1. Menggunakan uji rasio mutlak dan uji perbandingan limit untuk menentukan kekonvergenan deret dan integral tak terhingga; 2. Mengidentifikasi himpunan kekonvergenan deret dan integral berdasarkan hasil uji; 3. Menyelesaikan soal-soal integral dan deret tak terhingga dengan tepat.

1. Solusi Kuis 1 – Kalkulus 2A
Kelas 16 – 2012/2013
1. Hitunglah ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 2
√ 𝑥𝑥+6
Misalkan 𝑥𝑥 + 6 = 𝑢𝑢
Maka, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 6 dan 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑. Juga, 𝑥𝑥 2 = (𝑢𝑢 − 6)2 = 𝑢𝑢2 − 12𝑢𝑢 + 36
Jadi, ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫(𝑢𝑢 − 12√ 𝑢𝑢 + 36𝑢𝑢 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 − 12( 𝑢𝑢 2) + 36(2𝑢𝑢 2) + 𝐶𝐶
𝑥𝑥 2 𝑢𝑢 2 −12𝑢𝑢+36 3� −1� 2 5� 2 3� 1�
2 2
√ 𝑥𝑥+6 √ 𝑢𝑢 5 3
2
= (𝑥𝑥 + 6) �2 − 8(𝑥𝑥 + 6) �2 + 72(𝑥𝑥 + 6) �2 + 𝐶𝐶
5 3 1
5
2. Cek kekonvergenan dari ∫−2
∞ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑠𝑠(𝑠𝑠+2)
∞
1 0
1 ∞
1
𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑑𝑑𝑑𝑑
−2 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) −2 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) 0 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
−1
1 𝑏𝑏
1 1
1 𝑑𝑑
1
= lim + � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎→−2 𝑎𝑎 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) 𝑏𝑏→0− −1 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) 𝑐𝑐→0+ 𝑐𝑐 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) 𝑑𝑑→∞ 1 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
Integral lim 𝑐𝑐→0+ ∫𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 divergen, karena suku pertama dari lim 𝑐𝑐→0+ ∫𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑=𝐥𝐥 𝐥𝐥 𝐥𝐥 𝒄𝒄→𝟎𝟎+ ∫𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒅𝒅 +
1 1 1 1 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝑠𝑠(𝑠𝑠+2) 𝑠𝑠(𝑠𝑠+2) 𝟐𝟐 𝒔𝒔
lim 𝑐𝑐→0+ ∫𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 divergen. Jadi, 𝐼𝐼 divergen.
−1 1 1
2 𝑠𝑠+2
3. Cek kekonvergenan dari ∑∞ , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan.
4
𝑛𝑛=1 3 𝑛𝑛
4 1
∞ ∞
𝑆𝑆 = � 𝑛𝑛 = 4 � 𝑛𝑛
3 3
𝑛𝑛=0 𝑛𝑛=0
1 1 1 1 1 1
∞
� = + 2+ 3+ 4+ 5+⋯
3 𝑛𝑛 3 3 3 3 3
𝑛𝑛=0
adalah deret geometri dengan pengali 1�3 < 1. Jadi, deret ini konvergen. Maka, S juga konvergen.
4. Cek kekonvergenan dari ∑∞ , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan.
𝑛𝑛
𝑛𝑛=1 3 𝑛𝑛
𝑛𝑛
∞
𝑆𝑆 = �
𝑛𝑛2 +2
𝑛𝑛=0
Misalkan 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = dan 𝑏𝑏 𝑛𝑛 =
𝑛𝑛 1
𝑛𝑛 2 +2 𝑛𝑛
Dengan uji perbandingan limit, ditemukan

2. 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛2
𝜌𝜌 = lim = lim � 2 ∙ � = lim 2 =1
𝑛𝑛→∞ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 + 2 1 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 + 2
Jadi, karena ∑ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 divergen (deret harmonik), maka ∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 juga divergen.
5. Tentukan himpunan kekonvergenan dari ∑∞ , nyatakan uji yang
(2𝑥𝑥+3) 𝑛𝑛
𝑛𝑛=1 𝑛𝑛!
digunakan dan jelaskan.
𝑎𝑎 𝑛𝑛+1 (2𝑥𝑥 + 3) 𝑛𝑛+1 𝑛𝑛! 2𝑥𝑥 + 3
Dengan uji rasio mutlak diperoleh
𝜌𝜌 = lim � � = lim � ∗ � = lim � �=0
𝑛𝑛→∞ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ ( 𝑛𝑛 + 1)! (2𝑥𝑥 + 3) 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 + 1
Jadi, deret ini konvergen untuk semua 𝑥𝑥. Artinya, himpunan kekonvergenannya adalah ℝ.
6. Diketahui deret sebagai berikut:
𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 5
1− + − + − ±⋯
1 2 3 4 5
Tentukan himpunan kekonvergenannya, nyatakan uji yang digunakan, dan
jelaskan.
𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 5 𝑥𝑥 𝑛𝑛
∞
1 − + − + − ± ⋯ = 1 + � (−1) 𝑛𝑛
1 2 3 4 5 𝑛𝑛
𝑛𝑛=1
𝑎𝑎 𝑛𝑛+1 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 𝑛𝑛
Dengan uji rasio mutlak, diperoleh
𝜌𝜌 = lim � � = lim � ∗ 𝑛𝑛 � = lim �𝑥𝑥 � = | 𝑥𝑥 |
𝑛𝑛→∞ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 + 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 + 1
Agar konvergen, |𝑥𝑥| < 1 atau −1 < 𝑥𝑥 < 1.
Selanjutnya, untuk 𝑥𝑥 = −1, deret menjadi1 + 1 + + + + + ⋯ (divergen: deret harmonik)
1 1 1 1
2 3 4 5
Untuk 𝑥𝑥 = 1, deret menjadi 1 − 1 + − + − ± ⋯ (konvergen: deret berganti tanda)
1 1 1 1
2 3 4 5
Jadi, himpunan kekonvergenan deret tersebut adalah (−1, 1].