LA DERIVADA COMO UNA
FUNCION
CALCULO DIFERENCIAL
FORMAS DE REPRESENTAR UNA DERIVADA
𝑓′
𝑥
FORMULA
𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
PRIMERO: AGREGAR INCREMENTO TANTO A X COMO A Y
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
SEGUNDO: DESPEJAR ∆𝑦 Y TRANFORMAR 𝑦 a 𝑓(𝑥). EN O...
TERCERO: SUSTITUIR VALORES A LA SIGUIENTE FORMULA
𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓...
SEA 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
− 5𝑥 + 4 ENCONTRAR 𝑓′
𝑥
SOLUCION:
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4
PASO 1:
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑦 + ∆𝑦 = 3 𝑥 + ∆𝑥 2 − ...
PASO 2:
𝑦 + ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4
∆𝑦 = 3𝑥2
+ 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2
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6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2
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PASO 4:
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𝑥 = lim
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ENTONCES EL RESULTADO DE LA DERIVADA DE LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
− 5𝑥 + 4
ES:
NOTA: SI YA SABES DERIVAR, LO PUEDES COMPROBAR D...
DADA LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 ENCONTRAR 𝑓′ 𝑥
SOLUCION:
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 3𝑥 + 7
PASO 1:
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑦 + ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7
PASO 2:
𝑦 + ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7
∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 𝑦
∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 𝑓 𝑥
∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 3𝑥 + 7
∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) ...
PASO 3:
𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥
∆𝑥
ANTES DEL CONTINUAR, RECORDEMOS UN POCO DE RACIONALIZACION:
𝑓′
𝑥 = lim
∆𝑥→0
3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥
∆𝑥
𝑓′
𝑥 = lim
∆𝑥→0
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PASO 4:
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∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥
= lim
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PASO 5:
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=
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=
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3𝑥 ...
ENTONCES EL RESULTADO DE LA DERIVADA DE LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 ES:
NOTA: SI YA SABES DERIVAR, LO PUEDES COMPROBAR DERIVAN...
BILBIOGRAFIA
 W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica,
2da. Edición, Panamericana, Colombia, 1989, 1097
págs.
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La derivada como una funcion

  1. 1. LA DERIVADA COMO UNA FUNCION CALCULO DIFERENCIAL
  2. 2. FORMAS DE REPRESENTAR UNA DERIVADA 𝑓′ 𝑥
  3. 3. FORMULA 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥
  4. 4. PRIMERO: AGREGAR INCREMENTO TANTO A X COMO A Y 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 SEGUNDO: DESPEJAR ∆𝑦 Y TRANFORMAR 𝑦 a 𝑓(𝑥). EN OCASIONES HAY QUE REALIZAR SU REDUCCION (ESE DETALLE SE MOSTRARÁ EN LOS EJEMPLOS) 𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦 ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥
  5. 5. TERCERO: SUSTITUIR VALORES A LA SIGUIENTE FORMULA 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ∆𝑥 CUARTO: DIVIDIR EL RESULTADO DE ∆𝑦 ENTRE ∆𝑥 QUINTO: EVALUAR EL LIMITE CON RESPECTO A ∆𝑥 (∆𝑥 CUANDO TIENDE A CERO)
  6. 6. SEA 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 ENCONTRAR 𝑓′ 𝑥 SOLUCION: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 PASO 1: 𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 𝑦 + ∆𝑦 = 3 𝑥 + ∆𝑥 2 − 5 𝑥 + ∆𝑥 + 4 𝑦 + ∆𝑦 = 3 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 − 5 𝑥 + ∆𝑥 + 4 𝑦 + ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4
  7. 7. PASO 2: 𝑦 + ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 𝑦 ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 𝑓 𝑥 ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 4 ∆𝑦 = 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5∆𝑥
  8. 8. PASO 3: 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5∆𝑥 ∆𝑥 PASO 4: 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5∆𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 6𝑥 + 3∆𝑥 − 5 PASO 5: lim ∆𝑥→0 6𝑥 + 3∆𝑥 − 5 = 6𝑥 − 5
  9. 9. ENTONCES EL RESULTADO DE LA DERIVADA DE LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 ES: NOTA: SI YA SABES DERIVAR, LO PUEDES COMPROBAR DERIVANDO ESA FUNCION CON LAS FORMULAS DE DERIVACION BASICAS 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 −−−−−−→ 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 − 5
  10. 10. DADA LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 ENCONTRAR 𝑓′ 𝑥 SOLUCION: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 3𝑥 + 7 PASO 1: 𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 𝑦 + ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7
  11. 11. PASO 2: 𝑦 + ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 𝑦 ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 𝑓 𝑥 ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 3𝑥 + 7 ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 3𝑥 − 7 ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥
  12. 12. PASO 3: 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥 ∆𝑥
  13. 13. ANTES DEL CONTINUAR, RECORDEMOS UN POCO DE RACIONALIZACION: 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥 ∆𝑥 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 3 𝑥 + ∆𝑥 − 3𝑥 ∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥 = lim ∆𝑥→0 3 𝑥 + ∆𝑥 − 3𝑥 ∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥 = lim ∆𝑥→0 3∆𝑥 ∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥
  14. 14. PASO 4: lim ∆𝑥→0 3∆𝑥 ∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥 = lim ∆𝑥→0 3 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥 PASO 5: lim ∆𝑥→0 3 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥 = 3 3 𝑥 + 0 + 3𝑥 = 3 3𝑥 + 3𝑥 = 3 2 3𝑥
  15. 15. ENTONCES EL RESULTADO DE LA DERIVADA DE LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 ES: NOTA: SI YA SABES DERIVAR, LO PUEDES COMPROBAR DERIVANDO ESA FUNCION CON LAS FORMULAS DE DERIVACION BASICAS 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 −−−−−→ 𝑓′ 𝑥 = 3 2 3𝑥
  16. 16. BILBIOGRAFIA  W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica, 2da. Edición, Panamericana, Colombia, 1989, 1097 págs.

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