Média. Posteriormente a isso, com o Renascimento, uma série de novas idéias surgiu nas artes em geral. Na música, em particular, foi a necessidade de transpor as melodias para outras tonalidades, o que na época não era possível, pois a escala utilizada não favorecia tal procedimento. Com isso uma música feita para determinada tonalidade não poderia ser executada em outra tonalidade, pois as relações entre as notas variam de acordo com o tom a ser escolhido. Portanto os intervalos entre as notas passariam a soar desafinados. Com o passar do tempo, foram apresentadas diversas idéias para a solução do problema, mas a escala musical que melhor solucionou os problemas existentes foi a escala igualmente temperada ou escala temperada. Matematicamente dizendo, essa escala temperada possui como principal característica o fato de que as freqüências de notas de um mesmo intervalo serem sempre iguais. Esse
  7. 7. temperamento foi proposto em 1691, por Andréas Werkmeister e utilizado com maestria por J. S. Bach em O Cravo Bem-Temperado. Assim sendo, podemos ilustrar a matemática dessa escala, da seguinte forma: F2 = F1. i F3 = F2. i F4 = F3 . i ... etc Onde F1, F2, F3, F4,..., são as freqüências das notas consecutivas da escala de doze sons, e como a cada doze intervalos consecutivos a freqüência é dobrada, o intervalo (i) pode ser calculado da seguinte forma: f. i12 = f. 2 i12 = 2 i = 21/12 i =1, 0594630943592952645618252949463 ou i ≈ 1,059 Então temos que i = 12 2 = 1.059463 , correspondente ao intervalo de meio tom. A partir dessa definição, podemos estabelecer todos os valores das notas da escala temperada: Tabela 2: Relações entre as notas na escala temperada Nota Relação com a anterior Freqüência C1 - 132,0000 C#1 F(C#1) = F1. i 139,8491 D1 F (D1) = F(C#1). i 148,1649 D#1 F (D#1) = F (D1). i 156,9753 E1 F(E1)= F(D#1) . i 166,3095 F1 F(F1) = F(E1). i 176,1988 F#1 F (F#1)= F (F1). i 186,6761 G1 F (G1) = F (F#1). i 197,7765 G#1 F (G#1) = F (G1). i 209,5369 A1 F (A1) = F (G#1). i 221,9966 A#1 F (A#1) = F (A1). i 235,1972 B1 F (B1) = F (A#1). i 249,1828 C2 F (C2) = F (B1). i 264,0000
  8. 8. Agora podemos fazer uma comparação entre os valores obtidos nas duas escalas: Tabela 3: Comparação entre as escalas pitagórica e temperada Relação de Relação de Nota freqüência Freq (Hz) freqüência Freq (Hz) (Pitagórica) (temperada) Dó 1,000 132,000 1,000 132,000 Dó # 1,053 139,061 1,059 139,788 Ré b 1,067 140,958 1,059 139,788 Ré 1,125 148,500 1,122 148,104 Ré # 1,185 156,444 1,189 156,948 Mi b 1,200 158,578 1,189 156,948 Mi 1,265 167,062 1,260 166,320 Fá b 1,265 167,062 1,260 166,320 Mi # 1,332 175,999 1,335 176,220 Fá 1,333 176,000 1,335 176,220 Fá # 1,404 185,415 1,414 186,648 Sol b 1,423 187,945 1,414 186,648 Sol 1,500 198,000 1,498 197,736 Sol # 1,580 208,592 1,587 209,484 Lá b 1,601 211,438 1,587 209,484 Lá 1,687 222,750 1,682 222,024 Lá # 1,777 234,666 1,782 235,224 Si b 1,801 237,867 1,782 235,224 Si 1,898 250,593 1,888 249,216 Dó b 1,898 250,593 1,888 249,216 Si # 1,999 263,999 2,000 264,000 Dó 2,000 264,000 2,000 264,000 Analisando a tabela 3, podemos perceber uma diferença entre os valores obtidos na escala pitagórica em relação aos valores obtidos na escala temperada. Há um desajuste nos valores da escala pitagórica, enquanto que na escala temperada os valores são fechados. Podemos comprovar este fato, por exemplo, observando os valores das notas Sol# e Lá b obtidos em ambas escalas, pois na escala pitagórica essas duas notas apresentam freqüências diferentes enquanto que na escala temperada os valores são iguais. 