1. MATEMÁTICA E MÚSICA
Dyego Raphael Alves dos Santos
Universidade Católica de Brasília
Departamento de Matemática
Orientador: Prof. Paulo Eduardo de Brito
RESUMO
Este trabalho apresenta uma descrição da relação existente entre a matemática e a música, apontando fatos
significativos relacionados à história da música e à participação direta da matemática em sua construção.
Também trará uma analise do som musical, utilizando os princípios de Fourier.
Palavras-chave: matemática; Pitágoras; escala pitagórica; escala temperada; som; análise de Fourier.
1. INTRODUÇÃO
O tema proposto neste trabalho ainda não conta com um grande número de publicações,
principalmente no Brasil.Portanto a produção deste trará benefícios para todos que estudam
ou se simpatizam pelo tema.
Tratando-se de duas áreas tão presentes em nossas vidas e aparentemente sem tanta
aproximação uma da outra, o estudo ligando a matemática e a música torna-se
extremamente interessante, tornando possível que todos possam compreender e entender
melhor as relações existentes entre essas duas áreas, possibilitando uma análise concreta
desta junção.
O trabalho em si é de grande valor teórico e experimental, não só para aqueles que
trabalham com música, mas para todos que apreciam o estudo da matemática e suas
relações e aplicações, além de proporcionar um estudo interdisciplinar, envolvendo essas
duas “artes”, a arte dos números e a arte dos sons.
2. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS CONSTITUINTES DA MUSICA
A música (do grego µουσική τέχνη - musiké téchne, a arte das musas) constitui-se
basicamente de uma sucessão de sons e silêncio organizada ao longo do tempo1.
Cientificamente, sabe-se que o som se comporta como uma onda, ou conjunto de ondas
distintas e possui três qualidades destacáveis: intensidade, altura e timbre. A intensidade
está relacionada à amplitude das oscilações de pressão no ar (ou noutro meio), em outras
palavras, refere-se ao volume do som. A altura do som está ligada unicamente à sua
freqüência. Daí podemos ter um som mais alto (maior freqüência) e um som mais baixo
(menor freqüência). Já o timbre depende da natureza do corpo sonoro. Ele nos permite
1
Definição retirada da página: http://pt.wikipedia.org/wiki/Musica , acesso em 10/10/2006

2. distinguir se sons de mesma freqüência foram produzidos por fontes sonoras conhecidas,
permitindo-nos diferenciá-las.
Analisando uma onda podemos determinar:
Figura 1: Elementos de uma onda2
 x t 
Uma onda senoidal é determinada pela seguinte função: y ( x, t ) = Asen 2π  −  + φ 
 
 λ T  
onde A é a amplitude, λ é o comprimento de onda, T é o período da onda (T = 1/f , onde f é
a freqüência da onda) e φ é a fase. A amplitude não varia se x = xo + λt/T, ou seja, a onda se
desloca numa velocidade igual a vsom = λ/T = λ f .
Os sons que originam as músicas, constituem o que chamamos de escala musical, definida
pelas notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, acrescidas de algumas variações, o bemol (b) e o
sustenido (#), símbolos estes que significam respectivamente a diminuição e o aumento de
tonalidade (freqüência) em 1 semitom.
As escalas são seqüências de notas que obedecem a determinados padrões (as freqüências
das notas obedecem uma razão específica) e compreendem o espaço que vai de uma nota de
determinada freqüência à outra com o dobro desta (uma oitava acima).
Para efeito didático, tomemos como exemplo a escala de dó maior:
C = C D E F G A B C, onde:
C = dó, D= ré, E= mi, F= fá, G= sol, A= lá, B= si.
A partir deste exemplo podemos, identificar a nota C como sendo a fundamental, a nota D
como sendo a segunda em relação a C, a nota E como sendo a terça em relação a C
(intervalo de terça), a nota F como sendo a quarta em relação a C, a nota G como sendo a
2
Figura retirada da página: http://pt.wikipedia.org/wiki/Onda, acesso em 10/10/2006

