Vectores, transformaciones lineales y Metodo Gauus-jacobi

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACION EN ELECTRICIDAD DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD ALGEBRA LINEAL SECCION: 1-ELEC-1M Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales Participantes: Facilitador: Wilmer Colmenares Ochoa Osmir C.I: 22.817.004 Flores Francisco C.I: 21.261.877

2. Vectores

3. Vectores Se utiliza en Física para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc. En las cuales es importante considerar no sólo el valor sino también la dirección y el sentido. Se representa por un segmento orientado para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la longitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente bidimensionales o tridimensionales) se definen Origen, módulo, dirección y sentido. Continua

5. Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

6. Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.Continua

8. Ejercicio de vectores:Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo. AB=DC (4+1, -1+2)=(5-xD, 2-yD) 5= 5-xD xD=0 D(0,1) 1=2-yDyD =1 Continua

10. Importancia de los Vectores en la electricidad Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones. Los vectores son importantes en la electricidad, ya que con ellos se les puede dar, dirección y sentido a la corriente. Como por ejemplo la dirección de la corriente en una pila, siendo así: Los electrones en una pila se mueven desde el polo negativo( - ) al positivo ( + ) - +

11. También se utilizan para darle Dirección y Sentido a la corriente que pasa por los Circuitos cerrados ó mallas: Ejercicio de vectores en la electricidad Aplicando la ley de Kirchhof: Malla 1 V1 –R1-R2(I1-I2)-R3=0 Malla 2 -V2+R2(I2-I1)+R4=0

12. Transformaciones Lineales

13. Transformaciones Lineales Las transformaciones Lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones mas importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones. En un espacio vectorial se definen las operaciones de suma y multiplicación por un escalar . Continua

14. Se conservan dichas estructuras de manera lineal si se cumple : Sea U y V dos espacios vectoriales Sea U y V dos vectores en U y “C” un escalar La Transformación T: U V es lineal sí: T(U + V) = T (U) + T (V) T(C U ) = C T (U) Continua

15. Propiedades de Transformaciones Lineales Si V . W son espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T : V W una transformación lineal. Entonces. T(Ov) = Ow T (-v) = -T (v). ∀ v ∈ V T(v – w) = T (v) – T(w). ∀ v, w ∈ V Ejemplos de algunas Transformaciones Lineales a)T : V W, T(v) = Ow, ∀ v ∈ V (Transformación Lineal Nula) b) T : V V, T(v) = cv, ∀ v ∈ V, con c ∈ K, c fijo (En particular, si c = 1) Iv: V V, Iv(v) = v, ∀ v ∈ V (Transformación lineal Identidad)

16. Ejercicio de Transformación Lineal SeaT:R3-> R2 una transformación lineal tal que T(x, y, z) = (2x+ y, x+ y+ z). Determine A= [T] y verifique. Sean E ={E1 = (1, 0, 0),E2 = (0, 1, 0),E3 = (0, 0, 1)},E* ={E*1= (1, 0),E*2= (0, 1)} bases canonícas de RR3 yRR2 respectivamente, entonces: T(E1) = T(1,0,0) = (2,1) = 2E*1 + 1E*2 T(E2) = T(0,1,0) = (1,1) = 1E*1 + 1E*2 T(E3) = T(0,0,1) = (0,1) =0E*1+ 1E*2 Entonces: A= ( 2 1 0) ( 1 1 1) Verificación: T(v) = A.v = ( 2 1 0) . (x) ( 1 1 1) (y) = (2x + y ) =(2x+y.x+y+z). (z) (x+y+z) E* E Continua

17. Aplicación de las transformaciones lineales en espacios vectoriales: Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V  W, que es lineal, esto es para todo u,v V y todo a,bR verifica: T(au + bv) = aTu + bTv. Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a R y todo u,v V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv. En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo.

18. Para todo espacio V, la función identidad, I: V  V, que a todo vector v  V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial. Caracterización de aplicaciones lineales F es lineal f(t x + s y)= t f(x)+ s f(y) para todo x, y perteneciente a V y para todo t y s pertenecientes a K.

19. Ejercicio de transformación lineal en espacio vectorial

20. Método de Gauss-Seidely Jacobi

21. Método de jacobi y gauss-sediel El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. 1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como: x = c + Bx (1) Donde x es el vector de incógnitas. 2. Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por xo 3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación ki+1 = c + Bxi (2)

22. El método de Gauss-Seidel: es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el primer cálculo ki+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración. En el método de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de ki +1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de ki+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recién calculadas.

23. La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seideles la siguiente: 1-Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iníciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2-Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.

24. 3-Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes. 4-Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.

25. 5-Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto (ε) seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del (ε) seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilonno especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un (ε) dado.

26. Ejercicio de Gauss-Seidel