4. FOURIER E O ESTUDO DOS FENÔMENOS ONDULATÓRIOS O matemático francês Jean Batiste Fourier provou que uma onda qualquer é formada pela somatória de várias outras ondas de formato senoidal (ou co-senoidal).Ele mostrou que se a forma de onda se repete periodicamente, então as freqüências das componentes senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência de repetição da forma de onda. Para (Zill e Cullen, 2001) a série de Fourier de uma função f definida no intervalo (-p, p) é dada por: a ∞  nπ nπ  f (t ) = 0 + ∑  a n cos  x + bn sen x . (2) 2 n =1  p p   Onde a0, an e bn são os coeficientes a serem calculados:
  9. 9. p 1 p −∫p a0 = f ( x)dx  nπ  p 1 an = ∫ f ( x) cos  xdx p −p  p   nπ  p 1 bn = p−∫p f ( x)sen  p  xdx  Como já vimos, o som é uma onda, e por isso pode ser analisado através das teorias de Fourier. Os sons de freqüência fundamental e os harmônicos são ondas com o formato de uma senoide, que quando reunidas formam o som resultante. Os harmônicos no som resultante determinam a qualidade sonora (timbre) da nota musical ouvida. Com isso, podemos concluir que um som com uma maior presença de harmônicos superiores, será mais rico e mais brilhante do que um som formado por uma quantidade menor de harmônicos. Por exemplo, o clarinete é um instrumento com muitos harmônicos agudos, enquanto a flauta doce apresenta um som fundamental mais forte com harmônicos fracos e em pouca quantidade. Podemos perceber então que o som de cada instrumento é bem característico a cada um deles, havendo uma variação no som resultante de cada um, justamente pelo fato da presença significativa ou não de harmônicos. De acordo com a teoria de Fourier, o que nos chama mais atenção é o fato das freqüências dos harmônicos serem todas múltiplas inteiras de uma freqüência fundamental (a mais baixa). Com isso, no próximo item, será feita uma análise do som musical a partir das teorias de Fourier, com a ajuda de um software (Data Studio) que após captar o som musical faz a transformada de Fourier do mesmo. 5. PARTE EXPERIMENTAL - MÉTODOS E MATERIAIS Os seguintes materiais foram utilizados para a coleta e análise da parte experimental do trabalho: • Flauta doce (yamaha) • Piano , Violino e Trompete (Sintetizador eletrônico) • Micro-computador – PENTIUM III 800MHz Marca: TOSHIBA Modelo: LINCE Memória Ram: 130MB Disco rígido: 30GB
  10. 10. • Interface – SCIENCE WORKSHOP 750 Marca: PASCO Modelo: CL-7500 • Sensor de som - SCIENCE WORKSHOP SENSOR Marca: PASCO Modelo: CI-6506B • Software – DATA STUDIO 1.9.5 Marca: PASCO A figura abaixo ilustra o esquema montado com o material já citado: Figura 4: Equipamento utilizado para a analise do som musical Com este material foi possível coletar dados, em forma de gráficos, para a realização da analise, utilizando o software Data Studio 1.9.5. Para a coleta desses dados, posicionava-se o instrumento próximo ao sensor de som, ao tocá-lo,o software em seguida já realizava a transformada de Fourier, mostrando os resultados (gráficos da freqüência pela intensidade) do som em questão. Os dados foram salvos em um arquivo para uma posterior análise. Primeiro foi analisado o som da flauta doce em diversas tonalidades, e assim capturada todas as informações. Em seguida, utilizando o piano elétrico (sintetizador), analisamos o som do piano, do violino e do trompete, e assim capturada todas as informações.. 5.1. Análise dos resultados obtidos na fase experimental Serão apresentados agora os resultados obtidos a partir da análise experimental. Primeiramente, foi analisado o som da flauta doce com a ajuda do software Data Studio que, como já dito, reproduz graficamente os resultados da transformada de Fourier.