3. quinta em relação a C e assim sucessivamente até chegarmos a outra nota C, que está uma
oitava acima da nota fundamental.
Talvez a figura do piano, ajude a relacionar as notas entre si e os seus sustenidos.
Figura 2: As notas musicais no piano3.
Observando a figura 2, podemos observar as notas musicais no teclado, onde as teclas
brancas representam as notas naturais (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) e as teclas pretas fazem o
papel das notas que apresentam sustenido ou bemol.
Lembremos ainda que o som musical, além de possuir determinadas características físicas,
é dotado da presença de harmônicos, presentes nos sons musicais. Os harmônicos são
componentes do som (sons parciais) que compõem sua sonoridade.
Exemplo de timbres ou conjunto de harmônicos:
3
Figura retirada da página: http://bach2411111.blogcindario.com/2006/07/00523-notas-en-el-piano-nuevo-
dibujo.html , acesso em 15/10/2006.

4. Figura 3: Exemplo de uma mesma nota tocada por dois instrumentos musicais4.
Os harmônicos de um som determinam à qualidade sonora ou timbre da nota musical
ouvida. Um som apresenta-se mais rico quanto maior a presença de harmônicos.
Observando o exemplo ilustrado na figura 3, podemos observar que a onda da nota Dó da
flauta apresenta uma menor riqueza de harmônicos em relação a mesma nota emitida pelo
violino.
3. HISTÓRICO DA RELAÇÃO MATEMÁTICA E MUSICA
A matemática e a música possuem histórias antigas e já se faziam presentes desde as
primeiras civilizações. Os povos de diferentes épocas e culturas sempre fizeram uso destas
duas áreas, em separado ou em conjunto.
A relação entre a matemática e a música é bem mais antiga do que imaginamos, visto, por
exemplo, que foi encontrado no ano de 1995, nos Alpes da Eslováquia, um osso de urso
com idade entre 43000 a 82000 anos, que apresentava uma configuração de buracos capaz
de produzir intervalos musicais de tons e semitons, elementos fundamentais da escala
diatônica moderna. Esse achado emitia tais intervalos em virtude da distância entre o
segundo e terceiro buracos ser duas vezes aquela existente entre o terceiro e o quarto, o que
já demonstrava preocupações matemáticas quando de sua confecção.
Partindo deste fato, podemos observar, o quanto a matemática é importante para a música,
ajudando-a na sua construção.
A relação entre matemática e musica se evidencia de forma científica primeiramente com
Pitágoras (séc.V a.C), que foi o primeiro a realizar uma experiência registrada na história
da ciência, no sentido de isolar algum dispositivo para observar fenômenos de forma
artificial. Trata-se do experimento feito com o monocórdio, instrumento composto por uma
única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa, possuindo
ainda um cavalete móvel colocado sob a corda para dividi-la em duas seções. Este
4
Figura retirada da página: http://digitalmedia.wfu.edu/project/nsf-due-0340969/interactive/timbre , acesso
em 15/10/2006

5. instrumento construído por Pitágoras foi utilizado para que ele, partindo da relação entre o
comprimento da corda estendida e a altura do som emitido quando tocada, estabelecesse
relações de comprimentos que produzissem determinados intervalos sonoros.
Pitágoras concluiu que ao dividir a vibração bem no meio da corda, a tonalidade do som era
a mesma da produzida com a corda solta, mas uma oitava acima, ou seja com o som mais
agudo. Exercida a pressão a 2 do tamanho original, ouvia-se uma quinta acima e
3
pressionando um ponto situado a 3 do comprimento da corda em relação a sua
4
extremidade e tocando-a a seguir, ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda
inteira. Com isso Pitágoras estabeleceu relações entre a matemática e a música, associando
razões de números inteiros com intervalos musicais consonantes.
Dando continuidade aos seus estudos, Pitágoras estabeleceu uma escala de sons adequados
ao uso musical, formando uma série a partir da fração 2 (intervalo de quinta). Ele então
3
definiu doze notas musicais, sendo sete naturais ( Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si) e mais cinco
acidentais ( Dó#, Ré#, Fá#,Sol# e Lá#).
Suponha que o tom emitido por uma corda solta corresponda a tonalidade Dó de
comprimento 1 (tamanho hipotético), então temos:
2
λDó = λFá
3 2
λFá # = λSi
2 3
λSol = λDó
3 2
λDó # = λFá #
2 3
λRé = λSol
3 2
λSol # = λDó #
2 3 (1)
λLá = λRé
3 2
λRé # = λSol #
2 3
λMi = λLá
3 2
λLá # = λRé #
2 3
λSi = λMi
3
Essas são as relações de comprimento de corda definida por Pitágoras, onde as notas são
obtidas através do ciclo das quintas, ou seja, a partir de uma determinada nota se obtém
todas as outras em quintas consecutivas.
Sendo f 0 = f uma freqüência fundamental e 2 f a oitava de f , então a partir da sucessão
de quintas de Pitágoras podemos definir a relação de comprimento de onda da seguinte
n
3 1
forma: f n =   m , onde n representa o numero de quintas puras percorridas e m é o
2 2

6. inteiro tal que f n ∈ [ f ,2 f [ . Diante desta definição, e considerando 132,0000 Hz a
freqüência de Dó, temos:
Tabela 1: Relações de freqüências entre as notas na escala pitagórica
Nota Freqüência Relação com C1 Relação com a anterior
C1 132,0000 1:1 -
D1 148,5000 9:8 9:8
E1 167,0625 81:64 9:8
F1 176,0000 4:3 256:243
G1 198,0000 3:2 9:8
A1 222,7500 27:16 9:8
B1 250,5937 243:128 9:8
C2 264,0000 2:1 256:243
Tabela adaptada retirada de: < http://www.music-center.com.br/escalas.htm>
Analisando a tabela podemos observar que nesse processo pitagórico foram obtidos dois
intervalos diferentes. O primeiro que aparece na tabela é o intervalo 9:8, que representa um
tom inteiro, e o outro, é o intervalo 256:243, denominado semitom. Para completar a escala,
podemos tomar o menor intervalo (256:243), e assim obteremos as notas C#, D#, F#, G#,
A#. Podemos observar ainda que as notas E# e B# não compõem a escala, pois suas
freqüências correspondem (aproximadamente) respectivamente às freqüências de F1 e C2.
Podemos concluir então que a distância tonal entre C-D, D-E, F-G, G-A e A-B, é de um
tom, apresentando a relação de 9:8, enquanto que os intervalos de E-F e B-C, apresentam a
relação de 256:243, ou seja, a distância tonal entre eles é de um semitom.
Porém, a escala definida por Pitágoras apresenta um desajuste em algumas notas. Por
exemplo, para a nota C#, obtemos a freqüência de 139,0618 Hz, e para a nota Db, obtemos
freqüência igual a 140,9590. Portanto percebemos que há uma diferença entre essas
respectivas notas, que equivale a 1,0136..., chamada coma pitagórica. Essa diferença se
repete para todo par de notas que possuam a mesma característica do exemplo citado.
A escala definida por Pitágoras foi usada durante séculos até pouco depois da Idade Média.
Posteriormente a isso, com o Renascimento, uma série de novas idéias surgiu nas artes em
geral. Na música, em particular, foi a necessidade de transpor as melodias para outras
tonalidades, o que na época não era possível, pois a escala utilizada não favorecia tal
procedimento. Com isso uma música feita para determinada tonalidade não poderia ser
executada em outra tonalidade, pois as relações entre as notas variam de acordo com o tom
a ser escolhido. Portanto os intervalos entre as notas passariam a soar desafinados. Com o
passar do tempo, foram apresentadas diversas idéias para a solução do problema, mas a
escala musical que melhor solucionou os problemas existentes foi a escala igualmente
temperada ou escala temperada.
Matematicamente dizendo, essa escala temperada possui como principal característica o
fato de que as freqüências de notas de um mesmo intervalo serem sempre iguais. Esse

7. temperamento foi proposto em 1691, por Andréas Werkmeister e utilizado com maestria
por J. S. Bach em O Cravo Bem-Temperado.
Assim sendo, podemos ilustrar a matemática dessa escala, da seguinte forma:
F2 = F1. i
F3 = F2. i
F4 = F3 . i ... etc
Onde F1, F2, F3, F4,..., são as freqüências das notas consecutivas da escala de doze sons, e
como a cada doze intervalos consecutivos a freqüência é dobrada, o intervalo (i) pode ser
calculado da seguinte forma:
f. i12 = f. 2
i12 = 2
i = 21/12
i =1, 0594630943592952645618252949463
ou
i ≈ 1,059
Então temos que i = 12 2 = 1.059463 , correspondente ao intervalo de meio tom.
A partir dessa definição, podemos estabelecer todos os valores das notas da escala
temperada:
Tabela 2: Relações entre as notas na escala temperada
Nota Relação com a anterior Freqüência
C1 - 132,0000
C#1 F(C#1) = F1. i 139,8491
D1 F (D1) = F(C#1). i 148,1649
D#1 F (D#1) = F (D1). i 156,9753
E1 F(E1)= F(D#1) . i 166,3095
F1 F(F1) = F(E1). i 176,1988
F#1 F (F#1)= F (F1). i 186,6761
G1 F (G1) = F (F#1). i 197,7765
G#1 F (G#1) = F (G1). i 209,5369
A1 F (A1) = F (G#1). i 221,9966
A#1 F (A#1) = F (A1). i 235,1972
B1 F (B1) = F (A#1). i 249,1828
C2 F (C2) = F (B1). i 264,0000

8. Agora podemos fazer uma comparação entre os valores obtidos nas duas escalas:
Tabela 3: Comparação entre as escalas pitagórica e temperada
Relação de Relação de
Nota freqüência Freq (Hz) freqüência Freq (Hz)
(Pitagórica) (temperada)
Dó 1,000 132,000 1,000 132,000
Dó # 1,053 139,061 1,059 139,788
Ré b 1,067 140,958 1,059 139,788
Ré 1,125 148,500 1,122 148,104
Ré # 1,185 156,444 1,189 156,948
Mi b 1,200 158,578 1,189 156,948
Mi 1,265 167,062 1,260 166,320
Fá b 1,265 167,062 1,260 166,320
Mi # 1,332 175,999 1,335 176,220
Fá 1,333 176,000 1,335 176,220
Fá # 1,404 185,415 1,414 186,648
Sol b 1,423 187,945 1,414 186,648
Sol 1,500 198,000 1,498 197,736
Sol # 1,580 208,592 1,587 209,484
Lá b 1,601 211,438 1,587 209,484
Lá 1,687 222,750 1,682 222,024
Lá # 1,777 234,666 1,782 235,224
Si b 1,801 237,867 1,782 235,224
Si 1,898 250,593 1,888 249,216
Dó b 1,898 250,593 1,888 249,216
Si # 1,999 263,999 2,000 264,000
Dó 2,000 264,000 2,000 264,000
Analisando a tabela 3, podemos perceber uma diferença entre os valores obtidos na escala
pitagórica em relação aos valores obtidos na escala temperada. Há um desajuste nos valores
da escala pitagórica, enquanto que na escala temperada os valores são fechados. Podemos
comprovar este fato, por exemplo, observando os valores das notas Sol# e Lá b obtidos em
ambas escalas, pois na escala pitagórica essas duas notas apresentam freqüências diferentes
enquanto que na escala temperada os valores são iguais.
4. FOURIER E O ESTUDO DOS FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
O matemático francês Jean Batiste Fourier provou que uma onda qualquer é formada pela
somatória de várias outras ondas de formato senoidal (ou co-senoidal).Ele mostrou que se a
forma de onda se repete periodicamente, então as freqüências das componentes senoidais
são restritas a valores múltiplos da freqüência de repetição da forma de onda.
Para (Zill e Cullen, 2001) a série de Fourier de uma função f definida no intervalo (-p, p) é
dada por:
a ∞
 nπ nπ 
f (t ) = 0 + ∑  a n cos
 x + bn sen x . (2)
2 n =1  p p  
Onde a0, an e bn são os coeficientes a serem calculados:

9. p
1
p −∫p
a0 = f ( x)dx
 nπ 
p
1
an = ∫ f ( x) cos  xdx
p −p  p 
 nπ 
p
1
bn =
p−∫p f ( x)sen  p

xdx

Como já vimos, o som é uma onda, e por isso pode ser analisado através das teorias de
Fourier.
Os sons de freqüência fundamental e os harmônicos são ondas com o formato de uma
senoide, que quando reunidas formam o som resultante. Os harmônicos no som resultante
determinam a qualidade sonora (timbre) da nota musical ouvida. Com isso, podemos
concluir que um som com uma maior presença de harmônicos superiores, será mais rico e
mais brilhante do que um som formado por uma quantidade menor de harmônicos. Por
exemplo, o clarinete é um instrumento com muitos harmônicos agudos, enquanto a flauta
doce apresenta um som fundamental mais forte com harmônicos fracos e em pouca
quantidade. Podemos perceber então que o som de cada instrumento é bem característico a
cada um deles, havendo uma variação no som resultante de cada um, justamente pelo fato
da presença significativa ou não de harmônicos.
De acordo com a teoria de Fourier, o que nos chama mais atenção é o fato das freqüências
dos harmônicos serem todas múltiplas inteiras de uma freqüência fundamental (a mais
baixa).
Com isso, no próximo item, será feita uma análise do som musical a partir das teorias de
Fourier, com a ajuda de um software (Data Studio) que após captar o som musical faz a
transformada de Fourier do mesmo.
5. PARTE EXPERIMENTAL - MÉTODOS E MATERIAIS
Os seguintes materiais foram utilizados para a coleta e análise da parte experimental do
trabalho:
• Flauta doce (yamaha)
• Piano , Violino e Trompete (Sintetizador eletrônico)
• Micro-computador – PENTIUM III 800MHz
Marca: TOSHIBA
Modelo: LINCE
Memória Ram: 130MB
Disco rígido: 30GB

10. • Interface – SCIENCE WORKSHOP 750
Marca: PASCO
Modelo: CL-7500
• Sensor de som - SCIENCE WORKSHOP SENSOR
Marca: PASCO
Modelo: CI-6506B
• Software – DATA STUDIO 1.9.5
Marca: PASCO
A figura abaixo ilustra o esquema montado com o material já citado:
Figura 4: Equipamento utilizado para a analise do som musical
Com este material foi possível coletar dados, em forma de gráficos, para a realização da
analise, utilizando o software Data Studio 1.9.5.
Para a coleta desses dados, posicionava-se o instrumento próximo ao sensor de som, ao
tocá-lo,o software em seguida já realizava a transformada de Fourier, mostrando os
resultados (gráficos da freqüência pela intensidade) do som em questão.
Os dados foram salvos em um arquivo para uma posterior análise.
Primeiro foi analisado o som da flauta doce em diversas tonalidades, e assim capturada
todas as informações.
Em seguida, utilizando o piano elétrico (sintetizador), analisamos o som do piano, do
violino e do trompete, e assim capturada todas as informações..
5.1. Análise dos resultados obtidos na fase experimental
Serão apresentados agora os resultados obtidos a partir da análise experimental.
Primeiramente, foi analisado o som da flauta doce com a ajuda do software Data Studio
que, como já dito, reproduz graficamente os resultados da transformada de Fourier.

11. A figura 5 nos ajuda a visualizar melhor a idéia proposta:
Figura 5: Nota Dó emitida pela flauta doce
De acordo com a figura 5, podemos observar, que a flauta doce apresenta um som
fundamental (C1) mais forte, com os demais harmônicos fracos e em pouca quantidade. Os
outros dois picos de baixa intensidade que aparecem na figura, são provocados por
perturbações ocasionadas pela qualidade do instrumento ou do instrumentista.
Agora observemos o gráfico relacionado ao som emitido pelo piano elétrico:
Figura 6: Nota dó emitida pelo piano

12. De acordo com a figura 6, que representa o som da nota dó emitida pelo piano, podemos
notar que a fundamental é mais forte e os 2º e 3º harmônicos também aparecem com
grande presença, e em seguida os harmônicos vão se apresentando de forma mais fraca.
O próximo gráfico ilustra o som musical do violino:
Figura 7: Nota dó emitida pelo violino
Observando a figura acima, podemos verificar que o som emitido pelo violino é composto
por vários harmônicos, portanto trata-se de um som rico sonoramente.
Por último, observemos o som da nota dó, emitido pelo trompete:

13. Figura 8: Nota dó emitida pelo trompete
Analisando a figura, podemos observar um bom número de harmônicos, mas com
predominância no terceiro.
Comparando os gráficos resultantes do som emitido pelos quatro instrumentos, observamos
que o timbre mais composto, rico sonoramente, é o do violino, pois se apresenta com vários
harmônicos. Já a flauta doce, como observamos, tem como característica a presença de
poucos harmônicos, portanto trata-se de um som menos rico sonoramente.
Matematicamente dizendo, pode-se interpretar tais diferenças apontadas, de forma a
concluir que o som de cada instrumento analisado se difere pela presença significativa ou
não de harmônicos, ou seja, há uma continuidade ou não dos múltiplos da freqüência
fundamental.
Os sons emitidos pelos instrumentos analisados na tonalidade dó, geram os seguintes
harmônicos (mostrando até o quinto):
Tabela 4: Freqüências dos harmônicos, emitidos na tonalidade dó pelos instrumentos
Harmônico Flauta doce Piano Violino Trompete
1ª 530,0 Hz 264,1 Hz 127,,1 Hz 264,0 Hz
2ª 1060,0 Hz 527,1 Hz 264,1 Hz 527,0 Hz
3ª 1590,0 Hz 791,1 Hz 400 Hz 791,1 Hz
4ª ---------------- 1055,0 Hz 527,1 Hz 1055,0 Hz
5ª ---------------- -------------- 664,1 Hz 1318,0 Hz
Os gráficos analisados e a tabela acima, confirmam a teoria de Fourier, que traduzida para a
música diz que o som musical é composto pela freqüência fundamental e múltiplos desta
(harmônicos).
Partindo ainda dos dados obtidos nesta análise do som musical, podemos observar que os
resultados encontrados vão de encontro com as idéias de Pitágoras, que enunciou, teórico e
experimentalmente, o principio da formação das escalas musicais e os intervalos sonoros.
Pelo ciclo das quintas, proposto por Pitágoras, podemos confirmar o que foi dito acima e
gerar todos os valores obtidos experimentalmente na análise do som dos instrumentos em
questão. Partindo da freqüência do dó (fundamental) do piano, podemos gerar todos os
outros valores obtidos, utilizando os intervalos propostos por Pitágoras, assim temos:
C=264 Hz => 3/2 de 264 = Gl, portanto G = 396; Multiplicando esse valor por 2, temos:
2x396 = 792, que é o valor aproximado obtido no gráfico, correspondente a G2. O segundo
harmônico encontrado corresponde a aproximadamente 527 Hz, que seria o dobro do valor
da freqüência fundamental, ou seja, corresponde a C2. E o último harmônico mostrado na
tabela, trata-se do C3, que é o valor de C2 multiplicado por dois. Portanto segue o padrão
definido por Pitágoras.
Para os demais instrumentos também valem as relações pitágoricas, o que demonstra
perfeitamente a eficácia da matemática desenvolvida por tal pensador para a música.

14. 6. CONCLUSÃO
A realização deste trabalho possibilitou um maior entendimento da aplicação matemática
na música, o que permitiu a assimilação do padrão matemático utilizado para a construção
das escalas musicais no decorrer da história, gerando assim a possibilidade de se conhecer a
estrutura em que se desenvolve o som musical juntamente com suas características físicas.
A análise sonora se delimitou aos gráficos obtidos a partir da nota dó, escolhidos entre
dezenas de outros, para efeito de visualização. Esta parte experimental permitiu que fossem
comprovadas de forma prática as descobertas de Pitágoras.
Através das descobertas teóricas e práticas analisadas, possibilitou-se estabelecer conexões
diretas entre a matemática e a música. O que antes era algo apenas chamativo, tornou-se
uma verdade comprovada, que mostra o quanto a matemática está presente na música e o
quanto ela é aplicável.
O trabalho em seu fim, dá margem para a realização de novos estudos relacionando a
matemática e a música, como por exemplo, o desenvolvimento musical após as descobertas
de Fourier ou a matemática na montagem de acordes ou ainda a relação entre a matemática
e a música em diferentes culturas.
BIBLIOGRAFIA
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<http://www.cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art_25/musica.html> Acesso em: 17/09/2006.
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<http://www.music-center.com.br/escalas.htm> Acesso em: 20/10/2006
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Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Federal de São Carlos.
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ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: O pensamento analógico na construção de significados. 3.
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