Este documento apresenta 10 problemas sobre números complexos resolvidos passo a passo. Os problemas envolvem provas algébricas e o uso de propriedades como a lei de Moivre. As soluções dos últimos 3 problemas serão postadas em breve em uma lista separada focada em somatórios trigonométricos envolvendo números complexos.

1. Números Complexos
PROFESSOR HELANDERSON SOUSA
helandersomslavyero@hotmail.com
Problema 1
Prove que é uma número real puro, sendo i =
Solução:
=
Racionalizando teremos
o numero entre parênteses pode ser reescrito como
cos + isen mas isso é Cis lembrando da forma exponencial podemos
escrever Cis = onde “e” é o número de Euler
assim teremos = = finalmente teremos
= que é uma número real puro.
Problema 2
Prove que = 2i

2. Solução
Partindo da informação que = (se você não sabia disso tente provar!!!)
Tirando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade ficamos com
ln = ln
ilni = lne = assim
= -2ilni
Ou = 2iln
Problema 3
Mostre que todas as raízes da equação: pertencem a uma mesma reta
paralela ao eixo imaginário no plano complexo.
Solução
dividindo todo mundo por
= -1 = = cis[(2k + )/2]
Faremos (2k + )/2) = x
1 + 1/z = cis x 1/z =cisx – 1
Z = 1/(cosx-1) = 1/[(cosx-1) + isenx] = 1/[(cosx-1) + isenx]. N
Onde N =[(cosx -1)-isenx]/ [(cosx -1)-isenx] = 1
Com um pouco de álgebra simples teremos
Z=- - asssim Re(z) = -
Assim provamos que z pertence a uma reta paralela ao eixo imaginário pois sua parte
real é constante

3. Problema 4
Determine o valor da soma, para n natural, tal que n 1:
S = sen( ) + sen( ) + … + sen( )
Solução:
Analisemos inicialmente o somatório
A = cis( ) + cis( ) + cis(3 ) + ...+ cis( )
Pela lei de Moivre a soma A torna-se
A = cis( ) + + + ...+
Fazendo z = cis( ) temos A = z + + + ... +
Essa é a soma de uma P.G de razão z
Logo podemos escrever A = da lei de Moivre temos z= cis( ) z=1
Assim teremos A = = -1
A soma pedida é justamente a parte imaginária de A, a qual obtemos um resultado
nulo
Assim podemos concluir que
S = sen( ) + sen( ) + … + sen( ) =0
Problema 5
Mostre, para n 0, que
-3 + - + ... = sen
Solução:
A soma pedida pode ser expressa em forma de somatório da seguinte forma
S=

4. ( Nesse momento realmente tente se convencer da proposta do somatório)
Sabemos que
=
Fazendo a = e considerando a lei de Moivre
Teremos
=
Para x = teremos
= -3 + -…
Olá, sou Jean Fourier gosto dessas
questões de Séries. Nesse ponto
lembre-se que cis( =
cos ) + isen )=i
Continuado teremos que a parte imaginaria de = = sen(n /3)
“Note que = 2cisy logo y = /3”
Assim teremos
sen(n /3) = - + - …]
Finalmente
S= = sen(n /3)
ESSA NÃO FOI TÃO FÁCIL !!!
Problema 6

5. solução
Problema 7
Se x + = , Prove que + = 2cos(yn)
Solução
Primeiro note que
Assim teremos
x+ = ou + 1 = 2xcos(n)
assim x = cos(n) isen(n)
Pela lei de Moivre temos
cos(yn) isen(yn) ; = = cos(yn) isen(yn)
Somando obtemos: + = 2cos(yn)

6. Problema 8
Ache a soma as série infinita
1 + cos + cos + cos3 + ...
Problema 9
Ache o valor da soma infinita
sen + )+ )+ )+…
Problema 10
Calcule o valor da soma infinita
cos + x cos + + ...
A SOLUÇÃO DAS QUESTÕES 8,9 E 10 SERÃO POSTADAS
BREVEMENTE EM UMA LISTA APENAS COM
PROBLEMAS DE SOMATORIOS TRIGONOMÉTRICOS
ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS