O documento apresenta um guia sobre módulos, equações e inequações modulares. É dividido em seções que apresentam a definição de módulo, propriedades, interpretação geométrica, exercícios resolvidos e propostos sobre módulos. As próximas seções abordam equações e inequações modulares, apresentando propriedades e exercícios resolvidos e propostos sobre esses tópicos. O objetivo é ensinar esses conceitos de forma prática através de exemplos e exercícios.

1. Índice

2. Prefácio
Introdução
1. Módulo
1.1 Definição
1.2 Interpretação Geométrica
1.3 Algumas Propriedades
1.4 Exercícios Resolvidos
1.5 Exercícios Propostos
2. Equações Modulares
2.1 Exercícios Resolvidos
2.2 Exercícios Propostos
3. Inequações Modulares
3.1 Exercícios Resolvidos
3.2 Exercícios Propostos
4. Gabarito
Apresentação
Bibliografia
Prefácio

3. O nosso objetivo nesse trabalho é mostrar o conteúdo da
forma mais fácil e prática de modo que o que pretendemos é fazer
com que outros alunos possam aprender, entender e praticar através
de exercícios o conteúdo mostrado no decorrer do mesmo.
Esperamos que todos tenham um bom aproveitamento através
do que passaremos, sendo esta matéria parte do conteúdo de ensino
no curso superior.
Estaremos abertos para dúvidas e questionamentos dentro das
possibilidades analisadas e estudadas por nós, pois o nosso trabalho
será passado da forma mais simples (teoria e exercícios resolvidos e
propostos).
Introdução

4. Antes mesmo de abordarmos o conteúdo central do trabalho
tivemos que mostrar o conteúdo que explica primeiramente o que é
módulo, através de definição, algumas interpretações e algumas
propriedades utilizadas, sendo que módulo em geral é estudo
durante o Ensino Médio, somente as Equações e Inequações
Modulares é que são estudadas com mais importância durante o
conteúdo dado no Ensino Superior pois são com esses
conhecimentos de equações e inequações modulares que dá para se
aprofundar em algumas aplicações tais como funções (modulares,
injetoras, composta e etc) que também não são estudadas no Ensino
Médio.
Esperamos um bom aproveitamento de todos e que através do
que passaremos podemos mostrar a importância de cada conteúdo
do programa de Ensino da Matemática na vida de um futuro
profissional. Tenham um bom entendimento e que sejam úteis as
informações obtidas pelo conteúdo do trabalho que será mostrado a
seguir.
1. Módulo

5. 1.1. Definição
Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou
um número real denominado módulo de x representado por x e
obtido do seguinte modo:
x = x se x ≥ 0
x = − x se x < 0
1º) Se x é positivo ou nulo, o seu módulo é ele mesmo.
Exemplos:
a) O módulo de 5 é igual a 5, isto é 5 = 5
b) O módulo de 0 é igual a 0, isto é 0 = 0
c) O módulo de 4 é igual a 4 , isto é 4 = 4
d) O módulo de 21 é igual a 21, isto é 21 = 21
2º) Se x é negativo, o seu módulo é obtido trocando o seu sinal.
Exemplos:
a) O módulo de –2 é igual a +2, isto é − 2 = −(−2) ⇒ − 2 = 2
b) O módulo de − 4 é igual a 4, isto é
− 4 = −( − 4 ) ⇒ − 4 = 4
c) O módulo de -10 é igual a 10, isto é − 10 = −(−10) ⇒ − 10 = 10
O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo
1.2 Interpretação Geométrica
Sabemos que um número real x está associado a um ponto da
reta. Podemos interpretar o módulo de x como sendo a distância do
ponto que representa x ao ponto que representa o número 0.

6. Exemplos:
a) No esquema abaixo, o número real 3 está associado ao ponto
A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e 0.
-1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
0 A
 
 
3
b) No próximo esquema abaixo, o número real é –3 e está
associado ao ponto B. O módulo de -3 é igual à distância entre B e
0.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
B 0
 
 
3
1.3 Algumas Propriedades
Sendo x e y quaisquer números reais, teremos algumas
propriedades:
2
M1 x = −x M4 x = x2
M2 xy = x ⋅ y M5 x =0⇔ x=0
x x
M3 = ( y ≠ 0) M6 x2 = x
y y
As propriedades acima são todas imediatas, no entanto, tem-se
uma observação a fazer a respeito da propriedade M6. Suponhamos
por exemplo que x = 5, então temos:
x 2 = 5 2 = 25 = 5 = 5 = x

7. Suponhamos agora que x = -5:
x2 = ( − 5) 2 = 25 = 5 = − 5 = x
1.4 Exercícios Resolvidos
1) Calcule:
a) 5 + 2
5+2 = 7 = 7
b) 3 − 8
3−8 = −5 = 5
c) − 2 + 5
−2 + 5 = 2+5= 7
d) 3 − 5 + 2 − 11
3 − 5 + 10 − 2 = − 2 + 8 = 2 + 8 = 10
e) 4 + 3 2 − 9 − − 5
4 + 3 − 7 − (5) = 4 + 3(7) − 5 = 4 + 21 − 5 = 25 − 5 = 20
f) 4 + 5 − 3
4 + 5 + 3 = 4 + 8 = 4 + 8 = 12 = 12
2) Diga se as seqüências abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) 4 + 5 = 4 + 5 (Verdadeira)
b) (−3) + (8) = − 3 + 8 (Falsa)
4 4
c) = (Verdadeira)
5 5
d) (4) ⋅ (5) = 4 ⋅ 5 (Verdadeira)

8. e) (−3) + (−8) = − 3 + − 8 (Verdadeira)
f) 4 − 7 = 7 − 4 (Verdadeira)
1.5 Exercícios Propostos
1) Calcule:
a) − 2 + 6
b) − 5 − 1
c) − 3 − 5
d) 15 + − 3 − 4
e) − − 2 + 5
f) (−5) + 2 − (−8)
g) 4 − 7 − − 12
h) 3 − − 9
2) Resolva as equações abaixo (baseado nos conceitos de
módulo):
a) x = 7
b) x = −6
c) x = 0

9. 2. Equações Modulares
As equações modulares são resolvidas através da aplicação de
algumas propriedades que estarão definidas a seguir dando
continuidade às propriedades citadas anteriormente:
M7 x =a⇔x=a ou x = −a
M8 x = y ⇔x= y ou x = −y
M9 x = a ⇔ x2 = a2
M 10 x = y ⇔ x2 = y2
Para justificarmos as propriedades M9 e M10 é necessário que
lembremos da seguinte propriedade:

10. a = b ⇔ a 2 = b 2 , ∀a, ∈ R+
De modo semelhante podemos justificar ambas as propriedades,
lembrando que x = x e que a ≥ 0 , então teremos:
2 2
x = a ⇔ x2 = a2 ⇔ x2 = a2
Observação:
Se a > 0 x = a ⇔ x = a ou x = −a,
Se a = b ⇔ a = b ou a = −b
2.1 Exercícios Resolvidos
1) Resolva as equações:
a) x − 2 = 6
1º modo
x − 2 = 6 ⇔ x − 2 = 6 = 8 ou x − 2 = −6 = −4
∴V = { 8;−4}
2º modo
x − 2 = 6 ⇔ ( x − 2 ) = 6 2 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 36 ⇔ x 2 − 4 x − 32 = 0
2
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos x ' = −4 e x '' = 8 . Assim
temos: V = {8;−4}
b) x − 3 = 4 x − 1
1º modo

11. x − 3 = 4x − 1 ⇔ x − 3 = 4 x − 1 ou x − 3 = −(4 x − 1)
⇔ x − 4 x = 3 − 1 ou x − 3 = −4 x + 1
2 4
⇔ x=− ou x =
3 5
 2 4
V = − ; 
 3 5
2º modo
x − 2 = 6 ⇔ ( x − 2 ) = 6 2 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 36 ⇔ x 2 − 4 x − 32 = 0
2
2 4
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos x ' = − e x '' = .
3 5
Assim temos: V = {8;−4}
2.2 Exercícios Propostos
3) Resolva as equações abaixo:
a) 2 x − 1 = x + 2
b) 2 x + 15 x − 3 = x + 2 x − 3
2 2
c) 3x + 2 = 2 x − 3
d) x − 1 = 3
x−3  1
e) = 1 sendo  x ≠ 
2x − 1  2
f) x − 1 + x + 6 = 13
g) 3x − 5 ⋅ ( 4 x − 1) = 0
2
h) 3 − 4 x − 1 = 6
4) Sendo A = x + 2 e B = x − 5 , resolva a equação A − B = 10

