1. EJERCICIOS
INTEGRALES IMPROPIAS
En los siguientes ejercicios determinar si la integral impropia es convergente o
divergente. Si es convergente evaluar la integral.
 t
 x.2  x.2
x x
dx  lim dx
1. t  
0 0
x.2  x 1
ln 2 ln 2 
 lim (  2  x dx) t0
t  
x.2  x 1
 lim (  .2  x ) t0
t   ln 2 ln 2  2
t .2  t 2 t 1
 lim (  0 )
t   ln 2 ln 2  2
ln 22
1 t. 1
  lim 2 t (  )
ln 2 t  ln 2 ln 22
2

1
  1
 lim 2 t . ln 2 

 0 
ln 2 2 t  
 ln 2 

1
 lim 2 t  
ln 2 2 t  
1
 0
ln 22
1

ln 22
Por tanto al aplicar la regla de L` Hospital en el límite dado se obtiene que la integral
converge
0 0
 x.e dx  lim x
x 2
2. .e x dx
t  
 t
 lim ( x .e  2  x.e x dx) t0
2 x
t  
 lim ( x 2 .e x  2( x.e x   e x dx))t0
t  
 lim ( x 2 .e x  2( x.e x  e x ))t0
t  
 lim (e x ( x 2  2 x  2))t0
t  
 lim (1(0  0  2)  e t (t 2  2t  2)
t  
 2  lim (e t (2t  2)
t  
 2  lim 2e t
t  
 2  2 lim e t
t  
2

2. Por tanto al aplicar la regla de L` Hospital en el limite dado se obtiene que la integral
converge
4 t
dx dx
3.

2 16  x 2
 lim 
t 4
2 16  x 2
t
  x 
 lim  sen 1  
t 4
  4  2
 t  2 
 lim  sen 1    sen 1  
t 4
 4  4 
1
 sen 1 1  sen 1  
2
 
 
2 6


3
Por tanto la integral converge
1 3 1
4. dx dx dx
 x  3
4
3
  x  3
4
3
  x  3
3
3
Debemos evaluar la convergencia de las dos integrales de la derecha.
3 t
dx dx
 x  3
4
3
 lim 
t  3   x  3
4
3
t
 1 
 lim   
 2x  32


t  3   4
t
 1 1
 lim     
 2t  32 2 
t  3   4

Como esta integral diverge, la integral
1
dx
 x  3
4
3
también diverge.

3. 
2 t
5.
 tagxdx  lim  tagxdx
0

t

0
2
 lim ln sec x 0
t

t
2
 lim ln sec x  1

t
2

Por tanto la integral diverge.