Metodos de integracion sustitucion algebraica

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Metodos de integracion sustitucion algebraica

  1. 1. METODOS DE INTEGRACION: *SUSTITUCION ALGEBRAICA* CALCULO INTEGRAL
  2. 2. 1er METODO Si una integral implica una expresión de segundo grado de tres términos (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) o de dos términos (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥), ésta puede reducirse a una expresión de dos términos (𝑣2 ± 𝑎2) y (𝑎2 − 𝑣2) completando el cuadrado (sustitución algebraica).
  3. 3. 𝑑𝑥 𝑥2 + 16𝑥 − 17 SOLUCION: AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 𝑥2 + 16𝑥 + 3 Y ESTA LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 𝑥2 + 16𝑥 − 17 = 𝑥2 + 16𝑥 − 17 + 16 2 2 − 16 2 2 = 𝑥2 + 16𝑥 − 17 + 82 −82 = 𝑥2 + 16𝑥 − 17 + 64 − 64 = 𝑥2 + 16𝑥 + 64 − 17 − 64 = 𝑥2 + 16𝑥 + 64 − 17 − 64 = 𝑥 + 8 2 − 81
  4. 4. 𝑑𝑥 𝑥2 + 16𝑥 + 3 = 𝑑𝑥 𝑥 + 8 2 − 81 𝑣2 = 𝑥 + 8 2 𝑎2 = 81 𝑣 = 𝑥 + 8 𝑎 = 9 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
  5. 5. REDORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑣 𝑣2 − 𝑎2 = 1 2𝑎 ln 𝑣 − 𝑎 𝑣 + 𝑎 + 𝐶 SUSTITUYENDO: 𝑑𝑥 𝑥 + 8 2 − 81 = 1 2(𝑥 + 8) ln 𝑥 + 8 − 9 𝑥 + 8 + 9 + 𝐶 = 1 2(𝑥 + 8) ln 𝑥 − 1 𝑥 + 17 + 𝐶 ASI QUE: 𝑑𝑥 𝑥2 + 16𝑥 + 3 = 1 2(𝑥 + 8) ln 𝑥 − 1 𝑥 + 17 + 𝐶
  6. 6. 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑥2 − 1 AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 6𝑥 − 𝑥2 − 1 Y ESTA LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 6𝑥 − 𝑥2 − 1 = −𝑥2 + 6𝑥 − 1 = −𝑥2 + 6𝑥 − 1 + 6 2 2 − 6 2 2 = −𝑥2 + 6𝑥 − 1 + 3 2 − 3 2 = −𝑥2 + 6𝑥 − 1 + 9 − 9 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 + 9 − 1 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 + 9 − 1 = − 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 9 − 1 = − 𝑥 − 3 2 + 8 = 8 − 𝑥 − 3 2
  7. 7. ASI QUE: 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑥2 − 1 = 𝑑𝑥 8 − 𝑥 − 3 2 𝑣2 = 𝑥 − 3 2 𝑎2 = 8 𝑣 = 𝑥 − 3 𝑎 = 8 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
  8. 8. RECORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑢 𝑎2 − 𝑣2 = 1 2𝑎 ln 𝑎 + 𝑣 𝑎 − 𝑣 + 𝐶 Y SUSTITUYENDO VALORES: 𝑑𝑥 8 − 𝑥 − 3 2 = 1 2 8 ln 8 + 𝑥 − 3 8 − 𝑥 + 3 + 𝐶 POR LO TANTO, EL RESULTADO ES: 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑥2 − 1 = 1 2 8 ln 8 + 𝑥 − 3 8 − 𝑥 + 3 + 𝐶 = 1 4 2 ln 8 + 𝑥 − 3 8 − 𝑥 + 3
  9. 9. 𝑑𝑥 5 + 𝑥2 + 2𝑥 AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 5 + 𝑥2 + 2𝑥 Y AL MOMENTO DE ESTRAER LO QUE ESTA DENTRO DE LA RAIZ (ES DECIR 5 + 𝑥2 + 2𝑥 ) LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 5 + 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 + 2 2 2 − 2 2 2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 + 1 2 − 1 2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 + 1 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 5 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 5 − 1 = 𝑥 + 1 2 +4
  10. 10. DONDE: 𝑑𝑥 5 + 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 + 1 2 + 4 𝑣2 = 𝑥 + 1 2 𝑎2 = 4 𝑣 = 𝑥 + 1 𝑎 = 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
  11. 11. RECORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑢 𝑣2 + 𝑎2 = ln 𝑣 + 𝑣2 + 𝑎2 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑣 𝑎 + 𝐶 Y SUSTITUYENDO VALORES: 𝑑𝑥 𝑥 + 1 2 + 4 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 2 + 4 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 1 2 + 𝐶 POR LO TANTO, EL RESULTADO ES: 𝑑𝑥 5 + 𝑥2 + 2𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 2 + 4 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 1 2 + 𝐶
