ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES UNIVERSIDAD OLMECA 4TO SEMESTRE, ECUACIONES DIFERENCIALES

1. ÍNDICE
OBJETIVO…………………………………………………………………………………………………….. 3
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………..… 3
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
HISTORIA……………………………………………………………………………………………. 4
DEFINICIÓN…………………………………………………………………………………….. 4 - 5
CLASIFICACIÓN………………………………………………………………………….……. 5 - 6
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS…………………………………………………........ 7
CLASIFICACIÓN DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDEN…………………………………….. 7 - 9
EDP DE ORDEN SUPERIOR………………………………………………………………………... 9
SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES…………….…. 10 - 11
APLICACIONES……………………………………………………………………...……… 11 - 12
EJEMPLO CON EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES…………………….……………….….3
CONCLUSIÓN……………………………………………………………………………………………… 13
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………….... 14

2. OBJETIVO:
Al concluir con este trabajo espero obtener los conocimientos teóricos necesarios
de este tema y de la misma forma ponerlos en práctica logrando desarrollar los
problemas o ejercicios aplicando las ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.
INTRODUCCIÓN:
Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya
estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una
solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso
de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.
En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función
desconocida de una o más variables y sus derivadas parciales respecto a estas
variables. El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada de
mayor orden que aparezca en dicha ecuación. Ejemplo:
Es una ecuación diferencial parcial de orden 2, o una ecuación diferencial de
segundo orden.
Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier función que
verifica idénticamente la ecuación. La solución general particular es una solución
que se puede obtener de la solución general cuando se hace una selección
particular de las funciones arbitrarias.
Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden es
hiperbólica, parabólica o elíptica si el término: es positivo, cero o negativo,
respectivamente. Sin embargo, esta definición puede ser confusa en algunas
ocasiones. Otra forma de identificar las ecuaciones diferenciales, aunque no es
formal pero si practica, es observando el orden de las derivadas con respecto al
tiempo. Cuando no se tienen derivadas cruzadas, las ecuaciones con segunda
derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas, las que tiene
primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas y las que no tienen
derivada con respecto al tiempo son elípticas.
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3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
HISTORIA
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo.
En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones”. Su investigación se
relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales.
Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías.
 En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y).
 En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y).
 Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales.
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial parcial para una función
Con derivadas parciales
Es una relación de la forma
Dondees una función de las variables, en
Donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.
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4. Es decir:
Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más
variables independientes.
CLASIFICACIÓN
Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales parciales se
clasifican en función a:
• Orden
• Grado
• Linealidad
ORDEN:
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que
intervieneen la ecuación.
Es decir, la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
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5. GRADO:
Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y
sus derivadas.
LINEALIDAD:
Una ecuación se dice lineal si:
Donde los ai no todos son cero.
En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma:
Donde an(x) es una función de x no cero.
Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la
variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1;
por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.
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6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
 Se dice queuna forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un dominio
D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, es decir:
∂U ∂U
dU = dx + dy = P( x, y ) dx + Q( x, y ) d
∂x ∂y
 Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy =
0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales.
CLASIFICACIÓN DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDEN
Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que
son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:
Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:
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7. ELÍPTICAS
 Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.
Ejemplo. Laplace Elíptica
Esta es una ecuación bidimensional, de segundoorden, lineal, homogénea y de
coeficientesconstantes.
PARABÓLICAS
 Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son
parabólicas.
Ejemplo: Difusión Parabólicas.
Es la ecuación unidimensional de difusión delcalor, de segundo orden, lineal, homogénea
yde coeficientes constantes.
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8. HIPERBÓLICAS
 Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son
usualmente hiperbólicas.
Ejemplo: Onda Hiperbólica.
Es la ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es
de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
EDP DE ORDEN SUPERIOR
Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos
físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes
superiores, como ejemplos podemos citar:
Flexión mecánica de una placa elástica:
Vibración flexional de una viga:
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9. SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES
La solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta más
complejo que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no
existen métodos generales de resolución efectivos sino para un diverso grupo de
ecuaciones.
Existen 3 tipos de soluciones para las Ecuaciones Diferenciales Parciales.
• Solución General
• Solución Completa
• Métodos De Laplace
SOLUCIÓN GENERAL
Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente
de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En
muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas
soluciones completas.
SOLUCIÓN COMPLETA
Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas
constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la
ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema
mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una
integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el
punto de vista físico.
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10. MÉTODOS DE LAPLACE
La transformada de Laplace se puede utilizar para la solución de ecuaciones diferenciales
parciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condiciones
iníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo.
El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial
parcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la
transformada inversa
APLICACIONES
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el
modelamiento de fenómenos físicos.
Ecuación de la conducción del calor. La constante C, llamada difusivilidad, es igual a 1
donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de
volumen) se toman como constantes.
Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda
flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje
y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en
el instante . La constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.
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11. Ejemplo:
Encontrar la superficie solución de la E.D.P
Que tenga la propiedad de contener la curva intersección de la superficie z = y 2 con el
plano x = 0.
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12. CONCLUSIÓN
El método variacional es una herramienta muy útil para elestudio cualitativo de
ecuaciones diferenciales parciales por permitir estudiar lassoluciones en un
ambiente muy general, y así superar la problemática presentadapor los métodos
clásicos. Además, su fácil adaptabilidad a diversas situaciones,expuesta de
manera parcial en el presente trabajo, ha permitido que sea la
técnicapreponderante para el análisis de problemas de ecuaciones diferenciales
parciales.
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13. BIBLIOGRAFÍA
Libro:
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: Con métodos de variable
compleja y de transformaciones integrales...
Escrito por Hans F. Weinberger
Libro:
Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales Y Aplicaciones…
Escrito por Maria Del Carmen Cornejo,Pedro Alberto Quintana Hernández,Eloisa B.
Villalobos,Pedro Quintana
Libro:
Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería…
Escrito por EvgueniiKurmyshev
http://www.dynamics.unam.edu/DinamicaNoLineal/CursosNotas/NotasED-I.pdf
http://es.scribd.com/doc/38283634/Introduccion-a-Las-Ecuaciones-Diferenciales-
Parciales
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