Este documento explica el mapa de Karnaugh, un método gráfico para simplificar ecuaciones lógicas. Describe cómo construir mapas de Karnaugh para 2, 3, 4 y 5 variables y cómo usarlos para minimizar expresiones de suma de productos o producto de sumas colocando unos o ceros en las celdas correspondientes. El mapa de Karnaugh permite agrupar términos para obtener la expresión lógica mínima. Fue inventado por Maurice Karnaugh en 1950 para simplificar tablas de verdad.

1. SISTEMA DIGITAL<br />Trabajo 5<br />MAPA DE KARNAUGH<br />Por:<br />Martes, 08 Junio 2010 <br />DEFINICIÓN: <br />El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica, para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables. El número de celdas del mapa es igual al número de combinaciones que se pueden obtener con las variables de entrada. Los mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5 variables. <br />También demuestra la relación entre las entradas lógicas y la salida que se busca.<br />Este mapa fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.<br />TIPOS<br />De dos variables<br />Descripción: En el Mapa de Karnaugh, se grafica las dos entradas y se pone 4 celdas que son al representación gráfica de las combinaciones posibles de las dos entradas.<br />ab’ba’1001Ejemplo:<br />ENTRADASSALIDASa b0 00 11 01 1S1001<br /> <br />X=a’b’ + ab <br />a’b’a’bab’abcc’ 00101101De tres variables:<br /> En el Mapa de Karnaugh, se grafica las dos entradas y se pone 8 celdas que son al representación gráfica de las combinaciones posibles de las dos entradas.<br />ENTRADASSALIDASa b c0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 S11100010<br />X=a’b’c’ + a’b’c + a’bc’ + abc’<br />De cuatro variables: <br />El mapa de Karnaugh, se establece para este caso como una matriz de 4 filas y 4 columnas, en las cuales se utilizan 4 variables de entrada y se realizan las 16 combinaciones posibles entre estas variables utilizando el álgebra de Boole.<br />ENTRADASSALIDASa b c d0 0 0 00 0 0 10 0 1 0 0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 01 0 1 1 1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 0S0100010000000101<br />a’babab’a’b’1000010001100000c’d’c’dabcd’<br />S=a’b’c’d + a’bc’d + abc’d + abcd<br />De cinco variables: <br />Este mapa se obtiene de dos mapas con 4 variables, lo que hace un mapa con 32 celdas, y que cuenta con 5 entradas, aclarando se cuenta con una entrada A para uno de los mapas y su complemento A’, para realizar el otro mapa.<br />2533650-54610<br /> <br />En este mapa para poder realizar los acoplamientos de 1s, se procede a ponerlos en paralelo o una encima del otro de tal manera que tome una forma espacial. Así:<br />-10350523495<br />Expresión Booleana Simplificada<br />El mapa de Karnaugh de 5 variables, cuenta en su composición con 17 1s. Con esto y ayudados del gráfico se determina que la expresión simplificada del mapa es la siguiente:<br />El término del grupo punteado es DE’.<br />El t término del grupo rayado es B’CE.<br />el termino del grupo oscuro es A’BD’.<br />El termino de la celda moteada junto a la celda oscura es BC’D’E.<br />Así combinando estos datos obtenemos que la expresión simplificada es;<br />X=DE’ + B’CE + A’BD’ + BC’D’E<br />UTILIZACION<br />PARA SIMPLIFICACIÓN DE MINTÉRMINOS:<br />Una expresión de suma de productos esta minimizada está formada por el número mínimo de términos productos posibles con el mínimo de número de variables por término.<br />Mapa de Karnaugh de un Suma de Productos Estándar<br />Por cada término de la expresión suma de productos, se coloca un 1 en el mapa Karnaugh en la celda correspondiente del producto.<br />Cuando se ha completado el mapa de Karnaugh correspondiente a la suma de productos dada, en dicho mapa habrá tantos unos como términos en la expresión. Las celdas que no tienen un 1 son aquellas para las que a expresión es 0. Generalmente, cuando se trabaja con una expresión de suma de productos, los 0s se dejan fuera del mapa. <br />Se pueden seguir dos pasos:<br />Determinar el valor binario de cada término producto de la suma de productos estándar. <br />A medida que evaluamos cada término, colocamos un 1 en el mapa de Karnaugh, en la celda que tiene el mismo valor que dicho término<br />Ejemplos<br />Transformar la siguiente suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh:<br />A’B’C + A’BC’ + ABC’ + ABC<br />SOL: En la expresión se introducirá un 1 en el mapa de Karnaugh de tres variables por cada producto estándar de la expresión.<br />3492500141605<br />A’B’C + A’BC’ + ABC’ + ABC<br /> 001 010 110 111<br />Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos no Estándar<br />Para utilizar un mapa de Karnaugh, las expresiones booleanas deben estar en su forma estándar. SI una expresión no lo está se pasará al formato estándar, mediante las conversiones directas del algebra o de Boole o mediante el desarrollo numérico. <br />Desarrollo numérico de un producto no estándar: un producto no estándar es aquel al que le faltan una o más variables en su expresión, entonces para completarla es que se realiza el desarrollo numérico de un producto, así: <br />En primer lugar, se escribe el valor binario de las dos variables y le añadimos un cero a la variable que falta. A continuación, se escribe el valor binario de las dos variables y le añadimos un 1, que corresponde a la variable que falta. Los dos valores binarios resultantes son los valores respectivos de los términos de la expresión suma de productos estándar AB’C’ Y AB’C.<br />EJEMPLO<br />Transformar la siguiente expresión suma de productos en un Mapa de Karnaugh A’ + AB’ + ABC’<br />SOL: Como se ve la suma de productos no está en formato estándar, ya que cada término no contiene las tres variables. Entonces encontraremos los términos que faltan, mediante el desarrollo numérico del producto dado:<br />A’+AB’+ABC’<br />000 100 110<br />001 101<br />010<br />011<br />Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, colocando un 1 en la cela apropiada del mapa de Karnaugh de tres variables.<br />1111111A’B’00A’B00A BA’B0001<br /> <br />Simplificación de una suma de productos mediante el mapa de karnaugh<br />Al proceso de dar a una expresión el menor número posible de términos con el mínimo número de variables posibles se denomina minimización. Después de haber obtenido en el mapa de Karnaugh una suma de productos, se siguen tres pasos para obtener una expresión de suma de productos mínima:<br />Agrupar los 1s<br />Determinar el término producto correspondiente a cada grupo<br />Sumar los términos del producto obtenido<br />Agrupación de 1s: Podemos agrupar los 1s del mapa de Karnaugh de acuerdo con las siguientes, rodeando las celdas adyacentes que contengan 1s- La finalidad es maximizar el tamaño de los grupos y minimizar el número de estos grupos.<br />Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas. Según el número de entradas que tenga el mapa de Karnaugh que busquemos desarrollar.<br />Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o más celdas del mismo grupo, pero no todas las celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre sí.<br />Incluir siempre en cada grupo el mayor número de 1s de acuerdo a la regla número 1.<br />Cada 1 del mapa tiene q estar incluido en menos de un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a otro grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se marquen contengan 1s no comunes.<br />EJEMPLO<br />Agrupar los 1s en cada uno de los mapas de Karnaugh:<br />C’DC’D’A’B’A’BABAB’11111111111CDCD’CD’C’DC’D’CDA’B’A’BABAB’11111111A’B’A’BABAB’C’C111111C’AB’A’B’A’BABC1111<br />Agrupando:<br />Agrupando:<br />CD’C’DC’D’CDA’B’A’BABAB’11111111C’AB’A’B’A’BABC1111A’B’A’BABAB’C’C111111C’DC’D’A’B’A’BABAB’1111 111111CDCD’<br />Determinación de la expresión de suma de productos mínima a partir del mapa:<br />Cuando todos los 1s que representan los términos productos estándar de una expresión se han trasladado al mapa y se han agrupado adecuadamente, comienza el proceso de obtención de la suma de productos mínima. Para encontrar los términos mínimos y la expresión suma de productos mínima se aplican las siguientes reglas:<br />Agrupar las celdas que contienen 1s. Cada grupo de celdas que contienes 1s da lugar a un término producto compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo sólo una forma (no complementada o completada). Las variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A éstas se les denomina variables contradictorias.<br />Determinar la operación mínima producto para cada grupo.<br />Para un mapa de tres variables:<br />Un grupo formado por una única celda da lugar a un término producto de tres variables.<br />Un grupo formado 2 celdas da lugar a un término producto de dos variables.<br />Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de una variable.<br />Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresión vale 1.<br />Para un mapa de 4 variables:<br />Un grupo formado por 1 celda da lugar a un término producto de 4 variables.<br />Un grupo formado 2 celdas da lugar r a un término de producto de 3 variables.<br />Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de dos variables.<br />Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un término de una variable.<br />Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresión vale 1.<br />Cuando se han obtenido todos los términos mínimos a partir del mapa de Karnaugh, se suman para obtener la expresión suma de productos mínima.<br />EJEMPLOS<br />Simplificar la función F1=(m3, m4, m5, m6, m7).<br />F1 =(m3, m4, m5, m6, m7) = A’·B·C + A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C <br />Entonces para el término A·B·C se cumple: <br />F1 = (m3, m4, m5, m6, m7) = (m4, m5, m6, m7) + (m3, m7) <br /> = [A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C] + [A’·B·C + A·B·C]<br />El primer término en la sumatoria es el grupo 1 y el segundo término corresponde al grupo 2. En un mapa de Karnaugh, los mintérminos de cada grupo se relacionarían a través de lazos independientes.<br />Desarrollando la expresión:<br />F1 = [A·B’· (C’+C) + A·B·(C’+ C)] + [B·C·(A’+A)]= A·B’·(1) + A·B·(1) + B·C·(1)<br />= A·(B’+B) + B·C = A + B·C<br />PARA SIMPLIFICACIÓN DE MAXTÉRMINOS:<br />Para un producto de sumas de forma estándar, se introduce un 0 en el mapa de Karnaugh por cada término suma de la expresión. Cada 0 s e sitúa en la celda correspondiente al valor de un término suma. <br />Cuando este producto se ha trasladado por completo al mapa, habrá tantos 0s en el mapa como términos en la expresión del producto de las sumas estándar. Las celdas que no contienen un 0 son aquellas para las que la expresión vale 1. Generalmente al trabajar con productos de sumas se obvia la escritura de los 1. Y se realiza el proceso de la siguiente manera:<br />Paso 1: Determinar el valor binario de cada término suma del producto de sumas estándar. Este es el valor binario que hace que dicho término se igual a 0.<br />Paso 2: Cada vez que se evalúa un término suma, se introduce un 0 en la correspondiente celda del mapa de Karnaugh. <br />EJEMPLO<br />Transformar la siguiente expresión de suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh <br />(A’+B’+C+D)(A’+B+C’+D’)(A+B+C’+D)(A’+B’+C’+D’)(A+B+C’+D’)<br /> 1100 1011 001011110011<br />172974053975<br />Simplificación mediante el mapa de karnaugh de expresiones producto de sumas<br />El proceso de simplificación es básicamente el mismo que para una expresión de suma de productos, excepto que ahora hay que agrupar los 0s para generar el mínimo número de términos suma, en lugar de 1s para obtener el número mínimo de términos.<br />Las reglas básicas son idénticas a las usadas para la agrupación unas expuestas en el acápite anterior. Así:<br />Agrupar las celdas que contienen 0s. Cada grupo de celdas que contienes 0s da lugar a un término producto compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo sólo una forma (no complementada o completada). Las variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A éstas se les denomina variables contradictorias.<br />Determinar la operación mínima producto para cada grupo.<br />Para un mapa de tres variables:<br />Un grupo formado por una única celda da lugar a un término producto de tres variables.<br />Un grupo formado 2 celdas da lugar a un término producto de dos variables.<br />Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de una variable.<br />Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresión vale 0.<br />Para un mapa de 4 variables:<br />Un grupo formado por 1 celda da lugar a un término producto de 4 variables.<br />Un grupo formado 2 celdas da lugar r a un término de producto de 3 variables.<br />Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de dos variables.<br />Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un término de una variable.<br />Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresión vale 0.<br />Cuando se han obtenido todos los términos mínimos a partir del mapa de Karnaugh, se hace producto para obtener la expresión producto de suma.<br />EJEMPLO<br />Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el siguiente producto de sumas estándar:<br />(A + B + C)(A + B + C’)(A+B’+C)(A+B+C’)+(A’+B’+C)<br />SOL: Las combinaciones de binarios de la expresión son:<br />(0+0+0)(0+0+1)(0+1+0)(0+1+1)(1+1+0)<br />La expresión de la suma de productos estándar se traslada al mapa de Karnaugh, y las celdas se agrupan así:<br />00000111A BA B’ A‘ B’A’ BCC’<br />Obsérvese que la celda A’B’C se incluye grupo de dos celdas, utilizando el 0 del grupo de 4 celdas. Entonces la expresión suma de productos mínima resultante es:A(B’+C) <br />Ejemplo<br />Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas:<br />F4 = (A+B+C+D) · (A+B’+C) · (A+B’+C’+D’) · (A’+B’+C+D’) · (A’+’B+C’+D’) · (A’+B+C+D’)·<br />(A’+B+C’+D’)·(A’+B'+C+D’)<br />El segundo término tiene que ampliarse a (A+B’+C+D)·(A+B’+C+D’). La función completa se pasa al mapa de karnaugh mostrado en la figura.<br />El término suma para cada grupo se muestra en la figura y el producto de sumas resultante es:<br />F4 = (A+C+D)·(B'+D')·(A'+D')<br />RECOMENDACIONES PARA SU MEJOR MANEJO:<br />Un mapa de Karnaugh que presente “n” variables de entrada tendrá 2n cuadros, que son las combinaciones posibles a ejecutarse por el algebra de Boole.<br />Al tener dos funciones dadas diferentes, y si queremos probar su equivalencia mediante los mapas de Karnaugh se hace el mapa de cada una de las funciones y luego procederemos a comparar sus funciones canónicas (formas mínimas).<br />Un bloque está asociado a un producto que contiene las n variables, pudiendo éstas estar o no complementadas, es decir A’.A ó A+1.<br />Los mapas de Karnaugh son recomendables aplicarlos para menos de 6 variables, ya que a más variables resulta difícil manejarlos y existen otros métodos más exactos para su desarrollo.<br />Al trabajar con mapas de Karnaugh como el de 5 variables lo aconsejable sería el hacer una representación de este en el espacio para tener claras sus adyacencias y poder facilitar así su simplificación.<br />COMENTARIOSSOBRE EL TEMA LOS MAPAS DE KARNAUGH:<br />Nos hemos dado cuenta que no solo nos debemos aferrar a un solo método para solucionar un problema, sino de poder buscar otra solución; de tal modo que es factible usar este método para simplificar y no quedarnos solo con el algebra booleana.<br />En el transcurso de la elaboración de este informe y/o material, no hemos dado cuenta que el mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático para la simplificación de expresiones booleanas.<br />Pero para poder ser mas prácticos en una simplificación booleana, debemos estar familiarizados con las leyes, reglas y teoremas del algebra de boole, puesto así que el mapa de Karnaugh es básicamente un conjunto de pequeñas instrucciones para la simplificación.<br />CONCLUSIONES:<br />El mapa de Karnaugh de dos variables es el más simple de manejar por tanto debe servir de base para el manejo de los mapas de Karnaugh de mayor número de variables.<br />En el mapa de Karnaugh de tres variables, comenzamos a observar la minimización de términos, la cual requiere del manejo del álgebra de Boole para poder ser aprendida correctamente.<br />Los mapas de Karnaugh de 3 y 4 variables son los más comunes y usados para la proposición de ejercicios de simplificación y la práctica para llegar a las formas canónicas.<br />Los mapas de Karnaugh en los Sistemas Digitales se utilizan en la lógica de los displays de 7 segmentos los cuáles son empleados desde instrumentos para automóviles hasta los medidores de impedancia. <br />REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:<br />[1] Eloy L., Thomas (2000). Fundamentos de Sistemas Digitales (Sétima Edición). España: Prentice Hall<br />[2] Gonzales Gómez, Juan (2002). Circuitos y Sistemas Digitales. España<br />[3] J. Tocci, Ronald. SISTEMAS DIGITALES: principios y aplicaciones<br />[4] Costantini, S. Arquitectura del computador: Mapas de Karnaugh. Consultado el 6 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://medusa.unimet.edu.ve/sistemas/bpis03/mdkminimizacion.htm<br />[5] Consultado el 6 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://www.scribd.com/doc/2923123/Metodo-de-Reduccion-de-Mapas-de-Karnaugh<br />[6] Consultado el 6 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://intrawww.ing.puc.cl/siding/public/ingcursos/cursos_pub/descarga.phtml?id_curso_ic=401&id_archivo=11764<br /> <br />