  12. 12. 𝑑𝑥 9 + 5𝑥2 − 𝑥 ANTES DE INICIAR VEMOS QUE EN EL DENOMINADOR HAY UN TRINOMIO EN DONDE NO LA CONSTANTE NO TIENE RAIZ CUADRADA, ASI QUE, SE MULTIPLICARÁ Y SE DIVIDIRÁ POR EL VALOR DEL COEFICIENTE EN DONDE ESTA ACOMPAÑANDO 𝑥2 PARA OBTENER UN TRINOMIO CUADRADADO PERFECTO: 𝑑𝑥 9 + 5𝑥2 − 𝑥 = 𝑑𝑥 9 + 5𝑥2 − 𝑥 5 5 = 5 𝑑𝑥 5 9 + 5𝑥2 − 𝑥 = 5 𝑑𝑥 45 + 25𝑥2 − 5𝑥 AHORA OBTUVIMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 PERO NO ES PERFECTO, POR LO TANTO, HAREMOS QUE: 45 + 25𝑥2 − 5𝑥 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 + 5 10 2 − 5 10 2
  13. 13. = 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 + 1 2 2 − 1 2 2 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 + 1 4 − 1 4 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 1 4 + 45 − 1 4 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 1 4 + 45 − 1 4 = 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 NOTA: EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES AL MOMENTO DE REALIZAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SE HIZO UNA DIVISION ENTRE 2 DEBIDO AL DICHO DEL BINOMIO AL CUADRADO: EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO; PERO COMO HAY UN 5 EN EL PRIMER TERMINO ESE VALOR DEL COFICIENTE SE DIVIDE ENTRE EL PRODUCTO DE ESOS DOS TERMINOS, ES DECIR: 5 2 −→ 5 2 5 = 5 10 = 1 2
  14. 14. VOLVIENDO: 𝑑𝑥 9 + 5𝑥2 − 𝑥 = 𝑑𝑥 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 𝑣2 = 5𝑥 − 1 2 2 𝑎2 = 179 4 𝑣 = 5𝑥 − 1 2 𝑎 = 179 4 = 179 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 5 𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥
  15. 15. COMO NOS FALTA EL NUMERO 5 EN LA DIFERENCIAL LO QUE SE HARÁ ES MULTIPLICAR Y DIVIDIR EL NUMERO 5 PARA NO ALTERAR LA INTEGRAL: 𝑑𝑥 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 = 𝑑𝑥 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 5 5 = 1 5 5𝑑𝑥 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 RECORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑢 𝑣2 + 𝑎2 = ln 𝑣 + 𝑣2 + 𝑎2 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑣 𝑎 + 𝐶
  16. 16. SUSTITUYENDO LOS VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL: 1 5 5𝑑𝑥 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 = 1 5 ln 5𝑥 − 1 2 + 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 + 𝐶 = 1 5 arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 5𝑥 − 1 2 179 2 + 𝐶 = ln 5𝑥 − 1 2 + 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 1 5 + 𝐶 = 1 5 arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 10𝑥 − 1 179 + 𝐶
  17. 17. 𝑑𝑥 9 + 5𝑥2 − 𝑥 = ln 5𝑥 − 1 2 + 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 1 5 + 𝐶 = 1 5 arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 10𝑥 − 1 179 + 𝐶 ln 5 5𝑥 − 1 2 + 5𝑥 − 1 2 2 + 179 4 + 𝐶 = 1 5 arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 10𝑥 − 1 179 + 𝐶
  18. 18. 2do METODO CUANDO EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION CUYO NUMERADOR ES UNA EXPRESION DE PRIMER GRADO, MIENTRAS QUE EL DENOMINADOR ES UNA EXPRESION DE SEGUNDO GRADO O LA RAIZ CUADRADA DE TAL EXPRESION, LA INTEGRAL DADA PUEDE REDUCIRSE A UNA INTEGRAL INMEDIATA.
  19. 19. 𝑥 + 8 𝑑𝑥 𝑥2 + 9 SOLUCION: SE MULTIPLICARA EL NUMERADOR DE LA INTEGRAL POR SU DIFERENCIAL (ES DECIR dx): 𝑥 + 8 𝑑𝑥 𝑥2 + 9 = 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 9 + 8𝑑𝑥 𝑥2 + 9 Y OBTENEMOS DOS INTEGRALES MAS. COMENCEMOS CON LA PRIMERA: 1 2
  20. 20. AL ANALIZAR LA PRIMERA INTEGRAL VEMOS QUE ES IDENTICA A LA DE LA FORMULA SIGUIENTE: 𝑑𝑣 𝑣2 + 𝑎2 Y VAMOS OBTENIENDO LO SIGUIENTE: 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 9 𝑣 = 𝑥2 + 9 𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
  21. 21. Y COMO NOS FALTA UN NUMERO 2, ESE NUMERO LO MULTIPLICAREMOS Y LO DIVIDIREMOS: 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 9 2 2 = 1 2 2𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 9 Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL: 1 2 2𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 9 = 1 2 ln 𝑥2 + 9 + 𝐶 = ln 𝑥2 + 9 + 𝐶
  22. 22. AHORA NOS VAMOSCON LA SEGUNDA INTEGRAL: 8𝑑𝑥 𝑥2 + 9 = 8 𝑑𝑥 𝑥2 + 9 Y VEMOS QUE ES IDENTICA A LA FORMULA SIGUIENTE: 𝑑𝑣 𝑣2 + 𝑎2 = 1 𝑎 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑣 𝑎 + 𝐶 Y OBTENGAMOS ALGUNOS VALORES:
  23. 23. 8 𝑑𝑥 𝑥2 + 9 Y SUSTITUYENDO ESTOS VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE: 8 𝑑𝑥 𝑥2 + 9 = 8 1 3 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 3 + 𝐶 = 8 3 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 3 + 𝐶 𝑣2 = 𝑥2 𝑎2 = 9 𝑣 = 𝑥 𝑎 = 3 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
  24. 24. UNA VEZ YA OBTENIDO LOS RESULTADOS DE LAS INTEGRALES 1 Y 2, AL UNIRLOS SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL Y DEFINITIVO: 𝑥 + 8 𝑑𝑥 𝑥2 + 9 = ln 𝑥2 + 9 + 8 3 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 3 + 𝐶
  25. 25. 4𝑥 − 1 𝑑𝑥 49 − 𝑥2 SOLUCION: 4𝑥 − 1 𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = 4𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 − 1𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = 4 𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 − 1𝑑𝑥 49 − 𝑥2 COMENCEMOS CON LA INTEGRAL 1: 4 𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 1 2 𝑣 = 49 − 𝑥2 𝑑𝑣 = −2𝑥𝑑𝑥
  26. 26. COMO NOS FALTA UN 2 Y NEGATIVO SE MULTIPLICARA Y SE DIVIDIRA A LA VEZ EN LA INTEGRAL: 4 𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = 4 𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 −2 −2 = 4 −2 −2𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = −2 −2𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE: −2 −2𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = −2 −2𝑥𝑑𝑥 49 − 𝑥2 1 2 = −2 (49 − 𝑥2 )− 1 2 −2𝑥𝑑𝑥 = −2 49 − 𝑥2 − 1 2 +1 − 1 2 + 1 + 𝐶 = −2 49 − 𝑥2 1 2 1 2 + 𝐶 = −2 2 49 − 𝑥2 1 2 + 𝐶 = −4 49 − 𝑥2 1 2 + 𝐶 = −4 49 − 𝑥2 + 𝐶
  27. 27. AHORA NOS VAMOS CON LA SEGUNDA INTEGRAL: − 1𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = − 𝑑𝑥 49 − 𝑥2 𝑣2 = 𝑥2 𝑎2 = 49 𝑣 = 𝑥 𝑎 = 7 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
  28. 28. Y VEMOS QUE ESTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE: 𝑑𝑣 𝑎2 − 𝑣2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑣 𝑎 + 𝐶 = 1 𝑎 arg 𝑡𝑔ℎ 𝑣 𝑎 + 𝐶 SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE: − 𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = −𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 7 + 𝐶 = − 1 7 arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 7 + 𝐶
  29. 29. CAPTURANDO LOS RESULTADOS DE LAS DOS INTEGRALES, SE OBTIENE LE RESULTADO FINAL: 4𝑥 − 1 𝑑𝑥 49 − 𝑥2 = −4 49 − 𝑥2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 7 + 𝐶 = −4 49 − 𝑥2 − 1 7 arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 7 + 𝐶
  30. 30. 𝑥 + 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 𝑥 + 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 𝑥𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 Y NOS VAMOS CON LA PRIMERA INTEGRAL: 𝑥𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 1 2 𝑣 = 4𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑣 = (4 − 2𝑥)𝑑𝑥
  31. 31. NO TENEMOS TANTO PROBLEMA DEBIDO A QUE YA HAY UNA VARIABLE, LO QUE NOS FALTA ES REALIZAR ES AGREGAR UN COEFICIENTE Y UNA DIFERENCIA: 𝑥𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 𝑥𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 −2 −2 = 1 −2 −2𝑥𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 1 −2 4 − 4 − 2𝑥𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 1 −2 4 − 2𝑥 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 + −4 −2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = − 1 2 4 − 2𝑥 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 Y VEMOS QUE SE OBTUVIERON DE ESA INTEGRAL DOS MAS. CONTINUEMOS CON LA INTEGRAL 1ª: 1a 1b
  32. 32. − 1 2 4 − 2𝑥 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = − 1 2 ln 4𝑥 − 𝑥2 + 𝐶 AHORA, SI SON ANALITICOS VEMOS QUE LA INTEGRAL 1b Y 2 SON IDENTICAS, LA UNICA DIFERENCIA ESTA EN LOS COEFICIENTES, POR LO TANTO, SE REALIZA UNA SUMA: 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 4 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 1b 2
  33. 33. Y CONTINUEMOS CON LA SOLUCION DESARROLLANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y LUEGO EL BINOMIO AL CUADRADO: 4 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 4𝑥 − 𝑥2 = − −4𝑥 + 𝑥2 = − −4𝑥 + 𝑥2 + − 4 2 2 − − 4 2 2 = − −4𝑥 + 𝑥2 + −2 2 − −2 2 = − −4𝑥 + 𝑥2 + 4 − 4 = 4𝑥 − 𝑥2 − 4 + 4 = − −4𝑥 + 𝑥2 + 4 + 4 = − 𝑥 − 2 2 + 4 = 4 − 𝑥 − 2 2
  34. 34. 4 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = 4 𝑑𝑥 4 − 𝑥 − 2 2 Y AL SER ANALITICOS SE OBSERVA QUE ÉSTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE: 𝑑𝑢 𝑎2 − 𝑣2 = 1 2𝑎 ln 𝑎 + 𝑣 𝑎 − 𝑣 + 𝐶 𝑣2 = 𝑥 − 2 2 𝑎2 = 4 𝑣 = 𝑥 − 2 𝑎 = 2 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
  35. 35. SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO: 4 𝑑𝑥 4 − 𝑥 − 2 2 = 4 1 2 2 ln 2 + 𝑥 − 2 2 − 𝑥 + 2 + 𝐶 = 4 1 4 ln 𝑥 4 − 𝑥 + 𝐶 = ln 𝑥 4 − 𝑥 + 𝐶 Y RECOPILANDO LOS RESULTADOS DE TODAS LAS INTEGRALES, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL DEFINITIVO: 𝑥 + 2 𝑑𝑥 4𝑥 − 𝑥2 = − 1 2 ln 4𝑥 − 𝑥2 + ln 𝑥 4 − 𝑥 + 𝐶 = ln 𝑥 4 − 𝑥 − 1 2 ln 4𝑥 − 𝑥2 + 𝐶
  36. 36. BIBLIOGRAFIAS  Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V, DGETI, 1ra Edición, págs. 388  W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica, 2da. Edición, Panamericana, Colombia, 1989, 1097 págs

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