Este documento describe gradientes y derivadas direccionales. Introduce el concepto de gradiente como un vector que representa la tasa de cambio máxima de una función en cada punto. Explica que el gradiente es perpendicular a las superficies de nivel de la función. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos que involucran funciones de temperatura y potencial gravitacional.

1. Gradientes y derivadas direccionales
Alexander Holguín Villa
Departamento de Matemáticas, FCEN
Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia
e-mail: ahvi03@matematicas.udea.edu.co
alexholguinvilla@gmail.com
Abstract
En la sección 2:1 estudiamos las grá…cas de funciones con valo-
res reales. Ahora retomaremos este estudio usando los métodos del
cálculo. Especí…camente, los gradientes se usarán para obtener una
fórmula para el plano tangente a una super…cie de nivel.
Keywords: Gradiente, derivadas direccionales, plano tangente..
1 Gradientes y derivadas direccionales
De…nición 1.1 Si f : U R3
! R es diferenciable, el gradiente de f
en (x; y; z) es el vector en el espacio dado por rf = @f
@x
; @f
@y
; @f
@z
. Este
vector también se denota por rf (x; y; z). Así, rf es simplemente la matriz
derivada Df, dispuesta como vector.
Sea f : U R3
! R a valores reales
!
v;
!
x 2 R3
y consideremos la
función dada por t 7! f
!
x + t
!
v . Note que el conjunto de puntos de la
forma
!
x + t
!
v, t 2 R es la recta L que pasa por
!
x y es paralela al vector
!
v,
1

2. dada por l (t) =
!
x + t
!
v. Además t 7! f
!
x + t
!
v = fjL:
¿Con qué rapidez cambian los valores de f a lo largo de L en el punto
!
x?
Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada,
la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0
(t = 0 !
!
x +t
!
v =
!
x). Esto debería ser la derivada de f en
!
x en la dirección
de
!
v.
De…nición 1.2 f : U Rn
! Rm
. Dado
!
u 2 Rn
j
n!
O
o
, se de…ne
f0 !
a;
!
u = lim
t!0
f
!
a + t
!
u f
!
a
t
siempre que este último límite exista. Nótese que este límite depende de
ambos
!
a y
!
u, por lo que es denominado la derivada de f en
!
a en la dirección
de
!
u, (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario, pero tal
condición no es necesaria).
Ejemplo 1.3 f : R2
! R dada por f (x; y) = xy. Determinar f0 !
a;
!
u ,
con
!
a = (a1; a2) y
!
u (0; 1).
2

3. f0 !
a;
!
u = lim
t!0
f ((a1; a2) + t (0; 1)) f ((a1; a2))
t
f0 !
a;
!
u = lim
t!0
a1 (a2 + t) a1a2
t
= a2
Teorema 1.4 Si f : U R3
! R diferenciable, entonces todas las derivadas
direccionales (en dirección de
!
u 6=
!
O) existen y además
f0 !
a;
!
u = rf
!
a
!
u
Observación 1.5 Como f0 !
x;
!
u = rf
!
x cos ( ), para
!
u =
^
u uni-
tario y = rf
!
x ;
^
u , por tanto:
Se tendrá un máximo si = 0 rad y, en este caso rf
!
x y
^
u tienen igual
dirección y sentido. Ahora se tiene un mínimo si = rad, luego rf
!
x
y
^
u tienen sentido contrario. Adicionalmente para una partícula que se de-
splaza sobre la super…cie que de…ne f, ésta lo hará a nivel constante, es decir
z = k, si rf
!
x
!
u = 0, es decir rf
!
a ?
!
u; así:
Teorema 1.6 Supongamos que rf
!
x 6=
!
O. Entonces rf
!
x apunta en
la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido.
Ejemplo 1.7 (Dirección de máximo crecimiento)
Si la temperatura en cada punto (x; y; z) viene dada por
T (x; y; z) = 85 + (1 z=100) e (x2+y2
)
hallar en P0 (2; 0; 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido.
rT (x; y; z) = e (x2+y2
) ( 2x (1 z=100) ; 2y (1 z=100) ; ( 1=100)),
así:
rT (2; 0; 99) =
1
25
e 4
; 0;
1
100
e 4
3

4. Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anterior
expresiónpor 100e4
, por tanto:
!
u = ( 4; 0; 1) !
^
u =
1
p
17
( 4; 0; 1)
que es la dirección en la que T crece más rápido.
Ejemplo 1.8 Calcular f0 !
x;
^
u en P0 (0; 1) para el cual
^
u es unitario en la
dirección de
!
P0Q, Q (3; 5). Además determinar en P0, para el cual f0 !
x;
^
u
es máxima, si f (x; y) = ex
tan 1
(y).
!
PQ = (3; 4) !
^
u =
1
5
(3; 4). Además
fx = ex
tan 1
(y), fy =
ex
1 + y2
, luego
f0
(0; 1) ;
^
u =
^
u rf ((0; 1))
=
1
5
(3; 4) ( =4; 1=2)
=
1
5
3
4
+ 2
Ahora bien, D^
u
f es máxima cuando rf y
^
u tienen la misma dirección y
sentido, por tanto:
^
u =
rf ((0; 1))
krf ((0; 1))k
=
( ; 2)
p
2 + 4
luego para determinar f0 !
x;
^
u es máxima si:
f0
(0; 1) ;
^
u =
^
u rf ((0; 1)) =
p
2 + 4
4
Ejemplo 1.9 Suponga que la temperatura en un punto (x; y; z) 2 R3
está
dada por
T (x; y; z) =
80
(1 + x2 + 2y2 + 3z2)
donde T se mide en grados Celsius; x; y; z, en metros. ¿En qué dirección
aumenta la temperatura con más rapidez en el punto (1; 1; 2)?¿Cuál es la
máxima razón de cambio?
4

