Este documento presenta 25 problemas de geometría relacionados con vectores, polígonos y cuadriláteros. Los problemas incluyen cálculos de ángulos, lados, diagonales, perímetros y otras medidas geométricas de figuras como triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, paralelogramos y polígonos regulares.

1. PRACTICA DE MATEMATICA CEPUNT 2009 – I
SEMANA Nº 01 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS VECTORIAL
1. Un vector que va de R=(3; 5) a S=(x; y) representa al A) 60º B) 30º C) 120º
mismo vector que va de S=(x; y) a T=(8; 1). Hallar S= D) 47º E) 45º
(x; y)
A) 11/2;3 B) 11/2;4 C) -11/2;4
7. La proyección ortogonal de A=(12; 5) en B=(-3; 4) es:
D) 13/2;3 E) 12/3;6
2. Dados los vectores A=(3x-5; x-2y+2) y B=(x- A) (3;4) B) (-3;4) C) (-3;4)
y-2;3-2y), el valor de x e y de modo que: 3a =4B es:
D) (-3;2) E) (3;-4)
A) 5; - B) 6; C) ;-5
8. Los lados de un triángulo son los vectores A; B y A –
D) 3; 7 E) 6; 8
B. Si = 5; = 3 y comB A = . La longitud del
3. El vector V=(3; -3 ) en términos de su magnitud y lado A – B es:
de su ángulo de dirección es:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8
A) V= 6(cos 250º; sen 6º) B) V= 6(sen 0º; cos
9. Determínese el ángulo que forman los vectores
0º)
, si se cumple:
C) V= 6(sen 7º; cos 6º) D) V= 6(cos 300º; sen 300º)
;
E) V= 6(3; 2)
4. El vector de módulo 10, que tiene la misma dirección
y sentido opuesto al vector que va de S=(4; 2) a
T=(1; 6) es:
A) V= (6; 8) B) V= (-8; 6) A) 30º B) 37º C) 45º
C) V=(6; -8) D) V= (3; -4) D) 53º E) 60º
E) V= (3; -2)
5. Si A=(1-2m; 1) y B=(-7; m+2) los valores de m de 10. Dos vectores de igual módulo forman entre sí un
modo que A sea paralelo a B es: ángulo de 60º. Si la magnitud de la resultante de
ambos vectores es 2 unidades mayor que el módulo
A) B) 3 C) -3
de uno de los vectores. Halle dicho módulo.
D) 4 E) 5
A) B) C)
6. El valor del ángulo que forma el vector B que va de
D) E) 1
C=(4; 5) a D=(6; 4) con el vector E que va de F=( -3;
1) a G=(-2; -2) es:
11. El módulo de la resultante de 2 vectores varía entre
un valor máximo de 12 unidades y un mínimo de 8

2. PRACTICA DE MATEMATICA CEPUNT 2009 – I
unidades. Determine el módulo de la resultante A) B) 3 C)
cuando los vectores formen un ángulo de 53º.
D) E)
A) 8u B) 8√3u C) 4√2u
D) 2√34u E) 8√2u →
16. Hallar la norma del vector b = ( − 3m; m ) , sabiendo
→
12.Sean los vectores: = 2i + 3j ; = i que ha sido descompuesto en el vector a =  − 5; 3 
 
 
+ j. Determinar la magnitud del vector suma.
→
y en otro vector paralelo al vector c = 1; 1
 
A) B) 2 C) 10  
D) E) 5 A) 2 B) 10 C) 2 10 D) 3 10 E) 2 5
17. Hallar la norma del vector → , sabiendo que → y →
d a b
13.Se tiene un vector constante = -3j y un vector
→ → →, →
forman un ángulo de 60º,
variable (t)= 3i – 2tj, siendo “t” una variable. Hallar la d = a+ b a =3 y
medida del ángulo que forman tales vectores cuando →
t = 2. b =5
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
A) 30º B) 60º C) 37º D) 53º E) 20º
→
14.Se tienen los vectores = 2i + 3j y =3i – 5j. Si - 18. Si el vector a =  − 8 ;
 50  gira 45º en el sentido

 
2 + = 0 ¿Cuales son las componentes de ? →
b = ( x; y ) . Hallar
horario se determina el vector
A) (4, 3) B) (4, -3) C) (4, -13) x+ y
D) (4, 13) E) (3, 4) A) 5 B) 8 C) 10
D) 15 E) 20
15. Cuanto debe valer “x” para que “x” veces la suma de
los vectores i, -j y k sea un vector unitario.