  11. 11. A figura 5 nos ajuda a visualizar melhor a idéia proposta: Figura 5: Nota Dó emitida pela flauta doce De acordo com a figura 5, podemos observar, que a flauta doce apresenta um som fundamental (C1) mais forte, com os demais harmônicos fracos e em pouca quantidade. Os outros dois picos de baixa intensidade que aparecem na figura, são provocados por perturbações ocasionadas pela qualidade do instrumento ou do instrumentista. Agora observemos o gráfico relacionado ao som emitido pelo piano elétrico: Figura 6: Nota dó emitida pelo piano
  12. 12. De acordo com a figura 6, que representa o som da nota dó emitida pelo piano, podemos notar que a fundamental é mais forte e os 2º e 3º harmônicos também aparecem com grande presença, e em seguida os harmônicos vão se apresentando de forma mais fraca. O próximo gráfico ilustra o som musical do violino: Figura 7: Nota dó emitida pelo violino Observando a figura acima, podemos verificar que o som emitido pelo violino é composto por vários harmônicos, portanto trata-se de um som rico sonoramente. Por último, observemos o som da nota dó, emitido pelo trompete:
  13. 13. Figura 8: Nota dó emitida pelo trompete Analisando a figura, podemos observar um bom número de harmônicos, mas com predominância no terceiro. Comparando os gráficos resultantes do som emitido pelos quatro instrumentos, observamos que o timbre mais composto, rico sonoramente, é o do violino, pois se apresenta com vários harmônicos. Já a flauta doce, como observamos, tem como característica a presença de poucos harmônicos, portanto trata-se de um som menos rico sonoramente. Matematicamente dizendo, pode-se interpretar tais diferenças apontadas, de forma a concluir que o som de cada instrumento analisado se difere pela presença significativa ou não de harmônicos, ou seja, há uma continuidade ou não dos múltiplos da freqüência fundamental. Os sons emitidos pelos instrumentos analisados na tonalidade dó, geram os seguintes harmônicos (mostrando até o quinto): Tabela 4: Freqüências dos harmônicos, emitidos na tonalidade dó pelos instrumentos Harmônico Flauta doce Piano Violino Trompete 1ª 530,0 Hz 264,1 Hz 127,,1 Hz 264,0 Hz 2ª 1060,0 Hz 527,1 Hz 264,1 Hz 527,0 Hz 3ª 1590,0 Hz 791,1 Hz 400 Hz 791,1 Hz 4ª ---------------- 1055,0 Hz 527,1 Hz 1055,0 Hz 5ª ---------------- -------------- 664,1 Hz 1318,0 Hz Os gráficos analisados e a tabela acima, confirmam a teoria de Fourier, que traduzida para a música diz que o som musical é composto pela freqüência fundamental e múltiplos desta (harmônicos). Partindo ainda dos dados obtidos nesta análise do som musical, podemos observar que os resultados encontrados vão de encontro com as idéias de Pitágoras, que enunciou, teórico e experimentalmente, o principio da formação das escalas musicais e os intervalos sonoros. Pelo ciclo das quintas, proposto por Pitágoras, podemos confirmar o que foi dito acima e gerar todos os valores obtidos experimentalmente na análise do som dos instrumentos em questão. Partindo da freqüência do dó (fundamental) do piano, podemos gerar todos os outros valores obtidos, utilizando os intervalos propostos por Pitágoras, assim temos: C=264 Hz => 3/2 de 264 = Gl, portanto G = 396; Multiplicando esse valor por 2, temos: 2x396 = 792, que é o valor aproximado obtido no gráfico, correspondente a G2. O segundo harmônico encontrado corresponde a aproximadamente 527 Hz, que seria o dobro do valor da freqüência fundamental, ou seja, corresponde a C2. E o último harmônico mostrado na tabela, trata-se do C3, que é o valor de C2 multiplicado por dois. Portanto segue o padrão definido por Pitágoras. Para os demais instrumentos também valem as relações pitágoricas, o que demonstra perfeitamente a eficácia da matemática desenvolvida por tal pensador para a música.
  14. 14. 6. CONCLUSÃO A realização deste trabalho possibilitou um maior entendimento da aplicação matemática na música, o que permitiu a assimilação do padrão matemático utilizado para a construção das escalas musicais no decorrer da história, gerando assim a possibilidade de se conhecer a estrutura em que se desenvolve o som musical juntamente com suas características físicas. A análise sonora se delimitou aos gráficos obtidos a partir da nota dó, escolhidos entre dezenas de outros, para efeito de visualização. Esta parte experimental permitiu que fossem comprovadas de forma prática as descobertas de Pitágoras. Através das descobertas teóricas e práticas analisadas, possibilitou-se estabelecer conexões diretas entre a matemática e a música. O que antes era algo apenas chamativo, tornou-se uma verdade comprovada, que mostra o quanto a matemática está presente na música e o quanto ela é aplicável. O trabalho em seu fim, dá margem para a realização de novos estudos relacionando a matemática e a música, como por exemplo, o desenvolvimento musical após as descobertas de Fourier ou a matemática na montagem de acordes ou ainda a relação entre a matemática e a música em diferentes culturas. BIBLIOGRAFIA OLIVEIRA, Naylor. A Física da música. Disponível em: <http://www.cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art_25/musica.html> Acesso em: 17/09/2006. RATTON, Miguel. Escalas musicais - quando a matemática rege a música. Disponível em: <http://www.music-center.com.br/escalas.htm> Acesso em: 20/10/2006 JULIANI, Juliana Pimentel. Matemática e Música. São Carlos, 2003. Dissertação (Graduação em Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Federal de São Carlos. ZILL, Dennis; CULLEN, Michael. Equações diferenciais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2001. ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: O pensamento analógico na construção de significados. 3. ed. São Paulo: escrituras, 2003. ROEDERER, Juan G. Introdução a Física e Psicofísica da Música. São Paulo: Edusp, 1998.

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