5. rT =
160
(1 + x2 + 2y2 + 3z2)
( x; 2y; 3z)
) la temperatura aumenta con mayor rapidez en la dirección del vector
rT (1; 1; 2) =
5
8
( 1; 2; 6)
o equivalentemente en del vector
( 1; 2; 6) !
1
p
41
( 1; 2; 6) =
^
u
La máxima razón de incremento es respecto a la longitud del vector gradiente
krT (1; 1; 2)k =
5
8
p
41
Ejercicios 1.10
1. La ecuación de la super…cie de una montaña es z = 1200 3x2
2y2
(distancia en metros), el eje Ex apunta al este, el Ey al norte. Un
montañista se encuentra en el punto P0 ( 10; 5; 850).
(a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? Ilustre grá…-
camente en el plano xy.
(b) ¿Si el montañista se desplaza en dirección este, asciende o des-
ciende y a qué razón? ¿Qúe sucede por cada metro que avance en
el Ex? Ilustre.
(c) ¿Si lo hace en dirección suroeste, asciende o desciende y a qué
razón? Ayuda: Sea
^
u = (cos ( ) ; sen ( )).
(d) ¿En que dirección recorre una trayectoria a nivel, estando en el
punto P0? Ayuda: Halle
^
u = (u1; u2) tal que
^
u rf (10; 5) = 0.
2. Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está
dado por V (x; y; z) = 5x2
3xy + xyz:
(a) Encuentre la razón de cambio del potencial en P0 (3; 4; 5), en la
dirección del vector
!
u = (1; 1; 1)
(b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P?
(c) ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P?
5

6. 1.1 Gradiente y super…cies de nivel de una función f
A continuación veremos la relación entre el gradiente asociado a una fun-
ción dada f y sus super…cies de nivel. Ya conocemos que el gradiente rf
apunta en la dirección de más rápido crecimiento de los valores de f, mien-
tras que una super…cie de nivel está en las direcciones en las que esos valores
no cambian. Si el comportamiento de f es su…cientemente bueno, el gradi-
ente y la super…cie de nivel serán perpendiculares en cierto sentido, como se
establecerá.
Teorema 1.11 (Gradiente e snormal a la super…cie)
Sea f : U R3
! R una aplicación de clase C1
y (x0; y0; z0) un punto
sobre la super…cie de nivel S f (x; y; z) = k, para k constante. Entonces
rf (x0; y0; z0) es perpendicular a la super…cie S en el siguiente sentido: si
!
v es
el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c (t) en S con c (0) = (x0; y0; z0),
entonces rf (x0; y0; z0)
!
v = 0.
Prueba. Sea c (t) en S; entonces (f c) (t) = k y sea
!
v como en la
hipótesis; entonces
!
v = c (0). Por tanto, de lo anterior y la regla de l
acadena, setiene que
0 =
d
dt
f (c (t)) = rf
!
v (0)
!
v
Del anterior resultado e sbastante razonable de…nir el plano tangente a S
como el plano ortogonal al gradiente:
De…nición 1.12 (Planos tangentes a las super…cies de nivel)
Sea S := f(x; y; z) : f (x; y; z) = k; k 2 Rg. El plano tangente a S en el
punto (x0; y0; z0) de S está dado por
rf
!
v (0) : rf (x0; y0z0) (x x0; y y0; z z0) = 0
Ejemplo 1.13 Hallar t (1; 1; 1) de 3xy2
+ xyz2
= 4.
rf (x; y; z) = (3y2
+ yz2
; 6xy + xz2
; 2xyz), luego:
t (1; 1; 1) : rf (1; 1; 1) (x 1; y 1; z 1) = 0
) 4x + 7y + 2z = 13 (veri…carlo).
6

7. Observación 1.14 Con frecuencia los diversos autores se re…eren a rf
como el campo vectorial gradiente; esto debido al hecho que rf asigna
un vector a cada punto en el dominio de f:
Ejemplo 1.15 (Ejemplo 6 del libro pág. 150 151)
La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria m en el punto (x; y; z) pro-
ducida por una masa M en el origen en R3
, de acuerdo a la ley de grav-
itación universal de Newton, est ´ adada por
!
F =
GmM
r2
^
n (1)
donde G es una constante; r =
!
r =
p
x2 + y2 + z2 es la distancia de
(x; y; z) al origen y
^
n =
!
r
!
r
el vector unitario en la dirección del vector
posición
!
r = (x; y; z).
Notemos que
!
F = r
GmM
r
= rV , es decir,
!
F es el negativo del po-
tencial gravitacional V =
GmM
r
. Finalmente notemos que la expresión
1 indica que
!
F está dirigido hacia adentro, es decir hacia el origen y, las
super…cies de nivel de V son esferas.
!
F es normal a estas esferas, lo que
con…rma elresultado del Teorema 1:11.
7