12. 3. Inequações Modulares
Para resolver as inequações modulares aplicam-se algumas
propriedades do módulo que serão definidas a seguir:
∗
M 11 Dado a ∈ R + temos :
x < a ⇔ −a < x < a
∗
M 12 Dado a ∈ R + temos :
x > a ⇔ x > a ou x < − a
Ou para definição mais completa das propriedades utilizadas
podemos demonstrá-las assim:

13. M 11' x < a ⇔ −a < x < a
x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
M 12 ' x > a ⇔ x < −a ou x > a
x ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
3.1 Exercícios Resolvidos
1) Resolva as inequações:
a) x < 2
Os valores que satisfazem essa inequação estão entre –2 e 2:
Vejamos a seguir
x < 2 ⇔ −2 < x < 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
(x)
Sendo o conjunto-verdade:
V = { x ∈ R / − 2 < x < 2} = ] − 2;2[
b) x > 2
x > 2 ⇔ x > 2 ou x < −2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
(x)
Sendo o conjunto-verdade:
V = { x ∈ R / x > 2 ∨ x < −2} = ] − ∞;−2[ ∪ ] 2; ∞[
c) x + 3 ≤ 5
Segue o mesmo raciocínio...

14. x + 3 ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x + 3 ≤ 5 ⇔ −8 ≤ x ≤ 2
Sendo o conjunto-verdade:
V = { x ∈ R / − 8 ≤ x ≤ 2} = [ − 8;2]
3.2 Exercícios Propostos
5) Resolva as inequações abaixo:
a) 3x − 2 < 4
b) 1 < x − 1 ≤ 3
c) 2 x − 7 + x − 1 ≥ 0
d) 3x − 4 + 2 x + 1 < 0
6) Resolva em R (reais) as inequações abaixo:
a) 3x + 2 − 2 x − 1 > x + 1
b) x − 2 − x + 4 ≤ 1 − x
7) Sendo A = x + 2 e B = x − 5 , resolva a inequação
A + B > 10 .
8) Determine o conjunto solução do sistema abaixo:

x + y =5
 2
x − 2 x y + y = 1
2


15. 4. Gabarito (Exercícios Propostos)
1) Calcule:
a) 4
b) 6
c) -2
d) 14

16. e) 3
f) 5
g) 9
h) 6
2) Resolva as equações abaixo:
a) x = 7
b) x = 6
c) x = 0
3) Resolva as equações abaixo:
 
1
a) S = − ;3
 3 
b) S = { − 13;6}
c) S = { } ou vazio
d) S = { − 2;4}
4
e) S =  
3
f) S = { − 9;4}
 
1 1 5
g) S = − ; ; 
 2 2 3
5 
h) S =  
2
4) Resolva a equação A − B = 10
S ={ } ou vazio
5) Resolva as inequações abaixo:
 2 
a) S =  x ∈ R / − < x < 2
 3 

17. b) S = { x ∈ R / − 2 ≤ x < 0 ∨ 2 < x ≤ 4} ou [ − 2;0[ ∪ ] 2;4]
 8
c) S =  x ∈ R / x ≥ 
 3
d) S = { } ou vazio
6) Resolva em R (reais) as inequações abaixo:
a) S = { x ∈ R / x < −2 ∨ x > 0}
b) S = { x ∈ R / x ≤ −5 ∨ −3 ≤ x ≤ 7}
7) Resolva a inequação A + B > 10
 7 13 
S = x ∈ R / x < − ∨ x > 
 2 2
8) Determine o conjunto solução do sistema:
S = { ( 3;2 ); ( 2;3); ( − 3;2 ); ( − 2;3)}
Apresentação
Trabalho entregue a Professora Luciana Arruda, para a
disciplina de Introdução à Informática, do 1º período do curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade Estácio de Sá
(UNESA), Campus Cidade Nova.

18. Alunos
André Luís da Silva Ferreira de Andrade
Matrícula 2002221512
Julliane Pereira Verdini
Matrícula 2002200374
Bibliografia
Livros
•Matemática – Volume Único
Autor: Paulo Bucchi – Editora Moderna
•Conjunto e Funções – Volume 1 (Noções de Matemática)
Autores: Aref A. Neto; Nilton Lapa; José Luiz P. Sampaio; Sidney
Luiz Cavalcante – Editora Moderna

19. Site
www.somatematica.com.br