2. ∞
Γ 𝑥+1 = 𝑥 𝑒 −𝑡 ∗ 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡
0
Si observamos la parte derecha es idéntica a la ecuación inicial de la función
de gamma por lo tanto
Γ 𝑥 + 1 = 𝑥Γ 𝑥 … Lqd
Demostrando (2)
Para demostrar que: Γ 1/2 = 𝜋
∞ −𝑡
Por definición sabemos que Γ 𝑥 = 0
𝑒 ∗ 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡
Lo que hacemos es remplazar a 𝒕 por 𝒙 𝟐
1 1 −1/2
𝑡 = 𝑥2 → 𝑡2 = 𝑥 → 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
2
Si despejamos 𝑡 −1/2 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥
Si remplazamos en la ecuación inicial de gamma a x por el valor de ½
∞ −𝑡
Es decir Γ 1/2 = 0
𝑒 ∗ 𝑡 (1/2)−1 𝑑𝑡
∞ −𝑡
Quedará de la siguiente forma Γ 1/2 = 0
𝑒 ∗ 𝑡 −1/2 𝑑𝑡
Ahora si tomamos los nuevos valores que hemos despejado y los introducimos
dentro de nuestra nueva ecuación obtendremos:
Como: 𝒕−𝟏/𝟐 𝒅𝒕 = 2𝑑𝑥 y 𝒕 = 𝑥2
∞
2
Γ 1/2 = 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
0
Hacemos ahora 𝑡 = 𝑦2 de manera análoga se obtiene
∞
2
Γ 1/2 = 2 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦
0
Multiplicamos miembro a miembro
4. Luego ahora nos queda, el dos sale del 4 que teníamos entre el ½ que nos dio
más la integral que hacía falta
𝜋/2
2
Γ 1/2 =2 𝑑𝜃
0
𝜋/2 𝜋
=2 𝜃 0 → 2
2
2
= Γ 1/2 = 𝜋
Entonces podemos terminar
Γ 1/2 = 𝜋 … Lqd
5. Teorema: la función gamma satisface
𝜋
Γ x Γ 1−x = ; 0< 𝑥<1
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥
Ejemplo de cómo poder utilizar este teorema
Γ 1/4 Γ 3/4 = Γ 1/4 Γ 1 − 1/4
𝜋
=
sen 𝜋/4
𝜋
=
1
2
Entonces
Γ 1/4 Γ 3/4 = 𝜋 2