7.Çember ve Daire

1. ÇEMBER-DAİRE
KONU ANLATIMI

2. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların
oluşturduğu kümeye çember denir.
O
yarıçap
çap
merkez
A B
Yandaki çember de; O noktası çemberin
merkezi; [OB] doğru parçası, çemberin
yarı çapı, merkezden geçen [AB] doğru
parçası da çemberin çapıdır. Yarı çapın
uzunluğu r veya R ile gösterilir.
lOB l= r veya l OA l= R dır.
Çap, yarıçapın iki katı uzunluktadır.
lAB l= 2R

3. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Örnek
O merkezli ve r yarıçaplı çember Ç(o,r) ,
A merkezli ve 5cm çaplı çember Ç(A,5cm) biçiminde belirtilir.
Ç(M,7cm) verilirse, yarıçap uzunluğu 7cm olan M merkezli çember anlaşılır.

4. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
b) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler
Yandaki şekilde görüldüğü gibi; bir çember,
bulunduğu düzlemi iki bölgeye ayırır.
Bunların birisi çemberin iç bölgesi diğeri de
çemberin dış bölgesidir.
Şekil incelenirse; A,B,C noktalarının O
merkezine uzaklıkları farklıdır.
p
B
A
C
çember
Dış bölge
içbölge

5. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
b) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler
1-A noktası çember üzerindedir. Çemberin elemanı olan her bir noktanın
çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğuna eşittir.
Yani, lOA l = r dir.
lOA l = r bağıntısını sağlayan a gibi noktalar, çemberi oluşturur.
2- C noktası, çemberin iç bölgesindedir. İç bölgenin elemanı olan her bir
noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğundan
küçüktür.
lOC l < r bağıntısını sağlayan c gibi noktalar, iç bölgeyi oluşturur.
Bu noktaların bulundukları yere göre merkeze uzaklıklarının r yarıçapı
ile karşılaştırılması şöyledir;

6. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
b) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler
3- B noktası, çemberin dış bölgesindedir.
Dış bölgenin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan
uzaklığı, yarıçapının uzunluğundan büyüktür.
lOBl > r bağıntısını sağlayan B gibi notalar, çemberin dış bölgesini
oluşturur.

7. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
c)Çemberde; Kesen, Kiriş, Teğet ve Yay
d
N
M
T
k A
yay
kesen
kiriş
teğet
• Bir doğrunun çemberle iki ortak
noktası varsa, bu doğruya, çemberin keseni denir.
d doğrusu kesendir.
• Çemberin elemanı olan herhangi iki
noktasını birleştiren doğru parçasına, çemberin
kirişi denir.[ MN ] bir kiriştir.
• Çemberle k doğrusun sadece bir ortak
noktası varsa; bu doğruya, çemberin teğeti
denir. Buna göre, AT doğrusu çemberin
teğetidir.
• Teğetin çemberle ortak olan
noktasına, değme noktası denir.
• Kirişin çemberden ayırdığı çember
parçasına, yay adı verilir. Kiriş çemberi ikiye

8. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Bir Doğrunun Çembere Göre Durumları
Bir doğru ile bir çember, üç durumda olabilir.
d
O
B
r
2)
d
O
A
r
teğet
1)
d
O
A BE
r
3)
kiriş
l OH l > r, d n Ç = { }
Doğru ile çember
kesişmez.
l OA l= r, d n Ç ={ A }
Doğru, çembere
teğettir.
l OE l < r, d n Ç = { A,B }
Doğru, çemberin
kesimidir.
Teğet, değme noktasından geçen yarıçap doğrusuna dik olur.

9. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Kiriş Özellikleri
1- AB kirişinin orta noktası H dır.
Çemberin merkeziyle H noktasından
geçen doğru d doğrusudur.
l OA l = l OB l olduğundan, OAB üçgeni
ikizkenar üçgendir.
[OH] da bu ikizkenar üçgenin tabana ait
kenar ortayıdır.
Çemberde kirişin orta noktasının merkeze birleştiren
doğru, kirişe diktir. Kirişin orta noktası merkezden geçer.
d diktir [AB] olur.
O
F
A H
E
d
B

10. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Kiriş Özellikleri
2-Bir çemberde, eş kirişler merkezden eşit uzaklıktadır.
Merkezden eşit uzaklıktaki kirişlerin uzunlukları birbirine
eşittir.
O
A E B
D
E
F

11. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Kiriş Özellikleri
Bir çemberde;
•Uzun olan kirişin merkeze olan uzaklığı, kısa olanın kirişin
merkeze uzaklığından az olur.
•Kiriş, boyu uzadıkça merkeze yaklaşır.
•Merkeze uzaklığı sıfır olan (merkezden geçen) kiriş en
büyük kiriştir.
O halde; çap, çemberin en büyük kirişidir.

12. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Çemberde Yaylar ve Açılar
Çemberde Merkez ve Çevre Açılar Merkez Açı;
Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıya, merkezi açı;
merkezi açının iç bölgesinde kalan yay parçasına da bu
açının gördüğü yay denir.
Çemberde; merkezi açının ölçüsü,gördüğü yayın ölçüsüne
eşittir.

13. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Çemberde Yaylar ve Açılar
O
B
A
Merkez açı
Merkez
açının
gördüğü
yay
Şekildeki AB nin ölçüsü, s(AB) yayı biçiminde
gösterilir. Değeri, AOB nin ölçüsüne eşittir.
S(AOB)=S(AB) olur.
AB nın uzunluğu ise, l AB l yayı biçiminde gösterilir.
l AB l=2cm dir. Bir yayın uzunluğu denildiğinde, uzunluk birimi
olarak değeri; yayın ölçüsü denildiğinde ise, açı ölçüsü birimi
olarak değeri anlaşılmalıdır. İki ifadenin birbirinden farklı
olduğuna dikkat etmek gerekir.
Bu nedenle, s(AB)≠l AB l olur.

14. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Çevre Açı
Köşesi çember üzerinde olan ve
kenarları da köşesi dışında farklı birer
noktada çemberi kesen açıya denir.
Bu açının iç bölgesinde kalan yay
parçasına da çevre açının gördüğü yay
adı verilir.
Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın
ölçüsünün yarısına eşittir.
S(DEF)= S(DF)/2 olur.
O
D
F
E
Çevre açı
Çevre açının gördüğü yay

15. ÇEMBER-DAİRE
ÇEMBER
Merkez Açı ve Çevre Açının Özellikleri
1-Bir çemberde; uzun olan yayı gören merkez açının ölçüsü, kısa
yayı görenin ölçüsünden daha büyüktür.
2-Bir çemberde, eş yayları gören merkez açıların ölçüleri eşittir.
3-Bir çemberde, aynı veya eş yayları gören çevre açıların ölçüleri
birbirine eşittir.
4-Bir çemberde çapı gören çevre açısının ölçüsü 90 derecedir.
5-Bir çemberde; aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, merkez
açının ölçüsünün yarısına eşittir.

16. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Çevresi
Bir çemberde; çevre uzunluğunun çap uzunluğuna bölümüyle bulunan
sabit sayıya, П ( pi ) sayısı denir.
Dairenin yarıçapını r, çevre uzunluğunu Ç ile gösterirsek
∏ = Ç/2r ≈ 3,14 olur.
Çemberin uzunluğu çapın uzunluğu ile ∏ sayısının çarpımına eşittir.
Ç = 2∏r olur.

17. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Çevresi
Örnek
Çevresinin uzunluğu 88cm olan çemberin yarıçapı ve
çapının uzunluğunu bulalım.
Cevap: ç = 2 ∏r
88 = 2 x 22/7 x r ise,
r = 14 cm dir.
çap = 2r ise 2 x 14 = 28 cm bulunur.

18. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Alanı
Yarıçapının uzunluğu r = 6 birim olan çemberi ve
kenarları bu çembere teğet olan ABCD karesini
çizelim;
ABCD karesi; yandaki gibi birim karelere ayrılırsa;
bu birim karelerden, yaklaşık 113 tane bulunur.
A
D
B
C
Bir dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesine
bölünürse, bölüm; 113 / 36 ≈ 3,14 olur.
Bu dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesine bölünürse, yaklaşık olarak 3,14
sayısı bulunur. Öyleyse;
Dairenin alanı, ∏ sayısı ile yarı çap uzunluğunun karesinin çarpımına eşit olur.
A = ∏ r²

19. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Alanı
Örnek 1
Yarıçapının uzunluğu r = 20 cm olan dairenin alanını bulalım.
A = ∏. r²
A = 3,14 . 20² = 3,14 . 400
A = 1256 cm² dir.

20. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Alanı
Örnek 2-Çevresinin uzunluğu 31,4 olan dairenin alanını bulalım.
Ç = 2 ∏ r
31,4 = 2 . 3,14 . r ise,
r = 31,4 / 2 . 3,14 = 5 cm olur.
Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan dairenin alnını ise,
A = ∏. r²
A = 3,14 . 5²
A = 3,14 . 25
A = 78.5 cm ² dir.

21. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Alanı
Örnek 3- Yarıçapının uzunluğu r = 10 cm olan bir
dairede, 72° lik daire diliminin alanını bulalım:
Dairenin iki yarıçapı arasında kalan alan
parçasına, dairenin dilimi denir.
Dairede 72° lik daire diliminden,
360 : 72 = 5 tane vardır.
Öyleyse; daire diliminin alanı, dairenin alanının
1 / 5 idir.
B
72
°
10 cm
O
A
Daire dilimi

22. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Alanı
Örnek 3
B
7
2
°
10 cm
O
A
Daire dilimi
Dilimin alanı ;
A 3,14 . 10² 3,14 . 100 62,8 cm ² bulunur.
5 5 5

23. ÇEMBER-DAİRE
DAİRE
Dairenin Alanı
Örnek 4-Bir dairede, 45° lik dilimin alanı 39,25
cm²dir. Bu dairenin yarıçapının uzunluğunu bulalım;
Dairede 45° lik dilimden 360 : 45 = 8 tane vardır.
Dairenin alanı, bu dilimin 8 katı olur.
A = 39,25 . 8
= 314 cm² dir.
A = ∏ r² olduğundan
314 = 3,14 . r² yazılır
r² = 100 ise r = 10 cm olur.
O
45°
A
B