1. INTEGRAL TRIGONOMETRI

2. Bentuk
∫
sin n x dx dan
∫
cos n x dx
• Jika n adalah bilangan bulat positif ganjil, maka:
sin n x = sin x sin n −1 x dan cos n x = cos x cos n −1 x
dan gunakan sin 2 x + cos2 x = 1
• Jika n adalah bilangan bulat positif genap, maka:
1 − cos 2 x
sin x =
2
2
1 + cos 2 x
cos x =
2
2

3. 1.
∫
2
 1 + cos 2 x 
cos x dx = 
 dx
2


4
∫
 1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x 
 dx
= 


4


1
=
1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx
4
1
=
dx + 2 cos 2 x dx + cos 2 2 x dx
4
1
 1 + cos 4 x  
=  dx + 2 cos 2 xdx + 
 dx 


4
2

 
∫
∫(
(∫
∫
)
∫
)
∫
∫
∫
1
1

=  dx + 2 cos 2 xdx + (1 + cos 4 x ) dx 
4
2

∫
∫
∫
(∫
)
1
1

=  dx + 2 cos 2 xdx +
dx + cos 4 xdx 
4
2

3
1
1
= x + sin 2 x + sin 4 x + c
8
4
32
∫
∫
∫

4. ∫
∫
= ∫ (1 − cos x ) sin x dx
= ∫ (1 − u ) ( − du )
= ∫ (u − 1) du
= ∫ u du − ∫ du
sin 3 x dx = sin 2 x sin x dx
2
2
2
2
1 2+1
=
u −u +c
2 +1
1
= u3 − u + c
3
1
3
= ( cos x ) − cos x + c
3
1
= cos 3 x − cos x + c
3
misal :
u = cos x
du = − sin x dx
− du = sin x dx

5. ∫
sin 4 x dx =
∫ (sin x ) dx
2
2
2
 1 − cos 2 x 
= 
 dx
2


 1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x 
dx
= 


4


1
=
1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx
4
1
=
dx − 2 cos 2 x dx + cos 2 2 x dx
4
1
 1 + cos 4 x  
=  dx − 2 cos 2 x dx + 
 dx 


4
2

 
∫
∫
∫(
(∫
∫
)
∫
)
∫
∫
∫
1
1
(1 + cos 4 x ) dx 
=  dx − 2 cos 2 x dx +

4
2

1
1
1

=  dx − 2 cos 2 x dx +
dx +
cos 4 x dx 
4
2
2

3
1
1
= x − sin 2 x + sin 4 x + c
8
4
32
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

6. ∫
Bentuk
sin m x cos n x dx
• Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x
kemudian gunakan identitas:
sin 2 x + cos2 x = 1
• Untuk n dan m genap, tuliskan sinmx dan cosnx menjadi
jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas:
1 − cos 2 x
sin x =
2
1 + cos 2 x
cos x =
2
2
2
cos2 x = 2cos 2 x − 1
atau
cos 2 x = 1 − 2sin 2 x

7. ∫
∫
sin 3 xcos 2 xdx = sin 2 x sin x cos 2 x dx
)
∫(
= ∫ (1 − cos x ) cos x sin x dx
= ∫ (1 − u ) u ( − du )
= ∫ (u − u ) du
= ∫ u du − ∫ u du
= 1 − cos 2 x sin x cos 2 x dx
2
2
4
4
2
2
2
2
1
1
= u5 − u3 + c
5
3
1
1
5
= cos x − cos 3 x + c
5
3
misal :
u = cos x
du = − sin x dx
− du = sin x dx

8. ∫
2
 1 − cos 2 x  1 + cos 2 x 
sin 2 x cos 4 xdx = 

 dx
2
2



1
(1 − cos 2 x ) 1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx
=
8
1
=
1 + cos 2 x − cos 2 2 x − cos 3 2 x dx
8
1 
1

2
=
1 + cos 2 x − (1 + cos 4 x ) − cos 2 x cos 2 x  dx
8 
2

∫
(
∫
)
∫(
)
∫
(
)
1 
1

1 + cos 2 x − (1 + cos 4 x ) − 1 − sin 2 2 x cos 2 x  dx

8 
2

1 1 1

2
=
 − cos 4 x + sin 2 x cos 2 x  dx
8 2 2

=
∫
∫
1 1
1

= 
dx −
cos 4 x dx + sin 2 2 x cos 2 x dx 
8 2
8

11
1
1

=  x − ⋅ 4 sin 4 x + sin 2 2 x  + C
8 2
8
6

∫
∫
∫
misal :
u = sin 2 x
du = 2 cos 2 x dx
1
du = cos 2 x dx
2

9. Bentuk
∫ tan
n
x dx dan
• Gunakan identitas
tan 2 x = sec 2 x −1
cot 2 x = csc 2 x − 1
∫ cot
n
x dx

10. ∫
∫
= ∫ tan x (sec x − 1) dx
= ∫ ( tan x sec x − tan x ) dx
= ∫ tan x sec x dx − ∫ tan x dx
= ∫ tan x sec x dx − ∫ (sec x − 1) dx
= ∫ tan x sec x dx − ∫ sec x dx + ∫ dx
= ∫ u du − ∫ du + ∫ dx
tan 4 x dx = tan 2 x tan 2 x dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 3
= u −u + x +c
3
1
= tan 3 x − tan x + x + c
3
2
2
2
misal :
u = tan x
du = sec 2 x dx

11. Bentuk
∫
tan m x sec n x dx
dan
∫
cot m x csc n x dx
• Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor
sec2x atau cosec2x
• jika n sembarang dan m ganjil, maka keluarkan faktor
tan x . sec x

12. ∫
∫(
)(
)
tan −3 2 x sec 4 x dx = tan −3 2 x sec 2 x sec 2 x dx
∫ ( tan
= ∫ ( tan
= ∫ ( tan
=
−3 2
−3 2
−3 2
)(
)
x ) sec x dx + ∫ ( tan x ) sec x dx
x ) d ( tan x ) + ∫ ( tan x ) d ( tan x )
x 1 + tan 2 x sec 2 x dx
= −2 tan −1 2 x +
2
12
12
2
tan 3 2 x + C
3
2

13. ∫
)(
)
∫(
= ∫ (sec x − 1) (sec
x ) d ( sec x )
= ∫ sec x d ( sec x ) − ∫ sec
x d ( sec x )
tan 3 x sec −1 2 x dx = tan 2 x sec −3 2 x ( sec x tan x ) dx
2
12
−3 2
−3 2
2
= sec 3 2 x + 2 sec −1 2 x + C
3