3. PRACTICA DE MATEMATICA CEPUNT 2009-- I
SEMANA Nº 14
POLIGONOS Y CUADRILATEROS
1. En un cuadrado ABCD se prolonga AD hasta un 7. En un paralelogramo la diagonal menor mide 80
punto E de modo que ACE=98º si = 20m. cm. y la base 1m. si la diagonal menor forma con el
Calcular el perímetro del cuadrado. lado menor un angulo de 90º, la suma del perímetro
del paralelogramo con su respectiva altura mide:
A) 24m B) 30m C) 36m
D) 48m E) 60m A) 320cm B) 324 cm C) 348cm
D) 360cm E) 368cm
2. En un paralelogramo dos lados consecutivos miden
8 cm. y 20 cm. La distancia entre los lados más 8. Las bases de un trapecio miden 24 m y 16 m. Los
cortos mide 10 cm. La distancia entre los otros dos lados no paralelos 6 y 10. Calcular la suma de los
lados mide: lados del triangulo menor formado al prolongar los
lados no paralelos del trapecio.
A) 3m B) 4m C) 5m D) 6m E) 7m
A) 24 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36
3. En un rectángulo MNOP se toman los puntos
medios R y S de MP y OR respectivamente. Si 9. El lado de un cuadrado ABCD mide 2 . Sean M y
MS=12. Hallar la medida de SQ, siendo SQ la N los puntos medios de BC y AB. Si AM y DN se
prolongación de . cortan en O. Calcular ON.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 0,5 B) 1m C) 1,5 D) 2m E) 2,5
m m m
4. En un trapecio rectangular ABCD ( = =90º) se
sabe que AB = 10; BC = 12; AD = 15 se traza BO 10.En un cuadrilátero ABCD se sabe que + = 240.
(O en AD) de modo que la bisectriz del ángulo A es El ángulo que forman las bisectrices exteriores de
perpendicular a BO en su punto medio F. Hallar la los ángulos A y D mide.
longitud del segmento que une los puntos medios de A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º
y .
A) 2,4 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 4,5 11. Las bisectrices interiores de un rectángulo de lados
10m y 17m, se cortan formando un cuadrilátero.
5. Cuando la base de un rectángulo se prolonga 1/3 y Calcular las diagonales del cuadrilátero formado.
la altura la mitad, la relación de estas 2 dimensiones A) 13,5m B)3,5 m C) 7m
es de 4 a 3 el mismo resultado se obtiene D) 8m E) 9m
prolongando 5m, a estas dos dimensiones. La
diagonal del rectángulo mide.
A)2 B)4 C) 12.En un hexágono regular ABCDEF, calcular el
segmento que une los baricentros de los triángulos
D)5 E)6 ABC y DEF sabiendo que + + =9.
A) 1,5 B) 2,5 C) 3 D) 4,5 E) 6
6. En un paralelogramo ABCD, se une el vértice A
con los puntos medios M y N de BC y CD
13. Calcular la base menor de un trapecio isósceles,
respectivamente. Si AM y AN cortan a BD en P y Q
sabiendo que los ángulos agudos valen la mitad de
y BD = 9m. El valor de es. los ángulos obtusos, además las diagonales son
A) 2 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 6,5 perpendiculares a los lados no paralelos y la base
mayor mide 10 m.
A) 3m B) 4m C)

4. PRACTICA DE MATEMATICA CEPUNT 2009-- I
D)4 m E) m medidas de los ángulos internos de dichos
polígonos.
14.En un rectángulo ABCD; = 18 m. se traza la
bisectriz interior BE. Hallar el segmento de recta A) 1620º B) 1440º C)
que une los puntos medios de las diagonales del D) 900º E) 1500º
trapecio BCDE.
A) 6m B) 4,5 C) 9m D) 3m E) 1,5 22. En un polígono regular al disminuir en 10º cada
m m ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo
número de lados es de 2/3 del número de lados del
15. Al disminuir en 6 la medida de cada ángulo interior polígono original. El número de lados de dicho
de un polígono equiángulo se obtiene otro polígono polígono es:
cuyo número de diagonales es los 3/5 del número de A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25
diagonales del polígono inicial. El número de lados
de este polígono es:
23. Si la diferencia entre las sumas de las medidas de
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 los ángulos interiores de dos polígonos es 2160 y la
diferencia entre las medidas de sus ángulos
16.En un polígono convexo de “n” lados desde (n-4) exteriores es 5. El polígono de menor número de
lados es.
vértices consecutivos se ha trazado A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48
diagonales. Calcular el número de lados del
polígono.
24. Hallar el número de lados de un polígono regular tal
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14 que si tuviera 6 lados menos la medida de su ángulo
externo aumentaría en 80º.
17.En un polígono regular ABCDEF…, y A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15
determinan un ángulo de 160º. El número de lados
del polígono es: 25. Si un polígono de “n” lados tuviera (n-3) lados
A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 menos, tendría (n+3) diagonales menos. El numero
de lados del polígono es:
18.Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH si A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18
AB = 2cm, BC = cm y CD = 3cm. Calcular.
A) B) 5 C) 6 D) 6,5 E)5
19.Cuántos lados tiene un polígono convexo cuyo
número de diagonales excede en 8 al número de
diagonales de otro polígono que tiene un lado
menos.
A) B) 9 C) 10 D) 12 E) 15
20.S en un polígono, su número de lados aumenta en 5,
entonces la medida de su ángulo exterior disminuye
en 6º. Calcular el número de lados del polígono.
A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25
21. De dos polígonos regulares, uno de ellos tiene 3
lados menos que el otro; pero el ángulo central de
uno de ellos mide 27º menos que la medida del
ángulo central del otro. Hallar la suma de las